相似三角形的判定【十大题型】（苏科版）（原卷版）

专题6.3相似三角形的判定【十大题型】

【苏科版】

【题型1相似三角形的判定条件】.....................................................................2

【题型2格点中的相似三角形】........................................................................3

【题型3相似三角形的证明】..........................................................................4

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】.................................................5

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】...............................................................6

【题型6确定相似三角形的对数】.....................................................................7

【题型7相似三角形中的多结论问题】.................................................................8

【题型8相似三角形与动点的综合】..................................................................10

【题型9相似与最值】................................................................................11

【题型10旋转型相似】................................................................................12

w1一

。。工声，1二

【知识点1相似三角形的判定】

判定定理

BCB'C,

简称为两角对应相等，两个三角形相

判定定理1:

似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

如图，如果NA=NA，，NB=NB;贝!|

两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

AABC^/\A'B'C.

简称为三边对应成比例，两个三角形相

判定定理2：似.

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么.„.ABBCAC„„

如图'如na果行=3，C，=AC'则

这两个三角形相似.

△ABCsAAEC'.

简称为两边对应成比例且夹角相等，两

判定定理3：

ARAC

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且个三角形相似.如图，如果需=急，

ABAC

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

ZA=ZA',则AABCsAA®C'.

【题型1相似三角形的判定条件】

【例1】（2022秋•汉寿县期末）如图，若点尸为AABC的边A8上一点（AB＞AC）,下列条件不能判定

的是（）

A.ZB=ZACPB.ZACB=ZAPCC.—=—D.—

ABACCBAB

【变式1-1］（2022春•泰安期末）如图，AABC,AB=12,AC=15,。为48上一点，且4。=8,在AC

上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）

A.穹冷B.10或募

C.号或10D.以上答案都不对

【变式1-2］（2022秋•合肥期末）如图，C£＞是Rt^ABC斜边A8上的中线，过点C作CE，C£＞交AB的

延长线于点E,添加下列条件仍不能判断△CEB与△CA。相似的是（）

A.ZCBA^2ZAB.点2是DE的中点

cCEBE

C.CE，CD=CA，CBD.—=—

CAAD

【变式1-3］（2022秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31

页遇到这样一道题，如图1,在△ABC中，尸是边AB上的一点，连接CP,要使△ACPS^ABC,还需

要补充的一个条件是,或

请回答：

（1）王华补充的条件是，或

【题型2格点中的相似三角形】

【例2】（2022春•文登区期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC,②△ACD

③AADE,@AAEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是（）

A.①③B.①④C.②④D.①③④

【变式2-1]（2022秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4

ABC相似的是（）

【变式2-2]（2022秋•青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相

似的是（）

【变式2-3]（2022秋•法库县期末）如图，在5X6的方格纸中，画有格点△EPG,下列选项中的格点，与

E,G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（）

A.点AB.点8C.点CD.点D

【题型3相似三角形的证明】

【例3】(2022•淳安县一模)如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，尸是延长线上一点,

ZF=ZB.

(1)若45=10,求阳的长；

(2)若AC=BC,求证：XCDEsXDFE.

【变式3-1](2022秋•临安区期末)如图，点、B、D、E在一条直线上，BE交AC于点R笠=S，且/

ADAE

BAD=/CAE.

(1)求证：AABCsAADE；

(2)求证：AAEFsABCF.

【变式3-2](2022秋•下城区期末)己知：如图，。为△ABC内一点，A,B,,。分别是。4,OB,0c上

的点，且04：AA'=OB'：BB'=1：2,OC：CC=2：1,且。8=6.

(1)求证：△OAbs/XOAB；

(2)以。，B\C为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说

明理由.

【变式3-3](2022春•仪征市校级期末)如图，△ABC、△QE尸是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=

NPDE=9Q°.

(1)若将△OEP的顶点尸放在BC上(如图1),PD、PE分别与AC、AB相交于点尸、G.求证：△

PBGS^FCP；

(2)若使△£)“的顶点P与顶点A重合(如图2),PD、PE与BC相交于点尸、G.试问△尸83与4

FCP还相似吗？为什么？

【题型4利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】

【例4】(2022秋•上城区期末)四边形ABC。中，点£在边4B上，连接。E,CE.

(1)若/A=/8=NOEC=50°,找出图中的相似三角形，并说明理由；

(2)若四边形ABC。为矩形，48=5,BC=2,且图中的三个三角形都相似，求AE的长.

(3)若NA=NB=90°,AD<BC,图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理

由.

【变式4-1](2022秋•德清县期末)如图，将矩形ABC。沿CM折叠，使点。落在A8边上的点E处，若

AAEM与LECM相似，则AB和BC的数量关系为.

【变式4-2](2022秋•淮安期末)(1)填空：如图1,在正△ABC中，M、N分别在BC、AC上，且8M

=CN,连AW、8N交于点。，则/AON=°

(2)填空：如图2,在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN,连接PN、

相交于点O,则/P0M=°.

(3)如图3,在等腰梯形ABC。中，已知AB〃C。，BC=CD,ZABC=60°.以此为部分条件，构造

一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.

(4)在(1)的条件下，把直线AM平移到图4的直线E。尸位置，

①写出所有与△B。尸相似的三角形：

②若点N是AC中点，(其它条件不变)试探索线段£。与R?的数量关系，并说明理由.

【变式4-3](2022秋•城关区期末)如图，ABLBC,DCLBC,E是8c上一点，使得

(1)求证：△ABE-△EC。；

(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长；

(3)当△AEOS/IEC。时，请写出线段A。、AB.CO之间数量关系，并说明理由.

【题型5相似三角形在坐标系中的运用】

【例5】(2022秋•上城区期末)已知：在直角坐标系中的位置如图所示，点8的坐标为(4,2),

尸为。8的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtAOAB分割成两部分，问：点C在什么位

置时，分割得到的三角形与Rt^OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段尸C,并求出相应的点

C的坐标.

【变式5-1](2022秋•汝南县期末)如图，在直角坐标系中，已知点A(2,0),B(0,4),在x轴上找

到点C(1,0)和y轴的正半轴上找到点D,使△AO8与△OOC相似，则D点的坐标是

【变式5-2](2022•盘锦)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(2,0),点C在第一象限，若以

A、B、C为顶点的三角形与△A08相似(不包括全等)，则点C的个数是()

B.2C.3D.4

【变式5-3](2022•淮安)如(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12,0)，点B坐标为(6,8),

点、C为OB的中点，点D从点。出发，沿△OA8的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一

周.

(I)点C坐标是,当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是；

(2)设点。运动的时间为f秒，试用含t的代数式表示△0。的面积S,并指出f为何值时，S最大;

(3)点E在线段A3上以同样速度由点A向点B运动，如(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动

5秒钟内，以点。，A,E为顶点的三角形何时与△OC。相似？(只考虑以点A、。为对应顶点的情况)

【题型6确定相似三角形的对数】

【例6】(2022秋•余姚市期末)如图，在△ABC中，D、E分别是A3、AC上的点，AE=4,AB=6,AD：

AC=2：3,△ABC的角平分线AP交。E于点G,交3C于点八

(1)请你直接写出图中所有的相似三角形；

(2)求AG与GP的比.

A

【变式6-1]（2022秋•金山区期末）如图，M是平行四边形A8C。的对角线8。上一点，AM的延长线交

BC于点E,交。C的延长线于点尸，图中相似三角形有（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

【变式6-2]（2007春•常州期末）如图，已知△ABC、均为正三角形，D、E分别在AB、8c上.

（1）图中有几组相似三角形并把它们表示出来；

（2）请找一个与△O8E相似的三角形并说明理由.

【变式6-3]（2022春•宁波校级期末）如图，四边形A8CD和ACE。都是平行四边形，B,C,E在一条直

线上，点R为。E的中点，8R分别交AC,CD于点P,Q.

（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；

（2）求线段BP：PQ-.QR,并说明理由.

【题型7相似三角形中的多结论问题】

【例7】（2022秋•常宁市期末）如图，△A8C中，ZA=60°,BM_LAC于点M,CN_LA8于点N,BM,

CN交于点。，连接MN.下列结论：@ZAMN^ZABC；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN.其

中正确的个数是（）

A

C.3个D.0个

【变式7-1]（2022•越秀区校级二模）如图，尸是△ABC的48边上一点，下列结论正确的个数是（）

①若ZAFC=ZACB,则△ACFs/\ABC

②若贝!|△AC尸s△ABc

AC2=AF'AB,贝ijZ\ACf'sZ\ABc

④若AC：CF=AB-.BC,贝!]△ACf's^ABc.

【变式7-2]（2022秋•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AOLBC于点。，8ELAC于点E,与

BE交于点F,连接CRDE,交点为G.以下结论正确的个数是（）

①NCAD=NCBE,

®AF'FD=BF'FE,

③△CDEsACAB,

④AFGEs^DGC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7-3]（2022秋•商河县校级期中）如图，在正方形ABC。中，点E、尸分别在边BC、OC上，AE、

AF分别交8。于点/、N,连接CMEN,且CN=EN.下列结论：®AN=EN,ANLEN；②BE+DF=

EF-,③然=?；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）

EF2

C.2D.1

【题型8相似三角形与动点的综合】

【例8】（2022春•成华区期末）如图，正方形ABC。的边长为4,AE=EB,MN=2,线段MN的两端在

CB、C。上滑动，当CM=时，△AQE与△CMN相似.

【变式8-1］（2022秋•金台区期末）如图，在△ABC中，AB=lQcm,BC=2（k7",点P从点A开始沿边AB

向点8以2cm/s的速度移动，点。从B点开始沿边8c以2c机/s的速度移动.如果点P,。分别从点A,

8同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、。三点为顶点的三角形与AABC相似？

【变式8-2］（2022秋•砌山县期末）如图所示，已知A8_LBC于8,CD±BCC,A2=4,CD=6,BC

=14,P为BC上一点，试问8尸为何值时，AAB尸与△尸"）相似？

【变式8-3］（2022秋•正定县期末）在矩形A8CD中，AB=\2cm,BC=6c机，点P沿AB边从点A开始向

点B以2cm/秒的速度移动，点。沿D4边从点。开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果尸、。同时出

发，用f（秒）表示运动时间（0W/W6）,那么当f为何值时，△AP。与相似？说明理由.

【例9】（2022秋•余姚市校级月考）如图，等腰△ABC中，BA=BC,AO=3CO=6.动点尸在8A上以每

分钟5个单位长度的速度从8点出发向A点移动，过尸作小〃BC交AC边于E点，连接尸。、EO.

（1）求A、2两点的坐标;

ZABC=90°,AD//BC,AD=4,AB=5,BC=

当PC+PD的和最小时，PB的长为.

【变式9-2］（2022•兖州区一模）如图，正方形ABC。的对角线上的两个动点M、N,满足42=

点、P是BC的中点，连接AN、PM,若AB=6,则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度

为

【变式9-3］（2022•锦江区模拟）如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,点。是线段8C

上一动点，连接A。，以为边作△ADE,使△AD