2024-2025学年试题数学三十三直线与直线垂直

三十三直线与直线垂直(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中,和AC垂直且异面的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【解析】选B.和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,共2条.2.(5分)在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=5,PR=3,那么异面直线AC和BD所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】选A.∠PQR(或其补角)即为所求,由勾股定理可知∠PQR=90°.3.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1与B1D所成角的余弦值是()A.33 B.22 C.12 【解析】选A.如图所示,直线AA1与B1D所成的角为∠BB1D(或其补角),其余弦值为BB1B1D4.(5分)将边长为1的正方形AA1O1O绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AC长为2π3,A1B1长为π3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与A.π6 B.π4 C.π3 【解析】选B.如图,过B1作B1B⊥底面圆O,垂足为点B,连接OB,BC,则根据题意易知AA1∥B1B,且∠COB=2π3π3=π3,所以异面直线B1C与AA1所成的角为∠BB1C,在Rt△BB易知B1B=OB=BC,所以∠BB1C=π45.(5分)(多选)在下列四个正方体中,直线AB与CD不垂直的是()【解析】选BCD.对于B,作出过AB的等边三角形截面ABE,如图,将CD平移至内侧面,可得CD与AB所成角等于60°,故CD与AB不垂直;对于C,D,将CD平移至经过B点的侧棱处,可得AB与CD所成角都是锐角,不垂直.6.(5分)(多选)如图是一个正方体的平面展开图,在原正方体中,下列结论正确的是()A.AB与CD所在直线垂直B.CD与EF所在直线平行C.AB与MN所在直线成60°角D.MN与EF所在直线异面【解析】选CD.画出原正方体如图所示,连接DN,DM,由图可知选项A,B错误;在选项C中,AB∥DN,MN=DN=DM,所以△DMN为等边三角形,所以AB与MN所在的直线成60°角是正确的;在选项D中,显然MN与EF所在直线异面是正确的.7.(5分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥AB,底面ABCD是平行四边形,则PA与CD所成的角是________.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠PAB是PA与CD所成的角.又因为PA⊥AB,所以∠PAB=90°.答案:90°8.(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,若AE与A1B1所成的角的大小为25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.

【解析】因为A1B1∥AB,所以∠BAE=25°,因为B1C1∥BC,所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°25°=65°.答案:65°9.(5分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=2BB1,则AB1与BC1的位置关系为__________.

【解析】设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=3,B1C2=3,AC2=6,所以AC22=AB12+B1C22,则∠AB1C2=90°.所以AB1与BC1所成的角为90°,即答案:AB1⊥BC110.(10分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求证:EF⊥A1C1.【解析】(1)如图所示,连接AC,AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1.【综合应用练】11.(5分)(2024·六安高一期中)如图,已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()A.63 B.33 C.13 【解析】选B.连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB,由题意知,EO∥PC,则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角),在△BEO中,EO=1,BO=2,BE=3,则cos∠BEO=BE2+则异面直线BE与PC所成角的余弦值为3312.(5分)如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,所以∠MPN=90°,PN=12AC=4,PM=12BD=3,所以MN13.(5分)如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,G,H,J,I分别为AF,AD,DE,BE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成的角为________.

【解析】将三角形折成三棱锥后,其直观图如图所示,GH与IJ是异面直线.因为G,H分别为AF,AD的中点,所以GH∥DF.又I,J分别为AE,DE的中点,所以IJ∥AD.所以DF与AD所成的角即为异面直线GH与IJ所成的角.由题意知△ADF是正三角形,所以DF与AD所成的角为60°.即GH与IJ所成的角为60°.答案:60°14.(10分)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.【证明】方法一:如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.则OG∥B1D,EF∥A1C1.所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.所以DB1⊥EF.方法二:如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE12DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.连接HF,设AA1=1,则EF=22,HE=3取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF.所以HF2=HI2+IF2=54所以HF2=EF2+HE2.所以∠HEF=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.所以DB1⊥EF.15.(10分)(2024·杭州高一期中)正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点.(1)求异面直线CD1与BC1所成角的度数;(2)求证:MN∥平面ABCD.【解析】(1)连接A1B,A1C1,因为A1D1=BC且A1D1∥BC,所以四边形A1D1CB为平行四边形,所以CD1∥A1B,则∠A1BC1为异面直线CD1与BC1所成的角,在正方体中,可得A1C1=A1B=BC1,即△A1C1B为等边三角形,所以∠A1BC1=60°,所以异面直线CD1与BC1所成角为60°;(2)取CC1的中点E,连接ME,NE,因为M,N分别是BC