导学案数学第十章1011011有限样本空间与随机事件

10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件【学习目标】【素养达成】1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间数学抽象2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义数学抽象一、随机试验(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,常用字母E来表示.(2)随机试验的特点:①试验可以在相同条件下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.二、样本点、样本空间、有限样本空间项目定义字母表示样本点把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}三、随机事件随机事件样本空间Ω的子集,用A,B,C,…表示事件A发生在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时基本事件只包含一个样本点的事件必然事件每次试验中总有一个样本点发生,即Ω不可能事件不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,即⌀【教材挖掘】(P228思考)问题:体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同,分别标号0,1,2,…,9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的号码,这个随机试验共有多少种可能结果?如何表示这些结果?提示:10种可能结果;可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)随机试验的结果是不确定的.(×)提示:随机试验的结果是确定的.(2)一次随机试验所有可能出现的结果只有一个.(×)提示:一次随机试验可能出现的结果不止一个.(3)有限样本空间中的样本点是有限的.(√)提示:有限样本空间中的样本点是确定的,有限的.类型一确定样本空间(数学抽象)【典例1】(1)(教材P229例2改编)将一枚骰子先后抛掷两次,观察它落地时朝上的面的点数,试写出这个试验的样本空间;(2)(链接教材P229例3)连续抛掷3枚硬币,观察落地时这3枚硬币朝上的面的情况,试写出这个试验的样本空间.【解析】(1)两次掷出的点数列表如下:第一次第二次1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以其样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},也可写成Ω={(m,n)|1≤m≤6,1≤n≤6,m,n∈N*}.(2)画树状图如图所示.因此这个试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.【备选例题】写出下列试验的样本空间:(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子,记录三枚骰子出现的点数之和;(2)从含有两件正品a1,a2和两件次品b1,b2的四件产品中任取两件,观察取出产品的结果;(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,观察涂色的情况.【解析】(1)该试验的样本空间Ω1={3,4,5,…,18}.(2)该试验所有可能的结果如图所示,因此,该试验的样本空间Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.(3)如图,用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色这三种颜色,则此试验的样本空间Ω3={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}.【总结升华】写样本空间的方法(1)列举法:适用于样本点个数不多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.(3)树状图法:适用于较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.【即学即练】1.(2024·北京高一检测)抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选C.抛掷两枚硬币,试验的样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},样本点共有4个.2.(2024·上海徐汇区月考)若从两男两女四人中随机选出两人,设两个男生分别用A,B表示,两个女生分别用C,D表示,则相应的样本空间Ω=______________,“选出一男一女”对应的样本点组成的集合为______________.

答案:{AB,AC,AD,BC,BD,CD}{AC,AD,BC,BD}【解析】随机选出两人的所有可能结果组成的集合为{AB,AC,AD,BC,BD,CD},因此Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD}.“选出一男一女”对应的样本点组成的集合为{AC,AD,BC,BD}.类型二事件类型的判断(数学抽象)【典例2】(2024·上海高二检测)下列事件中,随机事件的个数是()①某人购买福利彩票一注,中奖500万元;②三角形的内角和为180°;③地球上,没有空气和水,人类可以生存下去;④同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.对于事件①,某人购买福利彩票一注,中奖500万元,该事件为随机事件;对于事件②,三角形的内角和为180°,该事件为必然事件;对于事件③,地球上,没有空气和水,人类可以生存下去,该事件为不可能事件;对于事件④,同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上,该事件为随机事件.因此,随机事件的个数为2.【总结升华】对事件分类判断的两个关键点条件事件的分类是与一定的条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生结果发生与否有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况【即学即练】(多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,则下列判断正确的是()A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张红色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件【解析】选ABC.“都是红色卡片”可能发生,是随机事件,所以A正确;袋中只有2张蓝色卡片,所以B,C正确;“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件,所以D错误.类型三随机事件的表示及含义(数学抽象)【典例3】试验E:甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布),观察甲、乙出拳的情况.(1)写出试验的样本空间.(2)用集合表示下列事件:①设事件A表示随机事件“甲乙平局”;②设事件B表示随机事件“甲赢得游戏”;③设事件C表示随机事件“乙不输”.【解析】(1)设石头为w1,剪刀为w2,布为w3,用(i,j)表示游戏的结果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳,则样本空间Ω={(w1,w1),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w1),(w2,w2),(w2,w3),(w3,w1),(w3,w2),(w3,w3)}.(2)①因为事件A表示随机事件“甲乙平局”,则满足要求的样本点共有3个:(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),所以事件A={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3)};②因为事件B表示随机事件“甲赢得游戏”,则满足要求的样本点共有3个:(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1),所以事件B={(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1)};③因为事件C表示“乙不输”,则满足要求的样本点共有6个:(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w2,w1),(w1,w3),(w3,w2),所以事件C={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w1,w3),(w2,w1),(w3,w2)}.【总结升华】随机事件的表示及含义题型求解策略(1)随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可.(2)说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义.【即学即练】在试验E:“连续抛掷一枚均匀的骰子2次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义.(1)事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)};(2)事件B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)};(3)事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)}.【解析】(1)事件A中所含的样本点中的第二个数都为3,根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中,故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次,第二次掷出的点数为3;(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6,且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中,故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次,2次掷出的点数之和为6;(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2,且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中,故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次,2次掷出的点数之差的绝对值为2.【补偿训练】柜子里有3双不同的鞋,随机抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分别表示3双不同的鞋,其中下标为奇数表示左脚,下标为偶数表示右脚,指出下列随机事件的含义.(1)M={A1B1,A1B2,A1C1,A