广东省广州市2024-2025学年高二上册12月月考数学学情检测试题（附答案）

广东省广州市2024-2025学年高二上学期12月月考数学学情检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．2．已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．3．已知，向量，，，且，，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A． B． C． D．5．若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为(

)A． B． C． D．6．在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（

）A． B． C． D．7．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A． B． C．2 D．8．已知曲线，则下列结论中错误的是(

).A．曲线与直线无公共点B．曲线与圆有三个公共点C．曲线关于直线对称D．曲线上的点到直线的最大距离是二、多选题（本大题共3小题）9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是(

).A．若，则B．若与互斥，则C．若，则与相互独立D．若与相互独立，则10．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是(

).A．若，则线段的中点到轴的距离为B．若直线的倾斜角为且过点，则C．以线段为直径的圆与轴相切D．若直线的倾斜角为且过点，则的面积11．已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（）A．存在唯一点，使得平面B．存在唯一点，使得平面C．当时，点到平面的距离的最小值为D．当时，三棱锥的体积的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．经过点，且垂直于直线的直线的方程是．13．已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为.14．已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值.16．某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率.17．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.18．如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.(1)求证：平面；(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程：(2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求面积的最大值．

答案1．【正确答案】A【详解】双曲线的渐近线方程是，即.故选：A.2．【正确答案】C【详解】直线的倾斜角为，则斜率，所以该直线的一个方向向量为.故选：C.3．【正确答案】A【详解】因为向量，，，由，则，解得，由，则，解得，则．故选：A．4．【正确答案】A【分析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】.故选：A5．【正确答案】A【详解】设.则两式相减得即因为,线段AB的中点为,所以所以所以直线的方程为,即故选:A6．【正确答案】B【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故设平面的法向量为，所以点到截面的距离为.故选：B7．【正确答案】B【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线因为是双曲线的左、右焦点所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则解得所以为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为将以的（）代入圆的方程得化简整理得，所以所以选B本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．8．【正确答案】D【详解】对于A选项，联立，将代入，得，所以曲线与直线无公共点，A选项正确；下面分析曲线的图象：曲线，当时，曲线方程可化为；当时，曲线方程可化为，不符合；当时，曲线方程可化为；当时，曲线方程可化为.由此画出曲线的图象如下图所示：对于B选项，圆的圆心为，半径是，与圆弧(）的圆心距为，所以圆与圆相内切，切点为.结合图象可知曲线与圆有三个公共点，B选项正确；对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入得，整理得，所以曲线关于直线对称，C选项正确；对于D选项，由图可知，曲线上的点到直线的最大距离是，即圆弧()的半径，所以D选项错误.故选：D.9．【正确答案】BC【详解】对于A，由，得，A错误；对于B，由A与B互斥，得，B正确；对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误.故选：BC10．【正确答案】AC【详解】对于A：由抛物线，则其准线方程为．分别设M、N到准线的距离为、，则，所以线段的中点到x轴的距离为，A正确；对于B：因为直线的倾斜角为且过点F0,1，所以直线的方程为，且直线与抛物线必相交，联立方程，消去x化简并整理得.设Mx1,y1、N对于C：设，结合选项A可得，以线段为直径的圆的半径为．又F0,1，则以线段为直径的圆的圆心为，所以圆心到x轴的距离为，则以线段为直径的圆与x轴相切，C正确；对于D：直线的倾斜角为且过点F0,1，直线的方程为，且直线与抛物线必相交，联立方程，消去x化简并整理得．设Mx1,y1、所以，点O0,0到的距离设为，则，所以的面积，D错误.故选：11．【正确答案】ACD【详解】解：以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示：

则对于A，因为，所以，，所以，又因为，，设平面的法向量为，则，所以，取，则，又因为平面，所以，所以，所以，唯一确定，故正确；对于B，因为，要使平面，则，所以，所以，故点不唯一，故错误；对于C，因为，所以三点共线，

因为,设点到平面的距离为，则有，所以，设到的距离为，则，当与重合时，，所以，故C正确；对于D，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，

设到的距离为因为，当点位于圆弧中点时，.所以，故D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故答案为.13．【正确答案】；；（三个任意一个都算正确）【详解】由题可知：所以两个圆的半径和为所以两个圆外切，所以有三条公切线,设公切线为由圆心到切线的距离等于半径得解得或或所以切线方程为，或故；；14．【正确答案】【详解】设为右焦点，半焦距为，，，为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，由，，则，，，所以，从而有，故，当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故．15．【正确答案】(1)(2)-4【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小，得点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为.（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，由消去得，恒成立，，所以.16．【正确答案】(1)，第百分位数为(2)【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为计算，再根据百分位数计算公式计算第百分位数；（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，，则，前3组的频率和为，第4组频率为，所以第百分位数位于第4组内，记第50百分位数为，则，解得，即第50百分位数为；（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率分别为，采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在内的有1人，记为，成绩在内的有2人，记为，成绩在内的有3人，记为，则从成绩在内的6人随机抽取2人，共有：､､，共有15种，2人中至少有1人成绩在内，共有：､､，有12种，记事件“人中至少有1人成绩在内”，则.17．【正确答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，所以,所以圆的半径为,所以圆的方程为.

（2）由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设方程为，则,即,解得或,所以直线的方程为或.

18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处【详解】（1）取BD中点，连接PO，是BM的中点，，且，在线段CD上取点，使，连接OF，QF，，，且，，四边形POFQ为平行四边形，，又平面平面，平面.（2），则，，取BD中点，则，又平面，平面BCD，以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，，，，所以，故，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，，点为内动点且平面QGM，又平面ABD，平面平面，，故点在OM上，设，又，，，则，，易知平面的一个法向量为，设QG与平面所成角为，则最大时，最大，，所以当时，最大，此时最大，