备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题17 锐角三角函数与解直角三角形（原卷版）

专题17锐角三角函数与解直角三角形

课标要求考点考向

考向一正弦

1.探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)，知道30°，

考向二余弦

45°，60°角的三角函数值;

锐角三

2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角考向三正切

角函数

函数值求它的对应锐角;

考向四特殊角的三角函数

3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些

简单的实际问题.考向五三角函数的综合

解直角考向一解直角三角形

三角形考向二解直角三角形的应用

►考向一正弦

51

1．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称

2

的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B处，AB交CD于点E，则sinDAE的

值为（）

51325

A．B．C．D．

5255

2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在

黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为

，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

aa

A．asin千米B．千米C．acos千米D．千米

sincos

3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，ABl2于点B，点C、

D分别是l1、l2上的动点，且满足ACBD，连接CD交线段AB于点E，BHCD于点H，则当BAH最

大时，sinBAH的值为．

4．（2024·广西·中考真题）如图，在VABC中，A45，ACBC．

(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，

标明字母）

(2)在（1）所作的图中，连接BE，若AB8，求BE的长．

k

5．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k为常数且k0）上有一点A3,m，

x

且与直线y2x4交于另一点Bn,6．

(1)求k与m的值；

(2)过点A作直线l∥x轴与直线y2x4交于点C，求sinOCA的值．

►考向二余弦

6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E在DC上，把VADE沿AE

折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cosCEF的值为（）

7735

A．B．C．D．

4344

7．（2024·上海·中考真题）在平行四边形ABCD中，ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，

对应点分别为C，D¢，若AC:AB:BC1:3:7，则cosABC．

8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD

交于点F，若AB6，BC8，则cosABF的值是．

9．（2024·河南·中考真题）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断

用分别含有30和45角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

________（填序号）．

(2)性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．

如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，ABAD，AC是它的一条对角线．

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BCm，DCn，BCD2，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．

(3)拓展应用

如图3，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB3，BC4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN

是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．

►考向三正切

10．（2024·云南·中考真题）在VABC中，ABC90，AB3，BC4，则tanA的值为（）

4433

A．B．C．D．

5354

11．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连

接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tanAMN的值是（）

A．2B．2C．3D．5

12．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E在DC上，将矩形ABCD沿

AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tanEFC．

13．（2024·江西·中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则

tanCAB．

►考向四特殊角的三角函数

14．（2024·天津·中考真题）2cos451的值等于（）

2

A．0B．1C．1D．21

2

1

1

15．（2024·山东青岛·中考真题）计算：182sin45．

3

16．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，

经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角36.9，点B到水面的距离BC1.20m，点A处

水深为1.20m，到池壁的水平距离AD2.50m，点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面

sin

内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到0.1，参考数据：sin36.90.60，cos36.90.80，

sin

tan36.90.75）．

17．（2024·青海·中考真题）计算：18tan4502．

0

18．（2024·北京·中考真题）计算：582sin302

►考向五三角函数的综合

3

19．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，

4

直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在

x轴上移动时，线段AB的最小值为．

20．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，

ABAD3，BCDE4，ABCADE90．

【初步感知】

BD

（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．

CE

【深入探究】

（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在VABC的中线BM的延长线上时，延长ED交

AC于点F，求CF的长．

【拓展延伸】

（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有

直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．

解题技巧/易错易混

1.分清直角三角形中的斜边与直角边.

2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可设为1)，在求三角函数值的过程中约

去k.

3.正确应用勾股定理求第三边长

4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.

5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

►考向一解直角三角形

21．（2024·海南·中考真题）如图，在ABCD中，AB8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别

1

以点M、N为圆心，大于MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若

2

BCEDCE，DE4，则四边形BCDE的周长是（）

A．22B．21C．20D．18

22．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋

FG

转90，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则的值为（）

CE

3233

A．2B．3C．D．

22

23．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB中，AOB90，点C是AO的中点．过点C作CEAO

交AB于点E，过点E作EDOB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是

（）

1112

A．B．C．D．

4323

24．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60，则

重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm．

25．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若

4

sinEAF，AE5，则的长为．

5

𝐴

26．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AFDE于点F，CGDE于点G．若

AD5，CG4，则△AEF的面积为．

27．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD,BC的中点，BE与DF相交于点O，

过点O作OMBE交于点M，若AB4,BC6，则OM的长为．

𝐴

►考向二解直角三角形的应用

28．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角

为45，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）（参

434

考数据：sin53，cos53，tan53）

553

A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m

29．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学

兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮

汐塔顶端A的俯角为22，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45（点

M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（）

（结果精确到1m．参考数据：sin220.37,cos220.93,tan220.40）

A．41mB．42mC．48mD．51m

30．（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”

的结构简图，右图为其平面示意图，已知ABCD于点B，与水平线l相交于点O，OEl．若BC4分

米，OB12分米．BOE60，则点C到水平线l的距离𝐴为分米（结果用含根号的式子表示）．

𝐶

31．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知

帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA为70，帆与航行方向的夹角PDQ为30，风对帆的作用力F

为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪

可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行

的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：FAD400，则

f2CD．（单位：N）（参考数据：sin400.64,cos400.77）

32．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，

安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧

1

示意图，已知试管AB24cm,BEAB，试管倾斜角ABG为12．

3

(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）

(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MNCF于点N（点C，D，N，F

在一条直线上），经测得：DE28cm，MN8cm，ABM147，求线段DN的长度．（结果用含非特殊

角的三角函数表示）

33．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37方向，距离灯塔100海里的A处，它

沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参

考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

34．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是17，识别到最近点B的俯角是

45，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：

sin170.29，cos170.96，tan170.31）．

35．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如

图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE36m,ECAB，

垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（CDB）为45，测得桥塔底部A的俯角（CDA）为6，又

在E处测得桥塔顶部B的仰角（CEB）为31．

(1)求线段CD的长（结果取整数）；

(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1．

36．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综

合性学习．

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽

内壁AC的夹角为A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN为法线，AO为入射光线，OD

为折射光线．）

【测量数据】

如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC20cm，A45，折射角DON32．

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

(1)求BC的长；

(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．

（参考数据：sin320.52，cos320.84，tan320.62）

一、单选题

1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，AOB如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C

在OB上），则sinAOB的值为（）

122

A．B．C．D．1

223

2．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知点A的坐标为23,2，菱形ABCD的两条对角线交于坐标原点O，

将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标是（）

30°

A．B．0,4C．2,23D．2,23

0,4

3．（2024·全国·模拟预测）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图1)．小

明想测量白塔AB的高度（如图2)，在离白塔底端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白

塔顶部A处的仰角为，则白塔AB的高度为（）

A．(8tan1.5)米B．(1.5tan8)米

C．(8cos1.5)米D．(8sin1.5)米

4．（2024·湖南·模拟预测）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩

旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25角（即BAC25），彩旗绳固定在地面的位置与

图书馆相距25米（即AC25米），则彩旗绳AB的长度为（）

2525

A．25sin25米B．25cos25米C．米D．米

cos25sin25

5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是

由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面

积为1，则cos的值为（）

33

A．B．C．D．

4454

35

6．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，BEAC，EF平分BED，分别交AC、BC于

点P、F，AECF2，则AB（）

A．6B．4C．23D．25

7．（2024·湖南·模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能1.025cosJ，若某人爬了1000m，

该坡角为，则他耗能（）（参考数据：31.732，21.414）

30°

A．116JB．159JC．1025JD．1732J

8．（2024·上海·模拟预测）tan67.5tan15的值在（）

A．0.10.3B．0.30.6C．0.60.8D．0.81

9．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示阴影部分为一条河流的部分俯视图，从河边上A点驶来一条船，B点

在河对岸．在流速与船速的影响下，小船开始沿着AB方向匀速前进．在航线AB边有一漩涡，抽象为

O．O影响的最大范围恰好与航线AB所在直线以及A点所在河岸相切．若OC3m,AC33m，则

CAB的度数为（）

A．30B．40C．50D．60

10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD6，BC14，E为AB的中点，F为

线段BC上的动点，连结FE，将△BEF沿EF折叠得到△GEF．在点F从点B运动到点C的过程中，若射

线FG与上底AD相交于点P，则点P相应运动的路径长为（）

975

A．B．5C．5.4D．

1414

11．（2024·湖南·模拟预测）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度

的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起

一根木杆，长度大概为12英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔485英尺的一个地

方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是2英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对

木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远

离木杆的方向走了15英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆15英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过

木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高

度是（）

11

A．333英尺B．333英尺C．400英尺D．400英尺

33

12．（2024·山西·模拟预测）如图，在ABCD中，AB4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交AD

于点E，且E为AD的中点，若BE的长度为π，则图中阴影部分的面积为（）

A．1624B．822C．164D．1622

二、填空题

13．（2024·上海·模拟预测）cos57sin33（选填“”或“”或“”）．

1

321a

14．（2024·上海·模拟预测）64的平方根为a，若aa，则cos°．

2

15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点

C在线段OB上，OC:BC1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P(1,2)，则tanOAP

的值是．

16．（2024·上海·模拟预测）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，内部形成一个小正

方形MNPQ．如果正方形MNPQ的面积是正方形ABCD面积的一半，那么ABM的度数是．

17．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB6，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC

重合，折痕为EF．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q，

再次展平，连接BN,MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：

①ABN60；②AM3；③△BMG是等边三角形；④P为线段BM上一个动点，H是线段BN的动点，

则PNPH的最小值是33．其中正确结论的序号是．

18．（2024·广东·模拟预测）长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等

腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知BC23mm,ACB70．按压该长尾夹的手柄，撑

开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得GEDHDE80．求这时这个长尾夹可夹纸厚度GH为

mm（参考数据：sin700.94,cos700.34,tan702.75,sin800.98,cos800.17,tan805.67）

三、解答题

19．（2024·北京·模拟预测）如图，VABC是等腰三角形，ABAC1，ADBC，BHAC．已知BAD，

用两种方法表示VABC的面积______

【探究】你能否从这里得出sin2的计算公式呢？

2sin2306tan2604cos21503tan230

20．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：

2tan8454sin2452sin1206tan230

sinsin180）

asin2452

（2）已知a、b是一元二次方程x22x30的两个实根，求的S值．

bcos2602

21．（2024·河北·模拟预测）如图1，在Rt△ABC中，ACBC6，ACB90，D，E分别是AC，AB的

中点，F为射线DE上一动点，在射线AC上取点M，使DMDF，连接MF，CF，作FGCF交射线AB

于点G．

【发现】（1）当点F在线段DE上时，求证：FGFC．

【拓展】（2）如图2，当点F在DE的延长线上时，以CF，GF为一组邻边作CFGH，连接BM，BF，

1n

若tanCFD，CFGH的周长为m，四边形CMBF的周长为n，求的值．

2m

【探索】（3）设DFx，要使BFG为等腰三角形，直接写出