新高考数学模拟卷（一）（学生版+解析）

专题24新高考数学模拟卷（一）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.设集合A={x|lVx+l<5},B={x\x<2},贝&8）=（）

A.{x|2<x<4}B.[x\0<x<2jC.{x|0Vx<4}D.{x|x<4}

2.已知Z=5+10i,Z2=3-4i」='+，"，贝ijz的值为

Z21z2

A.—F5zB.—5iC.5—iD.—5H—i

2222

3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列.若是公差不为零的等差数列，

则称数列{〃“}为二阶等差数列.现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第

一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，L,则第40层放小球的

个数为（）

A.1640B.1560C.820D.780

4.已知二£।Lcosll=_—，sinll=­，则sm（a+尸）的值为（）

16B-竺C56D_至

A.——

65656565

——\[xx>0

5.已知函数/（力二%'有且仅有3个零点名尸,/,若a<一,则（）

ax2+2ax+3,x<0

A.lna/3=yB.lna/3=y-lC.lna/3<y-1D.lna/3>y

6.若的展开式中项的次数为整数的有且仅有5项，则其常数项为（）

A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项

7.已知函数”尤）及其导函数/（尤）的定义域均为R,且〃—2x）+f（2x）=0,/（l-2x）-/（l+2x）=-4x,

则〃10）+/（11）=（）

A.11B.9C.0D.-9

8.等腰三角形ABC中，AB=BC=4,ZABC=120°./为AC中点，以为线段3c上靠近点C的四等分

点，将AAB尸沿AF翻折，使A到4的位置，且平面ABF，平面，则四面体4?根的外接球的表面

积为（）

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）

9.已知函数f（x）=Asin（ox+o）,[A>0,。>0,网<"部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.的图象关于直线彳=-若对称

B.“X）的图象关于点中心对称

C.将函数y=Wsin2尤-cos2x的图象向左平移叁个单位得到函数的图象

D.若方程〃力=根在、上有两个不相等的实数根，则机的取值范围是卜2,-括］

%

10.已知函数〃同二丁，下列结论正确的是（）

Inx

A.〃尤）在％=e处的切线方程为y=e

B.〃尤）在区间（0,e）单调递减，在区间（e,+8）单调递增

C.设g（x）=f+q,若对任意占eR,都存在马«1,止），使8（%）=〃苍）成立,则aCe

D.曰>3">非>3,

11.如图，直角梯形A3CD中，AB//CD,AB1BC,BC=CD=-AB=2,E为A8中点，以OE为折痕

2

把VADE折起，使点A到达点尸的位置，且PC=2g.则下列说法正确的有（）

A.CD_L平面£DP

B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为4班兀

7T

C.二面角P—CD-3的大小为了

D.PC与平面EDP所成角的正切值为企

12.己知直线、=履+帆与圆。：/+y=4交于点知，N,若过点M和4（2,0）的直线与y轴交于点C,过点

M和3（0,2）的直线与％轴交于点。，则（）

A.△WON面积的最大值为2B."A.MB的最小值为4

C.网=8D.若k=l,则七"-QN=1

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、

乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为现从这20

101520

块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为.

14.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等

于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形.若

AF=xAB+yAD,贝l]x+V=.

15.已知直线与抛物线丁=22吠0>0）交于48两点，且。A，。民OD交AB于点。，点。的坐标为

(1,2),贝UAO3的面积=.

12

16.已知函数〃尤)=(X—I)，+1,且“2。)+/(b)=2(.>-1,6>0),则-+1的最小值是.

四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.记的内角A氏C的对边分别为。，4c,已知b+c=2asin（c+』.

⑴求A的值；

⑵若—B4c的平分线与3c交于点DAD=26，求.ABC面积的最小值.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且s,=d|W(〃eN*),数列也｝为等比数列，且%T,4+1分别为

数列也｝的第二项和第三项.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)设6=(/_))/J数列｛。0｝的前〃项和为4‘求证：T”<g.

19.如图，在斜三棱柱ABC-4瓦G中，底面」RC是边长为2的正三角形，侧面8CG片为菱形，已知

ZBBtC=60,AB,=a.

(1)当a=«时，求三棱柱ABC-A4G的体积；

(2)设点P为侧棱8月上一动点，当。=3时，求直线PG与平面ACGA所成角的正弦值的取值范围.

20.随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，

培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天

都会提供48两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A

套餐的概率为：，选择8套餐的概率为§.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为I，选

择8套餐的概率为前一天选择8套餐的学生第二天选择A套餐的概率为选择8套餐的概率也是；，

如此往复.记同学甲第"天选择8套餐的概率为匕.

(1)求同学甲第二天选择8套餐的概率；

(2)证明：数列，勺-1｝为等比数列；

(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数X,用P(X=左)表示这100

名学生中恰有k名学生选择去A餐厅就餐的概率，求P(X=Z:)取最大值时对应的上的值.

21.已知函数/(x)=2(x—sin尤).

⑴判断函数〃尤)的单调性；

⑵已知函数g(x)=/(x)-4x+2mInx,其中>1,若存在ga)=g(%)aW无2),证明：+x2>l+lnm.

22

22.已知椭圆K:「+[=l(a>6>0)的左、右焦点分别为1(-2,0),8(2,0),过右焦点F?的直线/交椭圆

ab

K于M,N两点，以线段段为直径的圆c与圆G：/+y2=8内切.

(1)求椭圆K的方程；

(2)过点M作腔，x轴于点E,过点N作N。，无轴于点°,QM与NE交于点P,是否存在直线/使得

的面积等于池？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

2

专题24新高考数学模拟卷（一）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.设集合A={x|lVx+l<5},B={x\x<2\,贝（）

A.{x12<x<4}B.[x\0<x<2jC.{x|0<x<4}D.{x\x<4}

【答案】A

【分析】求出集合A,然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可.

【详解】因为集合4=卜|14了+1<5}="|0=彳<4},B={x|x<2},.•48=卜门>2},

.•.Ac03）={x[2<x<4}.

故选：A.

2.已知4=5+10z,z2=3-4，,一=—1,则Z的值为

ZZ]z2

A.—F5/B.—5iC.5--1D.-5+-Z

2222

【答案】C

Ill115-10z3+4z5-lOf3+4z4+2,

r:羊自忍】————।—=-------1------------1-------=---1-------

k汗用牛/zZ]z25+10/3-4z（5+10z）（5-10z）（3-4z）（3+4z）1252525

2525（4-2z）25（4-2。5

所以z==5f，

4+2z-（4+2z）（4-2z）20-2故选仁

3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列.若｛。用-4｝是公差不为零的等差数列,

则称数列｛4｝为二阶等差数列.现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第

一层放1个小球，第二层放3个小球,第三层放6个小球，第四层放10个小球，L,则第40层放小球的

个数为()

A.1640B.1560C.820D.780

【答案】C

【分析】首先由二阶等差数列的定义,得到="(〃22,〃eN*),再求和得到数列｛““｝的通项公式,

即可求心.

【详解】设第w层放小球的个数为%，由题意2-卬=2,a3-a2=3,,数列列”+「4｝是首项为2,公

差为1的等差数列,

所以%-a“_i=2+（〃-2）=M〃N2,"eN*）.

故=q+（。2-%）++3〃一凡—i）=1+2++n=—n（ji+1）,

故=gx40x41=820.

故选：C.

3兀3兀，夕兀，爸,COS71715

4.已知a，则sin(o+尸)的值为(）

~~5V4；13

16165656

A.B.C.D.

65656565

【答案】A

【分析】先利用诱导公式得sin(a+0=cos(a+£-5),再令cos(a+4-g)=cos[(a-少+(4-,展开即可求解.

2244

【.详'-V*h解jl】Ysi,nz(a+0fix=cos(za+/C?--兀)、=cosr[z(a-兀-、)+z(c/?-兀-)、1]=cosz(a-兀-、)cozcs(兀^、sm•(/a-兀-、)s•m/(c£-兀-、),

2444444

因为ee序V，所以"共生三，则夕-巳在第二或第三象限，

因为cos(a_?)=《，当夕-；在第三象限时，由于网型=-变，

45442

又丫=85彳在xe私=上递增，且_3>_也，

252

所以当a在第三象限时，a~~7>~T与。―矛盾，

4442144J

7T

所以a-二在第二象限，

4

因为cos（a~~）=，所以sin（a--^）=—.

4545

因为匹（小发，所以夕一和（弓,\）,则cos（/?-：）<0.

因为sin（2一；）=磊,所以cos（力一：）二一^|.

所以cos（a-；）cos（77—2）-sin（a-2）sin（力-^）=-|x（-j|）-|x^=i|,

即sin（a+y5）=—.

65

故选：A.

——_x>0

5.已知函数/（%）=卜”有且仅有3个零点7,若a<0<y,则（）

ax2+2ax+3,x<0

A.\na0=yB.\na/3=yC.In</-1D.Ina（3>y

【答案】c

【分析】当x>0时，解出一根，由。<尸<7得7=7,当尤V。时，还有两根，则此时方程为二次方程，根

据题意建立不等式解出“的取值范围，再根据其他条件即可得结论.

【详解】当尤>0时，令L-G=Q,解得X=1,即7=1；

X

当工工。时，方程依2+2办+3=0有两个不等负实根a,P,

A=4/-12Q>0

所以<a+/7=—2<0,解得a>3,

3

af3=—>0

、a

当a='=—1时，cc+p=—2,3^a<尸<0,则一2<a<—1<,<0.

3

所以Ina[3=ln—<0=/-l.

a

故选：C.

6.若+的展开式中项的次数为整数的有且仅有5项，则其常数项为（）

A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项

【答案】B

【分析】求出展开式的通项公式，根据题意得到〃=9/=6,进而求解即可.

【详解】R的展开式的通项公式为小=C口1’.(&)'=

因为reN,所以当『0,2,4,6,8,10,…时，展开式中项的次数为整数，

又展开式中项的次数为整数的有且仅有5项，

3

所以〃=9或〃=8,当〃=8时，令？-8=0,无整数解，舍去；

所以〃=9,故雹+]=cjx5",令”-9=0,

解得厂=6,所以其常数项为第7项.

故选：B.

7.己知函数及其导函数尸(x)的定义域均为R,M/(-2x)+/(2x)=0,/(l-2x)-/(l+2x)=-4x,

则〃10)+/'(11)=()

A.11B.9C.0D.-9

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，然后构造函数g(无)并求其对称轴及周期，最后利用对称轴及周期求函

数值即可.

【详解】因为对任意的xeR,〃一2%)+"2x)=0,即〃T)=—〃尤)，

所以“X)为奇函数，故〃0)=0.

由,(1一2x)—/(l+2x)=-4x得，/(l-x)-/(l+x)=-2x,

即/(1一尤)一(1—尤)=/(l+x)—(1+x),

设g(x)=/(x)-x，则g(无)为奇函数，g(O)=O,且g(l-x)=g(l+x),

所以g(x)图像关于直线x=l对称，

由g(l—x)=g(l+x)得，g(—x)=g(2+x),

所以-g(x)=g(2+x),

所以g(4+x)=g[2+(2+x)]=-g(2+x)=-(-g(x))=g(x)

所以g(x)的周期为4.

所以g(10)=g(2)=g(0)=0,所以〃10)=g(10)+10=10,

由g(lr)=g(l+x)求导可得_g'(l_x)=g'(l+x),所以g'(x)关于(1,0)对称,所以g'(l)=0

由对称性可知g(x)图像关于直线―-1对称，

因为-g(x)=g(2+尤)，所以g(x)=-g(2+x),

所以g'(x)=-g'(2+x),

所以g'(4+x)=g12+(2+x)]=_g，(2+x)=_(_g1x))=g，(x)

所以g'(x)的周期为4,所以g"l)=g，(-l)=-g")=0,

又g'(x)=F(x)-1,所以尸(ll)=g{ll)+l=l,

所以/■（io）+r（ii）=n.

故选：A.

8.等腰三角形A3C中，AB=BC=4,ZABC=120°.P为AC中点，/为线段BC上靠近点C的四等分

点，将△AB尸沿8尸翻折，使A到4的位置，且平面，平面，则四面体片5根的外接球的表面

积为（）

【答案】D

【分析】利用余弦定理求出月0,再根据给定条件确定球心位置，求出球半径作答.

【详解】等腰「ABC中，AB=BC=4,ZABC=120°,歹为AC中点，则3尸1AC,

有NABF=NMBF=60。,BF=2,AF=26,又BM=3,在中，由余弦定理得：

FM=V22+32-2X2X3COS60°=y/1-由正弦定理得外接圆半径厂=、一业一='五

2sin6003

在四面体尸M中，A/_L5/，平面平面劭/F,平面43尸c平面=6尸，A/u平面尸，

则AF_L平面5M令外接圆圆心为Q,四面体外接球球心为0,

则。。±平面BMF，有OOJAF,显然四面体外接球球心。在线段\F的中垂面上,取4尸中点E,

连接EO,FO,FQ,则有EO1A尸，而尸Qu平面BMF,即有OQ-LFOX,EF±FOi,

因此四边形EO。尸为矩形，EO=FOi=r=殍,而郎=山,

于是四面体ABFM外接球半径R=FO=1EF2+E02=卡,

-TT

所以四面体42根的外接球的表面积S=4TIR2=等.

故选：D

【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是

解题的关键.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）

9.已知函数〃x）=Asin（°x+°）,3＞0,。＞0,附＜印部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.”力的图象关于直线》=-%对称

B.“X）的图象关于点H，。）中心对称

C.将函数y=△sin2尤-cos2x的图象向左平移I个单位得到函数“X）的图象

D.若方程/"）=加在-],0上有两个不相等的实数根，则机的取值范围是卜2,一0]

【答案】AD

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，由五点法作图求出夕的值，可得了（元）的解析式,

结合图象及三角函数的性质可得结论.

19jrTTJT

【详解】由函数的图象可得修，由屋至二-近求得0=2-

jrTT

再根据五点法作图可得2x§+o=2E+7i,即0=2fai+§,左EZ,

又问，求得展5,函数/(x)=2sin(2x+1J,

7T

-2sin-=-2,是最值，故A成立;

2兀

f2siny=-2sin1=-V3,不等于零，故B不成立;

将函数>=6sin2x—cos2x=2sin]2%—£的图象向左平移万TT个单位得到函数

y=sin|2（尤+/卜弓=sin（2尤+看）的图象，故C不成立;

兀c兀2兀71

当了£__50时,2xH---G

3T5i

由图可知，m]-2,一向时，函数〃尤）与直线y=m有两个交点,

故方程〃冷=根在-',0上有两个不相等的实数根时，加的取值范围是卜2,-G],故D成立.

故选：AD.

10.已知函数/(%)=—,下列结论正确的是()

Inx

A.在x=e处的切线方程为y=e

B.7'(X)在区间(O,e)单调递减，在区间(e,+8)单调递增

C.设g(x)=x?+a,若对任意占eR,都存在七使8(%)=〃彳2)成立，则

D.7in>3n>7i3>33

【答案】ACD

【分析】求导得到函数的单调区间，计算切线得到A正确，根据定义域排除B,分别计算最值得到C正确，

根据哥函数单调性和/(x)单调性计算得到D正确，得到答案.

【详解】〃x)=嬴，则:(无)=而1，x«0,l)一

当无«0,1)和xe(l,e)时，r(x)<0,函数单调递减；

当xe(e,«»)时，>0,函数单调递增.

对选项A：r(e)=0,/(e)=e,故切线方程为>=e,正确；

对选项B：函数定义域为(0,1)(1，H>错误；

对选项C：当飞e(l,4w)时,/(々L=/(e)=e,gQL=g(O)=a,故a*e,正确；

兀3

对选项D：根据募函数的单调性知的>3"，兀3>33,/(TT)>/(3),BP—>—,

故兀ln3>31nji,即3%>7?,故加>3兀>7?>3?,正确.

故选：ACD

11.如图，直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±BC,BC=CD=3AB=2,E为AB中点，以DE为折痕

把折起，使点A到达点尸的位置，且尸C=2g.则下列说法正确的有()

p

A.CD_L平面EDP

B.四棱锥P-EBCD外接球的体积为4年

71

C.二面角P-的大小为了

4

D.PC与平面£DP所成角的正切值为正

【答案】ABC

【分析】易证得四边形EBCD为矩形，得到CDLDE；利用勾股定理可得CD1.PZ）；由线面垂直的判定可

证得A正确；根据理，平面EBCD和矩形外接圆半径厂可求得外接球半径R=J度，代入球的体

积公式可知B正确；根据二面角平面角定义可知ZPDE即为所求角，根据长度关系知C正确；根据线面角

定义可知NCPD为所求角，由长度关系可知D错误.

【详解】对于A,E为A3中点，.•.3E=CD,BE〃CD,.•.四边形EBCD为平行四边形，

又AB13C,四边形£BCD为矩形，，。。，。氏

PD=AD=722+22=272-CD=2,PC=2y/3,

:.PD2+CD2=PC2,CDLPD,又PD\DE=D,尸£>,Z)Eu平面EDP,

\CD人平面£2%，A正确；

对于B,BC//DE,AB.LBC,s.AELDE,即尸E_LOE,

CD_L平面EDP,PEu平面EDP,/.CDPE,

又CDDE=D,C。,。Eu平面EBa),PE_L平面EBCD；

矩形EBCZ)的外接圆半径r=1x，22+22=&,

2

四棱锥P-EBCD的外接球半径R=+=A/2TT=V3,

四棱锥尸-E3CD外接球的体积V=g?rR3=4扃，B正确；

对于C,CZ)_L平面£DP,PDu平面EDP,.CD；

又让1。。，，二面角尸一8-3的平面角为40£,

71

PE^DE,PE=DE=2,:.NPDE=一,

4

TT

••・二面角尸—CD—3的大小为了，C正确；

4

对于D,CD1.平面EDP,;.NCPD即为直线尸C与平面£Z年所成角，

CD±PD,PD=2A/2-CD=2,tanZCP£>=—=^=—,

PD2V22

即直线直线尸C与平面£DP所成角的正切值为巫，D错误.

2

故选：ABC.

12.己知直线，=履+加与圆O：尤2+^=4交于点M,N,若过点M和4(2,0)的直线与y轴交于点C,过点

M和3(0,2)的直线与无轴交于点。，则()

A.△WON面积的最大值为2B."A.MB的最小值为4

C.\AD\-\BC\=8D.若左=1,则七

【答案】ACD

【分析】利用面积公式以MON=；|°叫lONlsin/MON可判断A；设加(4必),数量积的坐标表示结合重要

不等式可判断B；利用M的坐标表示出直线坐标，从而可得C、。坐标，然后直接求解可判断C；利用韦

达定理可判断D.

【详解】A项：因为直线好质+“与圆O交于点M,N,所以QM=|ON|=2,

所以ZMON=^\OM\-\ON\sinZMON=2sinZMON,

JT

当sinNMON=l,即/MON=—,OM_LON时，△AfON面积的最大值为2,A正确；

2

B项：设〃(%,,%),则M4=(2—yj,MB=(―%,2—%),

所以M4.MB=x；+y；_2%—2%=4—2(尤]+%),

因为4=x；+y；N2X[M，所以无aM2.

所以(%+yj=4+2%必48,即一2点4%%=2忘,

所以当占+%=20时，跖MB取得最小值4-4啦，B错误；

Vi—2

C项：当直线MB斜率存在时，则直线-x+2.

xi

令y=0,可得x=故。[31-,。.

直线

X]—z

令x=0,可得>='，所以小0,1].

2-士（2-xJ

4-^1____+________

2-y2—X](2-Xj)(2-

4,44_2._2%+"必

[(x/2)(y「2).

1,4(xl-2)(yl-2)

(x1-2)(y1-2)

当直线MB斜率不存在时,“|=2,忸C|=4,则忸C|=8,

综上所述，|AD|•忸C|=8为定值，C正确;

|12+y2=4

D项：当左=1时，y=x+m,设N(羽,丹),联立《

[y=x+m,

加2—4

消去y可得2Y+2mx+m之—4=0,则西+/二一相，x1x2=-----

则三=5V

西马X1X2

再入2+根（尤1+%）+加2

故选：ACD

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、

乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为，，（，5.现从这20

块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为.

7

【答案】0.07/—

【分析】利用条件概率即可求得从这20块芯片中任取1块芯片取得的芯片是次品的概率.

【详解】记"20块芯片中任取1块芯片，取得的芯片是次品”为事件B,

分别记从这20块芯片中任取1块芯片，则该芯片为甲、乙、丙生产为事件A，4，A

则P（A）=/，P（4）=白尸⑷=去，

?但A）=:，P（叫

则尸（8）=尸（A）•尸伊⑷+尸（4）尸（叫4）+尸（A）尸（叫4）

故答案为：0.07

14.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等

于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形.若

AF=xAB+yAD,贝I]x+V=.

【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.

【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系,

设正方形ABCD的边长为2“，则正方形。E印的边长为正方形EFGC边长为。

可知A（0,0）,B（2a,0）,£＞（0,2a）,石+l）a

则与=（若+l）a，cos3。,九=（石+l）a-sin30+2a

又AF=xAB+yAD,x（2a,0）+y（0,2a）=（2ax,2ay）

3+^/3

2ax=--------a

23+y/35+y/3a,化简得%+y=&+"

即《5指,即lax+lay=--------aH----------

222

lay=---a

故答案为：土土

2

15.已知直线与抛物线/=2px(p＞0)交于AB两点，且。4，。氏。。，43交48于点£),点。的坐标为

(1,2),则AQB的面积=.

【答案】25A/2

【分析】求出直线AB的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由。4,03得到方程，然后求出

。的值，再求出|%-%|，最后求出面积即可.

【详解】点D的坐标为(1,2),则kOD=2,

又且直线A3过点。(1,2),

贝U直线A3的方程为＞-2=—；"一1),整理得2y+无一5=0,

设点A的坐标为(孙兀)，点5的坐标为(太2,乙)，

由得OR.03=0，即％%+%力=0，

「直线AB的方程为x=5-2y,

不4+%%=（5-2”）（5-2%）+*%=5yMT0（X+%）+25=。,

；-2（%+%）+5=0①，

联立尤=5-2y与丁=2px（p＞。），消去x得/+4处-1。。=0,

则

%%=T°P

把②代入①，解得P=|，

故|M_%|=1（%+为『-4%%=7100+100=1072,

又直线A3与X轴的交点为(5,0),

所以5项。=95、回一刃=250.

故答案为：25vL

12

16.已知函数〃X)=(尤―I)，+1,且“2。)+/(b)=2(a>-1,方>0),则---+1的最小值是.

【答案】2

【分析】利用/(6=(5+1,单调性与对称性，可知,若有/(%)+"〃)=2,则必有机+”=2成立.再利

用基本不等式求」7+：的最小值即可.

【详解】：>=尤3在R为单调递增的奇函数，

y=x3有且仅有一个对称中心(0,0),

〃x)=(x-1)3+1单调递增，有且仅有一个对称中心(1,1),

又：f(2a)+f(b)=2(a>-l,b>0),

：.2a+b=2,则2（a+l）+6=4,

12

---------1----[2（〃+1）+月

Q+1b

1Fb4（〃+1）

=-44+------+--------

44+1b

1

>4,9Ib4(。+1)

4Na+1b

当且仅当一也=见"。即。=0,6=2时，等号成立,

a+1b

]2

・,・」7+1的最小值是2.

故答案为：2.

四、解答题(本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.记一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知6+c=2asin]c+^j.

⑴求A的值；

(2)若/BAC的平分线与8C交于点D,AD=20求J1BC面积的最小值.

【答案】(1)A=

(2)473

【分析】(1)根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得sin(A-1[=；,再结合正弦函数的性质分析

求解；

(2)根据题意得=结合S.c=$的+$Q，得到加=2e+c),结合基本不等式，即可求

解.

【详解】(1)因为6+c=2asin]c+由正弦定理可得sinB+sinC=2sinAsin[c+[],

贝ijsin_B+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

2sinAsin[C+弓）=2sinsinC+—cosC=石sinAsinC+sinAcosC

2

7

即sinAcosC+cosAsinC+sinC=^3sinAsinC+sinAcosC,

可得6sinAsinC-cosAsinC=sinC,

因为（0,兀），贝！JsinCwO,则6sinA-cosA=1,

整理得sin〔A

又因为A£(0,7l),则

可得A4=g所以A=S

663

jr

(2)因为AD平分/SAC且AT>=2&,所以NA4O=NC4D=：,

6

由SABC=SABD+SACD，RJW—&cx—=_CX2A/3x—+—ZJX2A/3X—,

222222

整理得bc=2(b+c)N4j无，则bc216,当且仅当匕=c时，等号成立，

故,ABC面积的最小值为工X16X1=46.

22

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,且s,=^^(“eN*),数列也｝为等比数列，且%-1,%+1分别为

数列也｝的第二项和第三项.

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式;

(2)设.数列匕,｝的前〃项和为4'求证：7；<1.

【答案】⑴4,=〃+1,bn=T

(2)证明见解析

【分析】(1)根据S“和an的关系求出｛凡｝的通项公式，由｛an｝中的项和等比数列通项公式的关系求出｛〃｝的

通项公式；

(2)利用裂项求和进行求解.

【详解】(1)因为数列｛氏｝的前"项和为臬，且s,=粤^(〃eN*),

当〃=1时，q=$=2,

当s、o口注「cQ1+3〃(〃-1)2+3(〃-1)

时，an=Sn-Sn_,=--------------------=〃+1,

〃1=1也满足上式，所以％=〃+1,

在数列｛2｝中,伪=&-1=4也=4+1=8,

则公比4=，=：=2,4=仇@-2=4x27=2",

所求通项公式为为=〃+1,2=2".

,『〃+2〃+2

(2)由⑴得*=帚+").2m="，("+1)2"+1

n+2_1________]

叩/z.(n+l)-2,I+1-7F一(H+1)-2,,+1

1________]

T=(------------7)+(-----5--------r)++

"1-22-222-223-23“•2”-(〃+1).2"+[

-T=----------------

"2(n+l)-2"+1

*11

因为“eN'GTh〉。,故北＜5

19.如图，在斜三棱柱ABC-4月6中，底面一/BC是边长为2的正三角形，侧面BCC由为菱形，已知

(1)当〃=布时，求三棱柱ABC-A用G的体积；

(2)设点P为侧棱B片上一动点，当。=3时，求直线PG与平面ACCM所成角的正弦值的取值范围.

【答案]⑴3

-A/393V13-

⑵IT卞

【分析】(1)取8C的中点为O,根据等边三角形可知BCLAO,BC±BQ,再计算出各个长度可知BQ±A0,

根据线面垂直判定定理可证4。，平面ABC,即4。为三棱柱的高，根据体积公式求出即可；

(2)根据。=3及余弦定理解出/AO乌，以。为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面

ACCH的一个法向量，设3尸=434(OW4W1),求出GP,根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹

角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数性质即可求得范围.

【详解】（1）解：如图，取3c的中点为。，

因为BCG瓦为菱形，