2023-2024学年福建省厦门市湖里中学八年级（下）期中数学试卷（含详解）

2023-2024学年福建省厦门市湖里中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（4分）要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣3．（4分）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．5、12、13 C．5、8、11 4．（4分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小 C．图象与x轴交于（﹣2，0） D．图象与y轴交于（0，4）5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形6．（4分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于O点，E为AD的中点，连接OE．若OE＝2，则CD的长度为（）A．1 B．2 C．3 7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，1），B（2，0）均在坐标轴上，则点C的坐标是（）A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，4）8．（4分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2 C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）29．（4分）一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km④相遇时，快车距甲地320km正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．①③④10．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，设EF与BD交于点O，连接AO．若BF＝5，则AO的长为（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：①＝，②＝，③＝，④＝．12．（4分）若一次函数y＝（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是．13．（4分）若点（m，n）在函数的图象上，则代数式2m﹣4n﹣1的值．14．（4分）某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中A（0，2），B（2，1），C（5，3），点M（x1，y1），N（x2，y2）是这两条线段上的点，则正确的结论有．①当x＝0时，y的最大值为2；②当0＜x1＜x2＜2时，y1＜y2；③当1＜x1＜x2＜3时y1＜y2；④当2＜x1＜x2＜5时，y1＜y2；⑤当0≤x≤3时，2≤y≤3；⑥当x＝2时，y的最小值为1．15．（4分）公元3世纪，我国数学家赵爽用弦图证明了勾股定理，在前面的学习中，我们知道根据勾股定理可以用长为有理数的线段来作出长为，，的线段．若一个直角三角形的一条边长为，其他两边长均为有理数，则其它两边的长可以为，．16．（4分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y关于x的函数解析式是．三、解答题（共8小题，共86分）17．（14分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．18．（7分）已知：如图，在▱ABCD中，点P、Q是对角线AC上的两点，且PB＝DQ．求证：AP＝QC．19．（7分）已知一次函数y＝2x+4．（1）画出这个函数的图象；（2）若该图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求△OBC的面积．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，DE是中位线，点P从点D出发，沿的方向以1.5cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△DEP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象．（1）a＝；（2）求出y与x的函数关系式．21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝mx+n（m＜0且n＞0）与x轴交于点A，过点C（1，0）作直线l2⊥x轴，且与l1交于点B．（1）当m＝﹣2，n＝1时，求BC的长；（2）若BC＝1﹣m，D（4，3+m），且BD∥x轴，判断四边形OBDA的形状，并说明理由．22．（10分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；③对角线相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．（3）同学们再继续研究“准菱形”，如图⑤，在四边形ABCD中，有AB＝AD，CD＝CB．若∠A＝∠C，求证：“准菱形”ABCD是菱形．23．（12分）如图1，已知平行四边形ABCD中，BD平分∠CBA．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，E为边AB上一动点，连接CE，作CE的垂直平分线交CE于F，交DB于G，连接AG、EG，①求证：△AGE为等腰三角形；②若∠CBA＝60°，求的值．24．（12分）平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点A坐标为（0，4）．（1）点P、F分别为边BC、OB上的点，AF⊥OP于M．①如图1，若OF＝1，则P点坐标为；②如图2，若点P为边BC的中点，连接AB，求证：CM＝AC；∠MCB＝2∠FAB．（2）如图3，若点N坐标（﹣2，0），点Q为直线AB的任意一点，连接NQ，作NQ⊥NG于点N，NQ＝NG，连接OG，则OG最小值为．

2023-2024学年福建省厦门市湖里中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案AABCDDBCBC一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝3，不符合题意；C、＝2，不符合题意；D、＝，不符合题意．故选：A．2．【解答】解：由题意得，x+2≥0，解得，x≥﹣2，故选：A．3．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项正确；C、52+82≠112，故不是直角三角形，故此选项错误；D、52+132≠232，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．4．【解答】解：∵y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，∴图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故A，B不符合题意；当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，∴图象与x轴交于（2，0），故C符合题意；当x＝0时，y＝4，∴图象与y轴交于（0，4），故D不符合题意；故选：C．5．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵点E是边CD的中点，∴EO＝CD，∵OE，∴CD＝2OE＝4，故选：D．7．【解答】解：过C作CH⊥x轴于H，如图：∵A（0，1），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠CBH＝∠BCH，∵∠AOB＝∠BHC＝90°，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴OA＝BH＝1，OB＝CH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（3，2）；故选：B．8．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，故选：C．9．【解答】解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故②错误；∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，∴（3x+4x）×4＝560，x＝20∴快车的速度是80km/h由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60＝240km，故④当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时慢车距离甲地60×（4﹣3）＝60km，故③故选：B．10．【解答】解：由折叠可得∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，Rt△ABE中，AE＝＝＝4，由折叠可得EF垂直平分BD，∴DE＝BE＝5，∴AD＝4+5＝9，Rt△ABD中，BD＝＝＝，又∵O是BD的中点，∴AO＝BD＝，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：①（）2＝2；②＝＝3；③×＝＝10；④+＝2+＝3．故答案为：2，3，10，3．12．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故答案为：k＞2．13．【解答】解：将点（m，n）代入y＝x+1得：n＝m+1，即m﹣2n＝﹣2，则2m﹣4n﹣1＝2（m﹣2n）﹣1＝2×（﹣2）﹣1＝﹣故答案为：﹣5．14．【解答】解：由函数图象可知：①当x＝0时，y的最大值为2，故①说法正确；②当0＜x1＜x2＜2时，y随x的增大而减小，y1＞y2，故②说法错误；③当1＜x1＜x2＜3时，y随x的增大先减小后增大，不能比较y1与y2的大小，故③说法错误；④当2＜x1＜x2＜5时，y随x的增大而增大，y1＜y2，故④说法正确；设线段BC的解析式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴设线段BC的解析式为y＝，当x＝3时，y＝＝，∴当0≤x≤3时，2≤y≤，故⑤说法错误；⑥当x＝2时，y的最小值为1，故⑥说法正确；所以正确的结论有①④⑥．故答案为：①④⑥．15．【解答】解：∵（）2＝（3+）2﹣（3﹣）2，∴这个直角三角形的两边可以为，．故答案为，（答案不唯一）．16．【解答】解：①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0．②当72°＜x＜90°时，如图2中，∵AB＝AM＝AN＝AD，∴∠ABM＝∠AMB＝∠AMN＝∠ANM＝x，∠ADN＝∠AND＝x﹣y，∵∠B+∠BAD＝180°，∴x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x﹣y）]＝180°，∴y＝x﹣180°．③当60°＜x＜72°，如图3中，同法可得：x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x+y）]＝180°，∴y＝180°﹣x．综上所述，当60°＜x≤72°时，y＝180°﹣x．当72°＜x＜90°时，y＝．故答案为：当60°＜x≤72°时，y＝180°﹣x．当72°＜x＜90°时，y＝．三、解答题（共8小题，共86分）17．【解答】解：（1）原式＝××+2﹣﹣2＝2+2﹣﹣2＝；（2）原式＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝＝．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDQ，∵BP＝DQ，∴在△ABP和△CDQ中，，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴AP＝CQ．19．【解答】解：（1）画出函数图象如图所示：（2）当x＝0时，y＝2x+4，∴点C的坐标为（0，4），当y＝0时，2x+4＝0，解得：x＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0）．∴OB＝2，OC＝4，∴S△OBC＝OB•OC＝×2×4＝4．20．【解答】解：（1）由图象知，当点P在BC上运动时，△DEP的面积的面积不变，∴BC＝（a+4﹣a）×1.5＝6（cm），∵DE是中位线，∴DE＝BC＝3（cm），当点P在线段DC上时，S△DEP＝DE•PD＝×3×1.5x，由图象知，当点P和点C重合时，即x＝a时，△DEP的面积＝3，∴×3×1.5a＝3，∴a＝．故答案为：．（2）由题意，结合（1）a＝，则a+4＝．∴当0≤x≤时，即当点P在线段DC上时，y＝S△DEP＝DE•PD＝×3×1.5x＝x；当＜x≤时，即当点P在线段BC上时，y＝S△DEP＝3．∴y与x的函数关系式为y＝．21．【解答】解：（1）当m＝﹣2，n＝1时，直线的解析式为y＝﹣2x+1，当x＝1时，y＝﹣1，∴B（1，﹣1），∴BC＝1．（2）结论：四边形OBDA是平行四边形．理由：如图，∵BD∥x轴，B（1，1﹣m），D（4，3+m），∴1﹣m＝3+m，∴m＝﹣1，∵B（1，m+n），∴m+n＝1﹣m，∴n＝3，∴直线y＝﹣x+3，∴A（3，0），∴OA＝3，BD＝3，∴OA＝BD，OA∥BD，∴四边形OBDA是平行四边形．22．【解答】（1）解：如图③所示，四边形ABCD即为所求；如图④所示，四边形ABCD′即为所求；（2）解：①如图①，当CD∥AB，∴∠D+∠A＝∠C+∠B＝180°，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故①正确；②如图，连接BD，∵∠A＝∠C＝90°，CD＝AB，BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），∴AD＝CB，∵CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故②正确；③对角线相等的“准菱形”不一定是菱形，故③错误；④如图②，连接BD，∵AD＝AB，CD＝CB，∴∠ADB＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，当AD∥BC时，∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠ABD，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；故④正确；故正确的有①②④，故答案为：①②④；（3）证明：连接AC，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠D＝∠B，∵∠A＝∠C，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴“准菱形”ABCD是菱形．23．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴DC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）①∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝DA，∠CDG＝∠ADG，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG，∵GF是EC的垂直平分线，∴CG＝EG，∴AG＝EG，即△AGE是等腰三角形；②连接AC交BD于O，∵GC＝GE，∴∠GCE＝∠GEC，∵AG＝CG＝GE，∴∠GCA＝∠GAC，∠GAE＝∠GEA，∵∠CBA＝60°，BC＝AB，∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∴∠GAC+∠GAE＝60°，∴∠GAC+∠GCA+∠GAE+∠GEA＝120°，∴∠AGC+∠AGE＝240°，∴∠CGE＝120°，∴∠GCE＝30°，∴CG＝2GF，∴AG