北京市燕山区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷（含答案）

北京市燕山区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷一、单选题1．在▱ABCD中，∠A=50°，则∠B的度数为（）A．50° B．130° C．40° D．100°2．下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，133．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．12 B．15 C．1.55．下列二次根式中，能与2合并的是（）A．3 B．8 C．12 D．16．下列运算正确的是（）A．2+3=5 B．2×87．如图，数轴上点A表示的数为−1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC=1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则BA．5−1 B．−5+1 C．58．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线l上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．16 C．41 D．55二、填空题9．若二次根式x−3有意义，则x的取值范围是．10．比较大小：231111．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为.12．如图，A，B两点被池塘隔开，为测得A，B两点间的距离，在直线AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，若测得D，E两点间的距离为15m，则A，B两点间的距离为m．13．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，只需添加一个条件，即可证明平行四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）．14．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为．15．一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距海里．16．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+3④四边形OECF的面积是1．所有正确结论的序号是三、解答题17．计算：12−18．计算：(π−4)．19．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=14cm，BD=8cm，BC=10cm．求△BOC的周长．20．已知x=2−1，求代数式21．下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°．求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．作法：如图2，①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b；②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；③连接BC，DC．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AB=DC=a，AD=▲=b，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠MAN=90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）．22．如图，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF∥BC，交BD于点M，交CD于点F．求证：CF=EM．23．如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°．求四边形ABCD的面积．24．在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC的顶点都在格点上，且三边长分别为4，5，13．（1）在图中画出一个满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中所画△ABC的面积．26．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若AB=OB=4，求四边形AEBO的面积．27．如图，正方形ABCD中，DE是过点D的一条直线，点C关于直线DE的对称点为C′'，连接AC′并延长交直线（1）依题意补全图形；（2）连接DC′，判断（3）连接PC，用等式表示线段PA，PC，PD之间的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的两点A和C，给出如下定义：若A，C是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与x轴或y轴垂直，则称该矩形为点A，C的“对角矩形”．如图1为A，C的“对角矩形”的示意图．已知点A(2，0)，C(t，3)．（1）①当t=4时，在图2中画出点A，C的“对角矩形”，并直接写出它的面积S的值；②若点A，C的“对角矩形”的面积是15，求t的值；（2）若点B(0，1)，在线段AB上存在一点D，使得点D，C的“对角矩形”是正方形，请直接写出t的取值范围．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=180°-∠A=180°-50°=130°。

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形邻角互补，由∠A的度数，直接求出∠B的度数即可。2．【答案】B【解析】【解答】选项A，32+42=52，A选项是直角三角形；选项B，42+52≠62，B选项不是直角三角形；选项C，62+82=102，C选项是直角三角形；选项D，52+122=132，D选项是直角三角形．故选B．3．【答案】D【解析】【解答】解：∵O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，∴OD＝6，∵四边形OBCD是正方形，∴OB⊥BC，OB=BC=6∴C点的坐标为：(6，6)，故答案为：D．【分析】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．4．【答案】D【解析】【解答】解：A、12=22×3，被开方数中含有能开的尽方的因数，所以12不是最简二次根式；

B、15被开方数中含有分母，所以15不是最简二次根式；

C、1.5=32，所以1.55．【答案】B【解析】【解答】解：A、3与2不是同类二次根式，不能合并；

B、8=22，它与2是同类二次根式，可以合并；

C、12=23，它与2不是同类二次根式，不能合并；

D、13=1336．【答案】C【解析】【解答】解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，所以计算不正确；

B、2×8=16=4，所以计算不正确；

C、6÷3=27．【答案】A【解析】【解答】解：∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°，∴在直角三角形ABC中，AB2=AC2+BC2，又∵AC=1-（-1）=2，BC=1，∴AB2=22+12=5，∴AB=5，∴AB'=AB=5，∴OB'=AB'-OA=5-1，∴点B'表示的数是5-1.

故答案为：5-18．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，

∵a，b，c为三个正方形，

∴∠EFG=∠EGH=∠HGM=90°，∴∠FEG+∠FGE=90°，∠MGH+∠FGE=90°，∴∠FEG=∠MGH，

又∵EG和GH都是正方形b的边长，∴EG=GH，∴△EFG≌△GMH，∴FG=MH，

在直角三角形EFG中，EF2+FG2=EG2，又∵EF2=Sa，FG2=MH2=Sc，EG2=Sb，∴Sa+Sc=Sb，∴Sb=5+11=16.

故答案为：B.

【分析】先证明△EFG≌△GMH，得到FG=MH，从而得到EF2+FG2=EG2，即Sa+Sc=Sb，相加即可得到b的面积，得出答案。9．【答案】x≥3【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，

解得：x≥3.

故答案为：x≥3

【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。10．【答案】＞【解析】【解答】解：23=12，∵12＞11，∴23＞11．【答案】20【解析】【解答】解：如图，根据题意得AO=12×8=4，BO=1∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.∴△AOB是直角三角形.∴AB=A∴此菱形的周长为：5×4=20故答案为：20.【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.12．【答案】30【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，又∵DE=15m，∴AB=30m。

故第1空答案为：30.

【分析】首先判断DE是三角形的中位线，再根据三角形中位线定理，直接求得第三边AB的长度即可。13．【答案】AC=BD（答案不唯一）【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴添加的条件是AC=BD，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．

【分析】利用矩形的判定方法求解即可。14．【答案】70°【解析】【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD是斜边AB边上的中位线，∴CD=12AB=BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠DCB=∠B=35°，又∵∠ADC是△BCD的一个外角，∴∠ADC=∠DCB+∠B=35°+35°=70°。

故第一空答案为：70°。15．【答案】25【解析】【解答】解：如图，∵由图可知AC=20×1=20（海里），AB=15×1=15（海里），在Rt△ABC中，BC=A故它们相距25海里．故答案为：25．【分析】先求出AC和AB的长，再利用勾股定理求出BC的长即可。16．【答案】①③④【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，在△OBE和△OCF中，OB=OC∠OBE=∠OCF∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∵∠BOE＝∠COF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形；故①符合题意；②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝12∴△OEF面积的最小值是12×1×1＝1故②不符合题意；③∵BE＝CF，∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋3，则EF＝3，由①得△OEF是等腰直角三角形，∴OE＝EF2∵OB＝2，OE的最小值是1，∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋3．故③符合题意；④由①知：△OBE≌△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝14S正方形ABCD＝1故④符合题意；故答案为：①③④．

【分析】证明△OBE≌△OCF（SAS），即可判断①；当OE⊥BC时，OE最小，得出△OEF面积的最小值，从而判断②；由BE＝CF，得出CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，则EF＝3，即可判断③；由△OBE≌△OCF，得出S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF，即可判断④。17．【答案】解：原式=2=2=23【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类同类二次根式。18．【答案】解：(π−4)=1+=63【解析】【分析】先把各项根据零整数指数幂，实数的绝对值的性质，二次根式的性质，负整数指数幂分别进行计算，再合并同类项即可。19．【答案】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=14cm，BD=8cm，∴OC=OA=12AC=7cm∵BC=10cm，∴OB+OC+BC=4+7+10=21(cm)，∴△BOC的周长是21cm．【解析】【分析】根据平行四边形的性质，两条对角线互相平分，得到OB，OC的长度分别是BD，AC长度的一半，再根据三角形周长的定义计算三边之和即可。20．【答案】解：∵x=2∴x=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4，=（2-1+1）2-4=2-4=-2．【解析】【分析】将x=221．【答案】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，∵∠MAN=90°，∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．故答案为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；

（2）利用矩形的判定的方法求解即可。22．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，EF∥AD，∴BE=CF，∠ADB=∠EMB，∴∠ABD=∠EMB，∴BE=EM，∴CF=EM．【解析】【分析】先求出∠ADB=∠ABD，再求出∠ABD=∠EMB，最后证明即可。23．【答案】解：连接AC，如下图所示：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=AB在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=12AB•BC+12AC•CD=12【解析】【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．24．【答案】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2=x2+22，解之得：x=3.75，答：湖水的深度3.75尺。【解析】【分析】利用已知条件可得到B'C的长，设水深AC=x尺，可表示出荷花的高AB，在Rt△AB'C中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可.

25．【答案】（1）解：如图，△ABC即为所求．（2）解：△ABC的面积为4【解析】【解答】解：（1）5=22+1，∴5是两直角边长分别为2和1直角三角形的斜边长，∵13=32+22，∴13是两直角边长分别为3和2的直角三角形的斜边长，所以可在正方形网格中先画出BC=4，再分别AB=5，AC=13，即可画出符合条件的△ABC；

（2）△ABC的面积=12×4×2=4.26．【答案】（1）证明：如图1，∵AE//BD，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，（2）解：如图2，连接EO交AB于点F，∵四边形AEBO是菱形，∴AO=BO，AB⊥EO，EO=2OF，∵AB=OB=4，∴AB=BO=AO=4，∴ΔABO是等边三角形，∴AF=12AB=12×4=2，【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；

（2）先求出AF=2，再利用勾股定理求出OF的值，最后利用菱形的面积公式计算求解即可。27．【答案】（1）解：如图，即为补全的图形；（2）解：△DAC在正方形ABCD中，AD=CD，∵点C关于直线DE的对称点为C′∴C∴C∴△DAC（3）解：PA+PC=2证明如下：延长PA至点M，使得AM=PC，连接DM，∵点C关于直线的对称点为C'∴∠DC∵DA=DC∴∠DC∴∠DAM=∠DC∴∠DAM=∠DCP，在△DAM和△DCP中，DA=DC∠DAM=∠DCP∴△DAM≌△DCP(∴DM=DP，∠ADM=∠CDP，∵∠CDP+∠PDA=90°，∴∠ADM+∠PDA=90°，即∠PDM=90°，∴PM=2∴PA+PC=PA+AM=PM=2【解析】【分析】（1）按照文字叙述，画出图形即可；

（2）根据正方形的性质四条边相等得到AD=CD，再根据轴对称性质得到C'D=CD，故CD=AD，即可得出△DAC'是等腰三角