2024-2025学年下学期初中数学七年级第七章A卷

第27页（共27页）第七章A卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，将△ABC沿CB方向平移1个单位长度得到△DEF，已知CB＝3，则CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024秋•海淀区校级期末）如图，直线a，b被c，d所截，∠1+∠2＝180°，∠3＝60°，则∠4的度数为（）A．120° B．100° C．60° D．45°3．（2024秋•栾城区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠BOD＝25°，则∠AOC的补角的大小为（）A．25° B．65° C．115° D．155°4．（2024秋•泉港区期末）“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判定正确的是（）A．原命题为真命题，逆命题为假命题 B．原命题与逆命题均为真命题 C．原命题为假命题，逆命题为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题5．（2024秋•龙沙区期末）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到达小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是（）A．直线外一点与直线上点之间的连线段有无数条 B．过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短6．（2024秋•西山区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°7．（2024秋•西山区校级期末）下列条件不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠BAD+∠ADC＝180° C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠58．（2024秋•法库县期末）如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．10°9．（2024秋•新城区校级期末）如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c所截形成的角，若∠1＝40°，则∠2＝（）A．20° B．40° C．60° D．80°10．（2024秋•西湖区期末）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知∠1＝53°，则∠2的度数为（）A．37° B．47° C．117° D．127°二．填空题（共5小题）11．（2024秋•南明区期末）噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在（填B或C）点受到的危害较小．12．（2024秋•泉州期末）如图，与∠C构成同旁内角的有个．13．（2024秋•昆都仑区期末）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝．14．（2024秋•皇姑区期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是（填写“真命题”或“假命题”）15．（2024秋•溧阳市期末）如图，点O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE⊥OD，若∠AOD＝25°，则∠COE＝°．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•和平区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC．（1）图中∠AOF的余角是（把符合条件的角都填上）；（2）如果∠1＝28°，求∠2和∠3的度数．解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°（），∵∠AOD+∠＝∠2+∠＝180°，∴∠2＝∠＝°（）．又∵OF⊥CO，∴∠FOD＝90°，∴∠3＝90°﹣∠＝°．17．（2024秋•西山区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1＝42°，求∠2和∠3的度数．18．（2024秋•南安市期末）如图是户外广告牌金色“W”抽象成几何图形，其中AB∥CD，∠B＝25°，∠D＝25°，那么BC与DE平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝（），∵∠B＝∠D＝25°（已知），∴＝∠D（等量代换），∴BC∥DE（）．19．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE．20．（2024秋•溧阳市期末）推理填空：如图，EF∥CA，∠1＝∠2，∠BCD＝68°．请将求∠ADC的过程填写完整．解：因为EF∥CA（已知），所以∠2＝（），又因为∠1＝∠2（已知），所以∠1＝（），所以AD∥（），所以∠BCD+＝180°（），因为∠BCD＝68°（已知），所以∠ADC＝°．21．（2024秋•南安市期末）如图，如果∠1+∠2＝180°，∠B＝∠C，那么AB与CD平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠CGD＝180°（平角的定义），∴∠2＝∠①（同角的补角相等），∴CE∥②（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠BFD（③），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（④）．22．（2024秋•城关区校级期末）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．23．（2024秋•建邺区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．（1）若OC平分∠BOE，∠BOD＝25°，则∠AOE＝．（2）若∠BOD为锐角，∠AOE＝2∠BOD，请说明OC平分∠BOE．

第七章A卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BCBADACABA一．选择题（共10小题）1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，将△ABC沿CB方向平移1个单位长度得到△DEF，已知CB＝3，则CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平移的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵将△ABC沿CB方向平移1个单位长度得到△DEF，∴BE＝CD＝1，∵CB＝3，∴CE＝BE+BC＝4，故选：B．【点评】本题考查了平移的性质，熟练运用平移的性质解决问题是本题的关键．2．（2024秋•海淀区校级期末）如图，直线a，b被c，d所截，∠1+∠2＝180°，∠3＝60°，则∠4的度数为（）A．120° B．100° C．60° D．45°【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∴a∥b，∴∠3＝∠4，∵∠3＝60°，∴∠4＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．3．（2024秋•栾城区期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠BOD＝25°，则∠AOC的补角的大小为（）A．25° B．65° C．115° D．155°【考点】垂线；余角和补角．【专题】运算能力．【答案】B【分析】根据垂直定义可得∠COD＝90°，从而利用角的和差关系可得∠COB＝65°，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵∠BOD＝25°，∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝65°，∴∠AOC的补角的大小为65°．故选：B．【点评】本题考查了垂线以及余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．4．（2024秋•泉港区期末）“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判定正确的是（）A．原命题为真命题，逆命题为假命题 B．原命题与逆命题均为真命题 C．原命题为假命题，逆命题为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题【考点】命题与定理．【专题】实数；推理能力．【答案】A【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】解：原命题“若a＝b，则a2＝b2”正确，为真命题；其逆命题为若a2＝b2，则a＝b，错误，为假命题，故选：A．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方与开平方的意义，难度不大．5．（2024秋•龙沙区期末）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到达小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是（）A．直线外一点与直线上点之间的连线段有无数条 B．过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】D【分析】由两点之间线段最短，即可得到答案．【解答】解：小明想尽快到达小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短．故选：D．【点评】本题考查线段的性质，直线的性质，垂线段最短，关键是掌握两点之间线段最短．6．（2024秋•西山区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】利用翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF；然后根据两直线平行，内错角相等，求得∠BGE＝∠DEG，∠DEF＝∠EFG；最后由等量代换求得∠BGE的度数．【解答】解：根据翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG，∠BGE＝∠DEG＝2∠DEF，∵∠EFG＝50°，∴∠DEF＝50°，∴∠BGE＝2∠DEF＝100°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7．（2024秋•西山区校级期末）下列条件不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠BAD+∠ADC＝180° C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠5【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故A不符合题意；∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故B不符合题意；∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故C符合题意；∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．8．（2024秋•法库县期末）如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】先利用平角定义可得：∠2＝40°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝140°，∴∠2＝180°﹣∠1＝40°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝40°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．（2024秋•新城区校级期末）如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c所截形成的角，若∠1＝40°，则∠2＝（）A．20° B．40° C．60° D．80°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据平行线的性质两直线平行，同位角相等解答即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2，∵∠1＝40°，∴∠2＝40°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．10．（2024秋•西湖区期末）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知∠1＝53°，则∠2的度数为（）A．37° B．47° C．117° D．127°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】通过平角，直角的应用，即可计算出∠2的度数．【解答】解：如图，∠CAB＝90°，∵∠1＝53°，∴∠2＝180﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣90°﹣53°＝37°．故选：A．【点评】本题考查了角度的计算，认识图形，并能熟练计算是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•南明区期末）噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在B（填B或C）点受到的危害较小．【考点】垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】B．【分析】根据两点间的距离即可得到结论．【解答】解：由图象得，AB＞AC，∴人站在B点受到的危害较小．故答案为：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，两点间的距离，正确地识别图形是解题的关键．12．（2024秋•泉州期末）如图，与∠C构成同旁内角的有4个．【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】4．【分析】根据同旁内角的定义结合具体的图形进行解答即可．【解答】解：与∠C构成同旁内角的有∠B，∠A，∠CFD，∠CED，共4个，故答案为：4．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同旁内角的定义是正确解答的关键．13．（2024秋•昆都仑区期末）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝40°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】40°．【分析】由KL∥MN得∠KLM＝∠1＝20°，故∠2＝40°．【解答】解：如图，∵KL∥MN，∠1＝20°，∴∠KLM＝∠1＝20°，∵∠OLM＝60°，∴∠2＝60°﹣20°＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．（2024秋•皇姑区期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题（填写“真命题”或“假命题”）【考点】命题与定理．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】利用反例进行判断．【解答】解：因为22＝（﹣2）2，所以如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题．故答案为假命题．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．15．（2024秋•溧阳市期末）如图，点O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE⊥OD，若∠AOD＝25°，则∠COE＝65°．【考点】垂线；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】65．【分析】首先根据角平分线的定义得∠COD＝25°，再由垂直的定义可得∠DOE＝90°，即可求得∠COE的度数．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD＝25°，∴∠COD＝∠AOD＝25°，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠COE＝90°﹣25°＝65°．故答案为：65．【点评】本题主要考查垂线的定义，角平分线的定义，正确理解垂线的定义和角平分线的定义是解题的关键．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•和平区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC．（1）图中∠AOF的余角是∠AOD，∠BOC（把符合条件的角都填上）；（2）如果∠1＝28°，求∠2和∠3的度数．解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°（角平分线的定义），∵∠AOD+∠AOC＝∠2+∠AOC＝180°，∴∠2＝∠AOD＝56°（同角的补角相等）．又∵OF⊥CO，∴∠FOD＝90°，∴∠3＝90°﹣∠AOD＝34°．【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【答案】（1）∠AOD，∠BOC；（2）角平分线的定义；AOC；AOC；AOD；56；同角的补角相等；AOD；34．【分析】（1）由垂线的定义得∠DOF＝90°，从而∠AOF+∠AOD＝90°，结合对顶角的性质得∠AOF+∠AOD＝90°，可得结论；（2）由角平分线的定义得∠AOD＝2∠1＝56°，由补角的性质得∠2＝∠AOD＝56°，然后结合∠FOD＝90°可求出∠3＝90°﹣∠AOD＝34°．【解答】解：（1）∵OF⊥OC∴∠DOF＝90°，∴∠AOF+∠AOD＝90°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOF+∠BOC＝90°，∴∠AOF的余角是∠AOD，∠BOC．故答案为：∠AOD，∠BOC；（2）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°（角平分线的定义），∵∠AOD+∠AOC＝∠2+∠AOC＝180°，∴∠2＝∠AOD＝56°（同角的补角相等）．又∵OF⊥CO，∴∠FOD＝90°，∴∠3＝90°﹣∠AOD＝34°，故答案为：角平分线的定义；AOC；AOC；AOD；56；同角的补角相等；AOD；34．【点评】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，余角的定义，补角的性质，数形结合是解答本题的关键．17．（2024秋•西山区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1＝42°，求∠2和∠3的度数．【考点】垂线；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】∠2＝66°，∠3＝48°．【分析】根据垂直的定义得∠COF＝90°，先运用平角的定义求解∠3，再根据邻补角和角平分线的定义即可求出∠2．【解答】解：∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∵∠1＝42°，∴∠3＝180°﹣90°﹣42°＝48°，∴∠AOD＝180°﹣∠3＝132°，又∵OE平分∠AOD，∴∠2=12∠AOD＝【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，角的和差运算，正确的识别图形是解题的关键．18．（2024秋•南安市期末）如图是户外广告牌金色“W”抽象成几何图形，其中AB∥CD，∠B＝25°，∠D＝25°，那么BC与DE平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠B＝∠D＝25°（已知），∴∠C＝∠D（等量代换），∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】∠C；两直线平行，内错角相等；∠C；内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠B＝∠D＝25°（已知），∴∠C＝∠D（等量代换），∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；∠C；内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．19．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE．【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出DE∥BC，得到∠ADF＝∠B，因此∠ADF＝∠E，即可证明AB∥CE．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∴DE∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠B＝∠E，∴∠ADF＝∠E，∴AB∥CE．【点评】本题考查平行线的判定，关键是判定DE∥BC，得到∠ADF＝∠E．20．（2024秋•溧阳市期末）推理填空：如图，EF∥CA，∠1＝∠2，∠BCD＝68°．请将求∠ADC的过程填写完整．解：因为EF∥CA（已知），所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），又因为∠1＝∠2（已知），所以∠1＝∠3（等量代换），所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以∠BCD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠BCD＝68°（已知），所以∠ADC＝112°．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；∠3，等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；∠D，两直线平行，同旁内角互补；112°．【分析】根据平行线的判定和性质，填写各步骤的条件或结论，即可．【解答】解：因为EF∥CA（已知），所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），又因为∠1＝∠2（已知），所以∠1＝∠3（等量代换），所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以∠BCD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠BCD＝68°（已知），所以∠ADC＝112°．故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；∠3，等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；∠D，两直线平行，同旁内角互补；112°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．21．（2024秋•南安市期末）如图，如果∠1+∠2＝180°，∠B＝∠C，那么AB与CD平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠CGD＝180°（平角的定义），∴∠2＝∠①CGD（同角的补角相等），∴CE∥②BF（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠BFD（③两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（④内错角相等，两直线平行）．【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】①CGD；②BF；③两直线平行，同位角相等；④内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠1+∠CGD＝180°（平角的定义）∴∠2＝∠CGD（同角的补角相等）∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）∵∠B＝∠C（已知）∴∠B＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）故答案为：①CGD；②BF；③两直线平行，同位角相等；④内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．22．（2024秋•城关区校级期末）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°，理由见解答过程．【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；（2）先判断出∠EBD+∠EDB＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），进而得出∠DBF+∠BDF＝90°-12（∠ABE+∠【解答】（1）证明：如图1，过点E作EH∥AB，∴∠BEH＝∠ABE，∵EH∥AB，CD∥AB，∴EH∥CD，∴∠DEH＝∠CDE，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE；（2）解：2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°，理由如下：由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，∵∠EDB+∠EBD+∠BED＝180°，∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，∴∠EBD＝2∠DBF，∠EDB＝2∠BDF，∴2∠DBF+2∠BDF＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），∴∠DBF+∠BDF＝90°-12（∠ABE+∠在△BDF中，∠F＝180°﹣（∠DBF+∠BDF）＝180°﹣[90°-12（∠ABE+∠CDE）]＝90°+12（∠ABE即2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键．23．（2024秋•建邺区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．（1）若OC平分∠BOE，∠BOD＝25°，则∠AOE＝50°．（2）若∠BOD为锐角，∠AOE＝2∠BOD，请说明OC平分∠BOE．【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）50°；（2）见解析．【分析】（1）根据垂直的定义得∠COD＝90°，所以∠BOC＝65°，根据角平分线的定义得∠BOE＝2∠BOC＝130°，即可得出答案；（2）根据邻补角的定义得∠BOE＝180°﹣∠AOE，根据∠AOE＝2∠BOD，可得∠BOE＝180°﹣2∠BOD，再根据∠BOD＝90°﹣∠BOC，可得∠BOE＝2∠BOC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∵∠BOD＝25°，∴∠BOC＝90°﹣25°＝65°，∵OC平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠BOC＝130°，∴∠AOE＝180°﹣130°＝50°；故答案为：50°；（2）∵∠BOE＝180°﹣∠AOE，∠AOE＝2∠BOD，∴∠BOE＝180°﹣2∠BOD，∵∠BOD＝90°﹣∠BOC，∴∠BOE＝180°﹣2∠BOD＝180°﹣2（90°﹣∠BOC）＝2∠BOC，∴OC平分∠BOE．【点评】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义及角的计算，熟练把垂直的定义，角平分线的定义转化成角的度数运算是解题的关键．

考点卡片1．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．2．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．3．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．4．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．5．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．6．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．7．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．8．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．9．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角