相似知识归纳与题型突破（ 9题型清单）原卷版-2024-2025学年人教版九年级数学下册

相似知识归纳与题型突破（九类题型）

01思维导图

形状相同的图形--相似图形

边数相同的两个妥边形，若对酶相等，对应边成比例，则这两个多边

相似图形/相峥边形对应边的比--相似比相似比为1时，相似的两个图形相等

比例战段：对于四条线段戋b,c,d,如期中两条线段的比（即它们长度

的因与另两条线段的比相锄Da：b=c:d（即ad=be）那么四侬段成比

例线段

定义：对应角相等，三飒的成比例••相似

平行线分线段成比例定理：两条直线被T平行线所截，所得晒应线推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段

段成比例成比例。

竟定1:如果两个三角形的三组对应边的比偌，刃眩这两个三角形相

似.

联2:如果两个三角形的崎对应边的比疑，并且夹角相等，那么

相似三角形炳定3这两个三角形相似，

\夷淀3:如果一个三角形的两个角与另—形的两个角对应相等，

第27章相似eI那么这两个三角形相似。

相似三角形

1、对应角相等，对砌的比相等；

N拓展：对应商的比，对曲^线的比，对应角平分线的比都等于相似

比，

相似三角形的性质33、相似三角形周长的比等于相似比，硼的比等于相似比的平方。

-------------------\（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平

I方。）

触05坡度与坡比的应用

雌06锐角三角函数限合问题

两个地不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图

形叫做位似班，这个点叫做位似中心.

位似9如果以原点为位似中心的图形，使它与原圉形的相似比为k,刃豚与原

地上的点（x,y）对应的位似跳上的点的坐标为（kx,ky）或（-

kx,-ky）

02知识速记

一、图形的相似的概念

形状相同的图形叫做相似图形。

1、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；

2、全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；

二、成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

HC

1、若四条线段a、b、c、d成比例，则记作2=上或a»=c：d。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。

bd

2、四条线段a、b、c、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、b的单位一致，c、d的单位一致也

可以）3、比例的性质：

基本性质：若巴二上，则Qd=b。；反之，也成立。和比性质：若巴=上，贝|JX

bdbdbd

―…比什QcabL，，L,，L#ac.bd

更比性质：右一二一，则一二一；反比性质：右一=一,则n一=一；

bdcdbdac

八、51。+。+…+加a

等比性质：右一=一=">-=-(b+d+•+"0,则------------=一。

bdnb+d~\---\-nb

4、把线段48分成两条线段/C和2C,使4O=AB-BC,叫做把线段48黄金分割，C叫做线段的黄金

分割点。

三、平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。

四、相似多边形的性质与判定

1、相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

2、相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。

五、相似三角形的判定

判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似(此知识常用，用时需要证明)。

六、相似三角形的性质

1、对应角相等，对应边的比相等；

2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。(相似多边形周长比等于相似比，相似

多边形的面积比等于相似比的平方。)

七、利用相似三角形测高

1、利用相似测量的物体的宽度或高度：

(1)在构造型图求河宽时，需保证B,C三点在同一条直线上，A,E,。三点也在同一条直线

上，通过测量BC,BE,CD的长，即可求出N8,为简便，通常使DCVAC.

(2)在构造“X，型图求河宽时，应保证O,C三点在同一条直线上，B,O,。三点也在同一条直线

上.

/­■,

CD

(1)

2、在平行关线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例一测量高度.

提示：同一时刻，太阳光线是平行的.

3、观察物体时人的眼睛的位置称为视点.

4、测量物体的高度时，水平视线与向上观察物体的视线间的夹角叫做仰角，水平视线与向下观察物体的视

线间的夹角叫做仰角.

5、观察者视线看不到的区域叫做盲区.

6.利用相似三角形解决实际问题常见模型:

图4图5图6

八、位似的概念及性质

1、两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位

似中心.（两个位似图形的位似中心只有一个）

2、利用位似，可以将一个图形放大或缩小.

3、位似图形对应边的比都等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

4、位似图形是具有特殊位置关系的相似图形.位似一定相似，相似不一定位似.

5、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

6、位似图形具有（1）相似图形的所有性质；（2）位似图形的对应边平行或共线.

7、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比

为k,那么与原图形上的点（X,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky'）或Jkx,-ky）.

03题型归纳

题型一图形的位似及其性质

例：如图，在平面直角坐标系中，已知点幺（-1,2）、5（-3,-1）,以原点。为位似中心，相似比为2,把“8。

放大，则点N的对应点4的坐标是（）

A.(-6,-2)B.(-2,4)C.(-6,-2)或(6,2)D.(-2,4)或(2,-4)

2.如图，ZUBC与△44G是以点。为位似中心的位似图形，若OB\=gBB>s4ABe=27,贝”△型向=

A.3B.6C.9D.13.5

3.如图，A/BC三个顶点的坐标分别为4-2,2）,3（-4,1）,C（-l,-l）,以点C为位似中心，在x轴下方作

把△48C放大为原来的2倍的位似图形A48'C',则点4的坐标为（）

4.如图，点E（-4,2）,F（-2,-2）,以。为位似中心，将LEFO放大2倍,则点E的对应点4的坐标是.

5.如图，在平面直角坐标系中，正方形48。与正方形3E尸G是以原点。为位似中心的位似图形，且位似

比为g.点4B、E在无轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为.

OfA-BE~x

6.如图，四边形N3CD与四边形/夕CD'是位似图形，点。是位似中心，点4是线段。区的中点，则

7.如图，在平面直角坐标系中，ZX/BC的顶点坐标分别为工(-4,1),5(-2,0),C(-l,2).

(1)以原点。为位似中心，画出△4BC的位似三角形，使它与△4BC的相似比为2:1；

(2八48。与其位似三角形的面积比为.

8.如图，BD,/C相交于点尸，连接48,BC,CD,DA,ZDAP=ZCBP.

(1)求证：“DPSABCP,并判断△的与ABCP是不是位似图形？(不必说明理由)

(2)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长.

9.如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1,点。和的顶点均为小正方形的顶点.

BO

(1)以O为位似中心，在网格图中作A/'8'C',使AHB'C'和△ABC位似，且位似比为1:3.

⑵证明^A'B'C和A/BC相似.

10.如图，在平面直角坐标系中，△4BC与AHB'C关于点尸位似，其中顶点A,B,C的对应点依次为

(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；

(2)写出点尸的坐标为,△48C与的面积比为,S“BC=;

(3)请在图中画出，使之满足如下条件：

①与关于点P位似，且与△ABC的位似比为:；

②AA»B〃C"与^A'B'C位于点尸的同侧.

11.已知，A/BC在平面直角坐标系的位置如图所示，点4B,C的坐标分别为(1,0),(4,-1),

(3,2).△4gG与△NBC是以点尸为位似中心的位似图形.

(2)以点。为位似中心，在y轴左侧画出，A/2C的位似图形△/2当。2，使相似比为2:1；

(3)若点为A48C内一点，则点〃在△482c2内的对应点的坐标为

(4)计算与G的面积.(写出计算过程)

题型二比例的性质

例：已知2a=36(6*0),则下列比例式中正确的是()

13.(1)已知线段。，b,c,。=3,b=9,若c是a,b的比例中项，求c的值.

ahc

(2)已知：y,且a+b—c=6,求Q的值.

14.下列说法中，正确的是()

,a+bc+d.ac/—1—/—

A.如果m--一=―――,那么7=B.y[ab=y/a-y/b

baba

C.方程/+工一2=0的根是巧=-1,%=2D.—=x—i

XVz

15.已知一=之=一，且5%—3z=18,求2z-3>+4x的值

352

ac£/c々mi6―2d+3/

16.若g=7(a-2c+3ew0),贝|--------=

2a-2c+3e

_，心。1E,a+b

17.已知7=7,那么i一=

b3b

18.已知a:b:c=2:3'A,且。+26-3。=20,试求a-26+3c的值.

题型三比例线段和成比例线段

例：下列四组线段中：①Q=1,b=母,c=V2，d=2,②Q=百cm,b=2cm,c=Jlcm,

d=V6cm,③a=6cm,b=2cm,c=3cm,d=lm,@a=3cm,b=4cm,c=9cm,d=15cm；其中

a,b,c,d是成比例线段的有.(请填写序号)

20.一幅地图上，用9cm的线段表示9km的实际距离，它的比例尺是()

A.1:100000B.1:10000C.1:1000D.1:100

21.已知线段即是线段45,C。的比例中项，AB=3,CD=4,则石尸的长为()

7

A.6B.12C.—D.2^/3

22.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.a—\,b=2,c=3,d=4B.a—l,b-V2,c=y/3,d—y[6

C.a=5,b—6,c=l,d=8D.a—4,b=6,c=6,d=8

23.在比例尺为1:10000的地图上，相距10厘米的两地实际距离为千米.

24.已知两条线段的长为1cm和4cm,则它们的比例中项线段长为cm.

25.数b是数。和数c的比例中项，若。=2,c=8,则数b的值为

题型四黄金分割

例：秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”,

实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P是的黄金

分割点（/尸>成），如果4B的长为（4A6+4）CHI,那么a的长为cm.

27.线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之

比，那么该点就叫做线段的黄金分割点.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,

若舞台的长为20米，一名主持人现在站在/处，则她至少走多少米才最自然得体？（）

I।

AB

A.（10逐-10）米B.（6+10）米C.（30-106）米D.（10-石）米

28.有以下命题：①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有:=②如果点C是线段N8的中

点，那么③如果点C是线段48的黄金分割点，且ZC>8C,那么AC?=45.3。；④如

果点C是线段42的黄金分割点，AOBC,且”=2,则/。=行-1.其中正确的判断有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

29.若点C是线段4B的黄金分割点，AB=2,AC>BC,则NC的长为.

30.如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”.现需设计一扇符合黄金矩形的

窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为米（结果保留根号）.

31.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，尸是的

黄金分割点（/P>8P）,若线段N2的长为10cm,则m的长为_cm.

题型五相似多边形及其性质

例：如图，矩形4BCD的边48=4,点E,厂分别在边2C，AD±,且四边形小F为正方形.若矩形CZWE

与矩形/BCD相似，则的长为

AD

BC

E

33.下列四组图形中一定相似的是（）

A.正方形与矩形B.正方形与菱形

C.等边三角形与等边三角形D.矩形与矩形

34.如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁,

35.在如图所示的三个矩形中，相似的是（

4

①

A.①②D,都不相似

36.如图，在矩形中，AB=6,AD=S,截去矩形4B尸E,若剩下的矩形DEFC与矩形/BCD相似,

则DE等于（

B.3.5D.4.5

37.东方美学钟爱“白银分割日常生活中随处可以见至犷白银分害的身影，比如日常用到的A4纸（图

①），对折后得到两个全等的A5纸并与A4纸相似（图②），则图中/4纸长与宽的比值为（）

图①图②

A.V5-1B.V2+1C.V2D.V5

38.如图所示，小林在一块长为6m,宽为4m的矩形小花园4BC。周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠

墙），兰花的边框宽均为20cm,边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由.

39.如图，四边形48cos四边形Z'8'C'。.

D

8/135AX

A'12B'

（1）Z5=度；

（2）求边x,y的长.

题型六平行线分线段成比例定理

例：如图，直线4,4,4分别交直线乙于点4B、C,交直线4于点。、E、F,且《〃“〃儿

/5卜

/'q4

（1）如果E尸:。£=5：3,48=4,求/C的长.

（2）如果N8=6,8C=8,OF=12,求斯的长.

2b°

41.已知线段°、b,求作线段x,x=—,正确的作法是（）

L

AB

42.如图，直线a〃8〃c,直线/C交a、b、c分别于点4B、C,直线。尸交a、b、。分别于点。，E,

尸，则下列等式一定成立的是（）

A坐=m型=变C包=些ABDE

BD.-------

BCBE'BCEF'ACCFEFBC

43.如图，已知4〃，2〃/3,直线4，4，4分别交直线4于点A、B、C,交直线4于点。、E、F,那么

下列比例式正确的是（）

ABDFDFCF

C.D.

BCEFDEADBCEFEFBE

44.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点4B,。都在横线

上,若线段/8=9,则线段5C的长是()

C.2D.3

45.如图,直线为5〃。。〃£尸，AC:CE=2:3,BD=3,则。尸的长是.

46.如图，已知。E〃5C,FE//CD.

(1)若4尸=3,AD=5,AE=4.求的长;

AFAD

(2)求证:

FDDB

题型七相似三角形的判定

例：如图，在△4BC中，AE分别是边4B,4C上的点，连接DE,且乙4=63。，ZADE=47。,

ZB=70。.求证：AADEs4ACB.

48.如图，每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与△/BC相似的是（）

B^

aUB-^FC

49.观察下列每组三角形，不能判定相似的是()

入

L4/^\6

420E

52.5

c/\1

50.如图，已知△48C,下列4个三角形中，与△/BC相似的是()

A

M

:5^^D-

A/\B£\C

ACAC

2

51.如图所示，给出下列条件：①NB=NACD；@ZADC=ZACB；@—=—;@AC=AD-AB.其

中能够判定的个数为（）

A

B4-----------------^C

A.1B.2C.3D.4

52.如图，已知N1=N2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定〜AADE的是（）

A

二

BDC

ABACABBC

A.NC=NEB.ZB=ZADEC.—

AD-AEAD~DE

53.如图，在四边形4BC。中，已知乙4DC=/8/C,添加下列一个条件后，仍不能判定△4DCS45/C

的是（）

D

BC

A./ACB=/ACDB.AC?=BCCD

ADDC

C./DAC=/ABCD.-----=-----

ABAC

54.已知在△/5C中，44=78。,=4,/C=6,下列阴影部分的三角形与原△/5C不相似的是（）

AB

A,B

BCAC

A।B

c

BCA'~

55.如图，尸是△ABC的边4B上的一点,连接C尸，要使ACBFSAABC,还需要添加一个条件是_____（写

出一个即可）

c

56.如图，点C、。在线段48上，是等边三角形，APLPD,CP±BP.

(1)证明：△ACPsxPDB；

(2)线段AC、CD、8D之间有怎样的数量关系？请说明理由.

57.图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点.

△N2C的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.

(1)在图①中画一个格点。，并作直线

(2)在图②中画一个格点E,点E在直线/C上，连接5E,使ABCES"CB.

(3)在图③中画一个格点尸，点厂不在直线ZC,连接/尸、BF,使人FABS^BAC.

题型八相似三角形的性质

例：已知两个等边三角形的面积比为3:2,那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为

59.已知AABCs^DEF,相似比为1:4,若△4BC的面积为2,则AZ)跖的面积为一.

60.如图，已知矩形48co中，E是/。上的一点，过点E作EFLEC交边48于点尸，交C8的延长线于

点G.

⑴求证：AAEFsAEGC；

(2)若EF=EC,DE:AE=2:3,则萼=

CG

ABAC

如图，已知，

61.Z1=Z2,AE~AD

(1)求证：AABCs^AED；

S4

(2)若f亚=6，ED=12,求3c的长.

»AABC，

62.如图，△4BC是等边三角形，点。，E分别在边3C,/C上，ZADE=60°.

(1)求证：AABDS^DCE；

(2)如果BC=9,/E=7,求BD的长.

63.如图，在RtZXZBC中，ZC=90°,CO是斜边48上的高.

(1)求证：△/OCsZ\/CB；

(2)若NC=6,AB=8,求40的长.

64.如图，点尸为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形尸/C和等腰直角三角形尸2Z),4D与

BC,尸C分别相交于点E,F,BC马PD交于点、H.

D

c

E

（1）求证：AAPDsACPB；

⑵求NFEH的度数.

题型九相似三角形的实际应用

例：小明到操场测量旗杆N8的高度，他手拿一只铅笔边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）.当

小明移动到点。处时，眼睛C与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得D8=50m,小明的眼睛C

到铅笔的距离为0.6m,铅笔〃N的长为0.16m,求旗杆的高度.

A

66.据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直

线传播的原理.如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4cm,蜡烛火焰的像的高度是8cm,物

距为16cm,则像距是（）

A.18cmB.20cmC.24cmD.32cm

67.高6m的旗杆在水平地面上的影长为8m,如果此时附近的一建筑物在水平地面上的影长为24m,则该

建筑物的高度为m.

68.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，4D与相交于点。，AB//CD,

据图2中的数据可得x的值为.

C0.6D

x

图1图2

69.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根

电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,

并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为米.

北岸

\/南岸

\/

\\节//

70.学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高

度（如图1）,测量方法如下：如图2,从塔的底部8出发，作一条射线即才,在攻上取E,G两点，分别

竖立两根高为3m的标杆E尸和G/7,两标杆间隔EG为44nl.从标杆处沿取/■后退3m到。处，从。处

观察/点，发现4F,D三点成一线；从标杆G77处沿由/后退6m到c处，从C处观察/点，发现力,

H,C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度.

71.在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图龙W为一凸透镜，尸是凸透镜的焦点.在焦点以外的

主光轴上垂直放置一小蜡烛42,透过透镜后呈的像为8.光路图如图所示：经过焦点的光线通过

透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线4。汇聚于C点.若焦距。尸=4,物距。3=6,小

蜡烛的高度AB=1,求蜡烛的像CD的长度以及像CD与透镜MN之间的距离.

72.为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市

繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥/月的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河

的对岸选定一个目标作为点力,再在河岸的这一边选出点8和点C,分别在NC的延长线上取点。，

E,使得5c.经测量，8c=80米，DE=140米，且点E到河岸2c的距离为90米.已知/尸

于点尸，请你根据