备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题05 一次方程（组）（解析版）

专题05一次方程（组）

课标要求考点考向

考向一列一元一次方程

掌握等式的基本性质；

1.考向二解一元一次方程

一元一

2.能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能

次方程

解二元一次方程组；考向三一元一次方程的应用

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻

画现实世界数量关系的有效模型；考向一二元一次方程的应用

4.能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题

的实际意义，检验方程的解是否合理考向二列二元一次方程组

二元一

次方程

考向三二元一次方程组的解

（组）

考向四二元一次方程组的应用

三元一考向一三元一次方程（组）的

次方程应用

（组）

►考向一列一元一次方程

1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，

绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四

折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（）

1111

A．x4x1B．x4x1

3434

1111

C．x4x1D．x4x1

3434

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．

11

【详解】解：设绳长为x尺，列方程为x4x1，

34

故选A．

2．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比

去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为

（）

A．1.2x110035060B．1.2x110035060

C．1.2(x1100)35060D．x1100350601.2

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新

车x辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．

【详解】解：设该车企去年5月交付新车x辆，

根据题意得：1.2x110035060，

故选：A．

3．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：

现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多

少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（）

xxxxxx

A．1B．100

345345

C．3x4x5x1D．3x4x5x100

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三

年共得100钱”列方程即可．

xxx

【详解】解：根据题意，得100，

345

故选：B．

4．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季

度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若

将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（）

A．14.7%x120327B．14.7%x120327

xx

C．120327D．120327

14.7%14.7%

【答案】A

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社

会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，列出方程即可．

【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，根据题意得：

14.7%x120327，

故选：A．

►考向二解一元一次方程

5．（2024·海南·中考真题）若代数式x3的值为5，则x等于（）

A．8B．8C．2D．2

【答案】A

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知x35，解方程即可得到答案．

【详解】解：∵代数式x3的值为5，

∴x35，

解得x8，

故选：A．

6．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240

里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是．

【答案】20

【分析】本题考查了一元一次方程的应用求解，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走

的总路程，列方程求解即可．

【详解】解∶设快马追上慢马需要x天，

根据题意，得240x150x12，

解得x=20，

故答案为：20．

►考向三一元一次方程的应用

解题技巧/易错易混

一元一次方程解应用题的类型有：

利润

（）销售打折问题：利润售价成本价；利润率％；售价标价折扣；销售额售价数量．

1-=成本×100=×=×

（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×

利率×期数．

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．

（4）行程问题：路程=速度×时间．

（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．

（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．

（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．

（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．

考查角度1工程问题

7．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的

任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加

篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长

时间．

【答案】小峰打扫了2h．

【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了xh，爸爸打扫了3xh，根据总工作量=各部分的

工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．

1

【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了xh，爸爸打扫了3xh，则小峰打扫任务的工作效率为，爸

4

1

爸打扫任务的工作效率为，

2

11

由题意，得：x3x1，

42

解得：x2，

答：小峰打扫了2h．

考查角度2销售问题

8．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五

花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．

【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．

【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元，则促销活动前每个五花

肉粽的售价x5元，根据题意列方程求解即可．

【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元，则促销活动前每个五花肉粽的售价x5元，

依题意得0.810x5x5160，

解得x15，

x510，

答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．

考查角度3几何问题

9．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为4，2，

32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．

AB

(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；

AC

(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．

1

【答案】(1)30，

6

(2)x2

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；

（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算AB,AC，从而可得答案；

（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．

【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为4，2，32，

∴423230，AB24246，AC32432436，

AB61

∴；

AC366

（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，

DEDF

∴，

ABAC

x12

∴，

636

解得：x2；

考查角度4行程问题

10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地

2

到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达

7

目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列

问题：

(1)甲车行驶的速度是_____km/h，并在图中括号内填上正确的数；

(2)求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．

【答案】(1)70，300

(2)y120x300

525

(3)h或h

813

【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题

的关键．

（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；

（2）利用待定系数法求解；

（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B

地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．

2

【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为200180km，

7

2

甲车行驶的速度是200180=70km/h，

7

2

∴A、C两地的距离为：470300km，

7

故答案为：70；300；

5

（2）解：由图可知E，F的坐标分别为,0，4,180，

2

设线段EF所在直线的函数解析式为ykxb，

5

kb0

则2，

4kb180

k120

解得，

b300

线段EF所在直线的函数解析式为y120x300；

2

（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：470300km，

7

5

乙车行驶的速度为：3007050km/h，

2

C、B两地的距离为：504200km，

A、B两地的距离为：300200100km，

设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，

分两种情况，当甲乙相遇前时：

20050x310070x，

5

解得x；

8

当甲乙相遇后时：

20050x370x100，

25

解得x；

13

525

综上可知，两车出发h或h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．

813

11．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑

步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关

信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．

时间里程分段速度档跑步里程

小明16:00~16:50不分段A档4000米

第一段B档1800米

小丽16:10~16:50第一次休息

第二段B档1200米

第二次休息

第三段C档1600米

(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；

(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；

(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．

【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分

(2)5分

(3)42.5

【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．

（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得

B，C档速度；

（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；

（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a1015105a40（分），可得方程

80a3000160a40，求解即可．

【详解】（1）解：由题意可知，A档速度为40005080米/分，

则B档速度为8040120米/分，C档速度为12040160米/分；

（2）小丽第一段跑步时间为180012015分，

小丽第二段跑步时间为3000180012010分，

小丽第三段跑步时间为4600300016010分，

则小丽两次休息时间的总和50101510105分；

（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，

此时小丽在跑第三段，所跑时间为：a1015105a40（分）

可得：80a3000160a40，

解得：a42.5．

12．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A

站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C

站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，

收集到列车运行信息如下表所示．

列车运行时刻表

A站B站C站

车次

发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻

D10018：009：309：5010：50

G10028：25途经B站，不停车10：30

请根据表格中的信息，解答下列问题：

(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；

(2)记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为

d2．

v

①1______；

v2

②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t75），已知v1240千米/小时（可换

算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中25t150，若d1d260，求t的值．

【答案】(1)90，60

5

(2)①；②t75或125

6

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的

关键．

（1）直接根据表中数据解答即可；

（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求

解即可；

②先求出v2，A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当90t110时，

D1001次列车在B站停车．G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分25t90，

90t100，100t110，110t150讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．

【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，

故答案为：90，60；

（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需9060150分钟，

G1002次列车从A站到C站共需356030125分钟，

∴150v1125v2，

v5

∴1，

v26

5

故答案为：；

6

v15

②v14（千米/分钟），，

v26

v24.8（千米/分钟）．

Q490360，

A与B站之间的路程为360．

3604.875，

当t100时，G1002次列车经过B站．

由题意可如，当90t110时，D1001次列车在B站停车．

G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．

ⅰ．当25t90时，d1d2，

d1d2d1d2，4t4.8t2560，t75（分钟）；

ⅱ．当90t100时，d1d2，

d1d2d1d2，3604.8t2560，t87.5（分钟），不合题意，舍去；

ⅲ．当100t110时，d1d2，

d1d2d2d1，4.8t2536060，t112.5（分钟），不合题意，舍去；

ⅳ．当110t150时，d1d2，

d1d2d2d1，4.8t253604t11060，t125（分钟）．

综上所述，当t75或125时，d1d260．

考查角度5其他问题

13．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键

比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．

【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个

【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．

设黑色琴键x个，则白色琴键x16个，可得方程xx1688，再解方程即可．

【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键x16个，

由题意得：xx1688，

解得：x36，

∴白色琴键：361652（个），

答：白色琴键52个，黑色琴键36个．

14．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽

车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，

A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.

经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质

排放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.

【答案】符合，理由见详解

【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．

设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为40xmg/km，根据汽车的A，

B两类物质排放量之和原为92mg/km建立方程求解即可．

【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为40xmg/km，

x40x

由题意得：92，

150%175%

解得：x34，

∵3435，

∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．

►考向一二元一次方程的应用

解题技巧/易错易混

列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．

（4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

15．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书

活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本

每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，

y均为正整数，即可得出购买方案的个数．

【详解】解：设购买x支笔记本，y个碳素笔，

依题意得：3x2y28，

3

y14x．

2

又x，y均为正整数，

x2x4x6x8

或或或，

y11y8y5y2

共有4种不同的购买方案．

故选：B．

16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出

的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，

则购买方案有（）

A．5种B．4种C．3种D．2种

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为x,y个，根据题

意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．

【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为x,y个，

依题意，8x10y200

5y

∴x25

4

∵x，y为正整数，

∴当y4时，x20，

当y8时，x15

当y12时，x10

当y16时，x5

∴购买方案有4种，

故选：B．

17．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，

每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱

数最多为（）

A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱

【答案】C

【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用x个大箱，y个小箱，利用每个大箱装4千克荔

枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．

【详解】解：设用x个大箱，y个小箱，

∴4x3y32，

323y3

∴x8y，

44

∴方程的正整数解为：

x5x2

或，

y4y8

∴所装的箱数最多为2810箱；

故选C．

►考向二列二元一次方程组

18．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、

羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10

两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，

则可列方程组是（）

5x2y102x5y10

A．B．

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C．D．

2x5y82x2y8

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键．因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，

共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．

5x2y10

【详解】解：根据题意得：．

2x5y8

故选：A．

19．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，

每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组

是（）

8xy38xy3

A．B．

7xy47xy4

8xy38xy3

C．D．

7xy47xy4

【答案】A

【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．

根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解．

【详解】解：∵每人出8元，剩余3元，

∴8x=y+3,

∵每人出7元，还差4元，

∴7x=y-4，

8xy3

故所列方程组为：．

7xy4

故选：A．

20．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长

短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳

子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可

以列出的方程组为（）

yx4.5yx4.5

A．B．

x0.5y1x0.5y1

xy4.5xy4.5

C．D．

xy1yx1

【答案】A

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：yx4.5；

绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：x0.5y1；从而可得答案.

【详解】解：由题意可得方程组为：

yx4.5

，

x0.5y1

故选：A.

21．（2024·四川南充·中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到

店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无

房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的

是（）

7x7y7x7y7x7y7x7y

A．B．C．D．

9(x1)y9(x1)y9(x1)y9(x1)y

【答案】A

【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”

分别列出两个方程，联立成方程组即可．

【详解】根据题意有

7x7y

9(x1)y

故选：A．

【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意找到等量关系是解题的关键．

►考向三二元一次方程组的解

解题技巧/易错易混

1.代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方

程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程

适用类型：(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；(2)一个方程的常数项为0

2.加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次

方程

适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍

2xy5

22．（2024·浙江·中考真题）解方程组：

4x3y10

1

x

【答案】2

y4

11

【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，10x5，解得x，再把x代入①求出

22

y4即可.

2xy5①

【详解】解：

4x3y10②

①×3＋②得，10x5

1

解得x，

2

1

把x代入①得1y5，

2

解得y4

1

x

∴2

y4

axybx3

23．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的

cxydy2

ax2y2ab

方程组的解是．

cx2y2cd

x5

【答案】

y1

x3axyb3a2b

【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，

y2cxyd3c2d

ax2y2abax2y5a2①

整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．

cx2y2cdcx2y5c2②

x3axyb3a2b

【详解】解：把代入，得：，

y2cxyd3c2d

ax2y2ab

∵，

cx2y2cd

ax2y2a3a2ax2y5a2①

∴，即：，

cx2y2c3c2cx2y5c2②

①②，得：acx5ac，

axyb

∵方程组有解，

cxyd

∴ac0，

∴x5，

把x5代入①，得：5a2y5a2，解得：y1；

x5

∴方程组的解集为：；

y1

x5

故答案为：．

y1

24．（2024·湖南长沙·中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，

现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从

1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘

以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四

位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生

年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是．

【答案】2009

【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字

中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得x100a1109，根据a的取值得到x的9种可能，

结合实际即可求解．

【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，

根据题意，得10a4.6101978x915，

整理，得100a461978x915

∴x100a1109，

∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，

∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，

∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，

∴x只能是2009，

故答案为：2009．

►考向四二元一次方程组的应用

3

25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点Px,y在直线yx4上，坐标x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，则点P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

3

yx4

【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组4，求

5x6y33

出点P的坐标即可判断．

3

yx4

【详解】解∶联立方程组4，

5x6y33

x6

解得1，

y

2

1

∴P的坐标为6,，

2

∴点P在第四象限，

故选∶D．

26．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速

出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发

30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离ym

与甲出发的时间xmin之间的函数关系．()

那么以下结论：

①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；

②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；

③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；

④A，B两地之间的距离是11200m．

其中正确的结论有：

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【答案】B

【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当时y第一

次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，�可=得50出当x86

时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为xm/min，乙的速度为

ym/min，利用路程速度时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代

3600

入86中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误；④利

xy

用路程速度时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m．

【详解】解：①乙比甲晚出发30min，且当时，y0，

乙出发503020min时，两人第一次相遇�，=50

既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确；

②观察函数图象，可知：当x86时，y取得最大值，最大值为3600，

甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确；

③设甲的速度为xm/min，乙的速度为ym/min，

(5010)x(5030)y

根据题意得：，

(8630)y(8610)x3600

x100

解得：，

y200

36003600

∴868698，

xy100200

甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误；

④200863011200m，

A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确．

综上所述，正确的结论有①②④．

故选：B．

27．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：

现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子

短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为尺．

【答案】15

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

关键．

设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿

短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，

xy5

根据题意得：x．

y5

2

x20

解得：

y15

故答案为15．

28．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两

种水果的进价和售价如表所示：

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

元．

(1)求a,b的值；

(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售

完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取

值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．

【答案】(1)a14，b19

2x90050x80

(2)y，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元

3x130080x120

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶

（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需

705元”列方程求解即可；

（2）分50x80，80x120两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然

后利用一次函数的性质求解即可．

18a6b366

【详解】（1）解：根据题意，得，

30a15b705

a14

解得；

b19

（2）解：当50x80时，

根据题意，得y2214x2519150x2x900，

∵20，

∴y随x的增大而增大，

∴当x80时，y有最大值，最大值为2809001060，

即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；

当80x120时，

根据题意，得y22148022145x802519150x3x1300，

∵30，

∴y随x的增大而减小，

∴x80时，y有最大值，最大值为38013001060，

即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；

2x90050x80

综上，y，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．

3x130080x120

29．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了

一些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：

农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）

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