江苏省徐州市高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系1教学实录 苏教版必修4

江苏省徐州市高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系1教学实录苏教版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课教学内容为江苏省徐州市高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系。主要包括：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数的定义、性质、图像以及同角三角函数之间的关系。通过本节课的学习，学生能够掌握三角函数的基本概念和性质，并能运用这些知识解决实际问题。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过探究三角函数的性质，提高逻辑推理和数学建模能力。增强数学运算能力，学会运用三角函数关系式进行计算。提升数学直观能力，通过图形理解函数性质。强化数学应用意识，将三角函数知识应用于实际问题解决。重点难点及解决办法重点：

1.同角三角函数关系的理解与应用。

2.三角函数性质的应用，如周期性、奇偶性、单调性等。

难点：

1.同角三角函数关系的推导与应用的灵活性。

2.复杂三角函数运算中的错误识别和纠正。

解决办法：

1.通过实例演示和小组讨论，帮助学生理解同角三角函数关系的推导过程，提高应用能力。

2.设计阶梯式练习，从基础到复杂，逐步提升学生解决实际问题的能力。

3.针对难点，采用分层教学，针对不同层次学生提供相应辅导，同时鼓励学生互相帮助，共同解决难题。

4.利用多媒体教学工具，直观展示三角函数图像和性质，帮助学生建立直观印象。

5.定期进行错题分析，引导学生总结错误原因，提高解题准确率。教学方法与策略1.采用讲授法结合讨论法，讲解三角函数关系的理论基础，引导学生主动思考。

2.设计小组合作学习活动，让学生通过小组讨论推导同角三角函数关系，培养合作能力和逻辑思维。

3.利用多媒体展示三角函数图像，通过动画演示函数性质，增强直观感受。

4.设置实际问题解决环节，让学生运用所学知识解决实际问题，提高应用能力。

5.结合游戏化教学，设计三角函数知识竞赛，激发学生学习兴趣，巩固知识点。教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：首先，通过展示自然界中的周期现象，如日出日落、季节变化等，引导学生思考周期性的概念。然后，提出问题：“如何用数学语言描述这些周期现象？”接着，引入三角函数作为描述周期现象的工具，引出本节课的主题“同角三角函数关系”。

2.新课讲授（15分钟）

（1）三角函数关系的定义及性质（5分钟）

详细内容：介绍正弦、余弦、正切等三角函数的定义，并通过实例展示它们的周期性、奇偶性等基本性质。

（2）同角三角函数关系的推导（5分钟）

详细内容：引导学生通过单位圆上的点坐标变化，推导出正弦、余弦、正切等三角函数之间的关系式。

（3）同角三角函数关系的应用（5分钟）

详细内容：举例说明同角三角函数关系在解决实际问题中的应用，如求解直角三角形、计算三角形的面积等。

3.实践活动（10分钟）

（1）绘制三角函数图像（5分钟）

详细内容：学生根据三角函数的性质，在坐标轴上绘制正弦、余弦、正切等函数图像。

（2）三角函数性质应用练习（5分钟）

详细内容：提供若干三角函数性质的应用题，让学生独立完成，教师巡视指导。

4.学生小组讨论（15分钟）

举例回答：

（1）如何利用同角三角函数关系求解直角三角形？

详细内容：学生小组讨论如何通过已知的正弦、余弦值，结合三角函数关系求解直角三角形的未知边长。

（2）在什么情况下，正弦函数和余弦函数的值相等？

详细内容：学生小组讨论在哪些角度或条件下，正弦函数和余弦函数的值相等，并举例说明。

（3）如何判断三角函数的增减性？

详细内容：学生小组讨论如何根据三角函数的图像和性质，判断三角函数在某一区间内的增减性。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：教师引导学生回顾本节课所学内容，强调重点和难点，如同角三角函数关系的推导与应用、三角函数性质的运用等。同时，鼓励学生在课后复习巩固所学知识，提高数学能力。

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-三角函数的历史背景：介绍三角函数的发展历程，从古代天文学到现代数学的应用，让学生了解三角函数在科学史上的重要性。

-三角函数在工程领域的应用：探讨三角函数在建筑、机械、电子工程等领域的应用实例，如桥梁设计、电路分析等。

-三角函数在物理学的应用：介绍三角函数在波动、振动、光学等物理现象中的描述和计算，如简谐运动、光的干涉等。

-三角函数在计算机图形学中的应用：阐述三角函数在计算机图形渲染、三维建模中的角色，如三维空间坐标变换、图形的投影等。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《三角函数与几何图形》等书籍，可以为学生提供更深入的数学知识。

-观看教育视频：推荐一些在线教育平台上的三角函数教学视频，如KhanAcademy、Coursera等，帮助学生理解复杂概念。

-实践项目：鼓励学生参与数学建模竞赛或科学实验，将三角函数知识应用于实际问题解决。

-制作教学模型：指导学生使用纸板、塑料等材料制作三角函数的物理模型，如正弦波、余弦波等，以增强直观理解。

-研究案例：让学生研究历史上著名的三角函数问题，如哥尼斯堡七桥问题，了解数学问题如何推动科学进步。

-互动式学习：利用在线互动平台，如Geogebra、Desmos等，让学生通过动态图形探索三角函数的性质。

-数学软件应用：教授学生使用MATLAB、Mathematica等数学软件进行三角函数的计算和分析，提高学生的计算能力。

-数学文化探索：组织学生参观数学博物馆或历史遗迹，了解数学家的故事和数学在人类文明中的作用。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾本节课的重点内容，强调同角三角函数关系的定义、推导和应用。

2.总结三角函数的基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等。

3.强调三角函数在解决实际问题中的重要性，如直角三角形的求解、三角函数在实际工程中的应用。

4.鼓励学生在课后继续学习和巩固，通过练习题加深对知识的理解。

当堂检测：

1.基础题（5分钟）

-求解下列三角函数值：

a.sin(π/3)

b.cos(π/4)

c.tan(π/6)

-求解直角三角形的边长，已知一角的正弦值和余弦值：

a.在直角三角形中，∠A的正弦值为1/2，求∠A的正切值。

b.在直角三角形中，∠B的余弦值为√3/2，求∠B的正弦值。

2.应用题（10分钟）

-在建筑工地上，一根旗杆的高度为10米，测得地面上的投影长度为8米，求该旗杆与地面的夹角。

-一个圆形水库的直径为200米，在水库边缘测得一个船的影长为150米，求该船与水面的夹角。

3.分析题（10分钟）

-分析下列三角函数的性质，并说明其在实际中的应用：

a.正弦函数在[0,π]区间的增减性。

b.余弦函数在[0,π]区间的奇偶性。

-设计一个实际问题，并说明如何利用三角函数解决该问题。

检测结束后，教师对学生的答题情况进行反馈，解答学生的疑问，并针对重难点进行讲解和补充。通过当堂检测，检验学生对本节课教学内容的掌握程度，并为下一节课的学习做好准备。内容逻辑关系①三角函数关系的定义

-重点知识点：同角三角函数关系的定义，包括正弦、余弦、正切等基本函数关系。

-重点词句：正弦、余弦、正切函数的定义，以及它们之间的关系式。

②三角函数关系的推导

-重点知识点：同角三角函数关系的推导过程，包括单位圆上的点坐标变化。

-重点词句：单位圆上的点坐标，正弦、余弦、正切函数的值随角度变化的规律。

③三角函数关系的应用

-重点知识点：同角三角函数关系在实际问题中的应用，如直角三角形的求解、三角函数在实际工程中的应用。

-重点词句：直角三角形的边长求解，三角函数在建筑、机械、电子工程等领域的应用实例。典型例题讲解1.例题一：已知直角三角形的一个锐角为30°，求该直角三角形的另外两个角的正弦值和余弦值。

解答：在直角三角形中，∠A=30°，则∠B=90°-∠A=60°。根据三角函数的定义，我们有：

sin(30°)=1/2

cos(30°)=√3/2

由于直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，我们可以得到：

sin(60°)=cos(30°)=√3/2

cos(60°)=sin(30°)=1/2

2.例题二：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，求AC的长度。

解答：根据勾股定理，我们有：

AC^2=AB^2-BC^2

AC^2=5^2-4^2

AC^2=25-16

AC^2=9

AC=√9

AC=3cm

3.例题三：已知一个圆的半径为r，求该圆的周长和面积。

解答：圆的周长C和面积A可以通过以下公式计算：

C=2πr

A=πr^2

其中π是圆周率，约等于3.14159。

4.例题四：在直角坐标系中，点P的坐标为(3,4)，求点P到原点O的距离。

解答：根据两点间的距离公式，我们有：

OP=√(x^2+y^2)

OP=√(3^2+4^2)

OP=√(9+16)

OP=√25

OP=5

5.例题五：在直角坐标系中，直线y=2x+1与x轴和y轴