2024-2025学年试题数学二十七空间点直线平面之间的位置关系

二十七空间点、直线、平面之间的位置关系(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是()A.相交 B.平行C.异面 D.以上都有可能【解析】选D.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,AB∥A1B1;又AD与AA1相交,AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,AB与A1D1异面.2.(5分)如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A.平行B.直线在平面内C.相交或直线在平面内D.平行或直线在平面内【解析】选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行,则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内.3.(5分)已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线()A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在平面α内C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,一定在平面α内【解析】选C.过点P和直线a可确定唯一一个平面,在这个平面内,过点P可作直线与直线a平行,且这条直线唯一,而且这条直线在平面α内.4.(5分)过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作【解析】选C.因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.①当直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面;②当直线与平面平行时,可作出唯一的一个符合题意的平面.综上可得所能作的平面至多有一个.5.(5分)(多选)下列命题为真命题的是()A.若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内B.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线D.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面【解析】选AD.对于B,直线l也可能与平面α相交;对于C,直线l与平面α内不过交点的直线异面,而与过交点的直线相交.故B,C中的命题是假命题.6.(5分)(多选)已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【解析】选ABC.当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线;当平面β和γ平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线.7.(5分)如图,长方体ABCDA'B'C'D'中:(1)与直线AB平行的平面是__________;

(2)与直线AA'平行的平面是__________.

答案:(1)平面A'C',平面DC'(2)平面B'C,平面DC'8.(5分)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有__________.

【解析】题干图(1)中,直线GH∥MN;题干图(2)中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题干图(3)中,连接MG(图略),GM∥HN,因此,GH与MN共面;题干图(4)中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.所以图(2)(4)中GH与MN异面.答案:(2)(4)9.(5分)过平面外两点,可作__________个平面与已知平面平行.

【解析】若过两点的直线与已知平面相交,则作不出平面与已知平面平行;若过两点的直线与已知平面平行,则可作一个平面与已知平面平行.答案:0或110.(10分)三个平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.【解析】(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点.又c⊂β,所以c与α无公共点,则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点.又γ∩α=a,γ∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,a,b没有公共点.由于a,b都在平面γ内,因此a∥b.又c∥b,所以c∥a.【综合应用练】11.(5分)(多选)以下说法正确的是()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且a∩b=P,则P∈lD.若n条直线中任意两条共面,则它们共面【解析】选AC.易知A,C正确;对于B,逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”,也可能a∥b;对于D,反例:正方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱并不共面,故D错.12.(5分)α,β是两个不重合的平面,下面说法中正确的是()A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【解析】选D.A,B都不能保证α,β无公共点,如图①;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②;只有D说明α,β一定无公共点.13.(5分)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有__________对.

【解析】把平面展开图还原原正方体如图,则AB与CD,AB与GH,EF与GH互为异面直线,共3对.答案:314.(10分)已知四棱台ABCDA1B1C1D1,底面A1B1C1D1是梯形,A1D1∥B1C1,如图所示.(1)直线A1B1与四棱台的各面有什么位置关系?(2)平面ABCD与四棱台的其他面有什么位置关系?【解析】(1)直线A1B1与平面ABCD平行;直线A1B1与平面BCC1B1,平面ADD1A1,平面CDD1C1均相交;直线A1B1在平面A1B1C1D1,平面AA1B1B内.(2)平面ABCD与平面A1B1C1D1平行;平面ABCD与平面AA1D1D,平面DD1C1C,平面CC1B1B,平面BB1A1A均相交.【补偿训练】已知a,b,c是三条直线,如果a与b是异面直线,b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明.【解析】直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面,如图(1)(2)(3).15.(10分)如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a