新定义问题在五种题型中的应用-2025-中考数学压轴题专项训练（含答案）

新定义问题在五种题型中的应

用-2025-中考数学压轴题专项训练

新定文冏题在五种驳型中的或用

压轴题密押

通用的解题思路：

新定义类坐标系内代数综合问题,是在已有的数学知识基础上，从坐标、代数式、或者函数图象以及几何图象出

发，给出一个新定义,要求学生理解并应用这个定义来解决相应的数学问题。它突出考查自主学习能力、数学阅

读能力、数学抽象概括能力以及对新定义的实际应用能力。

解答此类问题，首先，认真阅读题目，结合简单示例,理解题干新定义的核心特征,如位置关系、数量关系、变化运

动特征等;其次，要根据题意，画出辅助图形,完成文字语言、符号语言和图象语言的互化,让语言互化走在思维

的最前端;最后，注意归纳结论,为后续问题做好指向。

此类新定义,名字新，但是内容一般是由我们学过的知识按照一种新的模式进行的组合，这就需要在分析的基础

上进行转化。将新定义转化为熟悉的知识和熟悉的方法，才能有效地解决问题。

压轴题预测

题型一:数与式中的新定义问题

「题目3(2024-宣化区一模)对于三个实数a,b,c,用”{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表

示这三个数中最小的数.例如：这{1,2,9}=1+；+9=4,min{l,2,—3}=—3,min{3,1,1}=1.请结

合上述材料，解决下列问题：

(l)min(sin300,cos600,tan450)；

2

(2)若Af{—2比,x93}=2,求力的值.

题目3(2023-章贡区校级模拟)给出如下定义:我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于c的二次多项式a/

+bx+c的特征系数对，把关于;r的二次多项式+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式.

(1)关于，的二次多项式3/+2力—1的特征系数对为_(3—1)_;

(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,-4,4)的特征多项式的乘积；

(3)若有序实数对(p,q,-1)的特征多项式与有序实数对(m,n,-2)的特征多项式的乘积的结果为2-+d

—lOrc2—re+2,直接写出(4p—2q—1)(2m—n—1)的值为.

倒目13(2022.湘潭县校级模拟)阅读下列材料，并解决相关的问题.

定义：如果一个数的平方等于-1,记为i?=-1,这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi(a,b为实数)的数就

叫做复数，a叫这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部，它的加，减,乘法运算与整式的加，减，乘法运算类

似.例如计算：(2+i)+(3-4i)=5—3i.

(1)填空：i3=_-i_,i4=；

⑵计算:

①(2+i)(2—i)；

②(2+m

(3)试一试:请利用以前学习的有关知识将。化简成a+bi的形式.

;题目©(2022•沙坪坝区模拟)如果一个三位自然数州的各个数位上的数字均不为0,且满足百位上的数字等

于十位上的数字与个位上的数字之和,则称这个数为“沙磁数”.

例如：河=321,•••3=2+1,321是“沙磁数”.

又如：”=534,•.•5片3+4,534不是“沙磁数”.

(1)判断853,632是否是“沙磁数”？并说明理由；

(2)若河是一个“沙磁数”，将及"的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A,在M的末位之后添

加数字1得到一个四位数字B,若A-B能被11整除,求出所有满足条件的M.

〔题目回(2022-渝中区校级模拟)材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除,则这个数本身也能被9整

除；

材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数馆可以被9整除，且小的百位上的数字比十位上

的数字大2,则称机为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换,百位数字与十位数字交换,得到的数为

m,F(m)=m-^g1818：m=8424,•.•8+4+2+4=18=9x2,4—2=2,.18424是“够二数”，

一(8424)=8424—^^+1818=6.

(1)判断1314,6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”,请计算F(m)的值：

(2)若一个四位正整数九=砺是“够二数"，且启I为5的倍数，请求出所有的“够二数”n的值.

；颖目回(2024.兴宁区校级模拟)广西是全国水果大省,是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产

区.2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成

为春节期间的网红水果.小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔,有两个商家可供选择，上初三的小明让

爸爸各买一箱，标记为A,B,准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择.小明在两箱水果中各随机

取10个,逐一测量了它们的直径,测量结果如下(单位cm):

数据统计表

抽取序号12345678910

A箱沙糖桔直径4.54.44.64.54.44.54.64.64.54.4

B箱沙糖桔直径4.44.34.44.74.44.84.54.24.84.5

统计量平均数众数中位数

A4.5b4.5

Ba4.4C

根据题目信息，回答下列问题：

(l)a=,b=,c=；

(2)由折线图可知，s]s瓢(填=”或)

(3)爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求:大小均匀，直径在4cm〜5cm之间.请帮助小明用合适的统计量

评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据.

MS

趣目⑦(2023•丰润区二模)一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数

为“和谐数”.

(1)最小的三位“和谐数”是，最大的三位“和谐数”是;

(2)若一个“和谐数”的个位数字为a(a>0)，十位数字为6(6>1,b>a且a、6都是自然数)，请用含a,6的代

数式表示该“和谐数”；

⑶判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能,请举出反例.

:题目0(2022.九龙坡区校级模拟)对于任意一个四位数小,若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百

位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：

m=6132,6+2=2x(1+3),6132是倍和数”；

m=1374,1+4片2x(3+7),,1374不是“倍和数”；

(1)判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由.

(2)当一个“倍和数”机千位上的数字与个位上的数字不相等,且千位上的数字与个位上的数字之和等于8

时,记这个“倍和数”馆的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为7(机),记百位上的数字与十位上

的数字之差的绝对值为R(小)，令G(m)=#4,当G(M)能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”

R(m)

m.

,¥i回(2022•两江新区模拟)材料一:若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为

“巧数”.

材料二:一个四位数N=砺满足各个数位数字都不为0,且它的千位数字与百位数字组成的两位数而，以

及十位数字与个位数字组成的两位数豆均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”.若召=而-而，9=蕨

—be,则记F(N)=q—p.

(1)请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；

(2)若s,力都是“双巧数”，其中s—3010+1006+10gz,t—1100m+400+lOn+2,，1

F(s\

14『44,且劣，r均为整数)，规定K(s,t)——--F(s)+F(t)=12时，

F(t)

求K(s,t)的最大值.

寂目®(2022•江津区一模)一个三位数小，将小的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在山之

后，得到的四位数称为小的“如虎添翼数”，将馆的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到

四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为F(M).例如：m=297,V2+9=11,A297的“如虎

添翼数”灯是2971,将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297,

|、971+271+291+297久1

则miF(n)=-------------------=n610.

O•••

(1)258的“如虎添翼数”是______,F(258)=______；

(2)证明任意一个十位数字而心位数”，它的“如虎添翼数”与“的个位数字之和能被11整除；

(3)一个三位数s=100c+10y+103(2乡^且立+沙>^,它的“如虎添翼数”t能被17整除，求F(s)的最大

值.

〔题目〔11〕(2022-开州区模拟)一个自然数能分解成AxB,其中A,B均为两位数，A的十位数字比B的十位

数字少1,且A,B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”.

例如：4819=61X79,6比7小1,1+9=10,4819是“双十数”；

又如：；1496=34X44,3比4小1,4+4r10,1496不是“双十数”.

(1)判断357,836是否是“双十数”，并说明理由；

(2)自然数N=AXB为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数7W.例如：4819

=61x79,河=6179，若人与B的十位数字之和能被5整除，且河能被7整除，求所有满足条件的自然数N.

题目J2](2022.重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之

和机整除，则称N是馆的“和倍数”.

例如：247+(2+4+7)=247+13=19,247是13的''和倍数”.

又如：：214+(2+1+4)=214+7=30……4,/.214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由；

(2)三位数A是12的“和倍数”，a,b,c分别是数人其中一个数位上的数字，且a>b>c.在a,b,c中任选

两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(⑷，若干⑷尸⑷为整数，求出满

足条件的所有数A.

>111](2022•铜梁区模拟)对于任意一个四位数N,如果N满足各个数位上的数字互不相同.且个位数字

不为0,N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，

对于一个“双减数"N=砺，将它的千位和百位构成的两位数为质,个位和十位构成的两位数为de,规

定：F(N)=ab/c.

例如：N=7028.因为0-2=2x(7—8),所以7028是一个“双减数”则F(7028)=70~82=-1.

⑴判断3401,5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出F(N)的值；

(2)若“双减数””的各个数位上的数字之和能被11整除，且F(M)是3的倍数，求州的值.

[题目@(2022•大足区模拟)对任意一个四位正整数小，如果小的百位数字等于个位数字与十位数字之和，

m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数小为“和谐数”.例如：馆=7431,满足1

+3=4,2X3+1=7,所以7431是“和谐数”.例如：m=6413,满足1+3=4,但2x1+3=5/6,所以

6413不是“和谐数”.

(1)判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；

(2)若m是“和谐数”，且小与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m.

题目叵(2022•南川区模拟)对于一个三位数的正整数P,满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减

去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数P为“平衡数”,对于任意一个“平衡数”,将

它的前两位数加上后两位数所得的和记为小；将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两位

数所得到的新两位数的和记为九;把小与九的差除以9所得结果记为：F(P).例如P=246,因为2—4=4

—6,所以246是一个“平衡数"，所以m=24+46=70,n=26+62=88,则叁，至=一2.

9

(1)计算：F(258),F(741)；

MS

⑵若s、t都是“平衡数”其中s=10c+v+502,t=10a+b+200,（l《a:<9）,：l<：yW7,lWaW9,l《b

49,土、夕、a、6都是整数），规定k=£工，当2F（s）+F⑴=—1时，求％的最小值.

趣目仄（2024•唐山一模）数学课上老师给出规定:如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳

偶和谐式”.

小亮写出如下算式：82-62=7x4；142-122=13x4；1062-1042=105x4.

发现:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”.

⑴验证:222—202是“佳偶和谐式”；

（2）证明:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；

（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题:任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和

谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题.

题型二:函数中的新定义问题

题目17］（2023。益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y—a（x+2）（a>0）与2轴交于点4与抛物线E：g

=a/交于B,。两点（B在。的左边）.

（1）求A点的坐标；

（2）如图1,若B点关于多轴的对称点为9点，当以点A,厅，。为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的

值；

（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点,如（-2,1）,（2,0）等均为格点.如图

2,直线，与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范

围.

题目可（2023・义乌市模拟）【概念发现】

对于平面上的图形S,先将其向上平移a个单位，再将平移后的图形沿着直线z=b翻折得到图象段,记此变

换过程为图形S的（a,6）滑动对称变换，若在另一图形T上存在一动点。，图形6上存在一动点。，记CD

长度的最大值为H（S',T）,CD长度的最小值为T）.

MS

（1）如图L平面直角坐标系中，M（3,2）,N（5,l）,记线段A1N为图形S,先将线段向上平移1个单位，再

沿着直线f=2翻折得到线段,记线段M'N',记线段M'N'为图形,则图形S的（,）滑动对

称变换得到图形S'.记原点O为图形T,则H（S',T）=,h（S',T）=.

【思维提升】

（2）如图2,0P在坐标平面内，半径为2,圆心P（6,0）,人（一1,0）,6（2,0）,记。。为图形5,线段人3记为图

形T,图形S的（3,2）滑动对称变换得到图形S，,求H⑸T）与h（S',T）的值.

【拓展延伸】

⑶如图3,记直线夕=言，+2的图象为图形S,反比例夕=型的图象为图形T,图形S的（2,0）滑动对称变

3x

换得到图形S，,则h（S',T）=.

:题目回（2023-姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数y1=ax2+bx+c,其中a、6、c为常数，aWc,定

22

义：函数y2—cx^+bx+a是"=ax+bx+c的衍生函数，点M（a,c）是函数夕产ax+bx+c的衍生点，设函

数%=ax2+bx+c与其衍生函数的图象交于A.两点（点A在点B的左侧）.

（1）若函数m=ax2+bx+c的图象过点C（—1,3）、。（1,—5）,其衍生点Al（l,c）,求函数%=ax~+bx+c的解析

式；

（2）①若函数%=aa?+fer+c的衍生函数为取=2劣一1,求A、B两点的坐标；

②函数%=a/+b,+c的图象如图所示，请在图中标出点人、口两点的位置；

（3）是否存在常数b,使得无论a为何值，函数阴=ax2+bx+c的衍生点”始终在直线AB上,若存在,请求

出b的值;若不存在,请说明理由.

MS

1题目M（2022•遵义）新定义:我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab丰0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“关

联抛物线”.例如:抛物线y=2X2+3X+1的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+1.已知抛物线C/y=4a/

+ax+4a—3（a丰0）的“关联抛物线”为C2.

（1）写出G的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a>0,过°轴上一点P,作2轴的垂线分别交抛物线G,。2于点儿LN.

①当MN=6a时，求点P的坐标；

②当a—44，Wa—2时，G的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

题目叵（2022•湘西州）定义：由两条与c轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线

22

称为“月牙线”,如图①，抛物线G：y=X+2X-3与抛物线C2;y=ax+2ax+c组成一个开口向上的“月牙

线”，抛物线G和抛物线与，轴有着相同的交点4-3,0）、B（点B在点A右侧）,与y轴的交点分别为G、

（1）求抛物线G的解析式和点G的坐标.

（2）点河是2轴下方抛物线G上的点，过点M作上WLrr轴于点N,交抛物线。2于点。，求线段与线段

ZW的长度的比值.

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接HG,在c轴上是否存在点F,使得AEFG是以

EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

题目⑷（2022•南通）定义:函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n>0）的点叫做这个函数图象的“n阶

方点”.例如，点（［,是函数V=c图象的"J阶方点”;点（2,1）是函数沙=2图象的”阶方点”.

v3372x

⑴在①（—2,—/②（T,—l）；③（1,1）三点中，是反比例函数夕=十图象的“1阶方点”的有（填序

号）；

（2）若"关于x的一次函数夕=ac—3a+1图象的"2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若"关于工的二次函数9=—（，-n）2-2n+1图象的“九阶方点”一定存在,请直接写出n的取值范围.

¥1囚（2022-安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如：点

（1,1）,（4，；），（―,―/2）,...都是和谐点.

⑴判断函数沙=2c+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y=a/+6,+c（a丰0）的图象上有且只有一个和谐点

①求Q,C的值；

②若IWcWm时，函数y=（1/+60；+。+1亿片0）的最小值为—1,最大值为3,求实数6的取值范围.

MS

1题目包(2024•北京模拟)在平面直角坐标系2。夕中，己知正方形ABCD,其中4蓼，一嚣)，_8(方，2)，C

(-V2,V2),D(-V2,-V2),M.N为正方形外两点，7W=L给出如下定义:如果线段的V平移m个单位

后,两端点均落在正方形ABCD的边上，则称m的最小值为线段皿N到正方形ABCD的“平移距离”，记为

d.

(1)如图1,平移线段MN,得到两条端点在正方形ABCD边上且长度为1的线段和AE，则这两条线段

的位置关系是；在点门中,连接点M"与点的线段的长度等于d；

⑵若点都在直线夕=—2+4上，求d的值；

⑶若点”的坐标为(孝，等)，直接写出d的取值范围.

55

44

3-3

22

11

-5-4-3-2-10i2345^——3-‘2-应12345^

■_1

-2--2

-3--3

-4--4

-51-5

备用图备用图

蜃目羽(2024・乌鲁木齐一模)我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如，对于函数沙=

力一1,令沙=0,可得力=1,我们就说1是函数g=N—1的零点.

(1)求一次函数y=2x-3的零点；

2

(2)若二次函数y=x+bx+的零点为g,g，A，8两点的坐标依次4g,0),B(x2,0),如果AB=2,求

b的值；

(3)直线g=—2力+b的零点为1,且与抛物线y—kx2—(3k+3)/+2k+4(fcW0)交于C、D两点，若zn+1<

E《神+2时,线段8有最小值3方,求利.

［题目叵(2023•崇川区校级四模)规定:如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这

两个函数互为-函数”.这组点称为“X。点”.例如：点F(l,l)在函数y="上，点Q(-l.-l)在函数y

=—2一2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y="和沙=—，—2互为“O—函数”，点P与点Q则为一

组“X。点”.

(1)已知函数9=—2c—1和?/=一旦互为“。一函数”，请求出它们的“XC点”；

X

(2)已知函数夕=/+22+4和夕=4,+n—2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“X。点”；

2

(3)己知二次函数y=aX+bx+c(a>0)与v=2帅+1互为“O—函数”有且仅存在一组“X。点”，如图，若

二次函数的顶点为“，与c轴交于A(X1,0),B(工2,0)其中0<gV，2,=产三手壬'，过顶点加作,轴

的平行线［，点P在直线Z上，记P的横坐标为—4,连接OP,AP,BP.若AOPA=/OBP,求t的最小值.

MS

【题目电（2023•长安区校级二模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐

点.例如:点（1,1）,（0,0）,（一~去，一,.都是和谐点.

（1）判断二次函数U="_2的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数9=ax2+2x+c（a手0）的图象上有且只有一个和谐点（1,1）.

①求这个二次函数的表达式；

②若OWcWni时，函数y=a/+2c+c+y（a片0）的最小值为1,最大值为3,求实数m的取值范围.（可

通过画出函数图象草图来求解）

题目区（2023•海州区校级一模）在平面直角坐标系中，对于两点4©,%）和氏电，纺），它们横坐标之差的

绝对值与纵坐标之差的绝对值之和称为这两个点之间的曼哈顿距离，表示为：d（AB）=\x-x2\+\y-y2\.

（1）如果点人（一3,2）,则原点。与点A的曼哈顿距离d（O,⑷=；

（2）函数v=—2c+4（04①W2）的图象如图1所示，B是图象上一点，原点。与点B的曼哈顿距离d（O,B）

=3,则点B的坐标为；

（3）点C,D分别在，轴和y轴的正半轴上,对于线段CD上任意一点P,都满足d（O,P）=3,则直线CD的函

数表达式为;

（4）如图2,点E（5,3）,QE的半径为2,点M■在0E上，则d（O,M）的最小值为?.

.>1即（2023•黄石模拟）定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的

“等值点”，例如，点（1,1）是函数的沙=紧+/图象的“等值点

（1）试判断函数“=」不（，>1）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标;如果不存

在,请说明理由；

（2）已知函数？/=/—2的图象的“等值点”为点4—1,一1）和点B⑵2）.

①已知实数Tn、ri满足m2—m—2=0,n2—n—2=0,且?n力n,求nAi+mn的值；♦

②已知实数p、q满足p2=p+2,2q=q+1,且pW2q,求/+4比的值；

③若函数V=/_2（c>l）的图象记为期将其沿直线劣=1翻折后的图象记为网，由用，网两部分组成的

图象记为W,试求图象W上的“等值点”.

［题目画］（2022-长沙）若关于2的函数夕,当力—/《劣W［+］时，函数y的最大值为最小值为N,令函

数八=若史，我们不妨把函数九称之为函数V的“共同体函数”.

（1）①若函数沙=4044M当t=1时，求函数"的"共同体函数”九的值；

②若函数？/=fee+6（%W0,3b为常数），求函数9的“共同体函数”拉的解析式；

（2）若函数u=2（立>1）,求函数夕的“共同体函数"八的最大值；

X

⑶若函数夕=—/+42+3是否存在实数%,使得函数9的最大值等于函数9的“共同体函数“％的最小值.

若存在，求出k的值;若不存在,请说明理由.

'题目亘（2024•长沙三模）对某一个函数给出如下定义:如果函数的自变量c与函数值"满足:当Q-馆）（2

—n）&0时，（g—Tn）（g—九）<0（m,"为实数，且mV九），我们称这个函数在?n—n上是“民主函数”.比

如：函数沙=一力+1在一1—2上是“民主函数理由：•「由［宓一（-1）］（力-2）<0,得一1&/42,-：x=l

—y,：.—141—g<2,解得—1<g42,［g—（―1）］（g—2）&0,是"民主函数".

⑴反比例函数夕=@是2-3上的“民主函数”吗？请判断并说明理由；

X

（2）若一次函数y=kx+b在小一九上是“民主函数”,求此函数的解析式（可用含n的代数式表示）；

（3）若抛物线y—ax2+bx+c（a>0,a+b>0）在1->3上是"民主函数”，且在1<3上的最小值为4a,设

抛物线与直线夕=3交于A,B点,与夕轴相交于。点.若^ABC的内心为G,外心为初,试求MG的长.

〔题目叵（2023•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与，轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物

线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示，抛物线G与抛物线。2：。=巾/+4Tn2—l2nl（nz>0）的部

分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M,N（点M在点N的左侧），与v轴的交点分别为A,B,且点

A的坐标为（0,—1）.

（1）求M,N两点的坐标及抛物线G的解析式；

（2）若抛物线&的顶点为。，当馆=1■时,试判断三角形MND的形状，并说明理由；

⑶在⑵的条件下，点P,，号）是抛物线G上一点，抛物线G第三象限上是否存在一点Q，使得S“p.=

菅SRONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

:题目区（2023•宛城区校级模拟）定义:在平面直角坐标系中，有一条直线,=小,对于任意一个函数,作该函

数自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一

个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线c=机的“镜面函数”.例如：图①是函数9=2+1的

图象，则它关于直线，=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为夕=

x+1（力>0）

，也可以写成g=\x\+1.

—X+1（力V0）•••

(1)在图③中画出函数沙=—2,+1关于直线7=1的“镜面函数”的图象.

(2)函数沙=/-2,+2关于直线c=—1的"镜面函数"与直线沙=—m有三个公共点，求m的值.

(3)已知抛物线v=aa?—4ac+2(a<0),关于直线2=0的"镜面函数"图象上的两点_?(电,%),Q(x2,y2)>

当力一14g&力+1,电>4时,均满足%>纳，直接写出1的取值范围——3WtW3_.

图①图②图③

题目叵(2024-昆山市模拟)定义:若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数9=RE+q和反比例函数y=

士则二次函数V=pd+q/—%为一次函数和反比例函数的，，生成，，函数.

X

⑴试判断(需要写出判断过程):一次函数夕=-，+3和反比例函数夕=2是否存在“生成”函数，若存在，写

X

出它们的“生成”函数和实数对坐标.

(2)已知：整数?71,n,力满足条件t<n<8m,并且一次函数g=(1+n)x+2m+2与反比例函数g=型范_

,x

存在“生成”函数g=(m+t)x2+(lQm—t)x—2015,求加的值.

⑶若同时存在两组实数对坐标⑶，%)和(如例)使一次函数9=Q/+2b和反比例函数g=—9为“生成”

x

函数，其中，实数Q>b>c,a+b+c=0,设_L=|g—g|，求_L的取值范围.(注:一元二次方程ax2-\-bx+c

=0的求根公式为02=

一"2?a—皿)

Ml画(2023•婺城区一模)定义:在平面直角坐标系中，直线，与某函数图象交点记为点P,作该函数

图象中，点P及点P右侧部分关于直线，=zn的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同

构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线xrn的“迭代函数”.例如：图1是函数y^x+

1的图象，则它关于直线2=0的“迭代函数”的图象如图2所示,可以得出它的“迭代函数”的解析式为沙=

frc+1(力40)

[—X+1(rc<0)

⑴写出函数9=，+i关于直线c=i的”迭代函数”的解析式为_9=尸1

[一力+3(力VI)

(2)若函数9=—/+42+3关于直线z=m的”迭代函数”图象经过(-1,0)，则m.

(3)已知正方形ABCD的顶点分别为：

A(a,a)9B(a,—a),C(—a,—a),Z)(—Q,Q),其中a>0.

①若函数"=?关于直线力=-2的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有3个公共点，则a=；

②若Q=6,函数y=—关于直线x—n的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，则n的取值范

x

围为.•••

/olTo\x

图1图2

题目36］（2023・开福区校级一模）对某一个函数给出如下定义，当自变量力满足恒九（馆，口为实数，m

〈功时，函数g有最大值，且最大值为2九-2M,则称该函数为理想函数.

（1）当ni=—1,?1=2时，在①g=-^-x+3；®y=—2x+4中，是理想函数；

（2）当n=3馆+2时，反比例函数9=皿是理想函数，求实数小的值；

X

（3）已知二次函数y=x^-nx+m2+2m-3是理想函数，且最大值为2m+4.将该函数图象向左平移V7个

单位长度所得图象记为。，若图象。的顶点为。，与2轴交于4在B的左侧）,与y轴交于点H,点河,

G分别为^EBD的外心和内心，求以MG为边长的正方形面积.

题目叵［）（2023•门头沟区一模）在平面直角坐标系加为中，已知图形G上的两点（点河，~不重合）和

另一点P,给出如下定义:连接PM,PN,如果则称点P为点加，^^的“条件拐点”.

（1）如图1,己知线段上W上的两点M（O,2）,N（4,O）.

①点国1,3）,现2,—1）,8（4,2）中，点”，N的“条件拐点”是PiP3_-

②如果过点A（0,a）且平行于立轴的直线上存在点河，N的“条件拐点”，求a的取值范围;

（2）如图2,已知点F（0,l），T（0"）,过点F作直线/J_夕轴，点M,N在直线Z上，且FM=FN=FT.如果直

线沙=c—t上存在点Al,N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围.

题目区（2023-西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义:将图形河绕直线，=3上

某一点P顺时针旋转90°,再关于直线c=3对称，得到图形N,我们称图形N为图形朋■关于点P的二次关联

图形.已知点A（O,l）.

（1）若点P的坐标是（3,0）,直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标—⑵3）_；

（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；

（3）已知©O的半径为1,点A关于点P的二次关联图形在。O上且不与点A重合.若线段AB=1,其关于

点P的二次关联图形上的任意一点都在。。及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围.

题型三:三角形中的新定义问题

题目画（2023•晋中模拟）阅读下列材料并完成任务.？

•••

三角形的旁心

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁

心.如图1,的平分线与ZVIB。另外两个内角/ABC,乙4cB的外角平分线相交于点O,则点。是

△4BC的一个旁心.

旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2,过△ABC的旁心。分别作于点。,

OE_LAB交AB的延长线于点E,OF_LAC交4。的延长线于点F,则AE=y（AB+BC+AC）.

下面是部分证明过程：

:BO平分NCBE,OE±BE,OD±BC,

：.OD=OE.（依据）

同理可得QD=OF,OE=OF.

任务：

（1）上述证明过程中的“依据”是指什么？

（2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；

⑶如图3,在XABC中，ABAC=90°,点/是^ABC的一个旁心且在边的下方.

①利用尺规作出旁心/;（保留作图痕迹，不写作法）

②若2ACB=30°,^ABC外接圆的半径为2,则A/=_32+0

、题目@（2024-道里区校级一模）①请阅读下面材料,并完成相应的任务：

定义：点P是^ABC内部或边上的点（顶点除外），在XPBC,^PAB或^PCA中，如果有一个三角形与

AABC相似，那么称点P是^ABC的“相似点”.

例：如图①，点P在AABC的内部，NPBC=NBCA,则故点P为AABC的

“相似点”.

请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题：

（1）如图②，在AABC中，AB=AC,/A=36°,P。平分NACB,求证:点P为^ABC的“相似点”；

（2）如图③，若AABC为锐角三角形，点E是AAB。的“相似点”，且点B与点A对应，点E在NABC的平分

线BF上，连接CE,若用=回,求黑的值；

AC5AB

（3）如图④，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是AABC内一点，且=连接DE与AC交于点

G,连接DF,GF,若点G是^DEF的“相似点”，且NEDF=ABAC=/FGC,求证：DE=2EF.

A

ADA

［题目叵］（2023•平谷区二模）在平面直角坐标系以加中