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文档简介
专题24新高考数学模拟卷(一)
(模拟测试)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
1.设集合A={x|lVx+l<5},B={x\x<2},贝&8)=()
A.{x|2<x<4}B.[x\0<x<2jC.{x|0Vx<4}D.{x|x<4}
2.已知Z=5+10i,Z2=3-4i」='+,",贝ijz的值为
Z21z2
A.—F5zB.—5iC.5—iD.—5H—i
2222
3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中,研究了二阶等差数列.若是公差不为零的等差数列,
则称数列{〃“}为二阶等差数列.现有一个“三角垛”,共有40层,各层小球个数构成一个二阶等差数列,第
一层放1个小球,第二层放3个小球,第三层放6个小球,第四层放10个小球,L,则第40层放小球的
个数为()
A.1640B.1560C.820D.780
4.已知二£।Lcosll=_—,sinll=,则sm(a+尸)的值为()
16B-竺C56D_至
A.——
65656565
——\[xx>0
5.已知函数/(力二%'有且仅有3个零点名尸,/,若a<一,则()
ax2+2ax+3,x<0
A.lna/3=yB.lna/3=y-lC.lna/3<y-1D.lna/3>y
6.若的展开式中项的次数为整数的有且仅有5项,则其常数项为()
A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项
7.已知函数”尤)及其导函数/(尤)的定义域均为R,且〃—2x)+f(2x)=0,/(l-2x)-/(l+2x)=-4x,
则〃10)+/(11)=()
A.11B.9C.0D.-9
8.等腰三角形ABC中,AB=BC=4,ZABC=120°./为AC中点,以为线段3c上靠近点C的四等分
点,将AAB尸沿AF翻折,使A到4的位置,且平面ABF,平面,则四面体4?根的外接球的表面
积为()
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对得5分,有选错得0分,部分选对得2分)
9.已知函数f(x)=Asin(ox+o),[A>0,。>0,网<"部分图象如图所示,下列说法正确的是()
A.的图象关于直线彳=-若对称
B.“X)的图象关于点中心对称
C.将函数y=Wsin2尤-cos2x的图象向左平移叁个单位得到函数的图象
D.若方程〃力=根在、上有两个不相等的实数根,则机的取值范围是卜2,-括]
%
10.已知函数〃同二丁,下列结论正确的是()
Inx
A.〃尤)在%=e处的切线方程为y=e
B.〃尤)在区间(0,e)单调递减,在区间(e,+8)单调递增
C.设g(x)=f+q,若对任意占eR,都存在马«1,止),使8(%)=〃苍)成立,则aCe
D.曰>3">非>3,
11.如图,直角梯形A3CD中,AB//CD,AB1BC,BC=CD=-AB=2,E为A8中点,以OE为折痕
2
把VADE折起,使点A到达点尸的位置,且PC=2g.则下列说法正确的有()
A.CD_L平面£DP
B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为4班兀
7T
C.二面角P—CD-3的大小为了
D.PC与平面EDP所成角的正切值为企
12.己知直线、=履+帆与圆。:/+y=4交于点知,N,若过点M和4(2,0)的直线与y轴交于点C,过点
M和3(0,2)的直线与%轴交于点。,则()
A.△WON面积的最大值为2B."A.MB的最小值为4
C.网=8D.若k=l,则七"-QN=1
第II卷(非选择题)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线,生产14nm规格的芯片,现有20块该规格的芯片,其中甲、
乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块,且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为现从这20
101520
块芯片中任取1块芯片,则取得的芯片是次品的概率为.
14.根据毕达哥拉斯定理,以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等
于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后,得如图所示的图形.若
AF=xAB+yAD,贝l]x+V=.
15.已知直线与抛物线丁=22吠0>0)交于48两点,且。A,。民OD交AB于点。,点。的坐标为
(1,2),贝UAO3的面积=.
12
16.已知函数〃尤)=(X—I),+1,且“2。)+/(b)=2(.>-1,6>0),则-+1的最小值是.
四、解答题(本题共6小题,其中17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分。解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.记的内角A氏C的对边分别为。,4c,已知b+c=2asin(c+』.
⑴求A的值;
⑵若—B4c的平分线与3c交于点DAD=26,求.ABC面积的最小值.
18.已知数列{%}的前〃项和为S“,且s,=d|W(〃eN*),数列也}为等比数列,且%T,4+1分别为
数列也}的第二项和第三项.
⑴求数列{4},也}的通项公式;
(2)设6=(/_))/J数列{。0}的前〃项和为4‘求证:T”<g.
19.如图,在斜三棱柱ABC-4瓦G中,底面」RC是边长为2的正三角形,侧面8CG片为菱形,已知
ZBBtC=60,AB,=a.
(1)当a=«时,求三棱柱ABC-A4G的体积;
(2)设点P为侧棱8月上一动点,当。=3时,求直线PG与平面ACGA所成角的正弦值的取值范围.
20.随着春季学期开学,郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理,助力推广校园文明餐桌行动,
培养广大师生文明餐桌新理念,以“小餐桌”带动“大文明”,同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天
都会提供48两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择A
套餐的概率为:,选择8套餐的概率为§.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为I,选
择8套餐的概率为前一天选择8套餐的学生第二天选择A套餐的概率为选择8套餐的概率也是;,
如此往复.记同学甲第"天选择8套餐的概率为匕.
(1)求同学甲第二天选择8套餐的概率;
(2)证明:数列,勺-1}为等比数列;
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数X,用P(X=左)表示这100
名学生中恰有k名学生选择去A餐厅就餐的概率,求P(X=Z:)取最大值时对应的上的值.
21.已知函数/(x)=2(x—sin尤).
⑴判断函数〃尤)的单调性;
⑵已知函数g(x)=/(x)-4x+2mInx,其中>1,若存在ga)=g(%)aW无2),证明:+x2>l+lnm.
22
22.已知椭圆K:「+[=l(a>6>0)的左、右焦点分别为1(-2,0),8(2,0),过右焦点F?的直线/交椭圆
ab
K于M,N两点,以线段段为直径的圆c与圆G:/+y2=8内切.
(1)求椭圆K的方程;
(2)过点M作腔,x轴于点E,过点N作N。,无轴于点°,QM与NE交于点P,是否存在直线/使得
的面积等于池?若存在,求出直线/的方程;若不存在,请说明理由.
2
专题24新高考数学模拟卷(一)
(模拟测试)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
1.设集合A={x|lVx+l<5},B={x\x<2\,贝()
A.{x12<x<4}B.[x\0<x<2jC.{x|0<x<4}D.{x\x<4}
【答案】A
【分析】求出集合A,然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可.
【详解】因为集合4=卜|14了+1<5}="|0=彳<4},B={x|x<2},.•48=卜门>2},
.•.Ac03)={x[2<x<4}.
故选:A.
2.已知4=5+10z,z2=3-4,,一=—1,则Z的值为
ZZ]z2
A.—F5/B.—5iC.5--1D.-5+-Z
2222
【答案】C
Ill115-10z3+4z5-lOf3+4z4+2,
r:羊自忍】————।—=-------1------------1-------=---1-------
k汗用牛/zZ]z25+10/3-4z(5+10z)(5-10z)(3-4z)(3+4z)1252525
2525(4-2z)25(4-2。5
所以z==5f,
4+2z-(4+2z)(4-2z)20-2故选仁
3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中,研究了二阶等差数列.若{。用-4}是公差不为零的等差数列,
则称数列{4}为二阶等差数列.现有一个“三角垛”,共有40层,各层小球个数构成一个二阶等差数列,第
一层放1个小球,第二层放3个小球,第三层放6个小球,第四层放10个小球,L,则第40层放小球的
个数为()
A.1640B.1560C.820D.780
【答案】C
【分析】首先由二阶等差数列的定义,得到="(〃22,〃eN*),再求和得到数列{““}的通项公式,
即可求心.
【详解】设第w层放小球的个数为%,由题意2-卬=2,a3-a2=3,,数列列”+「4}是首项为2,公
差为1的等差数列,
所以%-a“_i=2+(〃-2)=M〃N2,"eN*).
故=q+(。2-%)++3〃一凡—i)=1+2++n=—n(ji+1),
故=gx40x41=820.
故选:C.
3兀3兀,夕兀,爸,COS71715
4.已知a,则sin(o+尸)的值为()
~~5V4;13
16165656
A.B.C.D.
65656565
【答案】A
【分析】先利用诱导公式得sin(a+0=cos(a+£-5),再令cos(a+4-g)=cos[(a-少+(4-,展开即可求解.
2244
【.详'-V*h解jl】Ysi,nz(a+0fix=cos(za+/C?--兀)、=cosr[z(a-兀-、)+z(c/?-兀-)、1]=cosz(a-兀-、)cozcs(兀^、sm•(/a-兀-、)s•m/(c£-兀-、),
2444444
因为ee序V,所以"共生三,则夕-巳在第二或第三象限,
因为cos(a_?)=《,当夕-;在第三象限时,由于网型=-变,
45442
又丫=85彳在xe私=上递增,且_3>_也,
252
所以当a在第三象限时,a~~7>~T与。―矛盾,
4442144J
7T
所以a-二在第二象限,
4
因为cos(a~~)=,所以sin(a--^)=—.
4545
因为匹(小发,所以夕一和(弓,\),则cos(/?-:)<0.
因为sin(2一;)=磊,所以cos(力一:)二一^|.
所以cos(a-;)cos(77—2)-sin(a-2)sin(力-^)=-|x(-j|)-|x^=i|,
即sin(a+y5)=—.
65
故选:A.
——_x>0
5.已知函数/(%)=卜”有且仅有3个零点7,若a<0<y,则()
ax2+2ax+3,x<0
A.\na0=yB.\na/3=yC.In</-1D.Ina(3>y
【答案】c
【分析】当x>0时,解出一根,由。<尸<7得7=7,当尤V。时,还有两根,则此时方程为二次方程,根
据题意建立不等式解出“的取值范围,再根据其他条件即可得结论.
【详解】当尤>0时,令L-G=Q,解得X=1,即7=1;
X
当工工。时,方程依2+2办+3=0有两个不等负实根a,P,
A=4/-12Q>0
所以<a+/7=—2<0,解得a>3,
3
af3=—>0
、a
当a='=—1时,cc+p=—2,3^a<尸<0,则一2<a<—1<,<0.
3
所以Ina[3=ln—<0=/-l.
a
故选:C.
6.若+的展开式中项的次数为整数的有且仅有5项,则其常数项为()
A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项
【答案】B
【分析】求出展开式的通项公式,根据题意得到〃=9/=6,进而求解即可.
【详解】R的展开式的通项公式为小=C口1’.(&)'=
因为reN,所以当『0,2,4,6,8,10,…时,展开式中项的次数为整数,
又展开式中项的次数为整数的有且仅有5项,
3
所以〃=9或〃=8,当〃=8时,令?-8=0,无整数解,舍去;
所以〃=9,故雹+]=cjx5",令”-9=0,
解得厂=6,所以其常数项为第7项.
故选:B.
7.己知函数及其导函数尸(x)的定义域均为R,M/(-2x)+/(2x)=0,/(l-2x)-/(l+2x)=-4x,
则〃10)+/'(11)=()
A.11B.9C.0D.-9
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性,然后构造函数g(无)并求其对称轴及周期,最后利用对称轴及周期求函
数值即可.
【详解】因为对任意的xeR,〃一2%)+"2x)=0,即〃T)=—〃尤),
所以“X)为奇函数,故〃0)=0.
由,(1一2x)—/(l+2x)=-4x得,/(l-x)-/(l+x)=-2x,
即/(1一尤)一(1—尤)=/(l+x)—(1+x),
设g(x)=/(x)-x,则g(无)为奇函数,g(O)=O,且g(l-x)=g(l+x),
所以g(x)图像关于直线x=l对称,
由g(l—x)=g(l+x)得,g(—x)=g(2+x),
所以-g(x)=g(2+x),
所以g(4+x)=g[2+(2+x)]=-g(2+x)=-(-g(x))=g(x)
所以g(x)的周期为4.
所以g(10)=g(2)=g(0)=0,所以〃10)=g(10)+10=10,
由g(lr)=g(l+x)求导可得_g'(l_x)=g'(l+x),所以g'(x)关于(1,0)对称,所以g'(l)=0
由对称性可知g(x)图像关于直线―-1对称,
因为-g(x)=g(2+尤),所以g(x)=-g(2+x),
所以g'(x)=-g'(2+x),
所以g'(4+x)=g12+(2+x)]=_g,(2+x)=_(_g1x))=g,(x)
所以g'(x)的周期为4,所以g"l)=g,(-l)=-g")=0,
又g'(x)=F(x)-1,所以尸(ll)=g{ll)+l=l,
所以/■(io)+r(ii)=n.
故选:A.
8.等腰三角形A3C中,AB=BC=4,ZABC=120°.P为AC中点,/为线段BC上靠近点C的四等分
点,将△AB尸沿8尸翻折,使A到4的位置,且平面,平面,则四面体片5根的外接球的表面
积为()
【答案】D
【分析】利用余弦定理求出月0,再根据给定条件确定球心位置,求出球半径作答.
【详解】等腰「ABC中,AB=BC=4,ZABC=120°,歹为AC中点,则3尸1AC,
有NABF=NMBF=60。,BF=2,AF=26,又BM=3,在中,由余弦定理得:
FM=V22+32-2X2X3COS60°=y/1-由正弦定理得外接圆半径厂=、一业一='五
2sin6003
在四面体尸M中,A/_L5/,平面平面劭/F,平面43尸c平面=6尸,A/u平面尸,
则AF_L平面5M令外接圆圆心为Q,四面体外接球球心为0,
则。。±平面BMF,有OOJAF,显然四面体外接球球心。在线段\F的中垂面上,取4尸中点E,
连接EO,FO,FQ,则有EO1A尸,而尸Qu平面BMF,即有OQ-LFOX,EF±FOi,
因此四边形EO。尸为矩形,EO=FOi=r=殍,而郎=山,
于是四面体ABFM外接球半径R=FO=1EF2+E02=卡,
-TT
所以四面体42根的外接球的表面积S=4TIR2=等.
故选:D
【点睛】关键点睛:几何体的外接球的表面积、体积计算问题,借助球的截面小圆性质确定出球心位置是
解题的关键.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对得5分,有选错得0分,部分选对得2分)
9.已知函数〃x)=Asin(°x+°),3>0,。>0,附<印部分图象如图所示,下列说法正确的是()
A.”力的图象关于直线》=-%对称
B.“X)的图象关于点H,。)中心对称
C.将函数y=△sin2尤-cos2x的图象向左平移I个单位得到函数“X)的图象
D.若方程/")=加在-],0上有两个不相等的实数根,则机的取值范围是卜2,一0]
【答案】AD
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。,由五点法作图求出夕的值,可得了(元)的解析式,
结合图象及三角函数的性质可得结论.
19jrTTJT
【详解】由函数的图象可得修,由屋至二-近求得0=2-
jrTT
再根据五点法作图可得2x§+o=2E+7i,即0=2fai+§,左EZ,
又问,求得展5,函数/(x)=2sin(2x+1J,
7T
-2sin-=-2,是最值,故A成立;
2兀
f2siny=-2sin1=-V3,不等于零,故B不成立;
将函数>=6sin2x—cos2x=2sin]2%—£的图象向左平移万TT个单位得到函数
y=sin|2(尤+/卜弓=sin(2尤+看)的图象,故C不成立;
兀c兀2兀71
当了£__50时,2xH---G
3T5i
由图可知,m]-2,一向时,函数〃尤)与直线y=m有两个交点,
故方程〃冷=根在-',0上有两个不相等的实数根时,加的取值范围是卜2,-G],故D成立.
故选:AD.
10.已知函数/(%)=—,下列结论正确的是()
Inx
A.在x=e处的切线方程为y=e
B.7'(X)在区间(O,e)单调递减,在区间(e,+8)单调递增
C.设g(x)=x?+a,若对任意占eR,都存在七使8(%)=〃彳2)成立,则
D.7in>3n>7i3>33
【答案】ACD
【分析】求导得到函数的单调区间,计算切线得到A正确,根据定义域排除B,分别计算最值得到C正确,
根据哥函数单调性和/(x)单调性计算得到D正确,得到答案.
【详解】〃x)=嬴,则:(无)=而1,x«0,l)一
当无«0,1)和xe(l,e)时,r(x)<0,函数单调递减;
当xe(e,«»)时,>0,函数单调递增.
对选项A:r(e)=0,/(e)=e,故切线方程为>=e,正确;
对选项B:函数定义域为(0,1)(1,H>错误;
对选项C:当飞e(l,4w)时,/(々L=/(e)=e,gQL=g(O)=a,故a*e,正确;
兀3
对选项D:根据募函数的单调性知的>3",兀3>33,/(TT)>/(3),BP—>—,
故兀ln3>31nji,即3%>7?,故加>3兀>7?>3?,正确.
故选:ACD
11.如图,直角梯形ABC。中,AB//CD,AB±BC,BC=CD=3AB=2,E为AB中点,以DE为折痕
把折起,使点A到达点尸的位置,且尸C=2g.则下列说法正确的有()
p
A.CD_L平面EDP
B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为4年
71
C.二面角P-的大小为了
4
D.PC与平面£DP所成角的正切值为正
【答案】ABC
【分析】易证得四边形EBCD为矩形,得到CDLDE;利用勾股定理可得CD1.PZ);由线面垂直的判定可
证得A正确;根据理,平面EBCD和矩形外接圆半径厂可求得外接球半径R=J度,代入球的体
积公式可知B正确;根据二面角平面角定义可知ZPDE即为所求角,根据长度关系知C正确;根据线面角
定义可知NCPD为所求角,由长度关系可知D错误.
【详解】对于A,E为A3中点,.•.3E=CD,BE〃CD,.•.四边形EBCD为平行四边形,
又AB13C,四边形£BCD为矩形,,。。,。氏
PD=AD=722+22=272-CD=2,PC=2y/3,
:.PD2+CD2=PC2,CDLPD,又PD\DE=D,尸£>,Z)Eu平面EDP,
\CD人平面£2%,A正确;
对于B,BC//DE,AB.LBC,s.AELDE,即尸E_LOE,
CD_L平面EDP,PEu平面EDP,/.CDPE,
又CDDE=D,C。,。Eu平面EBa),PE_L平面EBCD;
矩形EBCZ)的外接圆半径r=1x,22+22=&,
2
四棱锥P-EBCD的外接球半径R=+=A/2TT=V3,
四棱锥尸-E3CD外接球的体积V=g?rR3=4扃,B正确;
对于C,CZ)_L平面£DP,PDu平面EDP,.CD;
又让1。。,,二面角尸一8-3的平面角为40£,
71
PE^DE,PE=DE=2,:.NPDE=一,
4
TT
••・二面角尸—CD—3的大小为了,C正确;
4
对于D,CD1.平面EDP,;.NCPD即为直线尸C与平面£Z年所成角,
CD±PD,PD=2A/2-CD=2,tanZCP£>=—=^=—,
PD2V22
即直线直线尸C与平面£DP所成角的正切值为巫,D错误.
2
故选:ABC.
12.己知直线,=履+加与圆O:尤2+^=4交于点M,N,若过点M和4(2,0)的直线与y轴交于点C,过点
M和3(0,2)的直线与无轴交于点。,则()
A.△WON面积的最大值为2B."A.MB的最小值为4
C.\AD\-\BC\=8D.若左=1,则七
【答案】ACD
【分析】利用面积公式以MON=;|°叫lONlsin/MON可判断A;设加(4必),数量积的坐标表示结合重要
不等式可判断B;利用M的坐标表示出直线坐标,从而可得C、。坐标,然后直接求解可判断C;利用韦
达定理可判断D.
【详解】A项:因为直线好质+“与圆O交于点M,N,所以QM=|ON|=2,
所以ZMON=^\OM\-\ON\sinZMON=2sinZMON,
JT
当sinNMON=l,即/MON=—,OM_LON时,△AfON面积的最大值为2,A正确;
2
B项:设〃(%,,%),则M4=(2—yj,MB=(―%,2—%),
所以M4.MB=x;+y;_2%—2%=4—2(尤]+%),
因为4=x;+y;N2X[M,所以无aM2.
所以(%+yj=4+2%必48,即一2点4%%=2忘,
所以当占+%=20时,跖MB取得最小值4-4啦,B错误;
Vi—2
C项:当直线MB斜率存在时,则直线-x+2.
xi
令y=0,可得x=故。[31-,。.
直线
X]—z
令x=0,可得>=',所以小0,1].
2-士(2-xJ
4-^1____+________
2-y2—X](2-Xj)(2-
4,44_2._2%+"必
[(x/2)(y「2).
1,4(xl-2)(yl-2)
(x1-2)(y1-2)
当直线MB斜率不存在时,“|=2,忸C|=4,则忸C|=8,
综上所述,|AD|•忸C|=8为定值,C正确;
|12+y2=4
D项:当左=1时,y=x+m,设N(羽,丹),联立《
[y=x+m,
加2—4
消去y可得2Y+2mx+m之—4=0,则西+/二一相,x1x2=-----
则三=5V
西马X1X2
再入2+根(尤1+%)+加2
故选:ACD
第n卷(非选择题)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线,生产14nm规格的芯片,现有20块该规格的芯片,其中甲、
乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块,且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为,,(,5.现从这20
块芯片中任取1块芯片,则取得的芯片是次品的概率为.
7
【答案】0.07/—
【分析】利用条件概率即可求得从这20块芯片中任取1块芯片取得的芯片是次品的概率.
【详解】记"20块芯片中任取1块芯片,取得的芯片是次品”为事件B,
分别记从这20块芯片中任取1块芯片,则该芯片为甲、乙、丙生产为事件A,4,A
则P(A)=/,P(4)=白尸⑷=去,
?但A)=:,P(叫
则尸(8)=尸(A)•尸伊⑷+尸(4)尸(叫4)+尸(A)尸(叫4)
故答案为:0.07
14.根据毕达哥拉斯定理,以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等
于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后,得如图所示的图形.若
AF=xAB+yAD,贝I]x+V=.
【分析】建立平面直角坐标系,标出各个点的坐标,利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】如图,以A为原点,分别以为轴建立平面直角坐标系,
设正方形ABCD的边长为2“,则正方形。E印的边长为正方形EFGC边长为。
可知A(0,0),B(2a,0),£>(0,2a),石+l)a
则与=(若+l)a,cos3。,九=(石+l)a-sin30+2a
又AF=xAB+yAD,x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay)
3+^/3
2ax=--------a
23+y/35+y/3a,化简得%+y=&+"
即《5指,即lax+lay=--------aH----------
222
lay=---a
故答案为:土土
2
15.已知直线与抛物线/=2px(p>0)交于AB两点,且。4,。氏。。,43交48于点£),点。的坐标为
(1,2),则AQB的面积=.
【答案】25A/2
【分析】求出直线AB的方程,与抛物线联立,得到两根之和,两根之积,由。4,03得到方程,然后求出
。的值,再求出|%-%|,最后求出面积即可.
【详解】点D的坐标为(1,2),则kOD=2,
又且直线A3过点。(1,2),
贝U直线A3的方程为>-2=—;"一1),整理得2y+无一5=0,
设点A的坐标为(孙兀),点5的坐标为(太2,乙),
由得OR.03=0,即%%+%力=0,
「直线AB的方程为x=5-2y,
不4+%%=(5-2”)(5-2%)+*%=5yMT0(X+%)+25=。,
;-2(%+%)+5=0①,
联立尤=5-2y与丁=2px(p>。),消去x得/+4处-1。。=0,
则
%%=T°P
把②代入①,解得P=|,
故|M_%|=1(%+为『-4%%=7100+100=1072,
又直线A3与X轴的交点为(5,0),
所以5项。=95、回一刃=250.
故答案为:25vL
12
16.已知函数〃X)=(尤―I),+1,且“2。)+/(b)=2(a>-1,方>0),则---+1的最小值是.
【答案】2
【分析】利用/(6=(5+1,单调性与对称性,可知,若有/(%)+"〃)=2,则必有机+”=2成立.再利
用基本不等式求」7+:的最小值即可.
【详解】:>=尤3在R为单调递增的奇函数,
y=x3有且仅有一个对称中心(0,0),
〃x)=(x-1)3+1单调递增,有且仅有一个对称中心(1,1),
又:f(2a)+f(b)=2(a>-l,b>0),
:.2a+b=2,则2(a+l)+6=4,
12
---------1----[2(〃+1)+月
Q+1b
1Fb4(〃+1)
=-44+------+--------
44+1b
1
>4,9Ib4(。+1)
4Na+1b
当且仅当一也=见"。即。=0,6=2时,等号成立,
a+1b
]2
・,・」7+1的最小值是2.
故答案为:2.
四、解答题(本题共6小题,其中17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分。解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.记一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知6+c=2asin]c+^j.
⑴求A的值;
(2)若/BAC的平分线与8C交于点D,AD=20求J1BC面积的最小值.
【答案】(1)A=
(2)473
【分析】(1)根据题意,利用正弦定理和三角恒等变换化简得sin(A-1[=;,再结合正弦函数的性质分析
求解;
(2)根据题意得=结合S.c=$的+$Q,得到加=2e+c),结合基本不等式,即可求
解.
【详解】(1)因为6+c=2asin]c+由正弦定理可得sinB+sinC=2sinAsin[c+[],
贝ijsin_B+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,
2sinAsin[C+弓)=2sinsinC+—cosC=石sinAsinC+sinAcosC
2
7
即sinAcosC+cosAsinC+sinC=^3sinAsinC+sinAcosC,
可得6sinAsinC-cosAsinC=sinC,
因为(0,兀),贝!JsinCwO,则6sinA-cosA=1,
整理得sin〔A
又因为A£(0,7l),则
可得A4=g所以A=S
663
jr
(2)因为AD平分/SAC且AT>=2&,所以NA4O=NC4D=:,
6
由SABC=SABD+SACD,RJW—&cx—=_CX2A/3x—+—ZJX2A/3X—,
222222
整理得bc=2(b+c)N4j无,则bc216,当且仅当匕=c时,等号成立,
故,ABC面积的最小值为工X16X1=46.
22
18.已知数列{%}的前〃项和为S,,,且s,=^^(“eN*),数列也}为等比数列,且%-1,%+1分别为
数列也}的第二项和第三项.
(1)求数列{4},也}的通项公式;
(2)设.数列匕,}的前〃项和为4'求证:7;<1.
【答案】⑴4,=〃+1,bn=T
(2)证明见解析
【分析】(1)根据S“和an的关系求出{凡}的通项公式,由{an}中的项和等比数列通项公式的关系求出{〃}的
通项公式;
(2)利用裂项求和进行求解.
【详解】(1)因为数列{氏}的前"项和为臬,且s,=粤^(〃eN*),
当〃=1时,q=$=2,
当s、o口注「cQ1+3〃(〃-1)2+3(〃-1)
时,an=Sn-Sn_,=--------------------=〃+1,
〃1=1也满足上式,所以%=〃+1,
在数列{2}中,伪=&-1=4也=4+1=8,
则公比4=,=:=2,4=仇@-2=4x27=2",
所求通项公式为为=〃+1,2=2".
,『〃+2〃+2
(2)由⑴得*=帚+").2m=",("+1)2"+1
n+2_1________]
叩/z.(n+l)-2,I+1-7F一(H+1)-2,,+1
1________]
T=(------------7)+(-----5--------r)++
"1-22-222-223-23“•2”-(〃+1).2"+[
-T=----------------
"2(n+l)-2"+1
*11
因为“eN'GTh〉。,故北<5
19.如图,在斜三棱柱ABC-4月6中,底面一/BC是边长为2的正三角形,侧面BCC由为菱形,已知
(1)当〃=布时,求三棱柱ABC-A用G的体积;
(2)设点P为侧棱B片上一动点,当。=3时,求直线PG与平面ACCM所成角的正弦值的取值范围.
【答案]⑴3
-A/393V13-
⑵IT卞
【分析】(1)取8C的中点为O,根据等边三角形可知BCLAO,BC±BQ,再计算出各个长度可知BQ±A0,
根据线面垂直判定定理可证4。,平面ABC,即4。为三棱柱的高,根据体积公式求出即可;
(2)根据。=3及余弦定理解出/AO乌,以。为原点建立合适空间直角坐标系,找出点的坐标,求出平面
ACCH的一个法向量,设3尸=434(OW4W1),求出GP,根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹
角的余弦值的绝对值建立等式,构造新函数,根据二次函数性质即可求得范围.
【详解】(1)解:如图,取3c的中点为。,
因为BCG瓦为菱形,
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