备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题06 一元二次方程（解析版）

专题06一元二次方程

课标要求考点考向

考向一一元二次方程的相关概

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系

念

数的一元二次方程;解一元

考向二解一元二次方程

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两二次方

个实根是否相等;程考向三一元二次方程根的判别

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画式

现实世界数量关系的有效模型;

4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题考向一增长率问题

的实际意义，检验方程的解是否合理.一元二

次方程考向二与图形有关的问题

的应用

考向三营销问题

►考向一一元二次方程的相关概念

1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★cacb，其中等式右面是通

常的乘法和加法运算，如【2，3】★12135．若关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数

根，则m的取值范围为（）

1111

A．mB．mC．m且m0D．m且m0

4444

【答案】D

【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到mx2x10，再由有两个不相等

的实数根得到124m10，且m0，即可得到答案.

【详解】解：∵【x,x1】★mx0，【a，b】★cacb

∴xmxx10，即mx2x10，

∵关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数根，

∴124m10，且m0，

1

解得m且m0，

4

故选：D．

2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根是x0，则a的

值为（）

1

A．2B．2C．2或2D．

2

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，

22

可知a20；一根是0，代入a2xxa40可得a240，即可求答案．

【详解】解：a2x2xa240是关于x的一元二次方程，

a20，即a2①

由一个根x0，代入a2x2xa240，

可得a240，解之得a2；②

由①②得a2；

故选A

3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程x23xm0的一个根为1，则m．

【答案】2

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关

于m的方程，然后解方程即可．�=1

【详解】解：关于x的一元二次方程x23xm0的一个根为1，

x1满足一元二次方程x23xm0，

13m0，

解得，m2．

故答案为：2．

►考向二解一元二次方程

►考查角度一因式分解法

4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A．17或13B．13或21C．17D．13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x13，

x27，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．

2

【详解】解：由方程x10x210得，x13，x27，

∵337，

∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，

∴这个三角形的周长为37717，

故选：C．

5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程x22x0的解是（）

A．x13，x21B．x12，x20C．x13，x22D．x12，x21

【答案】B

【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．

【详解】解∶x22x0，

∴xx20，

∴x0或x20，

∴x12，x20，

故选∶B．

►考查角度二直接开方法

a2b,a0,

6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：ab例如：24(2)240，

ab,a0,

3

23231．若x1，则x的值为．

4

17

【答案】或

24

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据

新定义运算法则列出方程求解即可．

a2b,a0,

【详解】解：∵ab

ab,a0,

3

而x1，

4

3

∴①当x0时，则有x21，

4

1

解得，x；

2

3

②当x0时，x1，

4

7

解得，x

4

17

综上所述，x的值是或，

24

17

故答案为：或．

24

►考查角度三配方法

7．（2024·山东德州·中考真题）把多项式x23x4进行配方，结果为（）

2

237

A．x35B．x

24

22

32537

C．xD．x

2424

【答案】B

【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方

式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．

根据利用完全平方公式的特征求解即可；

【详解】解：x23x4

33

x23x()2()24

22

2

37

x

24

故选B．

8．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程x22x20230时，将它转化为(xa)2b的形

式，则ab的值为（）

A．2024B．2024C．1D．1

【答案】D

【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．

2

用配方法把x22x20230移项，配方，化为x12024，即可．

【详解】解：∵x22x20230，

移项得，x22x2023，

配方得，x22x120231，

2

即x12024，

∴a1，b2024，

2024

∴ab11．

故选：D．

►考查角度四公式法

9．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，

则a（）

A．1B．21C．21D．1或21

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．

由题意得方程2a1a2，利用公式法求解即可．

【详解】解：由题意得：2a1a2，

解得：a12或a12（舍）

故选：C．

2

10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），

2

抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且ABCD．下列四个结论：①C1

与C2交点为(1,1)；②mn4；③mn0；④A，D两点关于(1,0)对称．其中正确的结论是．（填

写序号）

【答案】①②④

2

22mm4m

【分析】由题意得xmxmxnxn，根据mn可以判断①；令y0求出x，

2

2

nn4n2

x，由ABCD可以判断②；抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A，B（A在B的左

2

2

侧），抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），根据根的判别式得出m0

或m4，n0或n4，可以判断③，利用两点间的距离可以判断④．

【详解】解：①由题意得x2mxmx2nxn，

∴mnxnm，

∵mn，

∴x1，

当x1时，y1，

∴C1与C2交点为(1,1)，故①正确，

mm24m

当y0时，x2mxm0，解得x，

2

mm24mmm24m

∴ABm24m，

22

nn24n

当y0时，x2nxn0，解得x，

2

nn24nnn24n

∴CDn24n，

22

∵ABCD，

∴m24mn24n，即m24mn24n，

∴m2n24m4n，则有：mnmn4mn，

∵mn，

∴mn4，故②正确；

22

③∵抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2:yxnxn(mn)与

x轴交于两点C，D（C在D的左侧），

∴m24m0，n24n0，

解得：m0或m4，n0或n4，

由②得mn4，

∴m4n，

当m0时，n4，或当m4时，n0，

∴mn0，故③错误；

mm24m

④由①得：x2mxm0，解得x，

2

∵A在B的左侧，C在D的左侧，

mm24mmm24mnn24nnn24n

∴A,0B,0C,0D,0

，，，，

2222

∵m4n，

2

2

4n4n44n4nn4n

∴A,0，整理得：A,0，

22

4nn24nnn24n

∴2，

22

∴由对称性可知：A，D两点关于(1,0)对称，故④正确；

综上可知：①②④正确，

故答案为：①②④．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判

别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

k

11．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y的图象与O交于A,B两

x

点，且点A,B都在第一象限．若A1,2，则点B的坐标为．

【答案】

【分析】本2,题1考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据A1,2得出k2，设

2

Bn，m，则nmk2，结合完全平方公式的变形与应用得出m3，m23m2m1m20，

m

结合A1,2，则B2，1，即可作答．

【详解】解：如图：连接OA，OB

k

∵反比例函数y的图象与O交于A,B两点，且A1,2

x

k

∴2，k2

1

设Bn，m，则nmk2

∵OBOA22125

2

∴m2n255

2

则mnm2n22mn549

∵点B在第一象限

∴mn3

2

把nmk2代入得m3，m23m2m1m20

m

∴m11，m22

经检验：m11，m22都是原方程的解

∵A1,2

∴B2，1

故答案为：2，1

12．（2024·四川凉山·中考真题）已知y2x0，x23y2x30，则x的值为．

【答案】3

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

将y2x代入x23y2x30，转化为解一元二次方程，y2x0，要进行舍解．

【详解】解：∵y2x0，

∴y2x，

将y2x代入x23y2x30

得，x23xx30，

即：x22x30，

x3x10，

∴x3或x1，

∵y2x0，

∴x1舍，

∴x3，

故答案为：3．

13．（2024·山西·中考真题）一元二次方程x26x0的解是．

【答案】x10，x26

【分析】直接提取公因式求解即可．

【详解】解：x26x0，

x（x-6）=0，

解得x1=0，x2=6，

故答案为：x1=0，x2=6．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．

►考向三一元二次方程根的判别式

易错易混提醒

一元二次方程根的情况与判别式的关系

1.当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;

2.当b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根;

3.当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.

bc

一元二次方程ax2bxc0(a0)根与系数的关系：若方程的两实数根为x,x，则xx,xx．

1212a12a

14．（2024·山东济南·中考真题）若关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范

围是（）

11

A．mB．mC．m4D．m4

44

【答案】B

2

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程axbxc0a0的根与b24ac有如

下关系：①0，方程有两个不相等的实数根，②0，方程有两个相等的实数根，③0，方程没

2

有实数根，由题意得出Δ141m0，计算即可得出答案．

【详解】解：∵关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根，

2

∴Δ141m0，

1

解得：m，

4

故选：B．

15．（2024·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程x24xc0有两个相等的实数根，则实数c的值为

（）

A．16B．4C．4D．16

【答案】C

2

【分析】根据方程的根的判别式Δb24ac441c0即可．本题考查了一元二次方程的根的判别

式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

【详解】∵方程x24xc0有两个相等的实数根，a1,b4,cc，

2

∴Δb24ac441c0，

∴4c=16，

解得c4．

故选C．

16．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A．x26x0B．x2-9=0

C．x26x60D．x26x90

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程

2

axbxc0a0，当b24ac0时，方程有两个不相等实数根；当b24ac0时，方程的两个

相等的实数根；当b24ac0时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．

2

【详解】解：A．Δ6410360，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；

B．Δ02419360，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；

2

C．Δ6416120，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；

2

D．Δ64190，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；

故选：D．

11

2

17．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程x2xp0两根为x1、x2，且3，则

x1x2

p的值为（）

22

A．B．C．6D．6

33

【答案】A

2

【分析】本题考查了一元二次方程axbxc0(a0)根与系数的关系：若方程的两实数根为x1,x2，则

bc

xx,xx．

12a12a

2

根据一元二次方程ax2bxc0(a0)根与系数的关系得到xx2,xxp，然后通分，

12112

11xx2

12，从而得到关于p的方程，解方程即可．

x1x2x1x2p

2

【详解】解：Qxx2,xxp，

12112

11xx2

12，

x1x2x1x2p

11

而3，

x1x2

2

3，

p

2

p，

3

故选：A．

18．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x22024x40的两个解，则a22023ab的值

为．

【答案】2028

【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系

数关系求得a22024a4，ab2024，再代值求解即可．

【详解】解：∵a和b是方程x22024x40的两个解，

∴a22024a40，ab2024，

∴a22024a4，

∴a22023ab

a22024aab

42024

42024

2028，

故答案为：2028．

19．（2024·山东·中考真题）若关于x的方程4x22xm0有两个相等的实数根，则m的值为．

1

【答案】/0.25

4

【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

根据方程的系数结合根的判别式，即可得出b24ac2244m0，解之即可得出结论．

【详解】解：∵关于x的方程4x22xm0有两个相等的实数根，

∴b24ac2244m416m0，

1

解得：m．

4

1

故答案为：．

4

20．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2m2xm10．

(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；

22

(2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且x1x2x1x29，求m的值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)m11或m22．

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方

程根的判别式是解题的关键．

（1）根据根的判别式证明0恒成立即可；

（2）由题意可得，x1x2m2，x1x2m1，进行变形后代入即可求解．

22

【详解】（1）证明：Δm241m1m8，

∵无论m取何值，m280，恒成立，

∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．

2

（2）解：∵x1,x2是方程xm2xm10的两个实数根，

∴x1x2m2，x1x2m1，

2222

∴x1x2x1x2x1x23x1x2m23m19，

解得：m11或m22．

►考向一增长率问题

21．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产

8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（）

2

A．72001x8450B．720012x8450

2

C．84501x7200D．845012x7200

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每

2

公顷72001xkg，则2023年平均每公顷产72001xkg，根据题意列出一元二次方程即可．

【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产72001xkg，

2

则2023年平均每公顷产72001xkg，

2

根据题意有：72001x8450，

故选：A．

22．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1

千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（）

2

A．801x260B．801x60

C．801x60D．8012x60

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x，利用现在生产1千克甲

种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（1平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．

【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x，

2

根据题意可得801x60，

故选：B．

23．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，

2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．

【答案】10%

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．

【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：

2

401x48.4，

解得：x10.110%，x22.1（不符合题意，舍去）；

故答案为：10%．

24．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了

200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平

均增长率为x，根据题意，可列方程为．

2

【答案】2001x401

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，

2

则第二季度低空飞行航线安全运行了2001x架次，第三季度低空飞行航线安全运行了2001x架次，

据此列出方程即可．

【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，

2

由题意得，2001x401，

2

故答案为：2001x401．

25．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题

某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入

资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．

(1)求该商场投入资金的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？

【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率10%

(2)预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列

出一元二次方程是解此题的关键．

（1）设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”

列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．

【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x，

2

由题意得：201x24.2，

解得：x10.110%，x22.1（不符合题意，舍去），

∴该商场投入资金的月平均增长率10%；

（2）解：24.2110%26.62（万元），

∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．

►考向二与图形有关的问题

26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）

的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（）

A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m

【答案】C

【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关

系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为(102x1)m．根据

矩形的面积公式建立方程即可．

【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为xm，

则平行于墙的一边的长为(102x1)m，

由题意得x(102x1)15，

5

解得：x3，x，

122

当x3时，平行于墙的一边的长为1023155.5；

55

当x时，平行于墙的一边的长为102165.5，不符合题意；

22

∴该矩形场地BC长为5米，

故选C．

51

27．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，

2

世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩

形．(ABBC)，点P是边AD上一点，则满足PBPC的点P的个数为（）

A．3B．2C．1D．0

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一

元二次方程解的情况是解题的关键．设AB=a，BCb，假设存在点P，且APx，则PDbx，利用勾

股定理得到BP2AB2AP2a2x2，PC2PD2CD2(bx)2a2，BC2BP2PC2，可得到方程

ABa51

x2bxa20，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．

BCb2

AB51

【详解】解：如图所示，四边形ABCD是黄金矩形，ABBC，，

BC2

设AB=a，BCb，假设存在点P，且APx，则PDbx，

在RtABP中，BP2AB2AP2a2x2，

在RtPDC中，PC2PD2CD2(bx)2a2，

PBPC，

BC2BP2PC2，即b2a2x2(bx)2a2，

整理得x2bxa20，

ABa5151

b24acb24a2，又，即ab，

BCb22

(51)2

b24acb24a2b24b2(255)b2，

4

2550，b20，

b24a2(255)b20，

方程无解，即点P不存在．

故选：D．

28．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，

篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为Sm2．

(1)求y与x,s与x的关系式．

(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值．

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．

【答案】(1)y802x19x40；s2x280x

(2)能，x25

(3)s的最大值为800，此时x=20

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：

（1）根据ABBCCD80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确

立二次函数关系式；

（2）令s750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；

（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．

【详解】（1）解：∵篱笆长80m，

∴ABBCCD80，

∵ABCDx,BCy,

∴xyx80,

∴y802x

∵墙长42m，

∴0802x42，

解得，19x40，

∴y802x19x40；

又矩形面积sBCAB

yx

802xx

2x280x；

（2）解：令s750，则2x280x750，

整理得：x240x3750，

2

此时，Δb24ac404375160015001000，

所以，一元二次方程x240x3750有两个不相等的实数根，

∴围成的矩形花圃面积能为750m2；

40100

∴x,

2

∴x125,x215,

∵19x40，

∴x25；

2

（3）解：s2x280x2x20800

∵-2<0,

∴s有最大值，

又19x40，

∴当x=20时，s取得最大值，此时s800，

即当x=20时，s的最大值为800

►考向三营销问题

29．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）

满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

每件售价x/元455565

日销售量y/件554535

(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．

【答案】(1)yx100；

(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。

【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出

y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；

（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．

【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为ykx（bk0），

将45,55，55,45代入ykxb得

45kb55

，

55kb45

k1

解得，

b100

y与x之间的函数表达式为yx100；

（2）解：该商品日销售额不能达到2600元，理由如下：

依题意得xx1002600，

整理得x2100x26000，

2

∴Δb24ac1004126004000，

∴该商品日销售额不能达到2600元．

30．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享

美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，

每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每

辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

2

【答案】(1)yx220x12000，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元

5

(2)这天售出了64辆轮椅

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；

（2）令y12160，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可．

x22

【详解】（1）解：由题意，得：y200x604x20x12000；

105

∵每辆轮椅的利润不低于180元，

∴200x180，

∴x20，

222

∵yx220x12000x2512250，

55

∴当x25时，y随x的增大而增大，

22

∴当x=20时，每天的利润最大，为20251225012240元；

5

答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；

一、单选题

1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（）

21

2x2

A．2xx10B．2xy0C．3x10D．x

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一

判断即可解答．

【详解】解：A、2x2x10符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、2x2y0含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意；

C、3x10是一元一次方程，故此选项不符合题意；

1

x2

D、x不是整式方程，故此选项不符合题意；

故选：A．

2．（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由2.25%降至1.98%，设平均

每次降息的百分率是x，则可列方程为（）

2

A．2.25%1x1.98%B．2.25%2.25%2x1.98%

2

C．2.25%x21.98%D．2.25%1x1.98%

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

2

【详解】解：依题意得：2.25%1x1.98%．

故选：A．

3．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主

干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（）

2

A．1xx273B．1x73

2

C．xx273D．11x1x73

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.

设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有

1xx2个，从而可得答案.

【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则

1xx273,

故选：A．

4．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A．x25x60B．x2x10

C．x22x50D．x26x9

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键．

直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解．

【详解】A、5241610，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意；

B、1241150，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意；

2

C、2415160，故选项C没有实数根，符合题意；

2

D、方程化为x26x90，64190，故选项D有两个相等的实数根，不合题意．

故选C．

5．（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程x26x10，配方后正确的是（）

2222

A．x38B．x637C．x310D．x635

【答案】C

【分析】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号

两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法即可求出答案．

【详解】解：∵x26x10，

∴x26x1，

∴x26x910，

2

∴x310，

故选：C．

6．（2024·天津·三模）方程x24x5的根是（）

5

A．xx5B．xx4C．xxD．xx4

1212124