高等数学成教试题及答案

高等数学成教试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的极值点为：

A.x=-1，x=1

B.x=0，x=1

C.x=-1，x=0

D.x=0，x=-1

2.设函数f(x)=e^x-x，则f(x)的零点为：

A.x=0

B.x=1

C.x=e

D.x=e^2

3.设函数f(x)=ln(x)+1，则f(x)的单调递增区间为：

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,1)

D.(1,+∞)

4.设函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像的对称轴为：

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=4

5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的周期为：

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

6.设函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f(x)的导数f'(x)为：

A.3x^2-6x+3

B.3x^2-6x-3

C.3x^2+6x+3

D.3x^2+6x-3

7.设函数f(x)=e^x*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)为：

A.e^x*(sin(x)+cos(x))

B.e^x*(sin(x)-cos(x))

C.e^x*(cos(x)+sin(x))

D.e^x*(cos(x)-sin(x))

8.设函数f(x)=ln(x^2)，则f(x)的导数f'(x)为：

A.2x/x^2

B.2x/x

C.2/x

D.2x

9.设函数f(x)=x^2*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)为：

A.2x*sin(x)+x^2*cos(x)

B.2x*sin(x)-x^2*cos(x)

C.-2x*sin(x)+x^2*cos(x)

D.-2x*sin(x)-x^2*cos(x)

10.设函数f(x)=e^x/x，则f(x)的导数f'(x)为：

A.e^x/x^2

B.e^x*(1-x)/x^2

C.e^x*(1+x)/x^2

D.e^x*(x-1)/x^2

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的导数为f'(x)=________。

2.设函数f(x)=e^x，则f(x)的积分F(x)=________。

3.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)的导数f'(x)=________。

4.设函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的极值点为x=________。

5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的周期为T=________。

6.设函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f(x)的导数f'(x)=________。

7.设函数f(x)=e^x*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)=________。

8.设函数f(x)=ln(x^2)，则f(x)的导数f'(x)=________。

9.设函数f(x)=x^2*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)=________。

10.设函数f(x)=e^x/x，则f(x)的导数f'(x)=________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.求函数f(x)=x^3-3x的极值点及极值。

2.求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。

3.求函数f(x)=ln(x^2)的导数。

姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的极值点为：

A.x=-1，x=1

B.x=0，x=1

C.x=-1，x=0

D.x=0，x=-1

2.设函数f(x)=e^x-x，则f(x)的零点为：

A.x=0

B.x=1

C.x=e

D.x=e^2

3.设函数f(x)=ln(x)+1，则f(x)的单调递增区间为：

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,1)

D.(1,+∞)

4.设函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像的对称轴为：

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=4

5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的周期为：

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

6.设函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f(x)的导数f'(x)为：

A.3x^2-6x+3

B.3x^2-6x-3

C.3x^2+6x+3

D.3x^2+6x-3

7.设函数f(x)=e^x*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)为：

A.e^x*(sin(x)+cos(x))

B.e^x*(sin(x)-cos(x))

C.e^x*(cos(x)+sin(x))

D.e^x*(cos(x)-sin(x))

8.设函数f(x)=ln(x^2)，则f(x)的导数f'(x)为：

A.2x/x^2

B.2x/x

C.2/x

D.2x

9.设函数f(x)=x^2*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)为：

A.2x*sin(x)+x^2*cos(x)

B.2x*sin(x)-x^2*cos(x)

C.-2x*sin(x)+x^2*cos(x)

D.-2x*sin(x)-x^2*cos(x)

10.设函数f(x)=e^x/x，则f(x)的导数f'(x)为：

A.e^x/x^2

B.e^x*(1-x)/x^2

C.e^x*(1+x)/x^2

D.e^x*(x-1)/x^2

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的导数为f'(x)=________。

2.设函数f(x)=e^x，则f(x)的积分F(x)=________。

3.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)的导数f'(x)=________。

4.设函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的极值点为x=________。

5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的周期为T=________。

6.设函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f(x)的导数f'(x)=________。

7.设函数f(x)=e^x*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)=________。

8.设函数f(x)=ln(x^2)，则f(x)的导数f'(x)=________。

9.设函数f(x)=x^2*sin(x)，则f(x)的导数f'(x)=________。

10.设函数f(x)=e^x/x，则f(x)的导数f'(x)=________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.求函数f(x)=x^3-3x的极值点及极值。

2.求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。

3.求函数f(x)=ln(x^2)的导数。

四、计算题（每题10分，共30分）

1.计算定积分∫(0to1)(x^2-2x+1)dx。

2.计算不定积分∫(e^x*sin(x))dx。

3.计算不定积分∫(ln(x^2))dx。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间[a,b]上单调递增。

六、应用题（每题10分，共20分）

1.一物体做匀加速直线运动，其加速度a=2m/s^2，初速度v0=3m/s，求物体在5秒内的位移。

2.一质点做简谐振动，其振动方程为x=0.1*sin(πt)，求质点在t=0.5秒时的速度和加速度。

试卷答案如下：

一、选择题（每题2分，共20分）

1.A

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1，x=1。通过二阶导数检验可知，x=-1是极大值点，x=1是极小值点。

2.C

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，解得x=1。通过导数的符号变化可知，x=1是f(x)的零点。

3.B

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=1/x，由于x>0，故f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。

4.B

解析思路：f(x)=(x-2)^2，其图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为x=2。

5.B

解析思路：正弦函数的周期为2π，所以sin(x)的周期为2π。

6.A

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=3x^2-6x+3，这是一个二次多项式。

7.A

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))，利用乘积法则和链式法则进行求导。

8.C

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=2x/x^2=2/x，由于x>0，故f'(x)>0。

9.A

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)，利用乘积法则和链式法则进行求导。

10.B

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=e^x*(1-x)/x^2，利用商法则进行求导。

二、填空题（每题2分，共20分）

1.f'(x)=3x^2-3

解析思路：直接对函数f(x)求导。

2.F(x)=e^x

解析思路：由于f(x)=e^x是指数函数，其积分F(x)也是e^x。

3.f'(x)=1/x

解析思路：对数函数ln(x)的导数是1/x。

4.x=2

解析思路：由于f(x)=(x-2)^2，当x=2时，f(x)取得极值。

5.T=2π

解析思路：正弦函数sin(x)的周期是2π。

6.f'(x)=3x^2-6x+3

解析思路：直接对函数f(x)求导。

7.f'(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))

解析思路：利用乘积法则和链式法则进行求导。

8.f'(x)=2/x

解析思路：对数函数ln(x^2)的导数是2x/x^2。

9.f'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)

解析思路：利用乘积法则和链式法则进行求导。

10.f'(x)=e^x*(1-x)/x^2

解析思路：利用商法则进行求导。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.极值点：x=-1，极值：f(-1)=2；极值点：x=1，极值：f(1)=-2。

解析思路：先求导数f'(x)，令f'(x)=0，解得极值点。然后代入原函数计算极值。

2.f'(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))

解析思路：利用乘积法则和链式法则进行求导。

3.f'(x)=2x/x^2

解析思路：对数函数ln(x^2)的导数是2x/x^2。

四、计算题（每题10分，共30分）

1.∫(0to1)(x^2-2x+1)dx=[1/3*x^3-x^2+x]from0to1=(1/3-1+1)-(0-0+0)=1/3。

解析思路：直接计算定积分。

2.∫(e^x*sin(x))dx=-e^x*cos(x)+e^x*sin(x)+C。

解析思路：利用乘积法则和链式法则进行求导。

3.∫(ln(x^2))dx=2*x*ln(x)-2*x+C。

解析思路：对数函数ln(x^2)的积分是2*x*ln(x)-2*x。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：设F(x)=f(x)-f(a)，由于f(x)在[a,b]上连续，故F(x)在[a,b]上连续。又因为f(a)=f(b)，所以F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理，存在至少一个c∈(a,b)，使得F'(c)=0。由于F'(x)=f'(x)，所以f'(c)=0。

解析思路：利用罗尔定理进行证明。

2.证明：设x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，由于f'(x)>0，所以f(x1)<