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文档简介
专题06一元二次方程
课标要求考点考向
考向一一元二次方程的相关概
1.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系
念
数的一元二次方程;解一元
考向二解一元二次方程
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两二次方
个实根是否相等;程考向三一元二次方程根的判别
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画式
现实世界数量关系的有效模型;
4.能利用一元二次方程解决实际应用问题,并根据具体问题考向一增长率问题
的实际意义,检验方程的解是否合理.一元二
次方程考向二与图形有关的问题
的应用
考向三营销问题
►考向一一元二次方程的相关概念
1.(2024·江苏宿迁·中考真题)规定:对于任意实数a、b、c,有【a,b】★cacb,其中等式右面是通
常的乘法和加法运算,如【2,3】★12135.若关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数
根,则m的取值范围为()
1111
A.mB.mC.m且m0D.m且m0
4444
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,根据题意得到mx2x10,再由有两个不相等
的实数根得到124m10,且m0,即可得到答案.
【详解】解:∵【x,x1】★mx0,【a,b】★cacb
∴xmxx10,即mx2x10,
∵关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数根,
∴124m10,且m0,
1
解得m且m0,
4
故选:D.
2.(2024·四川凉山·中考真题)若关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根是x0,则a的
值为()
1
A.2B.2C.2或2D.
2
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解,二次项系数不为0.由一元二次方程的定义,
22
可知a20;一根是0,代入a2xxa40可得a240,即可求答案.
【详解】解:a2x2xa240是关于x的一元二次方程,
a20,即a2①
由一个根x0,代入a2x2xa240,
可得a240,解之得a2;②
由①②得a2;
故选A
3.(2024·广东深圳·中考真题)已知一元二次方程x23xm0的一个根为1,则m.
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义,根据一元二次方程的解的定义,将代入原方程,列出关
于m的方程,然后解方程即可.�=1
【详解】解:关于x的一元二次方程x23xm0的一个根为1,
x1满足一元二次方程x23xm0,
13m0,
解得,m2.
故答案为:2.
►考向二解一元二次方程
►考查角度一因式分解法
4.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根,则这个三角形
的周长为()
A.17或13B.13或21C.17D.13
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程,等腰三角形的定义,三角形的三边关系及周长,由方程可得x13,
x27,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长,掌
握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.
2
【详解】解:由方程x10x210得,x13,x27,
∵337,
∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,
∴这个三角形的周长为37717,
故选:C.
5.(2024·贵州·中考真题)一元二次方程x22x0的解是()
A.x13,x21B.x12,x20C.x13,x22D.x12,x21
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程,利用因式分解法求解即可.
【详解】解∶x22x0,
∴xx20,
∴x0或x20,
∴x12,x20,
故选∶B.
►考查角度二直接开方法
a2b,a0,
6.(2024·广东广州·中考真题)定义新运算:ab例如:24(2)240,
ab,a0,
3
23231.若x1,则x的值为.
4
17
【答案】或
24
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,一元一次方程的应用,解题的关键是明确新运算的定义.根据
新定义运算法则列出方程求解即可.
a2b,a0,
【详解】解:∵ab
ab,a0,
3
而x1,
4
3
∴①当x0时,则有x21,
4
1
解得,x;
2
3
②当x0时,x1,
4
7
解得,x
4
17
综上所述,x的值是或,
24
17
故答案为:或.
24
►考查角度三配方法
7.(2024·山东德州·中考真题)把多项式x23x4进行配方,结果为()
2
237
A.x35B.x
24
22
32537
C.xD.x
2424
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式,利用添项法,先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方
式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.
根据利用完全平方公式的特征求解即可;
【详解】解:x23x4
33
x23x()2()24
22
2
37
x
24
故选B.
8.(2024·山东东营·中考真题)用配方法解一元二次方程x22x20230时,将它转化为(xa)2b的形
式,则ab的值为()
A.2024B.2024C.1D.1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程.熟练掌握配方法步骤,是解出本题的关键.
2
用配方法把x22x20230移项,配方,化为x12024,即可.
【详解】解:∵x22x20230,
移项得,x22x2023,
配方得,x22x120231,
2
即x12024,
∴a1,b2024,
2024
∴ab11.
故选:D.
►考查角度四公式法
9.(2024·河北·中考真题)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,
则a()
A.1B.21C.21D.1或21
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,熟练掌握知识点是解题的关键.
由题意得方程2a1a2,利用公式法求解即可.
【详解】解:由题意得:2a1a2,
解得:a12或a12(舍)
故选:C.
2
10.(2024·四川南充·中考真题)已知抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左侧),
2
抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),且ABCD.下列四个结论:①C1
与C2交点为(1,1);②mn4;③mn0;④A,D两点关于(1,0)对称.其中正确的结论是.(填
写序号)
【答案】①②④
2
22mm4m
【分析】由题意得xmxmxnxn,根据mn可以判断①;令y0求出x,
2
2
nn4n2
x,由ABCD可以判断②;抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左
2
2
侧),抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),根据根的判别式得出m0
或m4,n0或n4,可以判断③,利用两点间的距离可以判断④.
【详解】解:①由题意得x2mxmx2nxn,
∴mnxnm,
∵mn,
∴x1,
当x1时,y1,
∴C1与C2交点为(1,1),故①正确,
mm24m
当y0时,x2mxm0,解得x,
2
mm24mmm24m
∴ABm24m,
22
nn24n
当y0时,x2nxn0,解得x,
2
nn24nnn24n
∴CDn24n,
22
∵ABCD,
∴m24mn24n,即m24mn24n,
∴m2n24m4n,则有:mnmn4mn,
∵mn,
∴mn4,故②正确;
22
③∵抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左侧),抛物线C2:yxnxn(mn)与
x轴交于两点C,D(C在D的左侧),
∴m24m0,n24n0,
解得:m0或m4,n0或n4,
由②得mn4,
∴m4n,
当m0时,n4,或当m4时,n0,
∴mn0,故③错误;
mm24m
④由①得:x2mxm0,解得x,
2
∵A在B的左侧,C在D的左侧,
mm24mmm24mnn24nnn24n
∴A,0B,0C,0D,0
,,,,
2222
∵m4n,
2
2
4n4n44n4nn4n
∴A,0,整理得:A,0,
22
4nn24nnn24n
∴2,
22
∴由对称性可知:A,D两点关于(1,0)对称,故④正确;
综上可知:①②④正确,
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数与一元二次方程的关系,解一元二次方程,根的判
别式,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
k
11.(2024·福建·中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y的图象与O交于A,B两
x
点,且点A,B都在第一象限.若A1,2,则点B的坐标为.
【答案】
【分析】本2,题1考查了反比例函数的性质以及勾股定理,完全平方公式的应用,先根据A1,2得出k2,设
2
Bn,m,则nmk2,结合完全平方公式的变形与应用得出m3,m23m2m1m20,
m
结合A1,2,则B2,1,即可作答.
【详解】解:如图:连接OA,OB
k
∵反比例函数y的图象与O交于A,B两点,且A1,2
x
k
∴2,k2
1
设Bn,m,则nmk2
∵OBOA22125
2
∴m2n255
2
则mnm2n22mn549
∵点B在第一象限
∴mn3
2
把nmk2代入得m3,m23m2m1m20
m
∴m11,m22
经检验:m11,m22都是原方程的解
∵A1,2
∴B2,1
故答案为:2,1
12.(2024·四川凉山·中考真题)已知y2x0,x23y2x30,则x的值为.
【答案】3
【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
将y2x代入x23y2x30,转化为解一元二次方程,y2x0,要进行舍解.
【详解】解:∵y2x0,
∴y2x,
将y2x代入x23y2x30
得,x23xx30,
即:x22x30,
x3x10,
∴x3或x1,
∵y2x0,
∴x1舍,
∴x3,
故答案为:3.
13.(2024·山西·中考真题)一元二次方程x26x0的解是.
【答案】x10,x26
【分析】直接提取公因式求解即可.
【详解】解:x26x0,
x(x-6)=0,
解得x1=0,x2=6,
故答案为:x1=0,x2=6.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,掌握方程解法是解题关键.
►考向三一元二次方程根的判别式
易错易混提醒
一元二次方程根的情况与判别式的关系
1.当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
2.当b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根;
3.当b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
bc
一元二次方程ax2bxc0(a0)根与系数的关系:若方程的两实数根为x,x,则xx,xx.
1212a12a
14.(2024·山东济南·中考真题)若关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范
围是()
11
A.mB.mC.m4D.m4
44
【答案】B
2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程axbxc0a0的根与b24ac有如
下关系:①0,方程有两个不相等的实数根,②0,方程有两个相等的实数根,③0,方程没
2
有实数根,由题意得出Δ141m0,计算即可得出答案.
【详解】解:∵关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根,
2
∴Δ141m0,
1
解得:m,
4
故选:B.
15.(2024·北京·中考真题)若关于x的一元二次方程x24xc0有两个相等的实数根,则实数c的值为
()
A.16B.4C.4D.16
【答案】C
2
【分析】根据方程的根的判别式Δb24ac441c0即可.本题考查了一元二次方程的根的判别
式,熟练掌握根的判别式是解题的关键.
【详解】∵方程x24xc0有两个相等的实数根,a1,b4,cc,
2
∴Δb24ac441c0,
∴4c=16,
解得c4.
故选C.
16.(2024·上海·中考真题)以下一元二次方程有两个相等实数根的是()
A.x26x0B.x2-9=0
C.x26x60D.x26x90
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况,解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
2
axbxc0a0,当b24ac0时,方程有两个不相等实数根;当b24ac0时,方程的两个
相等的实数根;当b24ac0时,方程没有实数根.分别计算出各选项中的根的判别式的值,即可判断.
2
【详解】解:A.Δ6410360,该方程有两个不相等实数根,故A选项不符合题意;
B.Δ02419360,该方程有两个不相等实数根,故B选项不符合题意;
2
C.Δ6416120,该方程有两个不相等实数根,故C选项不符合题意;
2
D.Δ64190,该方程有两个相等实数根,故D选项不符合题意;
故选:D.
11
2
17.(2024·四川乐山·中考真题)若关于x的一元二次方程x2xp0两根为x1、x2,且3,则
x1x2
p的值为()
22
A.B.C.6D.6
33
【答案】A
2
【分析】本题考查了一元二次方程axbxc0(a0)根与系数的关系:若方程的两实数根为x1,x2,则
bc
xx,xx.
12a12a
2
根据一元二次方程ax2bxc0(a0)根与系数的关系得到xx2,xxp,然后通分,
12112
11xx2
12,从而得到关于p的方程,解方程即可.
x1x2x1x2p
2
【详解】解:Qxx2,xxp,
12112
11xx2
12,
x1x2x1x2p
11
而3,
x1x2
2
3,
p
2
p,
3
故选:A.
18.(2024·山东德州·中考真题)已知a和b是方程x22024x40的两个解,则a22023ab的值
为.
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值,先根据方程的解满足方程以及根与系
数关系求得a22024a4,ab2024,再代值求解即可.
【详解】解:∵a和b是方程x22024x40的两个解,
∴a22024a40,ab2024,
∴a22024a4,
∴a22023ab
a22024aab
42024
42024
2028,
故答案为:2028.
19.(2024·山东·中考真题)若关于x的方程4x22xm0有两个相等的实数根,则m的值为.
1
【答案】/0.25
4
【分析】本题考查了根的判别式,牢记“当0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.
根据方程的系数结合根的判别式,即可得出b24ac2244m0,解之即可得出结论.
【详解】解:∵关于x的方程4x22xm0有两个相等的实数根,
∴b24ac2244m416m0,
1
解得:m.
4
1
故答案为:.
4
20.(2024·四川遂宁·中考真题)已知关于x的一元二次方程x2m2xm10.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
22
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x1x2x1x29,求m的值.
【答案】(1)证明见解析;
(2)m11或m22.
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,解一元二次方程,掌握一元二次方
程根的判别式是解题的关键.
(1)根据根的判别式证明0恒成立即可;
(2)由题意可得,x1x2m2,x1x2m1,进行变形后代入即可求解.
22
【详解】(1)证明:Δm241m1m8,
∵无论m取何值,m280,恒成立,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
2
(2)解:∵x1,x2是方程xm2xm10的两个实数根,
∴x1x2m2,x1x2m1,
2222
∴x1x2x1x2x1x23x1x2m23m19,
解得:m11或m22.
►考向一增长率问题
21.(2024·江苏南通·中考真题)红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产
8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为()
2
A.72001x8450B.720012x8450
2
C.84501x7200D.845012x7200
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用,设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则2022年平均每
2
公顷72001xkg,则2023年平均每公顷产72001xkg,根据题意列出一元二次方程即可.
【详解】解:设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则2022年平均每公顷产72001xkg,
2
则2023年平均每公顷产72001xkg,
2
根据题意有:72001x8450,
故选:A.
22.(2024·云南·中考真题)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1
千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是()
2
A.801x260B.801x60
C.801x60D.8012x60
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,根据甲种药品成本的年平均下降率为x,利用现在生产1千克甲
种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年(1平均下降率)2,即可得出关于的一元二次方程.
【详解】解:甲种药品成本的年平均下降率为x,
2
根据题意可得801x60,
故选:B.
23.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,
2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是.
【答案】10%
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设平均增长率为x,然后根据题意可列方程进行求解.
【详解】解:设平均增长率为x,由题意得:
2
401x48.4,
解得:x10.110%,x22.1(不符合题意,舍去);
故答案为:10%.
24.(2024·重庆·中考真题)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了
200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平
均增长率为x,根据题意,可列方程为.
2
【答案】2001x401
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,
2
则第二季度低空飞行航线安全运行了2001x架次,第三季度低空飞行航线安全运行了2001x架次,
据此列出方程即可.
【详解】解:设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,
2
由题意得,2001x401,
2
故答案为:2001x401.
25.(2024·西藏·中考真题)列方程(组)解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入
资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率;
(2)按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元?
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率10%
(2)预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用,理解题意,找准等量关系,正确列
出一元二次方程是解此题的关键.
(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据“四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元”
列出一元二次方程,解方程即可得出答案;
(2)根据(1)中求得的增长率,即可求得七月份投入资金.
【详解】(1)解:设该商场投入资金的月平均增长率为x,
2
由题意得:201x24.2,
解得:x10.110%,x22.1(不符合题意,舍去),
∴该商场投入资金的月平均增长率10%;
(2)解:24.2110%26.62(万元),
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
►考向二与图形有关的问题
26.(2024·内蒙古通辽·中考真题)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)
的矩形鸭舍,其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其它材料制成),则BC长为()
A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,矩形的面积公式的运用,正确寻找题目的等量关
系是解题的关键.设矩形场地垂直于墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(102x1)m.根据
矩形的面积公式建立方程即可.
【详解】解:设矩形场地垂直于墙一边长为xm,
则平行于墙的一边的长为(102x1)m,
由题意得x(102x1)15,
5
解得:x3,x,
122
当x3时,平行于墙的一边的长为1023155.5;
55
当x时,平行于墙的一边的长为102165.5,不符合题意;
22
∴该矩形场地BC长为5米,
故选C.
51
27.(2024·四川德阳·中考真题)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,黄金矩形给我们以协调的美感,
2
世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩
形.(ABBC),点P是边AD上一点,则满足PBPC的点P的个数为()
A.3B.2C.1D.0
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质,勾股定理,一元二次方程的解,熟练掌握勾股定理,利用判别式判断一
元二次方程解的情况是解题的关键.设AB=a,BCb,假设存在点P,且APx,则PDbx,利用勾
股定理得到BP2AB2AP2a2x2,PC2PD2CD2(bx)2a2,BC2BP2PC2,可得到方程
ABa51
x2bxa20,结合,然后根据判别式的符号即可确定有几个解,由此得解.
BCb2
AB51
【详解】解:如图所示,四边形ABCD是黄金矩形,ABBC,,
BC2
设AB=a,BCb,假设存在点P,且APx,则PDbx,
在RtABP中,BP2AB2AP2a2x2,
在RtPDC中,PC2PD2CD2(bx)2a2,
PBPC,
BC2BP2PC2,即b2a2x2(bx)2a2,
整理得x2bxa20,
ABa5151
b24acb24a2,又,即ab,
BCb22
(51)2
b24acb24a2b24b2(255)b2,
4
2550,b20,
b24a2(255)b20,
方程无解,即点P不存在.
故选:D.
28.(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,
篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x米,平行于墙的边BC为y米,围成的矩形面积为Sm2.
(1)求y与x,s与x的关系式.
(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2,若能,求出x的值.
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.
【答案】(1)y802x19x40;s2x280x
(2)能,x25
(3)s的最大值为800,此时x=20
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用:
(1)根据ABBCCD80可求出y与x之间的关系,根据墙的长度可确定x的范围;根据面积公式可确
立二次函数关系式;
(2)令s750,得一元二次方程,判断此方程有解,再解方程即可;
(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.
【详解】(1)解:∵篱笆长80m,
∴ABBCCD80,
∵ABCDx,BCy,
∴xyx80,
∴y802x
∵墙长42m,
∴0802x42,
解得,19x40,
∴y802x19x40;
又矩形面积sBCAB
yx
802xx
2x280x;
(2)解:令s750,则2x280x750,
整理得:x240x3750,
2
此时,Δb24ac404375160015001000,
所以,一元二次方程x240x3750有两个不相等的实数根,
∴围成的矩形花圃面积能为750m2;
40100
∴x,
2
∴x125,x215,
∵19x40,
∴x25;
2
(3)解:s2x280x2x20800
∵-2<0,
∴s有最大值,
又19x40,
∴当x=20时,s取得最大值,此时s800,
即当x=20时,s的最大值为800
►考向三营销问题
29.(2024·辽宁·中考真题)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)
满足一次函数关系,部分数据如下表所示:
每件售价x/元455565
日销售量y/件554535
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)该商品日销售额能否达到2600元?如果能,求出每件售价:如果不能,请说明理由.
【答案】(1)yx100;
(2)该商品日销售额不能达到2600元,理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出
y与x之间的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.
(1)根据表格中的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式;
(2)利用销售额每件售价销售量,即可得出关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求解即可.
【详解】(1)解:设y与x之间的函数表达式为ykx(bk0),
将45,55,55,45代入ykxb得
45kb55
,
55kb45
k1
解得,
b100
y与x之间的函数表达式为yx100;
(2)解:该商品日销售额不能达到2600元,理由如下:
依题意得xx1002600,
整理得x2100x26000,
2
∴Δb24ac1004126004000,
∴该商品日销售额不能达到2600元.
30.(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享
美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,
每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每
辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?
2
【答案】(1)yx220x12000,每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12240元
5
(2)这天售出了64辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用,正确的列出函数关系式,是解题的关键:
(1)根据总利润等于单件利润乘以销量,列出二次函数关系式,再根据二次函数的性质求最值即可;
(2)令y12160,得到关于x的一元二次方程,进行求解即可.
x22
【详解】(1)解:由题意,得:y200x604x20x12000;
105
∵每辆轮椅的利润不低于180元,
∴200x180,
∴x20,
222
∵yx220x12000x2512250,
55
∴当x25时,y随x的增大而增大,
22
∴当x=20时,每天的利润最大,为20251225012240元;
5
答:每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12240元;
一、单选题
1.(2024·湖南郴州·模拟预测)下列方程中是一元二次方程的是()
21
2x2
A.2xx10B.2xy0C.3x10D.x
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程,逐一
判断即可解答.
【详解】解:A、2x2x10符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,故此选项符合题意;
B、2x2y0含有两个未知数,是二元二次方程,故此选项不符合题意;
C、3x10是一元一次方程,故此选项不符合题意;
1
x2
D、x不是整式方程,故此选项不符合题意;
故选:A.
2.(2024·湖北·模拟预测)某银行经过最近的两次降息,使一年期存款年利率由2.25%降至1.98%,设平均
每次降息的百分率是x,则可列方程为()
2
A.2.25%1x1.98%B.2.25%2.25%2x1.98%
2
C.2.25%x21.98%D.2.25%1x1.98%
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关
键.根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
2
【详解】解:依题意得:2.25%1x1.98%.
故选:A.
3.(2024·湖北·模拟预测)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主
干、支干和小分支的总数是73,设每个支干长出x个小分支,则可列方程为()
2
A.1xx273B.1x73
2
C.xx273D.11x1x73
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用,熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.
设每个支干长出x个小分支,则主干生出x个小分支,而x个小分支每个又生出x个小分支,所以一共有
1xx2个,从而可得答案.
【详解】解:设每个支干长出x个小分支,则
1xx273,
故选:A.
4.(2024·山西·模拟预测)下列一元二次方程中,没有实数根的是()
A.x25x60B.x2x10
C.x22x50D.x26x9
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式,熟记根的判别式是解题的关键.
直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解.
【详解】A、5241610,故选项A有两个不相等的实数根,不合题意;
B、1241150,故选项B有两个不相等的实数根,不合题意;
2
C、2415160,故选项C没有实数根,符合题意;
2
D、方程化为x26x90,64190,故选项D有两个相等的实数根,不合题意.
故选C.
5.(2024·湖北·模拟预测)解一元二次方程x26x10,配方后正确的是()
2222
A.x38B.x637C.x310D.x635
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解方程,注意配方时先把常数项移到右边,然后把二次项系数化为1,最后等号
两边同时加上一次项系数一半的平方.根据配方法即可求出答案.
【详解】解:∵x26x10,
∴x26x1,
∴x26x910,
2
∴x310,
故选:C.
6.(2024·天津·三模)方程x24x5的根是()
5
A.xx5B.xx4C.xxD.xx4
1212124
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