5.4二次函数与一元二次方程（第1课时）

第5章二次函数5.4

二次函数与一元二次方程（1）第1课时

二次函数与一元二次方程函数y＝x＋1的图像与x轴有一个交点.12-1-2o12xy3-3435知识回顾画一次函数y＝x＋1的图像，并指出函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点？y＝x＋112-1-2o12xy3-3435知识回顾y＝x＋1一元一次方程x＋1＝0与一次函数y＝x＋1有什么联系？

从“数”的方面看，当一次函数y＝x＋1的函数值y＝0时，相应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解.12-1-2o12xy3-3435知识回顾y＝x＋1一元一次方程x＋1＝0与一次函数y＝x＋1有什么联系？从“形”的方面看，函数y＝x＋1与x轴交点的横坐标即为方程x＋1＝0的解．知识回顾函数y＝kx＋b(k≠0)中，当y=0时，x的值方程kx＋b＝0(k≠0)的解从“数”的方面看，从“形”的方面看，函数y＝kx＋b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标方程kx＋b＝0(k≠0)的解一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)有怎样的关系呢？思考与探索24-2-4o24xy6-686y=x2-2x-3-2-4在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3的图像．(2)当x取何值时y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有何关系？(1)二次函数图像与x轴的交点坐标是什么？解：(1)二次函数图像与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)．解：(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的取值是方程x2－2x－3＝0的两个根．思考与探索24-2-4o24xy6-686y=x2-2x-3-2-4在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3的图像．(3)你能从中得到什么启示？解：(3)二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根；一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根就是二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交点的横坐标．思考与探索二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎样的关系呢？思考1二次函数y=ax2+bx+c何时能成为一元二次方程?

当y的值确定后，由二次函数y＝ax2＋bx+c可以相应地得到一个一元二次方程.如，y＝0时，由二次函数y＝ax2＋bx+c可得一元二次方程

ax2＋bx+c＝0.思考2二次函数的图像与x轴有交点吗？如果有，交点的纵坐标是多少？横坐标呢？思考与探索二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎样的关系呢？

从图像上看，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，那么交点的纵坐标y=0，交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．归纳总结1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点坐标，实质是求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根．2.由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2，可知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．新知巩固1.方程x2+4x-5=0的根是______________，则函数y=x2+4x-5的图像与x轴的交点有____个，其坐标是__________________．x1=－5，x2=12(－5，0)、(1，0)2.方程-x2+10x-25=0的根是_________，则函数y=-x2+10x-25的图像与x轴的交点有___个，其坐标是_________．1(5，0)x1=x2=53.二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是________________，则一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是_______________.

x-2-4-6O2-8-6-4y-2-8-102观察与思考

x6842O24y6-28y＝x2-6x+9x462O24y6-28y＝x2-2x+38观察与思考x-2-4-6O2-8-6-4y-2-8-102

x6842O24y6-28y＝x2-6x+9x462O24y6-28y＝x2-2x+38抛物线与x轴公共点个数公共点的横坐标相应的一元二次方程的根y＝-x2-4x-6y=x2－6x＋9y＝x2-2x+32个-6，-2

1个3x2-6x+9=0，x1=x2=30个x2-2x+3=0无解归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系b2-4ac的符号二次函数y=ax2+bx+c的图像二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的公共点的情况一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况a＞0a＞0b2-4ac＞0xyOx1x2xyOx1x2有两个公共点(x1,0)，(x2,0)

b2-4ac=0xyO

xyO

b2-4ac＜0xyOxyO无公共点没有实数根例题讲解例1不画图像，判断函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点？解：∵一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)<0,∴方程-x2+5x-8=0没有实数根.∴二次函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点.例题讲解例2已知抛物线y＝x2＋4kx＋4k2－3k.(1)当k为何值时，抛物线与x轴有一个公共点？解：(1)∵抛物线与x轴有一个公共点，∴b2－4ac=0，∴(4k)2－4×(4k2－3k)=0，解得k=0.故当k=0时，抛物线与x轴有两个公共点．例题讲解例2已知抛物线y＝x2＋4kx＋4k2－3k.(2)当k为何值时，抛物线与x轴无公共点？解：(2)∵抛物线与x轴无公共点，∴b2－4ac＜0，∴(4k)2－4×(4k2－3k)＜0，解得k＜0.故当k＜0时，抛物线与x轴没有公共点．新知巩固1.不画函数图像，判断下列二次函数的图像与x轴的公共点的个数.(1)y＝x2-x(2)y＝-x2+6x-9(3)y＝3x2+6x+11有2个公共点有且只有1个公共点没有公共点新知巩固2.已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图像与x轴有交点，求k的取值范围．解：∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图像与x轴有交点，∴b2－4ac≥0

22－4(k－3)≥0解得k≤4∵k－3≠0∴k≤4且k≠3.∴k的取值范围是k≤4且k≠3.新知巩固3.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．求证：此抛物线与x轴总有交点；证明：∵一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0的根的判别式b2-4ac=(m＋2)2－4m×2

＝m2＋4m＋4－8m

＝(m－2)2≥0,∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0总有实数根.∴二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2的图像与与x轴总有交点.拓展延伸1.若抛物线y=ax2+bx+c，当a>0，c<0时，图像与x轴交点情况是()A.无交点

B.只有一个交点C.有两个交点

D.不能确定C2.抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是(

)A.无交点B.有一个交点C.有两个交点D.随m取值的改变而改变C拓展延伸3.已知二次函数

y＝x2-6x+8的图像，利用图像回答问题：(1)方程x2-6x+8＝0的解是什么？(2)x取什么值时，y>0

？(3)x取什么值时，y<0

？xyO248解：(1)

x1=2，x2=4;(2)

x<2或x>4；(3)

2<x<4.课堂小结二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的公共点的情况两个公共点一个公共点无公共点当堂检测1.下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是()DA.y=x2-2C.y=-x2+6x-9B.y=x2-xD.y=x2-x+22.二次函数y＝kx2－2x－1的图像和x轴有交点，则k的取值范围是(

)A.k＞－1

B.k＜1

C.k≥－1且k≠0

D.k＜1且k≠0C当堂检测3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根

D.没有实数根DxyO当堂检测4.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点.115.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是________________________．有两个不相等的实数根当堂检测6.已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图像经过点P(2，4)．(1)求m