外接球、内切球与棱切球-2025年高考数学一轮复习知识清单（原卷版）

专题19外接球、内切球与棱切球

更盘点•置击看考

目录

题型一：基础：长方体模型........................................................................1

题型二：基础：四面体对棱相等模型................................................................2

题型三：重要模型：线面垂直型....................................................................3

题型四：重要模型：面面垂直型....................................................................5

题型五：常见几何体：棱锥型......................................................................6

题型六：常见几何体：圆锥型......................................................................7

题型七：常见几何体：圆台型......................................................................8

题型八：常见几何体：棱台型......................................................................9

题型九：常见几何体：组合体型...................................................................10

题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形.........................................................11

题型十一：两线交心法模型：二面角型.............................................................12

题型十二：动点与翻折型外接球...................................................................13

题型十三：外接球最值范围型.....................................................................14

题型十四：内切球...............................................................................16

题型十五：棱切球...............................................................................17

题型十六：综合难题.............................................................................18

结束..........................................................................

更突围・檐淮蝗分

题型一：基础：长方体模型

；指I点I迷I津

;正方体的棱长为a,球的半径为R,贝。：

；①若球为正方体的外接球，则2R=小a；

!②若球为正方体的内切球，则2H=a；

；③球与正方体的各棱相切，则2R=^a.

：长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则外接球直径=长方体对角线，即：27?=力/+廿+/

1.（24^25高三王芟薇曾场矫孽著葭）茬通布ABCD苒,百茹高£：¥芬南头薪AB,苍可瓦百'EFLAB''

EFJ.CD,^AB=CD=2,EF=2,则该四面体外接球半径为（）

A.72B.石C.2A/2D.2出

2.（22-23贵州黔东南•模拟）我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体"，在正四面体ABCD中，

E,歹分别为棱AB，。的中点，当=0时，四面体ABCD的外接球的表面积为（）

A.12TIB.4兀C.3兀D.6兀

3.（20-21高三下•江苏•阶段练习）《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲

美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为"鳖腌".已知某鳖腌A-3CD的外

接球半径为1,则该鳖席的体积最大值为（）

A.-V3B.—>/3C.-A/3D.—A/3

927416

4.（22-23高按•辽宁沈阳•模拟）已知四面体A8CQ满足AB=Cr>=G，AD=BC=非,AC=BD=2,且

该四面体ABC。的外接球的球半径为四面体的内切球的球半径为此，则5的值是（）

A.y/llB.—VHC.D.—A/6

33

5.（22-23•浙江温州•模拟）阳马和鳖腌［bienao:是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜

割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2,图3）,称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4）,

得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是

由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖腌（图6）.若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论

正确的是（）

A.鳖膈中只有一个面不是直角三角形B.鳖膈的外接球半径为26

C.鳖席的体积为正方体的;D.鳖腌内切球半径为20-2

题型二：基础：四面体对棱相等模型

指I点I迷I津

对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等于长

方体的体对角线长，即ZRuJ/+k+c?（长方体的长、宽、高分别为人从C）.秒杀公式：坊="+：+^

（三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z）.可求出球的半径从而解决问题.

2.（2022高三•全国•专题练习）如图，在三棱锥P—ABC中，PA=BC=43,PB=AC=2,PC=AB=5

则三棱锥P-ABC外接球的体积为（）

C.瓜兀D.6万

2.（2022・贵州・模拟预测）如图，在三棱锥O—ABC中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=M，AB=3,

且直线A3与OC所成角的余弦值为江，则该三棱锥的外接球的体积为（

19

45万751125万,65%

A.B.-----D.——

463

3.（23-24高三•四川绵阳•模拟）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为2遍,JR,5.则该四面

体的外接球的表面积

2929^/29

A.一乃B.28%C.”丁D.29万

46

4.（2023高三•河南•模拟）四面体S-ABC中，三组对棱分别相等，依次为后，历，5.则此四面体的体积

为.

A.20B.10A/7C.20s/3D.30

5.（2024高三•全国•模拟，多选）一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体.下列结论正

确的是（）

A.若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体

B.等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直

C.三组对棱长度分别为。，b,。的等面四面体外接球的表面积为4万（/+。2+02）

D.过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为“

题型三：重要模型：线面垂直型

指I点I迷I津

线面垂直型：

存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r,

满足正弦定理）

1.模板图形原理

1.（20-21高按•河北唐山•模拟）已知三棱锥尸-ABC中，上4,面ABC,底面ABC是边长为2的正三角形,

PA=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

32如兀64万327r64万

A.VB.——C.——D.——

273327

1T

2.（22-23高三•河南郑州•模拟）在三棱锥A-BCD中，平面ABC_L平面ADC,AD±AC,AD=AC,ZABC=-,

若此三棱锥的外接球表面积为28万，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（）

A.7B.12C.6D.—

3

3.（21-22高三・西藏拉萨•阶段练习）如图，三棱锥尸—ABC中，尸8，平面ABC,BC±C4,且PB=BC=2CA=2,

则三棱锥P-ABC的外接球表面积为

A.3兀B.9兀C.12KD.36K

4.（22-23高三•全国•阶段练习）如图，在三棱锥A-5co中，平面58,BCLCD,AB=BD=2,

M为AD中点，H为线段AC上一点（除AC的中点外），且MH.当三棱锥"46的体积最大时，则

三棱锥M-ABC的外接球表面积为（）

A.4万B.6九

C.8万D.12万

5.（21-22高三上•湖北武汉•期中，多选）已知球。是三棱锥P-ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2,

则CP=2及，点。是P8的中点，且CD=g,则下列说法正确的是（）

A.三棱锥尸-ABC最长的棱棱长为20B.PAB

C.球心。到底面的距离为&D.球。的表面积为半

题型四：重要模型：面面垂直型

指I点I迷I津

面面垂直型基本图形

一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，

1.（22-23高三•安徽•模拟）在四面体ABC。中，^AD=DB=AC=CB=1,则当四面体A3。的体积最大

时其外接球表面积为

54〜

A.—7iB.—7iC.乃D.27r

33

2.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，四边形A2CD为等

腰梯形，若AD=2AB=2BC=4,一上钻为正三角形，且面，面ABCD,则该球的表面积为（）

1352

A.—兀B.16兀C.—兀D.20兀

33

3.（2024•江西•一模）在体积为12的三棱锥A-5c。中，AC±ADfBC1BD,平面ACD_L平面5CD,

TTTT

ZACD=~,ZBCD=~,若点A&C。都在球。的表面上，则球。的表面积为（）

A.12KB.16TIC.32KD.48兀

4.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,

平面平面A5C,。是的中点，PD=46,则三棱锥P-AC。的外接球的表面积为（）

A.-------B.40兀

3

208兀

C.-------D.80兀

3

5.（22-23高三上•黑龙江哈尔滨•期末，多选）如图，三棱锥S—ABC中，平面平面A3C,过点5且与

AC平行的平面a分别与棱SA、SC交于E,F,若SA=SC=BA=BC=2。AC=2#,则下列结论正确

的为（）

s

A.三棱锥S—ABC中的外接球表面积为16万

B.EF//AC

C.若E,尸分别为SA,SC的中点，则B尸与SA所成角的余弦值为"

3

D.SC1BF

题型五：常见几何体：棱锥型

指I点I迷I津

棱锥的外接球有其特殊性，如果底面四边形是矩形。特殊情况下，还可以转化为“线面垂直-直棱柱模

型”

1.（2022•河南•模拟预测）在四棱锥S-ABCD中，侧面5AD，底面A8C。，且SA=S。，ZASD90°,底

面A8CD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥P-SAD的最大体积为（）

A.1+0B,2C.2比D.B

333

2.（2024・四川成都•模拟预测）六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是

正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体

E-ASCD-歹的棱长为。，下列说法中正确的个数有（）

①此八面体的表面积为.

②异面直线AE与8尸所成的角为45;

③此八面体的外接球与内切球的体积之比为3如；

④若点尸为棱£»上的动点，则AP+CP的最小值为2瓜.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2024•河南•模拟预测）在四棱锥V-ABCD中，AB=^2BC=—CD=—DA=\,其中是边长

73

为2的正三角形，则四棱锥V-ABCZ）外接球表面积的最小值为（）

32扃16K16兀

D.兀

27

4.（23-24高二上,重庆渝中,阶段练习）正四棱锥P-ABCD的底面边长为4后，PA=4君则平面尸6截四

棱锥尸-ABCD外接球所得截面的面积为（）.

100万50%200a1007r

A.-------B.-----C.-------D.-------

5.（22-23高三•广东深圳・模拟，多选）已知正四棱锥S-A5C。的底面边长为1,且侧棱长为加，点E,F

分别为侧棱SA,SC上的动点，则下列结论中，正确的为（）

A.S4c为等边三角形

B.正四棱锥S-的侧面积为2夜

C.若AF=CE,则EF_L平面SBD

D.正四棱锥S-ABC。的外接球表面积为・

题型六：常见几何体：圆锥型

指I点I迷I津

圆锥外接球模型

圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解

A

1.（22-23高三上•陕西西安•阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为S„S2，且春=2,

对应圆锥外接球体积分别为匕匕，则5=（）

A.8B.4夜C.272D.2

2.（2023•山西晋城•模拟）底面半径为百，母线长为2的圆锥的外接球。的表面积为

A.6nB.12nC.8nD.16n

3.（21-22高二下・江西宜春•阶段练习）在圆锥SO中，C是母线&4上靠近点S的三等分点，SA=l,底面圆

的半径为「，圆锥SO的侧面积为3兀，则下列说法错误的是（）

A.当/=3时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为加

B.当r=1时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为地

24

C.当/=3时，圆锥SO的外接球表面积为粤

O

D.当/=3时，棱长为友的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

3

4.（2023全国,模拟）如图：A3是圆锥底面圆的直径，PA,P8是圆锥的两条母线，P'为底面圆的中心,

过PB的中点D作平行于丛的平面a,使得平面a与底面圆的交线长为4,沿圆锥侧面连接A点和D点，

当曲线段长度的最小值为叫时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径

9&

B.372rD.晅

24

5.（23-24高三•吉林长春•模拟，多选）在圆锥SO中，C是母线&4上靠近点S的三等分点，SA=l,底面圆

的半径为广，圆锥SO的侧面积为12万，则下列说法正确的是（）_

A.当厂=3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为3«

B.当/=6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为2a

C.当/=6时，圆锥SO的外接球表面积为差

D.当/=6时，棱长为迪的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

3

题型七：常见几何体：圆台型

指I点I迷I津

圆台外接圆模型

1.（2024•安徽•三模）已知圆台。。2的上、下底面面积分别为4兀,36兀，其外接球球心。满足00=3002,则

圆台。。2的外接球体积与圆台。。2的体积之比为（）

.20石R10函_1075n10

A.-----------D.-------------C..----------U.

13131313

2.（2023,全国•模拟预测）己知某圆台的上底面圆心为。一半径为『，下底面圆心为口，半径为2人高为/2,

h

若该圆台的外接球球心为0,且O0=2OQ,则/=（）

A.6B.3C.拒D.2

3.（22-23高二下,湖南长沙,阶段练习）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3

和4,球的体积为呼，则该圆台的侧面积和体积分别为（）

f—l259兀

3B.3571,259兀C.3542兀，259KD.3542兀，

4.（2024•江西九江・二模）己知一个圆台内接于球。（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、

下底面半径分别为1和2,且其表面积为（5+3直）兀，则球。的体积为（）

西20后5后

A.D.37rQ.-----------D.---------

333

5.（22-23高三•贵州贵阳•阶段练习，多选）如图AO与BC分别为圆台上下底面直径，AD//BC,若AB=3,

AD=2,BC=4,贝U（）

A.圆台的母线与底面所成的角的正切值为20

B.圆台的全面积为14兀

C.圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为&

D.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3岔

题型八：常见几何体：棱台型

指I点I迷I津

R2=r^+6,其中弓,4,/z分别为圆台的上底面、下底面、高.

基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主

1.（2022・四川成都•三模）已知三棱台ABC-ABC的六个顶点都在球。的球面上，的=3月=。。1=厢,

VABC和分别是边长为6和2道的正三角形，则球。的体积为（）.

32兀20如兀40A/1071

A.D.-----------C.30兀D.--------------

333

2.（23-24高二上•云南昆明•模拟）已知正三棱柱的底面边长为4括，高为6,经过上底面棱的中点与下底面

的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1,得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球。

的球面上，则球。的体积为（）

80君D.*

C.----------71

33

3.（22-23高二上•安徽宣城•开学考试）如图，正四棱台ABC。-的上、下底面边长分别为

2a,4,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,的中点，8个顶点E,F,G,H,。4,G，2构成的十面体恰有内切球,

则该内切球的表面积为（）

A.8岳B.6岳C.4缶D.2缶

4.（22-23高一下•湖北十堰•期末，多选）上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出

了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构

类似的六面体ABCD-4再。12,设矩形ABCZ）和ABC。］的中心分别为。1和02，若。。2,平面ABCD,

。。2=6,AB=10,AD=2,/7,4瓦=8,AA=4,ABII'B、,BCMBQADH\D{,CD//QD,,则（）

B.该六面体的外接球体积是288兀

C.直线AC与AG异面

D.二面角A-BC-G的余弦值是叵

37

题型九：常见几何体：组合体型

指I点I迷I津

因为组合体会受图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大

圆）上。

1.（22-23•宁夏银川•阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某

囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32兀,高为h的圆柱，上面是一个底面积为32兀,高为h的圆锥，若该容器

有外接球，则外接球的体积为（）

256

D64V2

A.361D.---------------71C.288万D.-----71

33

2.（2023高三•全国•专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多

年，其中有很多对几何体体积的研究.已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为8无、高为丸的圆柱，

上面是一个底面积为8兀、高为〃的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为

A.12兀B.18兀C.36TID.48兀

3.（20-21高二上,安徽芜湖•期中）已知三角形VABC的三个内角A,3,。对应的三边分别为〃，4c,ZC=90°,

分别以5cAC,,A3所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为EH2,S3,则下列关

系正确的是（）

1+1

-一

-_L医

A.S+S=S^；

x231

1

1+

--一

C.S；+S；=S；D.0邑

1^色

4.（22-23高三・湖南•模拟）如图所示几何体是由正四棱锥尸-44GR与长方体ABC。-44GA组成，

AB=BC=&,朋=2,若该几何体存在一个外接球，则异面直线尸2与3c所成角的余弦值为（）

B.

4D-V

5.（2024,黑龙江•二模，多选）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面

体是阿基米德多面体其中的一种.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面

得到所有棱长均为。的截角四面体，则下列说法中正确的是（）

B.直线。E与平面A8C所成角的正切值为2

C.该截角四面体的表面积为7点

D.该截角四面体存在内切球

题型十：两线交心法模型：表面特殊三角形

指I点I迷I津

表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心垂

线交点确定球心法）

1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）

1.（24-25高三上•湖南,开学考试）已知三棱锥A-38中，AC=百，其余各校长均为2,P是三棱锥A-BCD

外接球的球面上的动点，则点尸到平面的距离的最大值为（）

aV26RV26r1+V13n1+713

6363

2.（23-24高一下•四川乐山•期中）已知三棱锥S-ABC的顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为56万,

AB』,AC=2小,ZACB=30°,则当三棱锥S-ABC的体积最大时，BS=（）

A.A/30B.30C.也8+6旧D.

3.（21-22高一下•江苏南京,期末）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，VABC是边长为3

的等边三角形，SC为球。的直径，且SC=4,贝代到面ABC的距离为（）

A.4B.2C.3D.6

4.（24-25高三上•广西•阶段练习）四面体4-300中48=6，其余各棱长均为2,则该四面体外接球的表

面积是（）

5.（24-25高二上•浙江杭州•开学考试，多选）四面体ABC。中，AC=BC=AB=3,BD^5,CD=4,记四面

体A2CD外接球的表面积为S,当AD变化时，则（）

324

A.当AD=3时，5=—itB.当四面体ABC。体积最大时，5=28%

C.S可以是167tD.S可以是100兀

题型十一：两线交心法模型：二面角型

指I点I迷I津

二面角型，多采用两个外心垂线交线定球心法

（1）选定一个面，定外接圆的圆心。1

（2）选定另一个面，定外接圆的圆心。2；

（3）分别过。作该底面的垂线，过。2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心。.

k724-25缸王疝®言藻矫孽君若-=市丁窿记嘛箕褥藤良扬名田一百三面菊"

尸-AB-C的大小为60。.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

2.（24-25高二上•四川泸州・开学考试）三棱锥A-J5CD中，VABC是边长为4的正三角形，BD=DC=2®，

二面角A-BC-O的余弦值为逅，则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为（）

3

1172271

C.11KD.22n

~3-

3.（22-23•重庆万州•模拟）己知边长为：的菱形.48（7）中，思域酚=：蒯『，沿对角线折成二面角

IBD（,为1;口的四面体」3（曾，则四面体的外接球的表面积为

A.25?B.；

c.厂：D.281

4.（2023湖南长沙•模拟）在边长为的菱形ABCD中，ZBAD=60°,沿对角线3£＞折成二面角A-如-C

为120。的四面体ABCD（如图），则此四面体的外接球表面积为（）

A.28万B.7〃

C.14万D.2171

5.（23-24高二下•广西柳州•期中）如图，在四面体ABC。中，与△BCD均是边长为2后的等边三角

形，二面角A-BD-C的大小为120。，则此四面体的外接球表面积为.

题型十二：动点与翻折型外接球

1.（2020•黑龙江哈尔滨•模拟）在边长为2的菱形ABCD中，BD=2框,将菱形ABC。沿对角线AC折起,

使得平面ABC，平面ACD,则所得三棱锥A-BCD的外接球表面积为（）

2.（2022•全国,模拟预测）直角VABC中，AB=2,BC=1,。是斜边AC上的一动点，沿8。将翻折

至「43。，使二面角4-网＞-。为直二面角，当线段AC的长度最小时，四面体43CD的外接球的表面积

为（）

137r147r137r127r

A.B.-----C.-----D.

4335

3.（2023•四川•三模）如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=4,BC=CD=DA=2,将，AS沿对角线AC

折起，使得点。翻折到点F,若面PAC，面ABC,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积为（）

'B"-

A.16KB.20兀C.24TID.32兀

4.（2019•湖南长沙•一模）在边长为2后的菱形ABCD中，ZBAD=60°,沿对角线8。折成二面角A-BD-C

为120。的四面体ABC3（如图），则此四面体的外接球表面积为（）

5.（22-23•广东湛江•模拟，多选）如图，矩形ABC。中，E、E分别为8C、AD的中点，且3c=2帅=2,

现将AfiE沿AE间上翻折，使8点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）

存在点P，使得打〃6F

B.存在点P,使得PELED

C.当平面PAE,平面时，二面角尸-EC-A大小的正切值为血

D.当平面PAEL平面A£D时，三棱锥尸-A£E）外接球表面积为4兀

题型十三：外接球最值范围型

指I点I迷I津

立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：

一、构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；

二、借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往

可以使用此种方法；

三、根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.

1.（2020・山西太原•模拟预测）三棱锥P-ABC中，ABLBC,回PAC为等边三角形，二面角尸-AC-3的

余弦值为-迈，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8万.则三棱锥体积的最大值为（）

3

11

A.1B.2C.-D.-

2.（24-25高二上•江西南昌•阶段练习）已知二面角P-AB-C的大小为120,ZPAB=ZABC=90,

AP=AB,AB+5C=6若四点P,A,B,C都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，AB为（）

301812

A.—B.—C.3D.—

777

3.（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的球面上，回平面ABC,

ZBAC=~,4）=2,若球。的表面积为22兀，则三棱锥A-BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）

2

4.（2024高三下•江西新余•专题练习）已知棱长为3的正四面体的几何中心为。，平面a与以。为球心的球

相切，若a与该正四面体的截面始终为三角形，则球。表面积的取值范围为（）.

5.（2024•广东广州•模拟预测，多选）如图所示，四面体ABCZ）的底面是以为斜边的直角三角形，ABCD

体积为匕，平面BCD,AB=BD,P为线段AC上一动点，。】为AD中点，则下列说法正确的是（）

A.三棱锥尸-8ao的体积和三棱锥尸-8014的体积相等

B.当PO{_LBC时，POX1AB

C.当时，BP±DA

D.四面体ABC。的外接球球心为。|,且外接球体积匕与乂之比的最小值是407r

题型十四：内切球

指I点I迷I津

椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解

一、三角形内切圆

11112S

SAABC=S.+SSBC+SAADC=-rC+-ra+-rb=-r（a+b+c）nr=—产-

2222a+b+c

^D-ABC=^O-BCD+%-ABC+K?-ACD^^O-ABD~\BCD+§Y^AABC+§r^AACD+§Y^^ABD—^BCD+^AABC+l^AA(

A

3%一.

S帖CD++S.CQ+^^ABD

1.（2024•四川德阳•模拟预测）圆锥的表面积为H，其内切球的表面积为邑，则去的取值范围是（）

d2

A.[1,+℃）B.[2,+oo）C.[2忘,+s）D.[4,+00）

2.（23-24高二下•北京海淀•期末）边长为2的正方形ABCZ）的中心为。，将其沿对角线AC折成直二面角.

设E为AD的中点，下为3C的中点，将员引绕直线所旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球

的表面积为（）

3.（2020•湖北武汉•模拟预测）已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为空，在该圆锥内放置一个棱长

2

为。的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，贝匹的最大值为（）

A.3B.72

c.55&)D.还

2

4.（2024•安徽安庆•三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和

母线长都是石，则（）

4

B.这两个球体的半径之和的最大值为3

C.这两个球体的表面积之和的最大值为（6+3君卜

D.这两个球体的表面积之和的最大值为詈

5.（2024•吉林长春•模拟预测，多选）如图，在正三棱柱ABC-中，E,厂分别为,AG的中点，AC=2,

则下列说法正确的是（）

A.若A4,=6,则异面直线AF和8C所成的角的余弦值为:

B.若A4,=百，则点C到平面AEF的距离为名叵

13

C.存在AA，使得BC_L平面AE尸

D.若三棱柱ABC-A与G存在内切球，贝

13

题型十五：棱切球

1.（22-23高三下•河南•阶段练习）在正三棱锥尸-ABC中，A8=6,PA=4g,若球。与三棱锥尸-ABC的

六条棱均相切，则球。的表面积为（）

A.（16-8A/3）7TB.