湖南省长沙市芙蓉区名校联合体2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

年春季高一年级入学检测数学时量：分钟满分：分得分：一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求解集合，由交集运算即可求解；【详解】，所以，故选：D2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.，”的否定是，，故选：D3.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第1页/共19页【分析】利用零点的存在性定理结合函数的单调性判断即可.【详解】易知函数是上的增函数，且，，即，根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为.故选：C.4.已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称【答案】B【解析】【分析】由最小正周期求出，再依次对各选项进行辨析即可.【详解】∵函数的最小正周期为，∴，∴，∴．根据正弦函数的性质，由，，解得，，∴的图象关于直线，对称，∴时，的图象关于直线对称，故选项B正确，选项A错误；由，，解得，，∴的图象关于点，对称，故选项C、D错误.第2页/共19页故选：B.5.定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】即可.【详解】因为在上的函数满足，所以.因为，又，，所以.因为在上单调递增，所以，即，即.故选：D.6.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或第3页/共19页又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.7.已知正实数满足，则的最小值为（）A.9B.8C.3D.【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知，，当且仅当时取等号.故选：C8.已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（）A.或B.或C.D.或【答案】B【解析】【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解．【详解】因为是定义在上的函数，的图象关于点对称，所以为奇函数，，因为，即，所以，第4页/共19页构造函数，则有，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，变形，则有，即，所以，解得：或，故选：B．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值判断A，根据指数函数的性质判断B，根据不等式的性质判断C，利用作差法判断D.【详解】对于A，令，，满足，此时，故A错误；对于B，因为指数函数在上单调递增，且，所以，故B正确；对于C，因为，，所以，所以，故C正确；对于D，因为，，所以，，所以，所以，故D正确．故选：BCD．10.已知，下面结论正确的是（）第5页/共19页A.若，，且的最小值为，则B.存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围是D.若在上单调递增，则的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】由已知，先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，选项A，可根据条件作出判断；选项B，先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断即可；选项C，可根据条件直接列式求解；选项D，可根据条件列出不等式直接求解.【详解】由已知，，选项A，若，，则的最小值为，故该选项错误；选项B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足：，解得，当时，，故该选项正确；选项C在上恰有7个零点可得：选项正确；选项D在上单调递增可得：第6页/共19页以的取值范围是，该选项正确.故选：BCD.已知函数的定义域为R且具有下列性质：①是奇函数；②；③当，，函数．下列结论正确的是（）A.3是函数的周期B.函数在上单调递增C.函数与函数的图像的交点有8个D.函数与函数的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数【答案】BC【解析】【分析】结合①②条件可得函数周期为6，故错误；作出函数、图像即可判断、；考虑和两种情况，数形结合即可判断．【详解】解：对A：因为，所以令，可得，即，故，则，即，因为为奇函数，所以，则，所以，即函数的周期为6，故A错误；对B、C：令，则，则，又因为函数为奇函数，故第7页/共19页，再根据其周期为6，分别作出函数与的图像如下：数形结合，可得函数在上单调递增，且两函数图像共有8个交点，故B、C正确；对D：作出函数在的图像如下：若函数与函数的图像在区间的交点有5个，由图可得实数或，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.如图，在菱形ABCD中，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,．第8页/共19页因为，所以，所以为等边三角形．又，，所以．在中，，所以．故答案:13.不等式的解集为，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解.【详解】当时，恒成立，满足题意；当时，由题知，解得.综上，实数的取值范围为.故答案为：14.已知函数的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】由分段函数解析式，可分、、三种情况分别写出与第9页/共19页，结合，可得关于的表达式，再由函数的单调性求解的取值范围．【详解】当时，则，可得，即，求得，则，函数在上递增，；当时，，，可知不存在，使得；当时，则，由，得，令，，则，，，，则，即，函数在上单调递增，可得，即．综上所述，的取值范围是．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题的关键通过分、以及进行讨论，通过构造函数利用其单调性得到范围.第10页/共19页四、解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知非零向量，满足，且.（1）求与的夹角；（2）若，求.【答案】（1）2）.【解析】1）由，得，则，再结数量积的公式和可求得与的夹角；（2）由，得，将此式展开，把代入可求得结果1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴与的夹角为.（2）∵，∴，∵，又由（1）知，∴，∴.【点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题16.已知集合，．（1）若集合，求此时实数的值；（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）第11页/共19页（2）【解析】1）依题意、为关于的方程的两根，利用韦达定理计算可得；（2）由是的充分条件，知，分，、三种情况求出，利用集合的包含关系求实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以、为关于的方程的两根，所以，解得；【小问2详解】由，即，解得，所以，由命题，命题且是的充分条件，所以，由，可得，当时，解得，即，所以；当时，解得，即，显然不符合题意；当时，解得，即，所以；综上可得实数的取值范围为.17.已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.第12页/共19页（1）求函数的解析式；（2）若正实数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】1）由幂函数求得m，再由在上单调递增求得k，然后再验证奇偶性即可.（2）由（1）得到，然后利用“1”的代换，结合基本不等式求解.【小问1详解】解：由为幂函数得：，且在上单调递增，所以，又，所以或，当时，为奇函数，不满足题意，当时，为偶函数，满足题意，所以；【小问2详解】因为且，所以，所以，，第13页/共19页，当且仅当，且，即时取等号，所以的最小值为.18.已知函数在区间上有最大值2和最小值1.（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3且方程有三个不同的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；（2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围；（3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围.【小问1详解】第14页/共19页由已知可得.当时，在上为增函数，所以，解得；当时，在上为减函数，所以，解得.由于，所以.【小问2详解】由（1）知，所以在上恒成立，即，因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当时取等号.所以，即.所以求实数的范围为.【小问3详解】方程化为，化为，且.令，则方程化为.作出的函数图象第15页/共19页因为方程有三个不同的实数解，所以有两个根，且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.设，记，根据二次函数的图象与性质可得，或，解得.所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.19.已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满第16页/共19页足条件的区间上，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数；（2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解；（3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围.【小问1详解】由，得，则则为偶函数，于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以，又，所以，故.【小问2详解】因为，所以，故，，而恒成立，即，整理可得.第17页/共19页令，，设，，设，且，则，由于，，则，所以，即区间上单调递增