导学案数学第六章62621向量的加法运算

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算【学习目标】1.理解并掌握向量加法的概念.2.了解向量加法的运算法则与几何应用.3.会用向量加法解决简单的实际问题.【素养达成】数学抽象直观想象、逻辑推理数学运算、数学建模一、向量加法的定义及法则1.定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法则(1)作法:两个非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b;(2)结论:向量______叫做a与b的和(如图所示);(3)记法:a+b,即a+b=+=.3.向量加法的平行四边形法则(1)作法:以同一个起点O作两个向量=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB(OC为对角线);(2)结论:以O为起点的向量叫做a与b的和(如图所示);(3)记法:a+b,即a+b=+=.4.规定:a+0=0+a=a.5.|a+b|,|a|,|b|的关系一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立.【教材挖掘】(P8)向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么?提示:当两个向量不共线时,两个法则是一致的;如图所示,在▱ABCD中,=+(平行四边形法则),又因为=,所以=+(三角形法则).二、向量加法的运算律1.交换律:a+b=b+a.2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c).【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量相加就是它们的模相加.(×)提示:向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加,两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则(两向量非零且不共线).(2)+=.(√)提示:根据向量加法的三角形法则可知+=.(3)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量.(×)提示:当两个向量共线时,不能使用平行四边形法则求解.(4)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同.(×)提示:当向量a与b互为相反向量时,a+b=0,而零向量的方向是任意的.类型一作和向量(直观想象)【典例1】(1)(教材改编·例1)如图,已知向量a,b,用向量加法的三角形法则作出向量a+b.【解析】①作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量.②作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量.③作=a,=b,a+b=+=,则即为所求作的向量.(2)(教材改编·例1)如图,已知向量a,b,用向量加法的平行四边形法则作出向量a+b.【解析】①作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,a+b=+=,则即为所求作的向量.②作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,a+b=+=,则即为所求作的向量.【总结升华】1.应用三角形法则的关注点(1)适用范围:任意两个非零向量;(2)注意:两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点”的向量.2.应用平行四边形法则的关注点(1)适用范围:只适用于求不共线的两个向量的和;(2)注意:共起点,两向量所在线段为邻边作平行四边形,找共起点的对角线对应的向量为和向量.【即学即练】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b+c.【解析】方法一(三角形法则):如图所示,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=+=(a+b)+c,即=a+b+c.方法二(平行四边形法则):因为向量a,b,c不共线,如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,以,为邻边作平行四边形OADB,则对角线=a+b,再作=c,以,为邻边作平行四边形OCED,则=a+b+c.类型二向量加法的性质与运算律(逻辑推理)角度1化简【典例2】(2024·伊犁高一检测)化简下列各式:(1)++;(2)++++.【解析】(1)原式=++=+=.(2)原式=++++=++=+=0.【总结升华】利用向量加法化简的依据(1)向量加法的运算法则:三角形法则和平行四边形法则,多个向量的和同样遵循“首尾相接,首尾连”,当多个向量首尾相连形成封闭图形时,各向量和为零向量;(2)向量加法的运算律:交换律和结合律.【即学即练】如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.试求:①+;②++;③+++.【解析】因为AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABCE,ABED,即四边形ABEC和ABDE是平行四边形,①+=;②++=+=;③+++=++=+=+=0.角度2模的性质【典例3】若|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为__________.

【解析】因为|a|=|b|=1,所以0=||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|=2,当且仅当a与b共线时取等号,其中左端的等号是a与b反向时取得,右端的等号是a与b同向时取得,所以|a+b|∈[0,2].答案:[0,2]【总结升华】和向量模的性质(1)当非零向量a,b不共线时,a+b的方向与向量a,b的方向都不相同,模的关系是||a||b||<|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;(2)当向量a,b同向或至少一个是零向量时,a+b的方向与向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的关系是|a+b|=|a|+|b|;(3)当向量a,b反向或至少一个是零向量时,a+b的方向与向量a,b中模较大的方向相同,模的关系是|a+b|=||a||b||.【即学即练】a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则()A.a与b方向相同 B.a=bC.a=b D.a与b方向相反【解析】选A.因为|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b的方向相同时,等号成立,又因为|a+b|=|a|+|b|,所以a与b方向相同.类型三向量加法法则的应用(逻辑推理、数学建模)角度1几何应用【典例4】若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=2,则△ABC的形状是()A.正三角形 B.锐角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【解析】选D.由于||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=2,则|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=,所以△ABC为等腰直角三角形.【总结升华】向量加法的几何应用利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合向量模长之间的关系,可以判断三角形、四边形的形状.【即学即练】在四边形ABCD中,+=,则四边形ABCD是()A.梯形 B.矩形C.正方形 D.平行四边形【解析】选D.由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.角度2实际应用【典例5】(教材提升·例2)已知船在静水中的速度为40m/min,水流的速度为20m/min.(1)若船沿垂直于水流的方向航行,求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角的正切值).(2)若船沿垂直于水流的航线到达对岸,那么船行进方向应指向何处?实际航速为多少?【解析】(1)如图所示,表示船速,表示水速,以AD,AB为邻边作▱ABCD,则表示船实际航行的方向,所以||=||=40,||=20,在Rt△ABC中,tan∠BAC==2,所以船实际行进的方向的正切值为2.(2)设表示水流的速度,表示船实际航行的速度,表示船航行的速度,则四边形ABCD为平行四边形,所以=,∠DCA=90°,因为∠DCA=90°,于是||==402-20所以∠DAC=30°,∠DAB=120°,故船的行进方向与水流方向成120°,船的实际航速为203m/min.【总结升华】向量加法的实际应用利用向量加法解决小船渡河问题,需要注意船在静水中的速度与船实际速度的区别,船的实际速度是船在静水中速度和水流速度的合速度,也是对应向量的和向量.【即学即练】(多选)(2024·马鞍山高一检测)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是()A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速的方向与河岸垂直时用时最少C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样D.船垂直到达对岸时航行的距离最短【解析】选BD.设船在静水中的速度为v