【初中数学】探索三角形全等的条件（第2课时）教学设计2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第三节探索三角形全等的条件（第2课时）教学设计一、教学内容和内容解析（一）教学内容教材101～102页，《利用“角边角”“角角边”判定三角形全等》（二）教学内容解析“探索三角形全等的条件”是在学生学习了三角形的有关要素和性质、全等图形的特征的基础上，进一步研究三角形全等的条件和特征.它与前面探索三角形全等的判别方法（“SSS”）和下一节课要学习的三角形全等的判别方法（“SAS”）作为探索三角形全等的核心内容，为后面探索直角三角形全等奠定了基础，是初中数学的重要内容.本节是第二课时，主要内容是探索三角形全等的条件（“ASA”“AAS”）和简单的应用.它是证明线段相等，角相等的重要方法，是今后几何学习的基础，也是初中阶段的重要内容.二、课程标准内容要求要求学生掌握基本事实“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”和“两角及其一边的对角分别相等的两个三角形全等”，能够运用“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）这两个判定条件准确判断两个三角形是否全等。学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和归纳总结能力，进一步发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，使学生初步形成解决问题的基本策略。三、教学目标和目标解析（一）教学目标逻辑推理：学生通过探究“角边角”和“角角边”全等判定方法，能够运用几何定理进行严谨的推理，理解并掌握ASA和AAS全等条件的逻辑结构，学会依据已知条件和定理进行有条理的思考，完成三角形全等的证明过程，提升逻辑思维和推理能力。几何直观：借助直观演示、实际操作，如用直尺、量角器等工具进行三角形的绘制、剪裁、拼接，观察和感受“角边角”“角角边”条件下三角形的形状和大小关系，增强对三角形全等概念的空间感知和直观认识，提高学生借助图形理解和解决问题的能力。数学抽象：在探索三角形全等条件的过程中，能够从具体的三角形实例中，提炼出全等三角形的本质属性，形成抽象的“角边角”“角角边”等几何概念，并能将这些抽象概念应用到具体问题中，实现从具体到抽象再到具体的思维转化，发展数学抽象素养。数学建模：通过解决与“角边角”“角角边”相关的实际问题，让学生学会将实际情境中的问题转化为数学模型，运用三角形全等的知识进行分析和求解，体会数学在实际生活中的应用价值，提升数学建模能力。（二）目标解析《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：目标1的要求是：在这节课中，学生需要理解“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理的推导过程。从已知的两角及其夹边或两角及其中一角的对边分别相等的条件出发，通过严谨的逻辑推理，证明两个三角形全等。在给出具体的三角形条件后，学生要能够有条理地写出证明过程，运用已学的定理和逻辑规则，清晰地阐述为什么这两个三角形是全等的。这一过程有助于培养学生的逻辑思维能力，使他们能够进行严密的推理和论证。目标2的要求是：通过让学生观察、操作和实验，直观地感受“角边角”和“角角边”条件下三角形全等的情况。在这个过程中，学生能够更加直观地理解三角形全等的概念，以及“角边角”“角角边”判定定理的实际意义。几何直观不仅可以帮助学生更好地理解抽象的几何概念，还能为他们解决几何问题提供思路和方法，使学生能够通过图形直观地发现问题、分析问题和解决问题。目标3的要求是：从具体的三角形实例中，学生需要抽象出“角边角”和“角角边”的本质特征。这种从具体到抽象的过程，有助于学生理解数学概念的本质，提高他们的抽象思维能力。同时，学生在运用这些抽象的判定定理解决问题时，又需要将抽象的概念具体化，进一步加深对数学抽象的理解和应用。目标4的要求是：在实际生活中，有许多问题可以通过构建三角形全等的模型来解决。在这节课中，学生要学会将实际问题转化为数学问题，利用“角边角”和“角角边”判定定理建立数学模型。通过这样的过程，学生能够体会到数学的实用性和价值，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学建模的素养。四、学生学情分析学生基础情况在学习本节课之前，已经学习了“边边边”（SSS）判定三角形全等的方法，掌握了通过探究条件来判定三角形全等的基本思路，对利用尺规作图来构造三角形也有了一定的实践经验。然而，部分学生在几何图形的观察、分析以及数学语言的规范表达方面可能仍存在不足，需要在课堂学习中进一步加强指导和训练。学生学习难点准确理解判定定理：“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）这两种判定方法在表述上较为相似，学生可能会混淆两角的位置关系，难以准确区分“两角及其夹边”和“两角及其中一角的对边”这两种不同的条件组合，导致在应用时出现错误。学生学习需求渴望直观体验：由于几何知识相对抽象，学生需要通过更多直观的演示、操作活动来帮助理解“角边角”和“角角边”判定定理的含义。在应用判定定理进行证明时，学生迫切需要教师给予具体的分析方法和解题思路的指导。如如何分析已知条件，如何寻找图形中的隐含条件，如何根据条件选择合适的判定定理等，帮助他们提高解题能力。五、教学策略分析（一）教学方法选择首先鉴于“角边角”“角角边”的判定条件较为抽象，教师可借助多媒体课件，通过动画演示两个三角形在满足两角及其夹边分别相等或两角及其中一角的对边分别相等时，能够完全重合的过程，直观地呈现三角形全等的条件。其次在引入新的判定方法时，教师可以提出问题，引导学生自主探究。教学活动设计情境导入活动首先创设一个实际生活情境，通过情境，引发学生的兴趣和好奇心，让学生意识到学习三角形全等判定方法的实际应用价值，从而自然地引入本节课的内容。其次组织学生进行小组合作学习。在探究“角边角”“角角边”判定定理的过程中，小组内成员分工合作，分别进行画图、测量、裁剪、比较等操作，并相互交流自己的发现和想法。（三）教学资源利用充分利用教材中的例题、习题和探究活动。教师可以对教材中的例题进行详细讲解，引导学生分析解题思路，规范书写过程。同时，鼓励学生自主完成教材中的习题，并进行适当的拓展和延伸。（四）教学评价策略在课堂教学过程中，关注学生的参与度、表现和进步情况。观察学生在小组合作中的表现，是否积极参与讨论、发表自己的观点；关注学生在探究活动中的操作和思考过程，及时给予鼓励和指导。通过课堂提问、练习等方式，了解学生对知识的掌握情况，及时调整教学进度和方法。通过单元测试、作业等方式，对学生的学习成果进行全面评价。六、教学重难点（一）重点：掌握判定三角形全等的“ASA”和“AAS”条件。（二）难点：能够进行有条理的思考并进行简单的推理。七、教学过程教学流程活动一：回顾导入，引出新课【回顾引入】1.什么叫全等三角形?能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。2.我们已经学过了哪种判定两个三角形全等的方法?边边边(SSS)。3.由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢?每种情况下得到的三角形都全等吗?这就是今天这节课我们将要探讨的问题！设计意图：通过设置富有阶梯性的问题，引导学生思考，为学习新课做铺垫。活动二：实践探究，获取新知探究点1“角边角”判定三角形全等经过活动一中的讨论，我们知道了如果已知一个三角形的两角及一边，有以下几种情况：师：它们能判定两个三角形全等吗？师：我们先来看第①种情况（“两角及两角所夹的边分别相等”）会怎样呢？操作1教师将学生分为几个小组，由小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形。（以下示例供教师参考：比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm）问题1你作的三角形与同伴作的一定全等吗？全等。操作2先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即两角和它们的夹边对应相等)。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？全等。由此我们可以得出结论：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A＝∠A′,AB＝A′B′，∠B＝∠B′，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△A′B′C′。问题2回顾上述作图过程，你能总结出“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤吗？如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。例1如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB。解：在△ABC和△DCB中，因为∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△DCB。【对应训练】教材P102随堂练习第1题。设计意图：通过实践操作，使学生经历猜想、验证、得出结论的过程。在交流合作中探索出三角形全等的条件——两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，让他们感受成功的喜悦。培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力、组织语言及表达的能力。探究点2利用“角角边”判定三角形全等问题第②种情况：如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“探究点1”中的条件吗？与同伴进行交流。由三角形内角和定理可得出第三个角的度数也是相等的，这样便可以转化成已知两角及其夹边的情况，因此已知两角及一角的对边相等的两个三角形也是全等的。结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A＝∠A′,∠B＝∠B′，AC=A′C′，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ABC≌△A′B′C′。例2如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，试说明：AB=AD。解：因为AB⊥BC，AD⊥DC，所以∠B=∠D=90°。在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠B=∠D，AC=AC，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ABC≌△ADC，所以AB=AD。设计意图：进一步渗透分类和转化的数学思想，完善两角及一边的讨论，并用例题使学生能在具体题目中掌握三角形全等的条件“角角边(AAS)”的使用，并能运用相应的条件进行有条理的思考及简单的推理。活动三：典例精讲，升华提高例如图，∠ACB=∠B=90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD=AE。试说明：AC=BC。解：因为∠ACB=90°，CF⊥AE，所以∠ACF+∠BCD=∠ACF+∠CAF=90°。所以∠BCD=∠CAF，即∠CAE=∠BCD。在△ACE和△CBD中，因为∠ACE=∠B，∠CAE=∠BCD，AE=CD，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ACE≌△CBD。所以AC=BC。【对应训练】如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A=90°，EC⊥BD，且AB=CD。试说明：AC=CE。解：因为AB∥DE，所以∠B=∠D。因为EC⊥BD，∠A=90°，所以∠DCE=∠A=90°。在△ABC和△CDE中，因为∠B=∠D，AB=CD，∠A=∠DCE，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△CDE。所以AC=CE。设计意图：通过例题和对应训练进一步巩固新知，使学生掌握用垂直、互余、平行、等量代换等找等角的方法，再用两角一边判定两个三角形全等。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.通过两角及其夹边判定三角形全等的定理是什么？2.已知三角形的两角及其夹边，如何用尺规作这个三角形？3.通过两角及一角的对边判定三角形全等的定理是什么？它是如何通过转化得出的？【作业布置】1.教材P106～109习题4.3第2，3，4，7，14题。2.相应课时训练。八、板书设计九、教学反思（一）课前反思教学内容把握：新北师大版教材在知识编排上注重知识的生成过程，“角边角”和“角角边”判定定理承接了之前全等三角形及“边边边”判定的内容。在备课过程中，思考如何将这两个判定定理自然地融入学生已有的知识体系中，还需进一步梳理它们之间的逻辑关系，确保教学内容的连贯性和系统性。同时，对于定理的推导和应用，要准确把握教学的深度和广度，避免过度拓展增加学生的学习负担。教学方法选择：计划采用直观演示、探究式学习和讲授法相结合的教学方法。但考虑到学生的个体差异，不同教学方法是否能满足所有学生的学习需求存在疑问。比如，直观演示对于基础较弱的学生可能更有助于理解，但对于基础较好的学生可能缺乏挑战性；探究式学习能激发学生的主动性，但部分学生可能在自主探究过程中遇到困难，需要教师及时引导和帮助。因此，如何在教学过程中灵活调整教学方法，是需要进一步思考的问题。学生学情分析：虽然学生已经具备了一定的几何基础和探究能力，但对于抽象的几何判定定理，理解和应用起来可能仍有困难。尤其是在区分“角边角”和“角角边”的条件时，可能会出现混淆。而且，不同学生在逻辑推理和数学语言表达方面的能力参差不齐，如何根据学生的实际情况进行有针对性的教学，帮助每个学生在原有基础上有所提高，是课前需要重点关注的问题。（二）课后反思教学目标达成：从课堂反馈和课后作业情况来看，大部分学生能够理解“角边角”和“角角边”判定定理的内容，并能运用定理进行一些简单的三角形全等证明。但仍有少数学生对定理的理解不够深入，在应用时出现条件找不准、逻辑推理不