相似三角形（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）

考点一、比例线段

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的

比是

am

—=一,或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

bn

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成

比例线段，简称比例线段.

若四条a,b,c,d满足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,

d叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

/7h

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即一二—或a：b=b：c,那么线段b叫做线段

bc

a,c的比例中项.

2、比例的性质

（1）基本性质：①a：b=c：dOad二be②a：b=b：c<=>Z?2=ac.

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

~=~（交换内项）

ca

：=Yy=—（交换外项）

baba

db

一二—（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：y==-

baac

ca±bc±d

（4）合比性质：£—=>-----=-----

bdbd

/、代cem7「八、a+c+e-\-----\-ma

（5）等比，性质：—=——二•••二——（Z/J?+J+fH----1-n0）=>-----------------=—

bdfnb+d+/H----1-nb

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段

75-1

AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=------AB»0.618AB.

2

典例1:（2023•金昌）若幺=』，则“6=（）

2b

32

A.6B.-C.1D.-

23

【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案.

【解答】W：

2b

:.ab=6.

故选：A.

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键.

典例2：2.（2023•甘孜州）若二=2,则土？=（

【分析】根据比例的性质解答即可.

【解答】解：—=2,

yy

故答案为：L

【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质.

考点二、相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等

是特殊的相似图形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线

的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

【要点诠释】

结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它

角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的

办法处理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形

相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比

对应相等，那么这两个三角形相似.

典例3：(2023•泰州)两个相似图形的周长比为3:2,则面积比为_9:4_.

【分析】由两个相似图形，其周长之比为3:2,根据相似图形的周长的比等于相似比，即可

求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案.

【解答】解：，两个相似图形，其周长之比为3:2,

其相似比为3:2,

其面积比为9:4.

故答案为：9:4.

【点评】此题考查了相似图形的性质.此题比较简单，注意熟记定理是关键.

典例4：（2023•威海）如图，四边形"CD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:

使ZM边落在DC边上，点A落在点7/处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点3落在点

G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1,则CD的长为（）

D.A/5+I

【分析】设HG=x,根据矩形的性质可得NA=NADH=90。，AD=BC=1,再根据折叠的

性质可得：ZA=ZAHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,从而可得四边形ADHE是正方

形，然后利用正方形的性质可得加＞="?=1,最后利用相似多边形的性质，进行计算即可

解答.

【解答】解：设8G=x,

四边形ABCD是矩形，

:.ZA=ZADH=90°,AD=BC=l,

由折叠得：ZA=ZAHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,

.•.四边形ADHE是矩形，

AD=DH,

.♦.四边形ADHE是正方形，

：.AD=HE=1,

矩形HEFG与原矩形ABCD相似，

GHHE

X_1

…11+兀+1'

解得：x=A/2—1x=—^2—1,

经检验：％=四-1或％=-四-1都是原方程的根,

GH>0,

:.GH=42-1,

:.DC=2+x=j2+l,

故选：C.

【点评】本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程-公式法，矩形的性质，翻折变换

（折叠问题），正方形的判定与性质熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.

典例5：（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1:4,则这两个三角形对应边的比是（

）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可.

【解答】解：两个相似三角形周长的比为1:4,

.•・这两个三角形对应边的比为1:4,

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

典例6:（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数

学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边相＞上，现将矩形折叠，折痕为8N,

点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上，则图中与一定相似的三角形是

AMCB_.

A__________________/

M

DMC

【分析】利用矩形的性质得到ZD=ZC=90°,然后利用折叠的性质推导出

ZBMN=ZA=90°,进而得到"=由此推断出AND暇6拉欣8.

【解答】解：四边形ABCD是矩形，

:.ZA=ZD=ZC=90°,

ZDNM+ZDMN=90°,由折叠的性质可知，ZBMN=ZA=9CP,

ZDMN+ZCMB=90°,

.-.ZDNM=ZCMB,

;.NNDM^\MCB,

故答案为：AMCB.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、矩形的性质以及翻折变换（折叠问题），熟练

掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相

似.

典例7：（2023•雅安）如图，在ABCD中，/是47上一点，CF交BD于点、E,CF的延

长线交B4的延长线于点G,EF=1,EC=3,则G/的长为（）

【分析】根据平行四边形的性质得出AD/ABC,AB//CD,AD=BC,于是推出

ADEF^ABEC,ADFC^AAFG,先求出。歹与3C的比值，继而得出/年与AF的比值，再

根据相似三角形对应边成比例即可求出GF的长.

【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//BC,AB//CD,AD=BC,

ADIIBC,

:.ADEF^ABEC,

DF_EF

~BC~~EC'

EF=1,EC=3,

DF1

••—f

BC3

即”二L

AD3

DF_1

AF2

AB//CD,

/.ADFC^AAFG,

DFCF

~AF~~GF'

EF=1,EC=3,

.•.CF=4,

.1_4

——--,

2GF

.•.GF=8,

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性

质是解题的关键.

典例8：（2023•哈尔滨）如图，AC,相交于点。，AB//DC,又是AB的中点,

MN//AC,交BD于点、N,若=AC=12,则A/N的长为（）

【分析】由AB//OC易得AaRsAABO,根据相似三角形的性质可得生=工，于是

OA2

AC=OA+OC=OA+-OA=12,求出Q4=8,易得MN为AAOB的中位线，则

2

MN=-OA.

2

【解答】解：AB//DC,

..ACDO^AABO,

OD_OC

~OB~~OA'

DO:OB=1:2,

OC_1

---=一,

OA2

/.OC=-OA,

2

AC=OA+OC=n,

:.OA+-OA=n,

2

OA=S,

MN//AC,Af是AB的中点，

r.MN为AAC®的中位线，

.-.MN=-OA=-X8=4.

22

故选：B.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟记“8”字模型

相似三角形，以及三角形中位线定理是解题关键.

考点三、位似图形

1.位似图形的定义：

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行,

像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类：

(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

【要点诠释】

位似图