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文档简介

专题06一元二次方程

课标要求考点考向

考向一一元二次方程的相关概

1.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系

数的一元二次方程;解一元

考向二解一元二次方程

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两二次方

个实根是否相等;程考向三一元二次方程根的判别

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画式

现实世界数量关系的有效模型;

4.能利用一元二次方程解决实际应用问题,并根据具体问题考向一增长率问题

的实际意义,检验方程的解是否合理.一元二

次方程考向二与图形有关的问题

的应用

考向三营销问题

►考向一一元二次方程的相关概念

1.(2024·江苏宿迁·中考真题)规定:对于任意实数a、b、c,有【a,b】★cacb,其中等式右面是通

常的乘法和加法运算,如【2,3】★12135.若关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数

根,则m的取值范围为()

1111

A.mB.mC.m且m0D.m且m0

4444

【答案】D

【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,根据题意得到mx2x10,再由有两个不相等

的实数根得到124m10,且m0,即可得到答案.

【详解】解:∵【x,x1】★mx0,【a,b】★cacb

∴xmxx10,即mx2x10,

∵关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数根,

∴124m10,且m0,

1

解得m且m0,

4

故选:D.

2.(2024·四川凉山·中考真题)若关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根是x0,则a的

值为()

1

A.2B.2C.2或2D.

2

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解,二次项系数不为0.由一元二次方程的定义,

22

可知a20;一根是0,代入a2xxa40可得a240,即可求答案.

【详解】解:a2x2xa240是关于x的一元二次方程,

a20,即a2①

由一个根x0,代入a2x2xa240,

可得a240,解之得a2;②

由①②得a2;

故选A

3.(2024·广东深圳·中考真题)已知一元二次方程x23xm0的一个根为1,则m.

【答案】2

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义,根据一元二次方程的解的定义,将代入原方程,列出关

于m的方程,然后解方程即可.�=1

【详解】解:关于x的一元二次方程x23xm0的一个根为1,

x1满足一元二次方程x23xm0,

13m0,

解得,m2.

故答案为:2.

►考向二解一元二次方程

►考查角度一因式分解法

4.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根,则这个三角形

的周长为()

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程,等腰三角形的定义,三角形的三边关系及周长,由方程可得x13,

x27,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长,掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

2

【详解】解:由方程x10x210得,x13,x27,

∵337,

∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

∴这个三角形的周长为37717,

故选:C.

5.(2024·贵州·中考真题)一元二次方程x22x0的解是()

A.x13,x21B.x12,x20C.x13,x22D.x12,x21

【答案】B

【分析】本题考查了解一元二次方程,利用因式分解法求解即可.

【详解】解∶x22x0,

∴xx20,

∴x0或x20,

∴x12,x20,

故选∶B.

►考查角度二直接开方法

a2b,a0,

6.(2024·广东广州·中考真题)定义新运算:ab例如:24(2)240,

ab,a0,

3

23231.若x1,则x的值为.

4

17

【答案】或

24

【分析】本题考查了一元二次方程的应用,一元一次方程的应用,解题的关键是明确新运算的定义.根据

新定义运算法则列出方程求解即可.

a2b,a0,

【详解】解:∵ab

ab,a0,

3

而x1,

4

3

∴①当x0时,则有x21,

4

1

解得,x;

2

3

②当x0时,x1,

4

7

解得,x

4

17

综上所述,x的值是或,

24

17

故答案为:或.

24

►考查角度三配方法

7.(2024·山东德州·中考真题)把多项式x23x4进行配方,结果为()

2

237

A.x35B.x

24

22

32537

C.xD.x

2424

【答案】B

【分析】本题主要考查完全平方公式,利用添项法,先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方

式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.

根据利用完全平方公式的特征求解即可;

【详解】解:x23x4

33

x23x()2()24

22

2

37

x

24

故选B.

8.(2024·山东东营·中考真题)用配方法解一元二次方程x22x20230时,将它转化为(xa)2b的形

式,则ab的值为()

A.2024B.2024C.1D.1

【答案】D

【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程.熟练掌握配方法步骤,是解出本题的关键.

2

用配方法把x22x20230移项,配方,化为x12024,即可.

【详解】解:∵x22x20230,

移项得,x22x2023,

配方得,x22x120231,

2

即x12024,

∴a1,b2024,

2024

∴ab11.

故选:D.

►考查角度四公式法

9.(2024·河北·中考真题)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,

则a()

A.1B.21C.21D.1或21

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,熟练掌握知识点是解题的关键.

由题意得方程2a1a2,利用公式法求解即可.

【详解】解:由题意得:2a1a2,

解得:a12或a12(舍)

故选:C.

2

10.(2024·四川南充·中考真题)已知抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左侧),

2

抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),且ABCD.下列四个结论:①C1

与C2交点为(1,1);②mn4;③mn0;④A,D两点关于(1,0)对称.其中正确的结论是.(填

写序号)

【答案】①②④

2

22mm4m

【分析】由题意得xmxmxnxn,根据mn可以判断①;令y0求出x,

2

2

nn4n2

x,由ABCD可以判断②;抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左

2

2

侧),抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),根据根的判别式得出m0

或m4,n0或n4,可以判断③,利用两点间的距离可以判断④.

【详解】解:①由题意得x2mxmx2nxn,

∴mnxnm,

∵mn,

∴x1,

当x1时,y1,

∴C1与C2交点为(1,1),故①正确,

mm24m

当y0时,x2mxm0,解得x,

2

mm24mmm24m

∴ABm24m,

22

nn24n

当y0时,x2nxn0,解得x,

2

nn24nnn24n

∴CDn24n,

22

∵ABCD,

∴m24mn24n,即m24mn24n,

∴m2n24m4n,则有:mnmn4mn,

∵mn,

∴mn4,故②正确;

22

③∵抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左侧),抛物线C2:yxnxn(mn)与

x轴交于两点C,D(C在D的左侧),

∴m24m0,n24n0,

解得:m0或m4,n0或n4,

由②得mn4,

∴m4n,

当m0时,n4,或当m4时,n0,

∴mn0,故③错误;

mm24m

④由①得:x2mxm0,解得x,

2

∵A在B的左侧,C在D的左侧,

mm24mmm24mnn24nnn24n

∴A,0B,0C,0D,0

,,,,

2222

∵m4n,

2

2

4n4n44n4nn4n

∴A,0,整理得:A,0,

22

4nn24nnn24n

∴2,

22

∴由对称性可知:A,D两点关于(1,0)对称,故④正确;

综上可知:①②④正确,

故答案为:①②④.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数与一元二次方程的关系,解一元二次方程,根的判

别式,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

k

11.(2024·福建·中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y的图象与O交于A,B两

x

点,且点A,B都在第一象限.若A1,2,则点B的坐标为.

【答案】

【分析】本2,题1考查了反比例函数的性质以及勾股定理,完全平方公式的应用,先根据A1,2得出k2,设

2

Bn,m,则nmk2,结合完全平方公式的变形与应用得出m3,m23m2m1m20,

m

结合A1,2,则B2,1,即可作答.

【详解】解:如图:连接OA,OB

k

∵反比例函数y的图象与O交于A,B两点,且A1,2

x

k

∴2,k2

1

设Bn,m,则nmk2

∵OBOA22125

2

∴m2n255

2

则mnm2n22mn549

∵点B在第一象限

∴mn3

2

把nmk2代入得m3,m23m2m1m20

m

∴m11,m22

经检验:m11,m22都是原方程的解

∵A1,2

∴B2,1

故答案为:2,1

12.(2024·四川凉山·中考真题)已知y2x0,x23y2x30,则x的值为.

【答案】3

【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

将y2x代入x23y2x30,转化为解一元二次方程,y2x0,要进行舍解.

【详解】解:∵y2x0,

∴y2x,

将y2x代入x23y2x30

得,x23xx30,

即:x22x30,

x3x10,

∴x3或x1,

∵y2x0,

∴x1舍,

∴x3,

故答案为:3.

13.(2024·山西·中考真题)一元二次方程x26x0的解是.

【答案】x10,x26

【分析】直接提取公因式求解即可.

【详解】解:x26x0,

x(x-6)=0,

解得x1=0,x2=6,

故答案为:x1=0,x2=6.

【点睛】本题考查了解一元二次方程,掌握方程解法是解题关键.

►考向三一元二次方程根的判别式

易错易混提醒

一元二次方程根的情况与判别式的关系

1.当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;

2.当b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根;

3.当b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.

bc

一元二次方程ax2bxc0(a0)根与系数的关系:若方程的两实数根为x,x,则xx,xx.

1212a12a

14.(2024·山东济南·中考真题)若关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范

围是()

11

A.mB.mC.m4D.m4

44

【答案】B

2

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程axbxc0a0的根与b24ac有如

下关系:①0,方程有两个不相等的实数根,②0,方程有两个相等的实数根,③0,方程没

2

有实数根,由题意得出Δ141m0,计算即可得出答案.

【详解】解:∵关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根,

2

∴Δ141m0,

1

解得:m,

4

故选:B.

15.(2024·北京·中考真题)若关于x的一元二次方程x24xc0有两个相等的实数根,则实数c的值为

()

A.16B.4C.4D.16

【答案】C

2

【分析】根据方程的根的判别式Δb24ac441c0即可.本题考查了一元二次方程的根的判别

式,熟练掌握根的判别式是解题的关键.

【详解】∵方程x24xc0有两个相等的实数根,a1,b4,cc,

2

∴Δb24ac441c0,

∴4c=16,

解得c4.

故选C.

16.(2024·上海·中考真题)以下一元二次方程有两个相等实数根的是()

A.x26x0B.x2-9=0

C.x26x60D.x26x90

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况,解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程

2

axbxc0a0,当b24ac0时,方程有两个不相等实数根;当b24ac0时,方程的两个

相等的实数根;当b24ac0时,方程没有实数根.分别计算出各选项中的根的判别式的值,即可判断.

2

【详解】解:A.Δ6410360,该方程有两个不相等实数根,故A选项不符合题意;

B.Δ02419360,该方程有两个不相等实数根,故B选项不符合题意;

2

C.Δ6416120,该方程有两个不相等实数根,故C选项不符合题意;

2

D.Δ64190,该方程有两个相等实数根,故D选项不符合题意;

故选:D.

11

2

17.(2024·四川乐山·中考真题)若关于x的一元二次方程x2xp0两根为x1、x2,且3,则

x1x2

p的值为()

22

A.B.C.6D.6

33

【答案】A

2

【分析】本题考查了一元二次方程axbxc0(a0)根与系数的关系:若方程的两实数根为x1,x2,则

bc

xx,xx.

12a12a

2

根据一元二次方程ax2bxc0(a0)根与系数的关系得到xx2,xxp,然后通分,

12112

11xx2

12,从而得到关于p的方程,解方程即可.

x1x2x1x2p

2

【详解】解:Qxx2,xxp,

12112

11xx2

12,

x1x2x1x2p

11

而3,

x1x2

2

3,

p

2

p,

3

故选:A.

18.(2024·山东德州·中考真题)已知a和b是方程x22024x40的两个解,则a22023ab的值

为.

【答案】2028

【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值,先根据方程的解满足方程以及根与系

数关系求得a22024a4,ab2024,再代值求解即可.

【详解】解:∵a和b是方程x22024x40的两个解,

∴a22024a40,ab2024,

∴a22024a4,

∴a22023ab

a22024aab

42024

42024

2028,

故答案为:2028.

19.(2024·山东·中考真题)若关于x的方程4x22xm0有两个相等的实数根,则m的值为.

1

【答案】/0.25

4

【分析】本题考查了根的判别式,牢记“当0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

根据方程的系数结合根的判别式,即可得出b24ac2244m0,解之即可得出结论.

【详解】解:∵关于x的方程4x22xm0有两个相等的实数根,

∴b24ac2244m416m0,

1

解得:m.

4

1

故答案为:.

4

20.(2024·四川遂宁·中考真题)已知关于x的一元二次方程x2m2xm10.

(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;

22

(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x1x2x1x29,求m的值.

【答案】(1)证明见解析;

(2)m11或m22.

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,解一元二次方程,掌握一元二次方

程根的判别式是解题的关键.

(1)根据根的判别式证明0恒成立即可;

(2)由题意可得,x1x2m2,x1x2m1,进行变形后代入即可求解.

22

【详解】(1)证明:Δm241m1m8,

∵无论m取何值,m280,恒成立,

∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.

2

(2)解:∵x1,x2是方程xm2xm10的两个实数根,

∴x1x2m2,x1x2m1,

2222

∴x1x2x1x2x1x23x1x2m23m19,

解得:m11或m22.

►考向一增长率问题

21.(2024·江苏南通·中考真题)红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产

8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为()

2

A.72001x8450B.720012x8450

2

C.84501x7200D.845012x7200

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用,设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则2022年平均每

2

公顷72001xkg,则2023年平均每公顷产72001xkg,根据题意列出一元二次方程即可.

【详解】解:设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则2022年平均每公顷产72001xkg,

2

则2023年平均每公顷产72001xkg,

2

根据题意有:72001x8450,

故选:A.

22.(2024·云南·中考真题)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1

千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是()

2

A.801x260B.801x60

C.801x60D.8012x60

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用,根据甲种药品成本的年平均下降率为x,利用现在生产1千克甲

种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年(1平均下降率)2,即可得出关于的一元二次方程.

【详解】解:甲种药品成本的年平均下降率为x,

2

根据题意可得801x60,

故选:B.

23.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,

2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是.

【答案】10%

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设平均增长率为x,然后根据题意可列方程进行求解.

【详解】解:设平均增长率为x,由题意得:

2

401x48.4,

解得:x10.110%,x22.1(不符合题意,舍去);

故答案为:10%.

24.(2024·重庆·中考真题)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了

200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平

均增长率为x,根据题意,可列方程为.

2

【答案】2001x401

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,

2

则第二季度低空飞行航线安全运行了2001x架次,第三季度低空飞行航线安全运行了2001x架次,

据此列出方程即可.

【详解】解:设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,

2

由题意得,2001x401,

2

故答案为:2001x401.

25.(2024·西藏·中考真题)列方程(组)解应用题

某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入

资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.

(1)求该商场投入资金的月平均增长率;

(2)按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元?

【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率10%

(2)预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用,理解题意,找准等量关系,正确列

出一元二次方程是解此题的关键.

(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x,根据“四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元”

列出一元二次方程,解方程即可得出答案;

(2)根据(1)中求得的增长率,即可求得七月份投入资金.

【详解】(1)解:设该商场投入资金的月平均增长率为x,

2

由题意得:201x24.2,

解得:x10.110%,x22.1(不符合题意,舍去),

∴该商场投入资金的月平均增长率10%;

(2)解:24.2110%26.62(万元),

∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.

►考向二与图形有关的问题

26.(2024·内蒙古通辽·中考真题)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)

的矩形鸭舍,其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其它材料制成),则BC长为()

A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m

【答案】C

【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,矩形的面积公式的运用,正确寻找题目的等量关

系是解题的关键.设矩形场地垂直于墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(102x1)m.根据

矩形的面积公式建立方程即可.

【详解】解:设矩形场地垂直于墙一边长为xm,

则平行于墙的一边的长为(102x1)m,

由题意得x(102x1)15,

5

解得:x3,x,

122

当x3时,平行于墙的一边的长为1023155.5;

55

当x时,平行于墙的一边的长为102165.5,不符合题意;

22

∴该矩形场地BC长为5米,

故选C.

51

27.(2024·四川德阳·中考真题)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,黄金矩形给我们以协调的美感,

2

世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩

形.(ABBC),点P是边AD上一点,则满足PBPC的点P的个数为()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质,勾股定理,一元二次方程的解,熟练掌握勾股定理,利用判别式判断一

元二次方程解的情况是解题的关键.设AB=a,BCb,假设存在点P,且APx,则PDbx,利用勾

股定理得到BP2AB2AP2a2x2,PC2PD2CD2(bx)2a2,BC2BP2PC2,可得到方程

ABa51

x2bxa20,结合,然后根据判别式的符号即可确定有几个解,由此得解.

BCb2

AB51

【详解】解:如图所示,四边形ABCD是黄金矩形,ABBC,,

BC2

设AB=a,BCb,假设存在点P,且APx,则PDbx,

在RtABP中,BP2AB2AP2a2x2,

在RtPDC中,PC2PD2CD2(bx)2a2,

PBPC,

BC2BP2PC2,即b2a2x2(bx)2a2,

整理得x2bxa20,

ABa5151

b24acb24a2,又,即ab,

BCb22

(51)2

b24acb24a2b24b2(255)b2,

4

2550,b20,

b24a2(255)b20,

方程无解,即点P不存在.

故选:D.

28.(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,

篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x米,平行于墙的边BC为y米,围成的矩形面积为Sm2.

(1)求y与x,s与x的关系式.

(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2,若能,求出x的值.

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.

【答案】(1)y802x19x40;s2x280x

(2)能,x25

(3)s的最大值为800,此时x=20

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用:

(1)根据ABBCCD80可求出y与x之间的关系,根据墙的长度可确定x的范围;根据面积公式可确

立二次函数关系式;

(2)令s750,得一元二次方程,判断此方程有解,再解方程即可;

(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.

【详解】(1)解:∵篱笆长80m,

∴ABBCCD80,

∵ABCDx,BCy,

∴xyx80,

∴y802x

∵墙长42m,

∴0802x42,

解得,19x40,

∴y802x19x40;

又矩形面积sBCAB

yx

802xx

2x280x;

(2)解:令s750,则2x280x750,

整理得:x240x3750,

2

此时,Δb24ac404375160015001000,

所以,一元二次方程x240x3750有两个不相等的实数根,

∴围成的矩形花圃面积能为750m2;

40100

∴x,

2

∴x125,x215,

∵19x40,

∴x25;

2

(3)解:s2x280x2x20800

∵-2<0,

∴s有最大值,

又19x40,

∴当x=20时,s取得最大值,此时s800,

即当x=20时,s的最大值为800

►考向三营销问题

29.(2024·辽宁·中考真题)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)

满足一次函数关系,部分数据如下表所示:

每件售价x/元455565

日销售量y/件554535

(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);

(2)该商品日销售额能否达到2600元?如果能,求出每件售价:如果不能,请说明理由.

【答案】(1)yx100;

(2)该商品日销售额不能达到2600元,理由见解析。

【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出

y与x之间的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.

(1)根据表格中的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式;

(2)利用销售额每件售价销售量,即可得出关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求解即可.

【详解】(1)解:设y与x之间的函数表达式为ykx(bk0),

将45,55,55,45代入ykxb得

45kb55

55kb45

k1

解得,

b100

y与x之间的函数表达式为yx100;

(2)解:该商品日销售额不能达到2600元,理由如下:

依题意得xx1002600,

整理得x2100x26000,

2

∴Δb24ac1004126004000,

∴该商品日销售额不能达到2600元.

30.(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享

美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,

每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每

辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?

(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?

2

【答案】(1)yx220x12000,每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12240元

5

(2)这天售出了64辆轮椅

【分析】本题考查二次函数的实际应用,正确的列出函数关系式,是解题的关键:

(1)根据总利润等于单件利润乘以销量,列出二次函数关系式,再根据二次函数的性质求最值即可;

(2)令y12160,得到关于x的一元二次方程,进行求解即可.

x22

【详解】(1)解:由题意,得:y200x604x20x12000;

105

∵每辆轮椅的利润不低于180元,

∴200x180,

∴x20,

222

∵yx220x12000x2512250,

55

∴当x25时,y随x的增大而增大,

22

∴当x=20时,每天的利润最大,为20251225012240元;

5

答:每辆轮椅降价20元时,每天的利润最大,为12240元;

一、单选题

1.(2024·湖南郴州·模拟预测)下列方程中是一元二次方程的是()

21

2x2

A.2xx10B.2xy0C.3x10D.x

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程,逐一

判断即可解答.

【详解】解:A、2x2x10符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,故此选项符合题意;

B、2x2y0含有两个未知数,是二元二次方程,故此选项不符合题意;

C、3x10是一元一次方程,故此选项不符合题意;

1

x2

D、x不是整式方程,故此选项不符合题意;

故选:A.

2.(2024·湖北·模拟预测)某银行经过最近的两次降息,使一年期存款年利率由2.25%降至1.98%,设平均

每次降息的百分率是x,则可列方程为()

2

A.2.25%1x1.98%B.2.25%2.25%2x1.98%

2

C.2.25%x21.98%D.2.25%1x1.98%

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关

键.根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.

2

【详解】解:依题意得:2.25%1x1.98%.

故选:A.

3.(2024·湖北·模拟预测)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主

干、支干和小分支的总数是73,设每个支干长出x个小分支,则可列方程为()

2

A.1xx273B.1x73

2

C.xx273D.11x1x73

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程的应用,熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.

设每个支干长出x个小分支,则主干生出x个小分支,而x个小分支每个又生出x个小分支,所以一共有

1xx2个,从而可得答案.

【详解】解:设每个支干长出x个小分支,则

1xx273,

故选:A.

4.(2024·山西·模拟预测)下列一元二次方程中,没有实数根的是()

A.x25x60B.x2x10

C.x22x50D.x26x9

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式,熟记根的判别式是解题的关键.

直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解.

【详解】A、5241610,故选项A有两个不相等的实数根,不合题意;

B、1241150,故选项B有两个不相等的实数根,不合题意;

2

C、2415160,故选项C没有实数根,符合题意;

2

D、方程化为x26x90,64190,故选项D有两个相等的实数根,不合题意.

故选C.

5.(2024·湖北·模拟预测)解一元二次方程x26x10,配方后正确的是()

2222

A.x38B.x637C.x310D.x635

【答案】C

【分析】本题考查了配方法解方程,注意配方时先把常数项移到右边,然后把二次项系数化为1,最后等号

两边同时加上一次项系数一半的平方.根据配方法即可求出答案.

【详解】解:∵x26x10,

∴x26x1,

∴x26x910,

2

∴x310,

故选:C.

6.(2024·天津·三模)方程x24x5的根是()

5

A.xx5B.xx4C.xxD.xx4

1212124

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