相似三角形的判定与性质-2024-2025学年湘教版九年级数学上册同步训练（含答案）

第08讲相似三角形的判定与性质

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解相似三角形的判定定理，能灵活使用相似三角形的判定定理来判

定两个三角形相似.

相似三角形的

2.掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、

判定与性质

对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比.

[-平行线截三角形相似

-利用两角对应相等判定三角形相似

-利用两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似

知识点一一利用三边成比例判定三角形相似

-网格中相似三角形的判定

-相似三角形对应线段的比

-相似三角形的周长比与面积比

「题型01证明两个三角形相似

一题型02选择或补充条件使两个三角形相似

题型一

一题型03利用相似三角形的性质求解

-题型04相似三角形的判定与性质综合

03知识清单

知识点oi平行线截三角形相似

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.

试卷第1页，共14页

【即学即练1】

1.已知：平行四边形/BCD,E是"延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F.

E

4--

f/

/^>^r\/

R”中

⑴图中有一对相似三角形；

⑵求证：CF2=GFEF.

知识点02利用两角对应相等判定三角形相似

两角分别相等的两个三角形相似.

【即学即练1】

2.如图，AE与BD交于■点、C,ZDME=ZA=ZB,且。M交/C于尸，ME交BC于G,求

证：4AMFsRGM.

注意：当已知条件中出现平行线、对顶角、公共角或给出几个角的大小时，一般选用“两组

角对应相等的两个三角形相似”进行判定.

知识点03利用两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

【即学即练1】

3.如图，将△48C绕点8逆时针旋转得到△AffiN,连接M4,CN.求证：^ABM-^CBN.

试卷第2页，共14页

知识点04利用三边成比例判定三角形相似

三边成比例的两个三角形相似.

【即学即练1】

ABBC4c

4.已知:在△/BC和中,求证：AABCsAAB'C'.

AB'BC'AC

知识点05网格中相似三角形的判定

在网格中判断两个三角形相似时，可以利用网格的特点和勾股定理求三角形的边长.

【即学即练1】

5.如图，△/BC和皿尸在边长为1的正方形网格中，点4B,C,D,E,厂均在格点上，试证

这两个三角形相似.

知识点06相似三角形对应线段的比

相似二角形对应高的比，对应角平分线的比，对应边上的中线的比都等于相似比.

【即学即练1】

6.如图，已知△4DEs/\4gc,AD=4,DB=8,DE=3,求2c的长.

知识点07相似三角形的周长比与面积比

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

试卷第3页，共14页

【即学即练1】

7.如图，AC,8。相交于点。，NA=ND.

(1)求证：AAOBsADOC；

(2)已知/0=5,。。=3,的面积为50,求△DOC的面积.

04题型精讲

题型01证明两个三角形相似

【典例1】

8.如图，在ZUBC中，点。，£分别是上的点，且DE〃8c.请证明:

AABC，/^ADE.

【变式1】

9.如图，在ZUBC中，N4cB=90°,CA=CB,CL1是边上的高，点E为线段CD上一

点(不与点C,点。重合)，连接BE,作斯_LBE与/C的延长线交于点尸，与BC交于点、

G,连接BF.

试卷第4页，共14页

⑵若寻=”，求证：ZCEF=ZCBF；

nUDkj

【变式2】

10.如图，四边形/BCD中，AB//CD,且N2=2CD,E、尸分别是/8、2C的中点，EF

与AD相交于点M.求证：AEDMs^FBM；

11.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△4BC和四力的顶点

都在边长为1的小正方形的格点上.

(2)判断△ABC与AZ)E户是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由.

(3)求2)BC：S丛DEF•

题型02选择或补充条件使两个三角形相似

【典例1】

12.如图，已知N1=N2,那么添加下列一个条件后，不能判定的是()

B./B=/ADE

、AB_ACABBC

D.---=---

八~AD~~AEADDE

【变式1】

试卷第5页，共14页

13.如图，点Z),E分别是84C4延长线上的点，请添加一个条件:

并写出证明过程.

【变式2】

14.如图，已知=名=4|;，△4BCs/\H"C吗？请说明理由.若不相似,

ABBC

题型03利用相似三角形的性质求解

【典例1】

15.如图，。是A48C的边NC上的一点，连接8。，已知N48O=/C,AB=6,AD=4,

⑴证明A/BDSA/CB；

⑵求线段CD的长.

【变式1】

16.如图所示，在△/BC中，点。在边4B上，已知48=6,AD=2,4C=5,如果在/C

上找一点E,使得△/〃后与△4BC相似，求CE的长.

试卷第6页，共14页

17.在△4BC与"5C中，AB=5,BC=6,AC=7,A'B'=10,B'C'=\2,A'C=14.

⑴求证：AABCsAABC.

⑵直接写出&ABC与AA'B'C的面积比.

【变式3】

ATJ3

18.如图，在&ABC中，DE//BC,-=—.

DB2

⑴若现）=4,求2C的长；

⑵若=10,求S^CDE-

题型04相似三角形的判定与性质综合

【典例1】

19.有一块三角形余料它的边长8c=120mm,高80mm.如果把它加工成矩形

零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在/8,/C上，且此矩形是由两个并排放

置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？

试卷第7页，共14页

20.如图，在锐角三角形23C中，CE上4B于点E,点、D在边4c上,连接AD交CE于点

F,且ABEFs^CDF.

⑴求证：BDVAC,

⑵求证：A/EC

(3)连接力尸，已知E尸：8E=3:5,求NGBC.

【变式2】

21.【感知】如图①，在中，N/C8=90o,CD，N8于点。.写出图中与A/CD相

似的三角形，并用相似符号连接.

【探究】如图②，在△ABC中，点、D为边AB上一点、,连接CD.

若NACD=NB,求证：AC2=AD-AB.

【应用】如图③，在ZU8C中，CD是边43的中线.若NACD=NB,BC=2,则。的长为

一、单选题

22.四边形/BCD的两条对角线相交于点。，下列条件中，不一定能推得△408与△CO。

相似的是()

A.NDAC=NDBCB.ZBAC=ZACD

OA_OBOAOD

'~OD~~OC'OC~~OB

23.如图，已知N1=N2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△4BC-△/£)£的是

试卷第8页，共14页

()

A

ACBC

B.-

AEDE

cABAC

（'-----=-----

'ADAE

24.下列命题中不一定成立的是（）

A.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

B.有一个角是110。的两个等腰三角形相似

C.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似

D.两个等腰直角三角形相似

25.已知在△48C中，=78。,/3=4,4。=6,下列阴影部分的三角形与原△/8C不相似

的是（）

试卷第9页，共14页

C.3个D.4个

28.已知四边形4BCD为正方形，点E是边4D上一点，连接3E,过点C作C尸，2E于点

FD

F,连接4尸.若AF=GBF,则*的值为（）

29.如图，正方形内接于A/8C,点M、N在BC上，点P、。分别在ZC和4B边上,

且8C上的高么。=3,BC=6,则正方形MNP。的周长为（）

A.2B.6C.8D.12

30.如图，在△NBC中，4B=8cm,5C=16cm,动点尸从点A开始沿边运动，速度为

2cm/s,动点。从点B开始沿2c边运动，速度为4cm/s.如果P、。两动点同时运动，那

么经过（）秒时与△ASC相似.

C.1.25或2D.1.25

31.图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm,其

它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（）cm.

试卷第10页，共14页

7cm

T1▼

A.1B.2C.3D.4

32.如图，ANC。的三个顶点均在1x4的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三

角形与A/CD相似（不全等），则这个格点三角形可以是（写出一个即可）.

AJIHG

RC'EF

33.将一张矩形纸片如图所示，点N在边CD上，现将矩形折叠，折痕为8N,点A

对应的点记为点若点M恰好落在边8上，则图中与AM）〃一定相似的三角形

是

8

34.如图，在△/2C中，点。，E分别在边48,4c上.添加一个条件使A/DESA/CB,

则这个条件可以是..（写出一种情况即可）

D、E分别为边/8、NC上的一点，AC=3AD,

4B=3AE,点产为8C边上一点，添加一个条件使△ED2与△/£>£相似，则添加的一个条

件是

试卷第11页，共14页

A

DA

£

5Z---Lc

36.如图，在直角梯形48c。中，BC1AB,BD1AD,CD//AB,且BD=5,CD=2那么

下底的长是

37.如图，在RtZ\48C中，NNC8=90。，点。是中点，连接C”点£是8。中点，过

点E作EFL/C于点尸，斯交CD于点G.若EG=2亚,HOFG=.

38.如图，将矩形4BC。沿对角线8。折叠，点C的对应点为点。，连接NC',C'D交AB

25

于点E.若DE=下,BD=1Q,则的长为,△4。。'的面积为.

39.如图，点E为△48C中NC边上一点，且4E=g£C,连接BE,交ZUBC的中线于

F,若BF=3,则E尸的长为

三、解答题

试卷第12页，共14页

40.如图，在△NBC中，44c8=90。，。为边4B上一点，且CD=C4,过点。作

DE1AB.交BC于点、E.求证：ACDEsACBD.

41.如图，已知等腰ZUBC和等腰△4DE有公共的顶点A,且/8=/C,AD=AE,

/E/C=/D4B,点E恰好落在边3c上(与B、C不重合)，连接AD.

⑴求证：BD=CE；

(2)若N8与。E相交于点尸，求证：KAESABEF.

42.平行四边形48CD中，过N作4EL3C,垂足为E,连DE、尸为线段。E上一点，且

Zl=Z5.求证：AADFs^DEC.

43.图①、图②、图③均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长为1,每个小正方形

的顶点叫格点.△NBC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下

列要求画图，保留作图痕迹.

图①图②图③

(1)在图①中，分别在边/8、NC上画点£＞、E,连接。E,使△/m"△/Be,且

试卷第13页，共14页

AD_3

AB-4,

BF2

(2)在图②中，分别在边5C、43上画点方、G,连接尸G,使△BFGS^BC4,且0=彳.

BC3

(3)在图③中，分别在边48、2c上画点M、N,连接MN,使48九Ws△印C,且器=2.

AJD2

44.如图，△4BC中，〃为NC边的中点，E为48上一点，且=连接EM并延

4

长交8c的延长线于，求证：BC=2CD.

45.已知：如图，在△ZBC中，点。，点E分别是边/C、48上的点，EC和8。相交于点

DF?AF

O,且ZABD=NACE,连接。E,若若=：,求差的值.

BC3AC

试卷第14页，共14页

1.(1)6；

(2)见解析；

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角

形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相

似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)

相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解.

【详解】(1)解：•••四边形/BCD是平行四边形，

AB//CD,

则AAEGSADCGQBEFSADCFQBADSADCB,

■.-BC//AD,

则ABCFSADGFQBCESAAGEQBCES©GC,

综上所述，共有6对相似三角形；

(2)证明：••・四边形是平行四边形，

.-.AD//BC,AB//CD,

,GFDFCFDF

"~CF~~BF，~EF~^F'

,GFCF

^CF2=GF-EF.

2.证明见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，先由平角的定义和三角形

内角和定理证明ZAFM=NBMG,再根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证明

AAMF^ABGM.

【详解】证明：,：NDME=NA=NB,Z.DME+ZAMF+ZBMG=180。，//+AAMF+ZAFM=180°,

ZAFM=ZBMG,

:.AAMFS^BGM.

3.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋

转的性质是解题的关键.

答案第1页，共28页

由旋转性质可得：AB=MB,BC=BN,/ABC=/MBN,进而可得一=—,

BCBN

AABM=ZCBN,由此根据相似三角形的判定定理即可证明AABM^CBN.

【详解】证明：••・将”SC绕点2逆时针旋转得到△MSN,

，由旋转性质，得4B=MB,BC=BN,4ABe=NMBN,

.ABMB

一丽一曲‘

AABC=ZMBN,

NABC+ZABN=NMBN+NABN,

即NABM=ZCBN,

:.^ABM“4cBN.

4.见解析

【分析】直接在线段N2(或它的延长线)上截取40=4?,过点。作。E〃8C,交NC

于点£,得出A4DEsA4BC,再证明A/OEgA/'8'C'(SSS),进而得出答案.

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出

AADE^A'B'C'(SSS)是解题关键.

【详解】证明：在线段43(或它的延长线)上截取B',过点。作DE〃台C,交AC

于点£,

:A/\

BCB'C'

■.■DE//BC,

.-.AADE^AABC,

ABBCAC

"7D~DE~7Ef

又必_=gQ=/£,N。=N®,

AEBCAC

BC_BCAC_AC

"DE-B'C'AE~A'C''

答案第2页，共28页

.■.DE=B'C',AE=A'C,

在△/£)£和中

AD=A'B'

DE=B'C',

AE=C'A'

.­.AADE^A'B'C'(SSS),

:.LABC.

5.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股

定理是解题的关键.根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】证明：AB=3,AC=Vl2+22=V5>BC=Vl2+12=41>DE=A/32+32=372>

EF=2,DF=A/32+12=V10-

.AB_42AC正_V2BC_42

DE2DFW2EF2

.ABACBC

.•△ABCs/\DEF.

6.9

【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键.根据相

似三角形的性质，列出比例式，即可求解.

【详解】解：••・△ZOESA45C,

ADDE

,•下一茄’

•・•AD=4,DB=8,DE=3,

*，•AB-AD+BD=12,

4_3

••记一嬴'

解得：BC=9.

7.(1)见解析

⑵18

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.

答案第3页，共28页

(1)对顶角相等，结合乙4=/。，即可得出△/OBSA。。。；

(2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可.

【详解】(1)证明：•・•//=/£>,又NAOB=NDOC,

△AOBsADOC；

⑵「△/。8s△DOC,

S.AOB_AO2

2

Snnr~DO'

5052

v

u^DOC

解得邑。oc=18.

所以△DOC的面积为18.

8.见解析

【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出//£>£=N2,再由公共

角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键.

【详解】证明：•••OE〃2C,

•••ZADE=ZB,

ZA=ZA,

/\ABC〜Z\ADE.

9.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关

键.

(1)证NFCG=NBEG=90。，结合NCGF=NEGB,则结论得证；

(2)证明ACGEs△尸GB即可;

【详解】(1)证明：・•・N/C8=90。，EFlBE,

ZFCG=ZBEG=90°,

又•••ZCGF=ZEGB,

/\CFGs/\EBG；

CG_FG

(2)

答案第4页，共28页

CGEG

"~FG~~BG'

又；NCGE=ZFGB,

:.ACGEsAFGB,

NCEG=NFBG,

即ZCEF=ZCBF.

10.见解析

【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形2CAE

为平行四边形，从而得到ED〃BC,于是得到NEDB=,又因为NDME=NBMF,

从而可证明AEDMs^FBM.

【详解】证明：•・•/8=2CD,£是AB的中点，

：.DC=EB,

又•:AB//CD,

.•・四边形2CAE为平行四边形，

.-.ED//BC,

■■■ZEDB=ZFBM,

又•••ZDME=NBMF,

AEDMsAFBM.

11.(1)135

⑵AABCs^DEF,理由见解析

(3)2

【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质.

(1)先求出NMBC=45。，即可解答；

(2)先得出/D斯=135。，再得出照=g=0,即可求证；

(3)分别求出“BC与SEF的面积，即可解答.

【详解】(1)解：BM=CM,ZM=90°,

ZMBC=45°,

=180°-45°=135°,

故答案为：135.

答案第5页，共28页

（2）证明：由（1）同理可得/ME=135。,

•••AB=2,BC=V22+22=20DE=Vl2+12=®EF=2,

器噜3

又•：NDEF=NABC=135°

・•・/\ABCs/\DEF；

(3)解：•.•S»Bc=gx2x2=2,Sg7=gx2xl=l,

,•,2Q4BC•,JQ^DEF一=4?•

12.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.根

据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果

两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可.

【详解】解：•.•/1=N2,

Zl+ACAD=Z2+ACAD,

即ZCAB=ZEAD,

若添力口NC=/E,可证明△ABC故A选项不符合题意；

若添力口N8=N4DE,可证明△48C“△/£）后,故B选项不符合题意；

AHAr

若添加F=F，可证明△/BC〜故C选项不符合题意；

ADAE

若添加空=绘，不能证明故D选项符合题意；

ADDE

故选：D.

13.ZB=ZD（答案不唯一）；证明见解析

【分析】本题考查了三角形相似，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据题意，得到两个三角形有个对顶角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可.

答案第6页，共28页

【详解】NB=ND(答案不唯一)

证明：•••点DE分别是34。延长线上的点，

ZDAE=ABAC,

当=时，

根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：△ABC”△/£)£；

当/C=/£时，

・•・根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得："BCs2DE；

当时，

・•・根据两直线平行内错角相等可得：NB=ND,

・•・根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：△42C-

ARAT

14.不相似，可添力口=或NC=NC或F=F(答案不唯一).

ABAC

【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,

或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题

的关键.

解：不定相似，因为和//不是成比例的两边的夹角。

若添加ZB=NB',则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到44BCs^A'B'C；

若添加ZC=ZC,则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到A4BCs^A'B'C；

ADAT

若添加F7=F，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得到

ABAC

AABCs^A'B'C。

JRAT

故可添加：NB=NB'，或/C=/C'或=K(答案不唯一).

ABAC

15.(1)见解析

(2)5

【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，

(1)已知=NBAD=NCAB,根据两组对应角相等的三角形相似证明结论；

(2)利用相似三角形对应边成比例先求出/C的长，再算出CD的长.

【详解】(1)解：=,NBAD=NC4B,

AABD^^ACB；

(2)•；AABDS"CB,

答案第7页，共28页

ABAD

,•刀一下'

64

解得力C=9,

ACo

：,CD=AC-AD=9-4=5.

1013

16.CE一或CE=一.

35

【分析】本题考查了相似三角形的性质.由题意知，令AADEs^ABC,AAED^AABC

两种情况求解即可.

【详解】解：由题意知，分AADEs^ABC,m两种情况求解;

当△4OESA43C时，吟岑,即这=工，

ACAB56

解得,AE=^,

「510

/.CE=5—=——；

33

、1,A4EAD口口AE2

当△/£Z)sA445C时，,二一,即一=-,

ABAC65

12

解得，AE=—.

clu1213

CE=5---=—；

55

1013

综上所述，CE=yCE=《.

17.(1)见解析

⑵1：4

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质：

(1)根据三组对应边对应成比例的两个三角形相似，即可得证；

(2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可.

答案第8页，共28页

【详解】⑴解：=5,BC=6,AC=1,=B'C=U,HC'=14,

ABBCAC1

A'C'~2

■■■AABCsdA'B'C'；

(2),

S.AECVA'B'J4

18.（1）8C=?

⑵S△皿=y-

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）先由DE〃8c证明AADES4ABC,因为空=］得出空=：,再代入数值到空=段，

DB2AD3ABBC

进行计算，即可作答.

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出沁=（：）=?,因为SMBC=10，

八/丽

所以S△皿=1?8，再整理出S—=A万E=而AD=不3，把代入18进行计算，即可作答.

5-DECHBDZ5

【详解】(1)W：-DE//BC,

・•・NADE=/ABC,ZAED=NACB,

AADES^ABC,

ADDE

ABBC

AD_3

DB~2

.・.AB=AD+BD=-AD,

3

5_4

3-5C

（2）解：如图：过点。作

答案第9页，共28页

A

•-%BC=10，

■.■SAADE=^AExDH,S^CDE=^CEXDH,DE//BC,券=(

S/\ADE_4E_4。_3

^~S^~CE~~BD~29

19.矩形零件的两条边长分别为mm,—mm

77

【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式是

解题的关键.由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设尸。=＞皿，则

PN=2ymm,易证由相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：设矩形的边长尸。=ymm,则PN=2〉mm,

•・•四边形PQMN是矩形，

・•.PN//BC,

••・/\APNs/\4BC,

PN_AE

,,瓦一茄’

2y_80-y

一询一80，

答案第10页，共28页

・・.7W=竽x2=—(1nm).

240480

，这个矩形零件的两条边长分别为〒mm,-mm.

20.(1)证明见解析;

⑵证明见解析;

(3)3:5

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键.

(1)证明45防尸，得至=尸=90。，即可证明结论；

(2)由方可得，即可证明相似；

4斤FF

(3)根据相似三角形的性质，证明△/跖得到力=",即可求解.

BCBE

【详解】(1)证明：

ZBEF=ZCDF,

•/CELAB,

/BEF=90。，

ZCDF=90°,

/.BDLAC；

(2)证明：尸，

NEBF=/DCF,

-CE1AB,

ZBEF=ZAEC=90°f

:AAECs八FEB；

(3)解：由(2)得力ECSAFEB,

.AEEC

…定一诟’

.AEEF

…而一耘’

ZAEF=ZCEB=90°,

AAEFsLCEB,

.AFEF

,•法一茄’

•・•EF:BE=3:5

AF,BC=3:5.

答案第11页，共28页

21.(1)AACDSAABC,AACDSACBD(2)见解析(3)也

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质：

(1)根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可；

证明SBC即可得证；

(2)△/CZ)A4,

(3)延长CD至点E,使CQ=QE,连接证明△/£>£也△ADC,得到

AE=BC=2,AB=NEAD,再证明A£4DSA£C/,列出比例式进行求解即可.

【详解】解：(1)■-ZACB=90°,CD1AB,

ZADC=ZCDB=NACB=90°,

ZCAD=ZCAB,

:A4CDs4ABC,

■■ZA=ZBCD=90°-ZB,ZADC=ZCDB=90°,

:.△ACDs^CBD；

(2)■■-ZACD=ZB,

:.△4CDS/\4BC,

ACAD

"商一W

■■AC2=AD-AB■,

(3)延长CO至点E,使CD=DE,连接

••・CD为边AB的中线

••・AD=BD,

又•：NCDB=ZADE,

ACDB知EDA,

AE=BC=2,/EAD=/B,

,,"ACD=/B,

：,/ACD=/EAD,

答案第12页，共28页

•・•NE=NE,

AEADS小ECA,

AEDE

**CE

■■AE2=CE-DE,

CD=DE,

■■■AE2=2CDCD,

:.CD=4i.

故答案为：^2.

22.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关

键.根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.

【详解】解：A.ADAC=ZDBC,

；.NAOD=ZBOC,

小AODs小BOC,

AOOD

,•茄一发’

AO_BO

''~OD~~OC'

又・・"AOB=/COD,

MAOBS£OD,故选项A不符合题意；

B.vZBAC=ZACD,ZAOB=ZCOD,

MAOBSKOD,故选项B不符合题意；

OAOB

C.-ZAOB=ZCOD,—=——,

ODOC

."OBSKOD,故选项C不符合题意；

D.条件NAOB=NCOD,段=黑，无法证明A/OBSACO。，故选项D符合题意.

(JC(JD

故选：D.

23.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相

似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③

答案第13页，共28页

如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答.

【详解】解：•.•N1=N2,

Zl+ACAD=Z2+ACAD,

ABAC=NDAE,

A、根据/B=ZADE,ZBAC=ZDAE,由两个三角形的两个对应角相等可得

△4BCs"DE,故A不符合题意；

B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定

故B符合题意；

JRAC

C、根据=,由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可

ADAE

得△4BCsA4DE,故C不符合题意；

D、根据/C=/£,NBAC=NDAE,由两个三角形的两个对应角相等可得

△48C故D不符合题意；

故选：B.

24.C

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定.根据相似三角形的判定进行逐项判断即可.

【详解】解：A,斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项正确，不符

合题意；

B,有一个角是110。的两个等腰三角形相似，故选项正确，不符合题意；

C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项错误，符合题意；

D,两个等腰直角三角形相似，故选项正确，不符合题意；

故选：C

25.B

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有

两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.

【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△/BC

相似，故选项A不符合题意；

B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原

△48。相似，故选项B符合题意；

C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△/BC相似，故选

答案第14页，共28页

项C不符合题意；

D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原△N8C相似，故选项

D不符合题意；

故选：B.

26.D

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键;

因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解.

【详解】解：由格点图可知：AB=6.,BC=26.,AC=屈,则有:

A、『吗,所以该两个三角形不相似；

23

B、义坐，所以该两个三角形不相似；

<5<5

余，宗所以该两个三角形不相似;

C、

V2_2/_厢

D、三边对应成比例，所以该两个三角形相似;

24-2石

故选D.

27.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应

相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.解题的关键是熟练掌握相似

三角形的判定.△NBC和A/CD有公共角NN,然后根据相似三角形的判定方法对各个条件

进行判断，从而得到答案.

【详解】解：ZDAC=ZCAB,

.•.当//CD=或ZACB=ZADC,可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断

△ABCSAACD,故①正确，④正确；

当NC?时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断

“BCs"CD,故②正确；

当票=嘤时，虽=但不是其对应的夹角，所以A/CZ•与△4BC不相似，故

③不正确.

因此有3个正确.

答案第15页，共28页

故选：c.

28.B

【分析】在CF上截取C"=8/，利用正方形的性质和直角三角形的性质证明

△BCH咨“BF（SAS）,由全等三角形的性质得出/尸=8〃，结合已知条件设3万=1,贝|

BH=亚,利用勾股定理分别求出F4和2C,再证明AE48sA瓦7。，由相似三角形的性质

求出瓦4,进而求出研»,最后和CF相比即可得出答案.

【详解】解：在CF上截取C〃=5尸，如下图：

••・四边形48C。为正方形，

AB=BC,ZDAB=ZABC=90°,

；.NABF+NFBC=90°,

■■■CF1BE,

ZBFC=90°,

■.ZFBC+ZBCF=90°,

：.ZABF=NBCF,

又•；AB=BC,CH=BF,

.•.△BCH知ABF(SAS),

•••AF=BH,

AF=垃BF,

:•BH=®BF,

设2斤=1,贝1]3〃=血，

在RtABFH中，

FH=ylBH2-BF2=1>

又CH=BF=\,

:.CF=CH+FH=2,

答案第16页，共28页

在RtZkBRC中，

BC=yjBF2+CF2=y/5，

•••AB=BC=45,

ZABF=ZBCF,ZEAB=ZBFC=90°,

・••AEABS^BFC,

EAAB

••茄一记’

EA=—，

2

又AD=BC=5

■■DE=AD-AE=4S~^-=—