2025版新教材高中数学课时素养评价二十七零点的存在性及其近似值的求法新人教B版必修1

PAGE1-课时素养评价二十七零点的存在性及其近似值的求法(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点即为(x2-1)(x+1)=0的根，明显方程的根有-1，1，因此函数f(x)有两个零点.2.若函数f(x)在区间(0，2)内有零点，则 ()A.f(0)>0，f(2)<0B.f(0)·f(2)<0C.在区间(0，2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0D.以上说法都不正确【解析】选D.函数y=f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不肯定能找到x1，x2∈(a，b)，满意f(x1)·f(x2)<0，故A，B，C都是错误的.3.已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精度为0.01的x0的近似值时，推断各区间中点的函数值的符号最多须要的次数为 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选A.函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为QUOTE<0.02.4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点旁边的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精度为0.05)可以是 ()A.1.375 B.1.25C.1.4375 D.1.40625【解析】选D.由表格可得，函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.375，1.4375)之间；结合选项可知，方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精度为0.05)可以是1.40625.二、填空题(每小题4分，共8分)5.函数f(x)=x2-2x+a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________.

【解析】由题意可知，方程x2-2x+a=0有两个不同的解，故Δ=4-4a>0，即a<1.答案：(-∞，1)6.求方程x3-3x-1=0在区间(1，2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________.

【解析】设函数f(x)=x3-3x-1，则因为f(1)=-3<0，f(2)=1>0，f(1.5)=-QUOTE<0，所以下一个有根区间是(1.5，2).答案：(1.5，2)三、解答题(共26分)7.(12分)已知函数f(x)=x2-x-2a.(1)若a=1，求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时，f(x)=x2-x-2.令f(x)=x2-x-2=0得x=-1或x=2.即函数f(x)的零点为-1与2.(2)要使f(x)有零点，则Δ=1+8a≥0，解得a≥-QUOTE.所以a的取值范围是a≥-QUOTE.8.(14分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)若f(x)的一个正数零点旁边的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精度0.1).f(1)=-1f(1.5)=1f(1.25)=-0.40625f(1.375)=0.18359f(1.3125)=-0.13818f(1.34375)=0.01581【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1，所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，所以f(1)·f(2)=-7<0，因此∃x0∈(1，2)，f(x0)=0，且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内连续，所以f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内存在零点，由表知，f(1)=-1，f(1.5)=1，所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，因为f(1.25)=-0.40625，所以f(1.25)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，因为f(1.375)=0.18359，所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，因为1.375-1.25=0.125<0.2，故f(x)=0的一个近似解为QUOTE=1.3125.(15分钟·30分)1.(4分)(多选题)若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像为连绵不断的一条曲线，则下列说法错误的是 ()A.若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0B.若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)=0C.若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0D.若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0【解析】选A，B，D.依据函数零点存在定理可推断，若f(a)·f(b)<0，则∃c∈(a，b)，f(c)=0，但c的个数不确定，故B、D错.若f(a)·f(b)>0，有可能∃c∈(a，b)，f(c)=0，如f(x)=x2-1，f(-2)·f(2)>0，但f(x)=x2-1在(-2，2)内有两个零点，故A错，C正确.2.(4分)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的 ()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.非充分必要条件【解析】选B.a=-1⇒a=-1或a=0⇔f(x)=ax2+2x-1只有一个零点.3.(4分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________. 世纪金榜导学号

【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，又因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也单调递增，由f(2)=-f(-2)=0.因此在(0，+∞)，(-∞，0)上都只有一个零点，综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0.答案：304.(4分)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，假如线路不通的缘由是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多须要检测________次. 世纪金榜导学号

【解析】第1次取中点把焊接点数减半为QUOTE=32(个)，第2次取中点把焊接点数减半为QUOTE=16(个)，第3次取中点把焊接点数减半为QUOTE=8(个)，第4次取中点把焊接点数减半为QUOTE=4(个)，第5次取中点把焊接点数减半为QUOTE=2(个)，第6次取中点把焊接点数减半为QUOTE=1(个)，所以至多须要检测的次数是6.答案：6【加练·固】函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________.(用a表示)

【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴相切，所以Δ=a2-4b=0，所以a2=4b；则令f(x)=x2+ax+QUOTE=0，解得x=-QUOTE.答案：a2=4b-QUOTE5.(14分)已知函数f(x)=x2-2x-3，x∈[-1，4]. 世纪金榜导学号(1)画出函数y=f(x)的图像，并写出其值域.(2)当m为何值时，函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点？【解析】(1)依题意：f(x)=(x-1)2-4，x∈[-1，4]，其图像如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[-4，5].(2)因为函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点.所以方程f(x)=-m在x∈[-1，4]上有两个相异的实数根，即函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点.由(1)所作图像可知-4<-m≤0，所以0≤m<4.所以当0≤m<4时，函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点，故当0≤m<4时函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点.1.已知函数f(x)是奇函数，且满意f(2-x)=f(x)(x∈R)，当0<x≤1时，f(x)=QUOTE-QUOTE，则函数f(x)在(-2，2]上零点的个数是 ()世纪金榜导学号A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选B.方法一：由QUOTE-QUOTE=0，解得x=QUOTE，所以fQUOTE=0.因为f(2-x)=f(x)，所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE=0.因为f(x)是奇函数，所以fQUOTE=-fQUOTE=0，fQUOTE=-fQUOTE=0，f(0)=0，f(2)=f(0)=0，所以f(x)在(-2，2]上的零点为-QUOTE，-QUOTE，0，QUOTE，QUOTE，2，共6个.方法二：依题意，作出函数f(x)的图像，如图所示.由图像可知，f(x)的图像在(-2，2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2，2]上的零点有6个.2.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x. 世纪金榜导学号(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+