空间几何体表面积体积学案-2024届高三数学二轮复习

空间几何体表面积体积【学习目标】1.熟记空间几何体表面积公式，通过考点一利用公式法与侧面展开法计算几何体的表面积2.熟记柱锥台球体积公式，通过考点二利用公式法与割补法计算几何体的体积3.通过考点三，利用图形定位法解决截面问题，通过展开图求解最短路径问题【体验高考】1.（2023全国理科乙卷10）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A.1 B. C.2 D.32.（2023全国Ⅱ卷9多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（）．A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为3.（2023全国文科甲卷8）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.4.（2023全国理科甲卷15）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．5.（2023全国Ⅱ卷14）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【考点分类探究】考点一几何体的表面积角度1公式法——表面积问题例1（1）(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100π B．128πC．144π D．192π（2）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（

）A．8 B． C． D．角度2表面展开法——表面积问题例2（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．针对训练：(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)考点二几何体的体积角度1公式法——体积问题例3（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．(2)（2023·广东梅州·统考三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（

）A． B． C． D．角度2截面分割法——体积问题例4(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2D．2V3＝3V1针对训练：(2022·海宁模拟)已知长方形ABCD中，AD＝2，AB＝4，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为()A．10eq\r(2)π B.eq\f(28\r(2),3)πC．10π D．8eq\r(2)π角度3等体积法——体积问题例5如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，则四面体B­B1DE的体积为________．针对训练：如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．角度4补形法——体积问题例6如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．题型三几何体的表面问题角度1图形定位法——截面问题例7(2022·重庆模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G，H分别为棱AB，BC，C1D1，A1D1的中点，若平面α∥平面EFGH，且平面α与棱A1B1，B1C1，B1B分别交于点P，Q，S，其中点Q是棱B1C1的中点，则三棱锥B1­PQS的体积为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)角度2最短路径问题例8（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（）.

A．B．C．D．针对训练：（2023·河北·高三专题练习）如图，正方体的棱长为，点为的中点，在对角面上取一点，使最小，其最小值为巩固提升1.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为eq\r(3)，此时四面体ABCD的外接球的表面积为()A.eq\f(7\r(7),6)π B.eq\f(19\r(19),6)πC．7π D．19π2.[2023·新高考Ⅱ卷](多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．AC＝22D．△PAC的面积为33.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝6，E，F分别为BB1，A1C1的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面交B1C1于点M，则EM＝()A．9 B．5C.eq\r(13) D．3eq\r(5)4.（2023·湖南长沙·高三校联考阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．5.（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是（

）A． B． C． D．6.(多选)(2022·潍坊模拟)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成．开始时，细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计)．假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是()A．沙漏中的细沙体积为eq\f(1024π,81)cm3B．沙漏的体积是128πcm3C．细沙全部