2024-2025学年下学期初中数学八年级第十八章A卷

第27页（共27页）第十八章A卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•禅城区期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（）A．6 B．4.5 C．3.5 D．32．（2024秋•南海区期末）在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形，那么添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD3．（2024秋•南海区期末）若菱形ABCD的边AB的长为2cm，则菱形ABCD的周长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．（2024秋•红古区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（）A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直6．（2024秋•莲湖区期末）如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．若BC＝4，则OE的长为（）A．4 B．3 C．23 D．7．（2024秋•成都期末）下列选项中，正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．四个角都是直角8．（2024秋•渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则的∠BAD度数为（）A．125° B．115° C．55° D．135°9．（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2024秋•长沙期末）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，则EHOAA．1：3 B．2：3 C．1：2 D．4二．填空题（共5小题）11．（2024秋•南岸区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是．12．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△ABO的周长是cm．13．（2024秋•顺德区期末）若D是直角三角形ABC斜边AB的中点，且AC＝3，BC＝4，则CD＝．14．（2025•深圳模拟）已知矩形的边长分别为3和4，则该矩形的对角线长为．15．（2024秋•英德市期末）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，AC＝4，则BD的长是．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，CD是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线．（1）若BD＝ED，求证：∠A＝30°；（2）若AD＝4BD＝8，求CD的长．17．（2024秋•南海区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD＝10，BD＝12，求AC的长．18．（2024秋•莱芜区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．19．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当点F是AE的中点，且CE=82时，求四边形20．（2024秋•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝6，AC＝8，BC＝10．求△DEF的周长．21．（2024秋•洪雅县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上，且CF＝DE．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）连接AD，当AD⊥BC，BC＝8，△CEF的周长为16时，求△DEF的周长．22．（2022•绿园区校级一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．23．（2024秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．

第十八章A卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DADDADDADA一．选择题（共10小题）1．（2024秋•禅城区期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（）A．6 B．4.5 C．3.5 D．3【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．【解答】解：由题意可知：AB＝6cm，AD＝DB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴CD=12AB＝3（故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．2．（2024秋•南海区期末）在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形，那么添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】由矩形的判定对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由AC＝BD能判定▱ABCD为菱形，故此选项符合题意；B、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；C、由AB＝BC能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；D、AC平分∠BAD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．3．（2024秋•南海区期末）若菱形ABCD的边AB的长为2cm，则菱形ABCD的周长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】D【分析】根据菱形的性质即可得到结论．【解答】解：∵菱形ABCD的边AB的长为2cm，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8（cm），故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的周长公式是解题的关键．4．（2024秋•红古区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根据正方形的性质对角线互相垂直可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD于点O，∴∠AOB＝90°，故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．5．（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（）A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直【考点】矩形的判定．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角；故选：A．【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．6．（2024秋•莲湖区期末）如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．若BC＝4，则OE的长为（）A．4 B．3 C．23 D．【考点】菱形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD＝4，AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵E是CD的中点，∴OE=12CD=12故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7．（2024秋•成都期末）下列选项中，正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．四个角都是直角【考点】正方形的性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定是直角．故选：D．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌正方形的性质是解题的关键．8．（2024秋•渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则的∠BAD度数为（）A．125° B．115° C．55° D．135°【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠DCE＝55°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠DCB＝125°，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则BD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝CO，求出AC，再求出BD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，∵AO＝3，∴CO＝3，∴AC＝3+3＝6，∴BD＝AC＝6，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键．10．（2024秋•长沙期末）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，则EHOAA．1：3 B．2：3 C．1：2 D．4【考点】菱形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】设CD＝a，根据菱形的性质得，CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB，在Rt△ODE中根据∠BOC＝30°得OD＝2a，OE=3a，则OC＝3a，进而得BC=32a，OB=323a，从而得EB=123【解答】解：设CD＝a，∵四边形CDEF为菱形，∴CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB，∵△OBC和△OBA为直角三角形，且∠OBC＝∠A＝90°，∴∠OED＝∠OBC＝90°，在Rt△ODE中，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝2a，由勾股定理得：OE=OD∴OC＝OD+CD＝2a+a＝3a，在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OC＝3a，∴BC=32由勾股定理得：OB=OC∴EB＝OB﹣OE=3∵EH⊥AB，∠A＝90°，∴EH∥OA，∴△BEH∽△BOA，∴EHOA故选：A．【点评】3二．填空题（共5小题）11．（2024秋•南岸区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是1．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】1．【分析】先证∠BOM＝∠CON，再证△BOM和△CON全等，得出△BOM和△CON的面积相等，再证得四边形OMCN的面积与△BOC的面积相等，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠BOM+∠COM＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠CON+∠COM＝90°，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，∠OBM∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC=14故答案为：1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，得出S△BOM＝S△CON是解题的关键．12．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△ABO的周长是16cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】16．【分析】由在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AB＝6cm，BC＝8cm，即可求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，即可求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，∴∠ABC＝90°，OA＝OB=12∴AC=AB2+∴AO＝BO＝5cm，∴△ABO的周长为OA+OB+AB＝16（cm）．故答案为：16．【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．13．（2024秋•顺德区期末）若D是直角三角形ABC斜边AB的中点，且AC＝3，BC＝4，则CD＝2.5．【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】2.5．【分析】由勾股定理得求出AB=AC2+BC2=【解答】解：由勾股定理得：AB=AC∵D是直角三角形ABC斜边AB的中点，∴CD=12AB＝故答案为：2.5．【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是直角三角形斜边中线的性质推出CD=1214．（2025•深圳模拟）已知矩形的边长分别为3和4，则该矩形的对角线长为5．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力．【答案】5．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵矩形的边长分别为3和4，∴该矩形的对角线长=32故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．（2024秋•英德市期末）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，AC＝4，则BD的长是2．【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】2．【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此得到BD=12AC＝【解答】解：∵Rt△ABC中，D是斜边AC的中点，∴BD=12AC=12故答案为：2．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，CD是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线．（1）若BD＝ED，求证：∠A＝30°；（2）若AD＝4BD＝8，求CD的长．【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）4．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CE=12AB＝EB＝AE，证明△CBE为等边三角形，得到∠B＝60°，再根据直角三角形的性质求出∠A＝（2）根据题意求出BD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CE，再根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，则CE=12AB＝EB＝∵BD＝ED，CD⊥EB，∴CE＝CB，∴CE＝BE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°；（2）解：∵4BD＝8，∴BD＝2，∴AB＝1D+BD＝10，由（1）可知：CE＝BE=12AB＝∴DE＝BE﹣BD＝3，由勾股定理得：CD=CE【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．17．（2024秋•南海区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD＝10，BD＝12，求AC的长．【考点】平行四边形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】16．【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD=12BD＝6，AC＝2∵AB＝AD，∴AO⊥BD，∴AO=AB∴AC＝2AO＝16．【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．18．（2024秋•莱芜区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，进而可得∠EAO＝∠FCO，再根据对顶角相等可得∠AOE＝∠COF从而证明△AOE≌△COF，证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴得AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∠EAO∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．19．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当点F是AE的中点，且CE=82时，求四边形【考点】正方形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）答案见解答过程；（2）64．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC得平行四边形ABCD为菱形，再根据AB⊥BC即可得出结论；（2）连接AC，根据CF⊥AE于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，据此可得四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形，又∵AB⊥BC，∴菱形ABCD为正方形，（2）连接AC，如图所示：∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点，∴CF为线段AE的垂直平分线，∴AC＝CE＝8√2，∵四边形ABCD为正方形，∵AD＝BC，∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，∴AD2=12AC2=∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64．【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键．20．（2024秋•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝6，AC＝8，BC＝10．求△DEF的周长．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据三角形中位线定理求出EF，再根据三角形周长公式计算即可．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，E是边AB的中点，AB＝6，则DE=12AB＝同理可得：DF=12AC＝∵E，F分别是边AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12BC＝∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝3+4+5＝12．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．21．（2024秋•洪雅县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上，且CF＝DE．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）连接AD，当AD⊥BC，BC＝8，△CEF的周长为16时，求△DEF的周长．【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，然后再推出∠ECD＝∠EDC，进而可得DE＝CE，再结合条件可得CE＝CF，进而可得结论；（2）根据三线合一可得CD的长，再根据△DEF周长＝DE+DF+EF，利用等量代换可得△DEF的周长＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周长+CD，进而可得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵ED∥AB，∴∠EDC＝∠B，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC，∵CF＝DE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形；（2）连接AD，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴BD＝CD=12BC＝∵△DEF周长＝DE+DF+EF，DE＝CE，DF＝CF+CD，∴△DEF的周长＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周长+CD＝16+4＝20．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，关键是掌握等角对等边，等边对等角，以及等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一．22．（2022•绿园区校级一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】综合题；几何直观．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论；（2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，（ASA）∴OE＝OF；（2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7，又∵EF⊥AD，∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9．【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本题主要考查了学生运用定理进行推理的能力．23．（2024秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF=12AB＝BF，进而证明DC＝（2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF=12AB＝∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

考点卡片1．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．5．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角