7.3 万有引力理论的成就（教师版）2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第7.3节万有引力理论的成就学习目标1.理解“称量”地球质量的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2.理解计算太阳质量的基本思路，能将天体运动转化成相关模型后进行求解。3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用的观念。知识点一“称量”地球的质量如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？提示若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g及地球的半径R均已知，由mg＝Geq\f(m地m,R2)得m地＝eq\f(gR2,G)。1.思路：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力。2.关系式：mg＝Geq\f(mm地,R2)。3.地球的质量：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。【思考】1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，能否用“称量”地球的方法“称量”该星球的质量。提示能。2.这种“称量”星体质量的方法忽略了哪种因素的影响？提示星体自转的影响。例1(2021·全国卷)卡文迪什用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪什也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则地球质量约为()A.6×1018kg B.6×1020kgC.6×1022kg D.6×1024kg答案D解析根据公式eq\f(Gm地m,R2)＝mg，可得m地＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(9.8×（6.4×106）2,6.67×10－11)kg＝6×1024kg，故D正确。只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R，就可以估算出星球的质量。训练1某天文爱好者长期观察绕地球做匀速圆周运动的不同卫星，测出各卫星运行线速度的三次方和角速度满足的关系如图所示。已知引力常量为G，则地球的质量为（）A． B． C． D．答案A解析由万有引力提供向心力得又联立可得由题图可知解得地球的质量为故选A。训练2天文学家通过观测的数据确认了银河系中央人马座的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体绕人马座故椭圆运动，其轨道半长轴为个天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座就处在该椭圆的一个焦点上，观测得到星的运行周期为15.2年。假若将星的运行轨道视为半径个天文单位的圆轨道，可估算出人马座的质量约是太阳质量的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍答案B解析星绕人马座做圆周运动的向心力。由人马座对星的万有引力提供，设星的质量为，角速度为，周期为T，则由万有引力提供向心力其中设地球质量为，公转轨道半径为，周期为，研究地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力则综上所述得式中年，天文单位，代入数据可得故选B。知识点二计算天体的质量和密度太阳是一个火热的球体，如果不知道太阳表面的重力加速度，那么如何计算太阳的质量？提示太阳对地球的万有引力提供了地球绕太阳做圆周运动的向心力，若知道地球的公转周期及轨道半径，根据Geq\f(m太m地,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r，可以推导出太阳的质量。1.太阳质量的计算(1)依据：设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由他们之间的万有引力提供，即Geq\f(mm太,r2)＝meq\f(4π2r,T2)。(2)结论：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，测出行星的公转周期T和它与太阳间的距离r，就可以算出太阳的质量。2.行星质量的计算：如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。【思考】如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳间的距离r。(1)写出太阳质量的表达式，并根据结果进一步理解开普勒第三定律。(2)若要求太阳的密度，还需要哪些量？提示(1)由Geq\f(m地m太,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r知m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以eq\f(r3,T2)＝eq\f(Gm太,4π2)，可见eq\f(r3,T2)为一常量，只与太阳的质量有关，与行星的质量无关。(2)由密度公式ρ＝eq\f(m太,V)＝eq\f(\f(4π2r3,GT2),\f(4,3)πReq\o\al(3,太))＝eq\f(3πr3,GT2Req\o\al(3,太))，若要求太阳的密度，还需要知道太阳的半径R太。角度1重力加速度法例2宇航员在距某一星球表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，不计一切阻力，则该星球的质量为()A.eq\f(2hR2,Gt2) B.eq\f(2hR2,Gt)C.eq\f(2hR,Gt2) D.eq\f(Gt2,2hR2)答案A解析设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，有h＝eq\f(1,2)gt2。设该星球的质量为M，在星球表面有mg＝Geq\f(Mm,R2)，由以上两式得，该星球的质量为M＝eq\f(2hR2,Gt2)，A正确。训练1天问一号探测器在距火星表面高度为h的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，火星的半径为R，火星的质量为（）A． B． C． D．答案C解析根据万有引力提供向心力可得解得火星的质量为故选C。训练2我国计划在未来建立一个由21颗卫星组成的“月球北斗”导航系统，来帮助中国航天更安全、高效地探索月球。若将月球和地球均视为圆球，已知月球的平均密度约为地球平均密度的倍，则月球近地卫星的运行周期约为地球近地卫星运行周期的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍答案D解析在中心天体表面运行的卫星，对其进行分析，由万有引力提供向心力，则有中心天体的平均密度联立解得可得故选D。角度2环绕法例3一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为()A.eq\f(3π,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3) B.eq\f(π2,2GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3)C.eq\f(3,2GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3) D.eq\f(3π,4GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3)答案A解析月球探测器绕月球做匀速圆周运动，月球对探测器的引力提供向心力，有Geq\f(Mm,（R＋H）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋H)，解得M＝eq\f(4π2（R＋H）3,GT2)，月球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3，则月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π（R＋H）3,GT2R3)＝eq\f(3π,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3)，故A正确，B、C、D错误。天体质量和密度的计算方法(天体质量为M)重力加速度法环绕法情景已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝Geq\f(Mm,R2)行星或卫星受到的万有引力提供向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r天体质量天体质量：M＝eq\f(gR2,G)中心天体质量：M＝eq\f(4π2r3,GT2)天体密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)说明未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量T为公转周期r为轨道半径R为中心天体半径训练12024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。世界首次月球背面采样返回之旅开启。探测器登月前，先进入椭圆轨道Ⅱ，再进入近月圆轨道I。图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G，则（）A．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间B．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间C．月球的密度为D．月球的密度为答案B解析AB．根据开普勒第三定律解得探测器第一次从Q点飞行到P点的时间为联立解得故A错误，B正确；CD．由万有引力提供向心力根据联立解得故CD错误。故选B。训练2中国的月球计划分为“绕月—探月—登月”三步，并预计在2030年前实现登月计划。假设在不久的将来，中国载人飞船在月球表面成功着陆，宇航员在月球表面将一小球以初速度竖直向上抛出，经时间t小球落回抛出点。已知万有引力常量G、月球的半径R和，忽略月球的自转。求月球的平均密度。答案解析小球在月球表面做匀变速直线运动，得假设月球质量为，小球质量为，得月球的密度为月球的体积为联立可得月球的密度为知识点三发现未知天体预言哈雷彗星回归1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星轨道外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。3.哈雷彗星回归英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。4.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。例4十八世纪，人们已经知道太阳系有七颗行星，但是第七颗行星天王星的运动轨道有些“古怪”：它的轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道存在一些偏差，这个偏差产生的原因是()A.天文观测数据不准确B.万有引力定律的准确性有问题C.离天王星较近的土星对天王星的影响D.天王星轨道外面还有一颗未发现的行星答案D解析天王星轨道外面还有一颗未发现的行星。该行星对天王星产生吸引作用，使其轨道产生了偏差。故A、B、C错误，D正确。1.发现过程(1)由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想。(2)根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道。(3)根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置。(4)进行实地观察验证。2.海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。训练1万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（

）A．太阳 B．地球 C．海王星 D．月球答案C解析被称为“笔尖下发现的行星”的是海王星。故选C。训练2下列说法正确的是（）A．哥白尼提出的日心说指出地球是围绕太阳转动的B．卡文迪许应用万有引力定律，计算并观测到海王星C．英国物理学家牛顿通过扭秤实验装置测量出了引力常量的大小D．开普勒在伽利略观察的星体轨迹数据基础上提出了开普勒三大定律答案A解析A．哥白尼提出“日心说”指出地球是围绕太阳转动的，故A正确；B．1846年，英国剑桥大学学生亚当斯和法国天文学家勒维耶应用万有引力定律，计算并观测到海王星，故B错误；C．英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的大小，故C错误；D．开普勒在第谷工作的基础上，提出了开普勒三大定律，故D错误。故选A。知识点四天体运动的分析与计算1.基本思路一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。2.常用关系(1)Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。(2)忽略天体自转时，mg＝Geq\f(Mm,R2)(物体在天体表面受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”，R为天体半径，g为天体表面的重力加速度。3.四个重要结论设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。项目推导式关系式结论v与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))∝eq\f(1,\r(r))r越大，v越小ω与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))∝eq\f(1,\r(r3))r越大，ω越小T与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))∝eq\r(r3)r越大，T越大a与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝maa＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)r越大，a越小规律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越远越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。例5(2022·上海卷)木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42h、46min和85h、22min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则()A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2答案D解析根据万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R＝meq\f(v2,R)，解得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,R))，根据题目可知，木卫一的周期小于木卫二的周期，则R1＜R2；根据线速度的表达式可知，v1＞v2，故D正确。训练1北斗卫星导航系统是我国实施的自主发展，独立运行的卫星导航系统，实现了全球通讯全覆盖。如图，两颗可视为质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，所受万有引力大小分别为FA、FB；角速度大小分别为ωA、ωB；周期分别为TA、TB；线速度大小分别为vA、vB。下列关系正确的是（）A．FA<FB B．ωA=ωB C．TA<TB D．vA<vB答案C解析根据万有引力定律可得所以，，则，，，故选C。训练2中国的空间站项目是一个重要的航天工程项目，展示了中国在航天技术领域的显著进步。空间站的环绕半径为某卫星环绕半径的，则下列说法正确的是（）A．空间站的运行速度是该卫星运行速度的9倍B．空间站的运行周期是该卫星运行周期的27倍C．空间站的运行角速度是该卫星运行角速度的27倍D．空间站的运行向心加速度是该卫星运行向心加速度的9倍答案C解析设地球质量为M，绕地做匀速圆周运动的物体质量为m，其环绕半径为r，线速度为，周期为，角速度为，加速度为a，则由万有引力提供向心力得解得由于空间站的环绕半径为某卫星环绕半径的，可得故选C。例6(多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB<mC，则对于三颗卫星，下列选项正确的是()A.运行线速度大小关系为vA>vB＝vCB.运行角速度关系为ωA>ωB＝ωCC.向心力大小关系为FA＝FB<FCD.轨道半径与运行周期关系为eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))＝eq\f(Req\o\al(3,C),Teq\o\al(2,C))答案ABD解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以vA>vB＝vC，选项A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，所以ωA>ωB＝ωC，选项B正确；由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝Geq\f(M,r2)，所以aA>aB＝aC，又mA＝mB<mC，所以FA>FB，FB<FC，选项C错误；三颗卫星都绕地球运动，由开普勒第三定律得eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))＝eq\f(Req\o\al(3,C),Teq\o\al(2,C))，选项D正确。训练1（多选）韦伯望远镜发现一颗代号为K2-18B的类地行星，已知它的公转周期和地球相同，它的公转轨道半径为地球和太阳间距的0.2倍。K2-18B和地球均围绕各自中心天体做匀速圆周运动，则K2-18B和地球的（）A．中心天体质量之比为B．中心天体质量之比为C．线速度大小之比为D．线速度大小之比为答案AC解析AB．K2-18B公转轨道半径为地球和太阳间距的0.2倍，根据万有引力提供向心力变形得其中K2-18B的类地行星与地球的周期相等，且，可得中心天体质量之比为故A正确，B错误；CD．根据其中K2-18B的类地行星与地球的周期相等，且，可得线速度之比为故C正确，D错误。故选AC。训练2北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功对接于空间站天和核心舱，发射取得圆满成功。载人飞船的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，载人飞船首先从圆轨道Ⅰ的A点变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在椭圆轨道Ⅱ的B点再变轨进入预定轨道Ⅲ，下列说法正确的是（）A．飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要在A点减速B．若飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期分别为、、，则C．飞船分别在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时，经过相同时间，飞船与地心连线扫过的面积相等D．飞船在轨道Ⅱ上运行时经过B点的速度大于7.9km/s答案B解析A．飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，做离心运动，需要在A点加速，故A错误；B．由开普勒第三定律由图可知轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的半径逐渐变大，所以周期关系为故B正确；C．轨道Ⅰ和轨道Ⅱ不是同一个轨道，不适用于开普勒第二定律，故C错误；D．轨道Ⅲ的运行速度一定小于，由轨道Ⅱ变轨到轨道III需在B点加速，所以B点速度一定小于，故D错误。故选B。随堂对点自测1.(天体质量的计算)(2024·新课标卷，3)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的()A.0.001倍 B.0.1倍C.10倍 D.1000倍答案B解析行星绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，则eq\f(M红,M太)＝eq\f(req\o\al(3,行)·Teq\o\al(2,地),req\o\al(3,地)·Teq\o\al(2,行))＝eq\f(0.073,0.062)≈0.1，故B正确。2.(天体质量的计算)(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A.4×104M B.4×106MC.4×108M D.4×1010M答案B解析由万有引力提供向心力有Geq\f(m中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(Gm中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(Req\o\al(3,S2),Teq\o\al(2,S2)),\f(Req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地)))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。3.(天体密度的计算)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为()A.eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0－g,g0) B.eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0,g)答案B解析设物体的质量为m，地球的质量为m地、半径为R，在地球两极的物体所受重力等于万有引力，即Geq\f(m地m,R2)＝mg0，在赤道上的物体做圆周运动的周期等于地球的自转周期，半径等于地球的半径，有Geq\f(m地m,R2)－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，又地球的质量m地＝eq\f(4,3)πR3ρ，联立三式可得ρ＝eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0,g0－g)，B正确。4.(天体运动的分析与计算)(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A.火星公转的线速度比地球的大B.火星公转的角速度比地球的大C.火星公转的半径比地球的小D.火星公转的加速度比地球的小答案D解析由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq\f(2π,T)可知，火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。5.2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，实现世界首次月球背面采样返回。据中国探月工程总设计师吴伟仁院士介绍：我国航天员有望在十年内登上月球。如果将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为的初速度竖直上抛一物体（视为质点），经时间返回手中。已知引力常量为G，月球的半径为R，则月球质量为（）A． B． C． D．答案C解析设月球表面的重力加速度为，据竖直上抛运动规律可知，有又解得故选C。6．人类有可能在不久的将来登上火星。未来某航天员在地球表面将一重物在离地高h处由静止释放，测得下落时间为，来到火星后，也将一重物在离火星表面高h处由静止释放，测得下落时间为，已知地球与火星的半径之比为k，不考虑地球和火星的自转，则地球与火星的密度之比为（）A． B． C． D．答案A解析根据可得可知在星球表面可得可得故选A。对点题组练题组一天体质量和密度的计算1.(2024·山东泰安高一期末)已知卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是()A.地球表面的重力加速度大小为eq\f(4π2R,T2)B.地球的质量大小为eq\f(4π2R3,GT2)C.卫星的向心加速度大小为eq\f(4π2r,T2)D.地球的平均密度大小为eq\f(3π,GT2)答案C解析设地球质量为M，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，根据万有引力和重力的关系有mg＝Geq\f(Mm,R2)，则有g＝eq\f(4π2r3,T2R2)，A、B错误；向心加速度为a＝eq\f(4π2r,T2)，C正确；由质量和密度的关系得ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)，D错误。2.(多选)(2024·西南大学附中期中)2023年3月17日，我国成功将“高分十三号02星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设入轨后，“高分十三号02星”以线速度为v绕地球做周期为T的匀速圆周运动。已知地球的半径为R，引力常量为G。由此可知()A.该卫星到地球表面的高度为eq\f(vT,2π)－RB.该卫星到地球表面的高度为eq\f(2vT,π)－RC.地球的质量eq\f(Tv3,2πG)D.地球的质量eq\f(Rv2,G)答案AC解析由v＝eq\f(2πr,T)得r＝eq\f(vT,2π)，所以该卫星到地球表面的高度为h＝eq\f(vT,2π)－R，A正确，B错误；卫星绕地球做匀速圆周运动，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(rv2,G)＝eq\f(Tv3,2πG)，C正确，D错误。3.2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为()A.eq\f(2πp,G) B.eq\f(4πp,G)C.eq\f(4π2p,G) D.eq\f(2π2p,G)答案C解析卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，又由题意可知r3＝pT2，联立解得M＝eq\f(4π2p,G)，C项正确。4.设在地球上和在某未知天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为k(均不计阻力)，且已知地球和该天体的半径比也为k，则地球质量与该天体的质量比为()A.1 B.kC.k2 D.eq\f(1,k)答案B解析在地球和天体的表面附近，物体的重力近似等于物体受到的万有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，竖直上抛时物体上升的最大高度H＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)，联立解得中心天体的质量M＝eq\f(veq\o\al(2,0)R2,2HG)，则eq\f(M地,M天)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R天)))eq\s\up12(2)·eq\f(H天,H地)＝k，B正确。题组二天体运动的分析和计算5.人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动。关于其各物理量间的关系，下列说法正确的是()A.半径越大，速度越小，周期越小B.半径越大，速度越小，周期越大C.所有卫星的线速度均是相同的，与半径无关D.所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关答案B解析根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝mω2r，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知半径越大，速度越小，周期越大，角速度越小，故B正确。6.(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A.质量B.向心力大小C.向心加速度大小D.受到地球的万有引力大小答案C解析7.(2022·河北卷)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为()A.2eq\r(2) B.2C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得公转的线速度大小为v＝eq\r(\f(GM,r))，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为eq\r(2)，故C正确。8.(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量，则()A.b所需向心力最小B.b、c的周期相同且大于a的周期C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度答案ABD解析因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝eq\f(GMm,r2)，则b所需向心力最小，A正确；由eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由eq\f(GMm,r2)＝man，得an＝eq\f(GM,r2)，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。综合提升练9.已知M、N两星球的半径之比为1∶2，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，M、N两星球的密度之比为()A.1∶1 B.1∶2C.1∶4 D.1∶8答案A解析由竖直上抛运动和题图可知veq\o\al(2,0)＝2gM·2h0，veq\o\al(2,0)＝2gN·h0，可得gM∶gN＝1∶2。根据eq\f(GMm,R2)＝mg、M＝ρ·eq\f(4,3)πR3可得ρ＝eq\f(3g,4πGR)，则M、N两星球的密度之比为eq\f(ρM,ρN)＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,1)＝eq\f(1,1)，A正确。10.(2023·浙江卷)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍，月球绕地球公转周期为T0，则()A.木卫一轨道半径为eq\f(n,16)rB.木卫二轨道半径为eq\f(n,2)rC.周期T与T0之比为neq\f(3,2)D.木星质量与地球质量之比为eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3答案D解析已知月球绕地球公转的轨道半径为r，木卫三绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有eq\f(GM木星m木卫三,（nr）2)＝m木卫三eq\f(4π2,T2)nr；月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有eq\f(GM地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))r，联立解得木星质量与地球质量之比eq\f(M木星,M地)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3，D正确；如果地球、木星质量相等，则根据上式可知eq\f(T2,Teq\o\al(2,0))＝n3，但木星、地球质量并不相等，C错误；设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为R1、R2、R3，根据开普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可知Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶4∶16，所以木卫一的轨道半径为eq\f(nr,\r(3,16))，木卫二的轨道半径为eq\f(nr,\r(3,4))，A、B错误。11.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地，若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的平均密度ρ。答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)物体在月球表面附近做自由落体运动，则h＝eq\f(1,2)g月t2解得g月＝eq\f(2h,t2)。(2)因不考虑月球自转的影响，则有Geq\f(Mm,R2)＝mg月月球的质量M＝eq\f(g月R2,G)＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。12.科学家发现太阳系外某星系有一恒星和一行星，并测得行星围绕该恒星运动的周期是地球绕太阳运动周期的800倍，行星与该恒星间的距离为地球到太阳距离的90倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆轨道，仅利用以上两个数据可以求出的量是（）A．恒星与太阳的质量之比B．恒星与太阳的密度之比C．行星与地球的质量之比D．行星表面与地球表面的重力加速度之比答案A解析A．根据万有引力提供向心力可得