导学案数学专题突破课五空间中的垂直关系

专题突破课五空间中的垂直关系——寸辖制轮寻专题,纲举目张谋突破空间中的垂直关系是本章的重点与难点,是高考的命题热点.利用图形,结合判定与性质定理,灵活转化线面关系是解决这类问题的关键.类型一直线与平面垂直的判定与性质定理的应用【典例1】如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点,证明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【证明】(1)PA⊥底面ABCD,所以CD⊥PA.又CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)PA=AB=BC,∠ABC=60°,所以PA=AC,因为E是PC的中点,所以AE⊥PC,由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,可得AB⊥PA,又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,所以易知AB⊥PD,所以PD⊥平面ABE.【总结升华】判定线面垂直的四种方法【补偿训练】如图,在三棱锥PABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,且CP⊥PB,求证:CP⊥PA;(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC.【证明】(1)因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,AB⊂平面ABC,AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC.因为CP⊂平面PBC,所以CP⊥AB.又CP⊥PB,且PB∩AB=B,AB⊂平面PAB,PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB,所以CP⊥PA.(2)在平面PBC内过点P作PD⊥BC,垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC,又平面PBC∩平面ABC=BC,PD⊂平面PBC,所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC,所以l∥PD.因为l⊄平面PBC,PD⊂平面PBC,所以l∥平面PBC.类型二平面与平面垂直的判定与性质定理的应用【典例2】如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E为AD的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.【证明】(1)因为PA=PD,E为AD中点,所以PE⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,所以PE⊥BC.(2)由(1)知,PE⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PE⊥CD.在矩形ABCD中,AD⊥CD,又因为AD∩PE=E,AD,PE⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.AP⊂平面PAD,所以CD⊥AP.又因为PA⊥PD,CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以PA⊥平面PCD.因为PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.【总结升华】证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.【补偿训练】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=3,AD=3,点M是棱BC上的点,且满足BM=1.(1)求证:AB⊥PD;(2)求证:平面PAM⊥平面PBD.【证明】(1)根据题意得,PA⊥底面ABCD,则PA⊥AB,而底面ABCD为矩形,则AB⊥AD,又因为PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,因为PD⊂平面PAD,故AB⊥PD.(2)PA⊥底面ABCD,则PA⊥BD,底面ABCD为矩形,AB=3,且AD=3,则有BC=3,CD=3,又由BM=1,则有BMAB=CDBC=则Rt△ABM∽Rt△BCD,则有∠BAM=∠CBD,则有∠BAM+∠ABD=90°,故BD⊥AM,又由PA⊥BD,PA∩AM=A,则BD⊥平面PAM,而BD⊂平面PBD,故有平面PAM⊥平面PBD.类型一线面角与二面角的应用【典例1】如图,四棱锥PABCD的底面是边长为1的菱形,∠ABC=23π,PD⊥平面ABCD,PD=1,M为PB的中点(1)求证:平面MAC⊥平面PDB;(2)求CP与平面MAC所成角的正弦值.【解析】(1)如图,连接BD交AC于点O,因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,因为BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB,因为AC⊂平面AMC,所以平面MAC⊥平面PDB.(2)过点P作PH⊥平面AMC,交平面AMC于点H,连接CH,则∠PCH是CP与平面MAC所成角,连接OM,因为PD∥OM,所以PD∥平面AMC,所以PH是点D到平面AMC的高,因为PD⊥平面ABCD,所以OM⊥OD,因为平面AMC⊥平面PDB,平面AMC∩平面PDB=OM,所以OD⊥平面AMC,所以PH=OD=12,PC=2设CP与平面MAC所成角为θ,则CP与平面MAC所成角的正弦值sinθ=PHPC=122【总结升华】1.求直线与平面所成的角的一般步骤(1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;(2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法,也可以通过垂面法进行,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.【即学即练】如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,二面角C1BDC的大小为________.

答案:30°【解析】如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=2,则C1O=22,所以sin∠C1OC=C1CC所以∠C1OC=30°.类型二垂直关系的探索问题【典例2】如图,四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,P是平面ABCD外一点,G为边AD的中点,△PAD为正三角形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)若E为边BC的中点,能否在边PC上找出一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?【解析】(1)四边形ABCD是菱形,P是平面ABCD外一点,△PAD为正三角形,平面PAD⊥平面ABCD.所以AB=AD.又因为∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形.因为G为边AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面BAD,所以BG⊥平面PAD.(2)存在点F,且F为PC的中点.证明如下:如图,连接CG,DE,CG交DE于点M,连接FM.因为AD∥BC且AD=BC,又E,G分别是BC,AD的中点,所以CE∥DG且CE=DG.连接EG,则四边形CEGD是平行四边形,所以CM=MG.又因为CF=FP,所以MF∥PG.因为△PAD是等边三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,所以MF⊥平面ABCD.又MF⊂平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.【总结升华】1.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.【即学即练】如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.(1)求证:MN∥平面ABB1A1;(2)线段CC1上是否存在点Q,使A1B⊥平面MNQ?说明理由.【解析】(1)取AB中点D,连接DM,DB1.在△ABC中,因为M为AC中点,所以DM∥BC,DM=12在矩形B1BCC1中,因为N为B1C1中点,所以B1N∥BC,B1N=12所以DM∥B1N,DM=B1N.所以四边形MDB1N为平行四边形,所以MN∥DB1.因为MN⊄平面ABB1A1,DB1⊂平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.(2)线