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文档简介
第64讲椭圆的标准方程及其性质
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F2的距离之和等于常数(大于|以尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆
的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={/W||MF11+I/WF2I=2。},IF1F21—2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
⑶若a<c,则集合P为空集.
2、焦半径:椭圆上的点P(x°,y°)与左(下)焦点Fi与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分
别记作ri=|PFi|,r2=IPF21.
⑴7+京=l(a>b>0),ri=a+ex0,r2=a—ex0;
y2x2
(2)前十京=l(a>b>0),ri=a+ey0,r2=o—ey0;
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).
3、椭圆的标准方程和几何性质
x2y2x2y2
标准方程/+炉=l(o>b>0)京+次=l(o>b>0)
图形小.
—a<x<a,~b<x<b,
范围
~b<y<b~a<y<a
对称性对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0)
性质
4(一。0),A2(a,0),4(0,—a),4(0,o),
顶点
Bi(0,~b),B2(0,b)Bi(—b,0),B2也0)
轴长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F21=2c
离心率e=。,ee(o,l)
a,b,c
c2=a2~b2
的关系
r2v2I
1、(2022•甲卷(文))已知椭圆C:=十与=l(a>b〉0)的离心率为—,A,4分别为C的左、右顶点,B
ab3
为C的上顶点.若网•%=T,则c的方程为()
A.——+—=1B.——+—=1
181698
2
丫2v丫2
C.匕+&=1D.—+/=1
322-
【答案】B
22
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为J+J=l(加>0),
9m28m2
则A(~3m,0),A(3m,0),B(0,2^f2m),
由平面向量数量积的运算法则可得:
BAf-BA,=(-3m,-2y[2m)■(3m,-2y/2rri)=-9m2+Sm2=-1,m2=1,
22
则椭圆方程为土+匕=1.
98
故选:B.
r2v23
2、(2023•甲卷(理))已知椭圆§+器=1,耳,F?为两个焦点,O为原点,尸为椭圆上一点,cosN片尸鸟=《,
贝|J|R?|=()
2a3D后
5252
【答案】B
22
【解析】椭圆'■+'=1,K,8为两个焦点,c=也,
O为原点,尸为椭圆上一点,cosN耳尸耳=g,
设|P£|=相,|PF2\=n,不妨加>几,
2222222
可得相+〃=6,4c=m+n-2mncosZFXPF2,BP12=m+n—mn,可得加〃=m+n=21,
PO=^(PFl+PF2),
122
PO^=-(PF,'+PF2'+2PF1-PF2)
2
=;(m+几2+2mncos/.FXPF2)
=;(机2+〃2
1…615、15
寸—万•
可得|尸。|=粤.
故选:B.
22
3、(2022•新高考II)已知直线/与椭圆上+上=1在第一象限交于A,3两点,/与x轴、y轴分别相交于
63
M,N两点,且|M4|=|NB|,|MN\=2^,贝心的方程为
【答案】x+y/2y-242=Q.
【解析】设A(%,%),B(X2,%),线段AB的中点为E,
哈
-才1
相减可得:4----,
九22
%—%货二二]
.L二❷3
贝1JkOE
石+x2%2一%入;—%;2
m
设直线/的方程为:y=kx+m,k〈O,m>0,M(----,0),N(0,加),
k
.“(卷,号,:,kOE=~k,
乙K乙
.hk」,角星得左二—也,
22
小g+/=20,化为:2
IMN\=2A/3,+根2-12
k2
/.3m2=12,m>09解得〃z=2.
:.l的方程为y=-^-x+2,即x+A/2^-2A/2=0,
故答案为:x+0y-2后=0.
4、【2022年全国甲卷】椭圆(::《+\=1((1>6>0)的左顶点为4,点「,。均在C上,且关于y轴对称.若
直线4P,AQ的斜率之积为;,则C的离心率为()
4
1
A.但B.0C.D-I
222
【答案】A
【解析】
解:4(—a,0),
设则Q(Ti,yi),
则k”=告-%
-xT+a
21
故题P.%Q=含yi
22
—%I+Q-%1+a4
2_b2(a2-X12)
又合+号=1,则无=
》2(Q2Tl2)
所以.3,即H
所以椭圆C的离心率e=—=V3
a2,
故选:A.
5、【2021年乙卷文科】设2是椭圆c:三+y2=1的上顶点,点尸在。上,则|尸耳的最大值为(
5
A-1B.瓜D.2
【答案】A
2
【解析】设点尸(々,九),因为8(0,1),羡+褚=1,所以
网2=需+(%-1)2=5(1—娟+(%一i)2=-4y;—2%+6=+;i+7
而-所以当%=-;1时,「邳的最大值为g.
4
故选:A.
22
6、【2021年乙卷理科】设8是椭圆C:5+当=1(a>6>0)的上顶点,若C上的任意一点尸都满足IP8区2A,
ab
则C的离心率的取值范围是()
(V2
A.B.P1C.°4D.
【答案】C
22
【解析】设尸伍,九),由3(0,6),因为其+乌=1,a2=b2+c2,所以
ab
22
|P到2=x;+(%-6)2=/1]_券]+(%_6)2=_宗卜+1y+<2+Z?,
因为当-白4,即方2.2时,河2=4凡即阀=26,符合题意,由622c2可得0222c2,
।Imax1imdx
即0<"正;
2
当上>-b,即廿<°2时,附2=*/+/,即2+/+从44〃,化简得,(c2-b2Y<0,显然该不
。2IImaxC2c2'
等式不成立.
故选:C.
22
7、【2021年新高考1卷】已知《,鸟是椭圆C:]+q=l的两个焦点,点/在C上,则|岬卜|晒|的最
大值为()
A.13B.12C.9D.6
【答案】C
【解析】由题,片=9方=4,则|幽+|幽=2a=6,
所以|叫HMKiJ眄*四]=9(当且仅当|昭|=|叫|=3时,等号成立).
I2J
故选:C.
22
8、【2021年甲卷文科】已知片,耳为椭圆C:二+匕=1的两个焦点,P,。为C上关于坐标原点对称的两
164一
点,且|尸0=|耳闾,则四边形因的面积为.
【答案】8
【解析】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,
且IPQH耳鸟I,所以四边形Pf;。鸟为矩形,
]〃
设|P6|=m,\PF2\=n,贝1机+〃=8,m2+2=48,
所以64=(机+"A=m2+2mn+n2=48+2mn,
mn=8,即四边形尸耳。月面积等于8.
故答案为:8.
热【身划1综
1、设尸是椭圆以+金=1上的点,若F1,/2是椭圆的两个焦点,贝IJI尸尸1|十|尸尸2|等于()
A.4B.5
C.8D.10
【答案】D
【解析】依椭圆的定义知,|尸尸I|十|PF2|=2X5=10.
72
2、若方程占+弋=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数机的取值范围是()
A.(-3,5)B.(-5,3)
C.(-3,1)D.(-5,1)
【答案】C
【解析】由方程表示焦点在x轴上的椭圆,得5—根>根+3>0,解得一3〈根<1,所以实数机的取值范围是
(-3,1).
3、椭圆C:=+言=1的左、右焦点分别为尸2,过点巳的直线交椭圆C于A,2两点,则△BA3的
周长为()
A.12B.16C.20D.24
【答案】C
【解析】的周长为尸凶+/出+&3=尸丛+丑+£8+/28=24+2。=44.在椭圆C中,a2=25,则a
=5,所以的周长为4a=20.
4、已知椭圆点+长;=1的离心率为治则实数左的值为.
【答案】21或一工19
呼
C4419
---解得%--
---
【解析】当椭圆的焦点在%轴上时,/=9,。2=4+左,则c=45525
当椭圆的焦点在y轴上时,/=4+左,从=九则
的值为21或一行.
fV2
5、过点(一3,2)且与/+:=1有相同焦点的椭圆方程是()
2
A,2X2J;2c//X2y
A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.——+—
15101015925105
【答案】A
22
【解析】因为焦点坐标为(土小,0),设方程为3+生芋=1,将(一3,2)代入方程可得
94x2v2
^+a2_5=b解得a2=15,故方程为正+希=1
典luluuM
考向一椭圆的定义及其应用
例1、(1)一动圆与已知圆O1:。+3)2+丁=1外切,与圆。2:(无一3)2+步=81内切,试求动圆圆心的轨迹
方程.
(2)求过点A(2,0)且与圆/+4工+V-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.
【解析】(1)如图所示,设动圆的圆心为C,半径为r.
则由圆相切的性质知,COi=l+r,CO2=9-r,ACOi+CO2=10,而002=6,
点C的轨迹是以Oi、。2为焦点的椭圆,其中2a=10,2c=6,b=4.
22
动圆圆心的轨迹方程为念+诟=1.
(2)将圆的方程化为标准形式为(x+2>+y2=62,圆心B(—2,0),r=6.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),动圆与已知圆的切点为C.
则BC-MC=BM,而BC=6,/.BM+CM=6.
又CM=AM,BM+AM=6>AB=4.
...点M的轨迹是以点B(—2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆.
a=3,c=2,b=木.
22
所求轨迹方程为^'+5=1.
变式1、(1)己知圆(尤+2>+产=36的圆心为M,设A是圆上任意一点,N(2,0),线段加V的垂直平分线交
MA于点P,则动点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
【答案】B
【解析】点尸在线段AN的垂直平分线上,故|以|=|PN|.又AM是圆的半径,所以|PM+|PN=|PM+|B1|
=|4M=6>|MM.由椭圆的定义知,尸的轨迹是椭圆.
(2)△ABC的两个顶点为4(-3,0),2(3,0),△ABC周长为16,则顶点C的轨迹方程为()
A*+汽=Kk。)
B*+古=K/。)
C念十尹120)
D忐+A1/。)
【答案】A
【解析】由题知点C到A,B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以4(-3,0),3(3,0)为焦点,长轴长为
7772
10的椭圆,故2。=10,。=3,左=〃2—,=16.所以方程为赤+.=1.又A,B,。三点不能共线,所以而十・
NJJ.U乙JL\J
=i(y=o).
方法总结:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P
在椭圆上时,与椭圆的两焦点凡,F2组成的三角形通常称为"焦点三角形",利用定义可求其周长,利用定义
和余弦定理可求\PF1\\PF2\,通过整体代入可求其面积等
考向二椭圆的标准方程
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过P(一2小,0),2(0,2)两点;
72
(2)与椭圆w+1=l有相同的焦点且经过点(2,一小).
【解析】(1)由题意,得尸,。分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在X轴上,
所以a=2y[3,b=2,
所以椭圆的标准方程为三+?=L
(2)设椭圆:+弓=1的左、右焦点分别为E,
则尸1(—1,0),F2(l,0),
所以所求椭圆的焦点在x轴上.
设椭圆方程为最+方=l(a>b>0),
a,2=4+2S,,2=4—小,
由题意,得彳43解得J,厂或彳,厂(舍去),
萨+讲=1,[^=3+2^3〔炉=3-木
22
所以椭圆的标准方程为4+2小+33小=1
变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程:_
(1)两个顶点为(310),(-3'0),离心率为斗^;
22
(2)过点(小,—小),且与椭圆*+5=1有相同焦点的椭圆的标准方程.
【解析】⑴如果焦点在x轴上,则a=3,离心率:=¥,,c=2W,...b2=a2—c2=l,.•.椭圆的标
准方程为^_+y2=l;如果焦点在y轴上>则b=3>将:=斗^代入b2=a2—c2中>得a2—1a2=9,.*.a2=81>
22222
...椭圆的标准方程为於+]=1.故所求椭圆的标准方程为]+y2=1和+]=L
22
(2)(方法1)椭圆入+.=1的a=5,b=3,
・•・c=4,焦点为(0,一4),(0,4).由椭圆定义知,2a=yj(^3-0)2+(-^5+4)2+
y](^3—0)2+(―^5~4)2,解得a=2、/5.由c2=a?_b2得b?=4.
22
•1•所求椭圆的标准方程为L
22
(方法2)设所求椭圆方程为工匕+'=1(1«9),将点(小,一小)坐标代入,得
ZDK37K
(1*2+(£2=1,解得k=5(k=21舍去),
ZDKyK
22
...所求椭圆的标准方程为4+1=1.
变式2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为小;
(3)经过点P(—2小,1),0(小,一2)两点;
72
(4)与椭圆w+]=l有相同离心率,且经过点(2,—^3).
v22
【解析】(1)若焦点在工轴上,设方程为”+$v=13>。>0),
9
•・,椭圆过点A(3,0),・・・^=1得〃=3,
X2C
V2«=3X2/?,.\b=l,,方程为豆+_/=1,
若焦点在y轴上,
设方程为/=l(a>b>0),
9
•・•椭圆过点A(3,0),・,•记=1得b=3,
又2a=3X26,;.a=9,.,.方程为而十,=1.
综上所述,椭圆方程为总+户1或5+卷=1.
jq=2c,
(2)由已知,有
[a—c=y[3,
u—2*^3,
解得,乂=9,
2222
所求椭圆方程为为+]=1或]•+,=:1.
(3)设方程为m>0,n>0,m^n),
[12m+n=1,\m15,
则有。」।解得〈i
〔3相+4孔=1,_1
〔”一予
92
则所求椭圆方程为=+5=1.
2
(4)椭圆/下V片=1的离心率是e=]1,
当焦点在x轴上时,
72
设所求椭圆的方程是5+方=1(46>0),
a~29
2
・・・/42=〃+/,解得.a=89
b2=6,
1,
22
•••所求椭圆方程为5+尢=1.
27
当焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为我+5=1(。>心0),
25
厂》ar9z=——
3,
a2=b2+cz,
T,
3+*=1,
椭圆的标准方程为白+*=1,
TT
72
故所求椭圆标准方程为3+看
方法总结:用待定系数法求椭圆方程的一般步骤:
①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在X轴上、在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能;
②设方程:根据上述判断设方程3+j=l(a>b>0)或|s+£=l(a>b>0)或mx*2+ny2=l(m>0,n>0);
③找关系:根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组;
④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
考向三椭圆的性质
22
例3、(1)(2022・广东清远•高三期末)若椭圆C:±+匕=1的焦距为6,则实数加=()
4m
A.13B.40C.5D.2万
【答案】A
【分析】
根据题意,可知c=3,a2=m,b2=4,由/一进行运算,即可求出机的值.
【详解】
22
解:因为椭圆C:土+匕=1的焦距为6,
4m
可知2c=6,贝c=3,所以/=;77,Z?2=4,
所以根-4=3之,解得:m=\3.
故选:A.
(2)(2022・江苏海安・高三期末)若椭圆炉+/3$。=11()<。<1]的焦距为2,则该椭圆的离心率为
【答案】正
2
【分析】
工+上-11
将已知椭圆方程化为标准形式为T1--,由题意可得片=—扶=1,结合2c=2以及
----cos”
cos9
e=二即可求解.
a
【详解】
X2/1
由炉+y2cos6=1可得11一,
COS。
711
因为。<夕<所以OvcosOvl,所以-->1,
2cos。
可得=i一,82=],_匕2=I---],
cos0cos0
1
由题意可得2c=2,所以。=1c1=a1—b1=1,
cos。
故答案为:走.
2
2222
(3)(2022•江苏如皋期初考试)椭圆土+匕=1与上二+二一=1(0<左<9)关系为(
2599一k2.5-k
A.有相等的长轴长B.有相等的离心率
C.有相同的焦点D.有相等的焦距
【答案】D
22_____
【解析】由题意,对于椭圆=+]=1,焦点在x轴上,a=5,b=3,所以c=#25—9=4,则离心率e=\=
1对于椭圆言+号,=1,因为25T>9T>0,所以焦点在y轴上,a=y125-k^5,6=回耳?3,
JyKK
c44-
所以。=,25一左一(9一©=4,则离心率e二点故选项D正确,其他选项错误;所以答案选D.
变式1、(1)设为,/2分别是椭圆C:务奈=1(。>>>°)的左、右焦点,点2在椭圆C上.若线段叨的
中点在y轴上,ZPFIF2=30°,则椭圆的离心率为
【答案】V
【解析】如图,设PQ的中点为连接尸6.因为。为的中点,所以OM为的中位线,所以
OM//PF2,所以/PBB=/MOB=90。.因为/尸尸出=30。,所以PFi=2PB.由勾股定理,得FB=
、尸疥一尸刑=小尸入.由椭圆定义,得2。=尸西+尸尸2=3刊"则。=等.又2c=FiB=/PB,则c=誓死,
cy[3PF22y/3
所以==
a2'3PF23'
92
(2)(2022•江苏如皋期初考试)焦点在无轴上的椭圆方程为”十方=l(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦
b
点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为多则椭圆的离心率为.
【答案】I
【解析】由题意,如图,由椭圆的性质可知,AB=2c,AC—BC=a,OC—b,.,.S^ABC=^AB-OC=^-2c-b=
ll」1bb(a~\~c)J(『c)=A,a—2c,故椭圆离心率e=5=g.
be,所以S03C=2(〃+〃+2C)XW=-—
72
变式3、(1)己知B,&分别是椭圆也十方=1(。»>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点尸,使NB*=90。,
则椭圆的离心率e的取值范围为()
【解析】若椭圆上存在点P,使得尸尸2,则以原点为圆心,总尸2为直径的圆与椭圆必有交点,如图,
可得c与b,即将》>,
所以2/2/,即/三3,
又e<l,所以[乎,1).
(2)已知椭圆C:5+卓=1(。>">0),点A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,使得NAP5=120。,
则该椭圆的离心率的取值范围是()
A皆,1)B停1)
D(0,1
【答案】A
【解析】如图,
当尸在上顶点时,NAP8最大,
此时NAP8N120。,
则NAPON60。,
所以tanZAPO^tan60°=5,
即/三45,〃223。2,〃223(〃2—02),
所以2(22<3C2,
则如半
所以椭圆的离心率的取值范围是当,1)
方法总结:求离心率的值关键是找到不等关系,解出a与c的关系,进而求出离心率的范围。常见的等式关
系主要有:1、若椭圆上的点,则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围;2、若是椭圆上的点,则研
究此点到焦点的范围;要特别注意离心率的范围。
考向四与椭圆有关的范围(最值)
r2ff
例4、已知为,F2是椭圆了+V=1的左、右焦点,P是椭圆上的一个动点,求|防1+而2|的最小值.
【解析】设点尸(如y0),由题意,得B(一小,0),分(小,0),则防尸(一小一孙-yo),丽=(小一孙
一州),
所以动1+而2=(—2xo,-2州),
所以\PFi+PF2\=:4焉+4y$=2.4—4此+1=2丹—3M+4.
因为点尸在椭圆上,所以
所以当济=1时,I访i+防21取得最小值2.
72
变式1、椭圆,+全=1内有一点尸(1,-1),尸为右焦点,在椭圆上有一点当MP+2M尸的值最小时,
求点M的坐标.
【解析】由题意,得“2=4,Z?2=3,
所以c=-\ja2-b2=l,
C1
所以椭圆的离心率e=£=],右准线方程为x=1=4.
作出椭圆的右准线/,过点M作跖V,/于点N,
MF1
则砺=e=],所以2MF=MN,
所以MP+2MF=MP+MN.
要求MP+IMF的最小值,即求MP+MN的最小值,
过点尸(1,—1)作于点No,交椭圆于点M),则当动点M在椭圆上运动,与点Mo重合时,MP
+2MF取得最小值.
Dr
设Mo(xo,-1),代入椭圆方程,得次=3"(舍负),
所以当MP+2MF的值最小时,点M的坐标为(半,-1).
方法总结:与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质;
(2)利用函数,尤其是二次函数;
(3)利用不等式,尤其是基本不等式.
wm
1、(2022•湖北•恩施土家族苗族高中高三期末)曲线C的方程是"(X-1)2+y2+J(x+1)2+/=4,则曲线C的
形状是()
A.圆B.椭圆C.线段D.直线
【答案】B
【解析】方程表示动点尸(x,y)到两定点A(-l,0),8(l,0)的距离之和为4.而|钻|=2<4,因此尸的轨迹是以
A,8为焦点的椭圆.
故选:B.
22
2、(2022・湖北江岸•高三期末)已知椭圆。:3+2=1(°>6>0)的左右焦点分别为凡,片,离心率为e,
ab
下列说法正确的是()
A.当6=正时,椭圆C上恰好有6个不同的点,使得《鸟尸为直角三角形
2
B.当6=正时,椭圆C上恰好有2个不同的点,使得.百鸟P为等腰三角形
2
C.当e=g时,椭圆C上恰好有6个不同的点,使得.月月尸为直角三角形
D.当e=g时,椭圆C上恰好有2个不同的点,使得一片鸟尸为等腰三角形
【答案】A
【解析】对于A,当e=Y2时,可得6=c,要使得丹玛P为直角三角形,
2
则NRPB=90°或/月耳尸=90°或/4目尸=90°.
易知:当尸为上、下顶点时,/片尸瓦=90°,有2种情况,
当尸月,片入时,ZF2F,P=90°,有2种情况,
同理,当尸耳工,也有2种情况.故共有6个不同的点,使得“耳心尸为直角三角形,
选项A正确.
对于B,当e=Y2时,可得b=c,要使得刀工尸为等腰三角形,
2
则归周=|尸肉或|尸耳卜闺闾或归周=|耳闻.
根据对称性易知,以上每一种情况都有2种等腰三角形,故共有6个等腰三角形,故B错误.
对于C,当e=;时,可得6=辰,当点P在上顶点或下顶点时代PF?最大,且最大角为60。,故要使得小工尸
为直角三角形,
则/与片尸=90°或/耳6尸=901
当尸片_1_片8时,/居与尸=90°,有2种情况,
同理,当片工,也有2种情况.共有4个不同的点,使得月鸟尸为直角三角形,故选项C错误.
对于D,要使得,耳鸟尸为等腰三角形,
则|「耳卜IPF2\或|尸耳卜耳剧或附i1=1耳图.
根据对称性易知,以上每一种情况都有2种等腰三角形,故共有6个等腰三角形,故D错误.
故选:A
22
3、(2022•山东淄博•高三期末)已知椭圆C*+}=l(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,直线BF与C
相交于另一点4点A在x轴上的射影为4,O为坐标原点,若BO=2AA,则C的离心率为()
A.BB.|C.
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