2024-2025学年试题数学单元形成性评价（五）（第十章）

单元形成性评价(五)(第十章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3,则不用现金支付的概率为()A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6【解析】选B.由题得不用现金支付的概率P=10.40.3=0.3.2.(2024·黄浦高二期末)掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上的点数,若A表示事件“点数大于3”,B表示事件“点数为偶数”,则事件“点数为5”可以表示为()A.A∩B B.A∩B C.A∪B D.A∪B【解析】选B.A∩B表示“点数为2”,A∩B表示“点数为5”,A∪B表示“点数为3或2或1或4或6”,A∪B表示“点数为1或3或4或5或6”.3.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是()A.掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜【解析】选B.对于A,C,D,甲胜、乙胜的概率都是12,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平4.(2024·上饶高一期末)若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是()A.112 B.19 C.536 【解析】选C.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)有6×6=36(种)可能,其中满足m+n=8,m,n∈{1,2,3,4,5,6}的数对有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种可能,所以点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是5365.(2024·北京高二期中)据天气预报,春节期间甲地的降雪概率是0.4,乙地的降雪概率是0.3.这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响,那么春节期间两地都不降雪的概率是()A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.46【解析】选B.设“甲地降雪”为事件A,“乙地降雪”为事件B,“甲、乙两地都不降雪”即事件A与B同时发生,即A∩B,P(A)=10.4=0.6,P(B)=10.3=0.7,利用独立事件的性质可知,事件A与B相互独立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42,所以甲、乙两地都不降雪的概率为0.42.6.在普通高中新课程改革中,某地实施“3+1+2”选课方案,该方案中的“2”指的是政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门,假设每门学科被选中的可能性相等,那么政治和地理至少有一门被选中的概率是()A.16 B.12 C.23 【解析】选D.在政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有6种情况,分别为政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物.其中政治和地理至少有一门的情况包含5种,分别为政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物,故政治和地理至少选一门的概率为P=567.从甲袋中摸出1个白球的概率为13,从乙袋内摸出1个白球的概率是12,从两个袋内各摸1个球,那么概率为56A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球C.2个球不都是白球 D.2个球恰好有1个白球【解析】选C.设2个球都是白球为事件A,2个球都不是白球为事件B,2个球不都是白球为事件C,2个球恰好有1个白球为事件D.因为从甲袋中摸球与从乙袋中摸球是相互独立事件,所以P(A)=13×12=16,P(B)=23×因为事件C与事件A是对立事件,所以P(C)=116=5因为事件D可划分为从甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球这两个互斥事件,所以P(D)=13×12+23×18.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数”.其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从五个“阳数”中随机抽取三个数,则能使这三个数之和等于15的概率是()A.310 B.15 C.23 【解析】选B.从五个“阳数”1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法,符合题意的有2种{1,5,9}和{3,5,7},故所求概率为210=1二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.(2024·泸州高二期末)下列说法正确的是()A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动,抽签决定谁去,则先抽的概率大些B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1C.如果事件A与事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1D.已知事件A发生的概率为P(A)=0.3,则它的对立事件A发生的概率P(A)=0.7【解析】选BD.对于A,甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去,则每位同学被抽到的概率都是13对于B,由概率的性质可知,0≤P(A)≤1,故B正确;对于C,如果事件A与事件B对立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定对立,故C错误;对于D,因为事件A发生的概率为P(A)=0.3,所以它的对立事件A发生的概率P(A)=10.3=0.7,故D正确.10.(2024·攀枝花高二期末)某人打靶时连续射击两次,记事件A为“第一次中靶”,事件B为“至少一次中靶”,事件C为“至多一次中靶”,事件D为“两次都没中靶”.下列说法正确的是()A.A∩B=AB.B与C是互斥事件C.C∪D=ΩD.B与D是互斥事件,且是对立事件【解析】选AD.由题意可知,事件Ω为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”;事件B为“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”;事件C为“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有中靶”;事件D为“两次都没有中靶”;故A∩B=A,B与C不是互斥事件,B与D是互斥事件,且是对立事件,C∪D≠Ω.11.已知事件A,B相互独立,且P(A)=13,P(B)=12,则(A.P(A)=2B.P(AB)=1C.P(A+B)=2D.P(AB+AB)=5【解析】选AC.根据事件A,B相互独立,且P(A)=13,P(B)=1可得P(A)=1P(A)=113=2而P(B)=1P(B)=112=12,所以P(AB)=P(A)P(B)=13×1由独立事件的概率可知P(AB)=P(A)P(B)=13×12=所以P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=13+1216由概率加法公式可得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=13×12+23×12三、填空题(每小题5分,共15分)12.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则任意相邻两个矩形颜色不同的概率是________.

【解析】由于只有两种颜色,不妨将其设为1和2.样本点有111,112,121,211,221,212,122,222,共8种,其中任意相邻两个矩形颜色不同的结果有121,212,共2种,故所求概率P=28=1答案:113.在某次考试中,第22题和23题为选做题,规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为12,则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________;甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________【解析】设事件A表示“甲选做第22题”,事件B表示“乙选做第22题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB∪AB”,且事件A,B相互独立.因为P(AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=12×12+112×112=12所以甲、乙2名学生选做同一道题的概率为12因为P(A)P(B)=12×12=14答案:1214.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9;同时,有n个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,且这n个人研究项目M的结果相互独立.设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的最小值是________.

【解析】这n个人组成团队不能解决项目M的概率为112n=12n,则P2=112n.由112n≥0.9,得12n≤110.又n∈N*,解得n≥4.答案:4四、解答题(共77分)15.(13分)甲、乙两名射击运动员进行射击训练,已知甲命中10环,9环,8环的概率分别是13,13,13,乙命中10环,9环,8环的概率分别是18,1(1)求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率;(2)现甲、乙两人进行射击比赛,每一轮比赛两人各射击1次,环数高于对方为胜,环数低于对方为负,环数相等为平局,规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者,比赛结束,求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.【解析】(1)记X表示甲运动员两次射击命中环数之和,则X=18包含“第一次命中10环且第二次命中8环”“第一次命中8环且第二次命中10环”“第一次命中9环且第二次命中9环”这三种情况,所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率P=2×13×13+13×1(2)记Ai表示甲在第i轮胜利,Bi表示甲在第i轮平局,Ci表示甲在第i轮失败(i=1,2,3),则P(Ai)=13×58+14+13×58=12,P(Bi)=13,P(①若甲获得最终胜利结束3轮比赛,则第2轮、第3轮甲连续胜利,第1轮甲没有获得胜利,其概率P1=112×12×12=1②若乙获得最终胜利结束3轮比赛,则第2轮、第3轮乙连续胜利,第1轮乙没有获得胜利,其概率P2=116×16×16=5所以经过3轮比赛结束的概率P=P1+P2=18+5216=16.(15分)端午节,又称端阳节、龙舟节、天中节等,源于自然天象崇拜,由上古时代祭龙演变而来.端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日.某社区为丰富居民业余生活,举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛,比赛共分为两轮.在第一轮比赛中,每位选手均需参加两关比赛,若其在两关比赛中均达标,则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中,选手A,B第一关达标的概率分别是45,23;第二关达标的概率分别是34,35.A(1)分别求出A,B进入第二轮比赛的概率;(2)若A,B两人均参加第一轮比赛,求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.【解析】(1)设事件A1=“A在第一轮第一关比赛中达标”,事件A2=“A在第一轮第二关比赛中达标”,事件B1=“B在第一轮第一关比赛中达标”,事件B2=“B在第一轮第二关比赛中达标”.则A进入第二轮比赛的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2)=45×34=B进入第二轮比赛的概率P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×35=(2)由(1)可知A没有进入第二轮比赛的概率为1P(A1A2)=135=2B没有进入第二轮比赛的概率为1P(B1B2)=125=3则A,B两人都没有进入第二轮比赛的概率为25×35=故A,B两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率P=1625=1917.(15分)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如表所示.项目35岁以下35~50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层随机抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研究生的概率;(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层随机抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下的有48人,50岁以上的有10人,再从这N个人中随机抽取1人,此人的年龄为50岁以上的概率为539,求x,y的值【解析】(1)用分层随机抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本.设抽取学历为本科的人数为m,则3050=m5,解得m=3,所以抽取的学历为研究生的人数为5抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作A1,A2;B1,B2,B3.从中任取2人的所有的样本点共有10个:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).其中至少有1人的学历为研究生的样本点有7个:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2).所以从中任取2人,至少有1人的学历为研究生的概率为710(2)由题意,得10N=539,解得所以35~50岁年龄段中被抽取的人数为784810=20,所以4880+x=2050=1020+y,解得x=40,y=5,即18.(17分)有一天,小明去公园玩,被公园门口的一种游戏所吸引,其游戏规则是,如图是一个转盘,游戏者先免费转一下,转盘停止后,找到指针所指的数记为x,然后从这一格的下一格开始计数,顺时针数x个格子停止,按照停止的格子上的提示得到或付出相应的钱数.请从数学的角度来分析该游戏公平吗?【解析】假设指针所指的数为3,则按规则可得到3元(顺时针数3个格,最后停在12的位置上),同理,指针所指的数为5,7,11,13,15中的一个时,同样可得3元.但指针所指的数为除3,5,7,11,13,15之外的数时,都要罚3元.例如,若指针所指的数为10,按规则从这一格的下一格开始数,顺时针数10个位置到位置16,则要罚3元.由题意得,所有可能的情况有16种,得到钱的情