椭圆的标准方程及其性质（解析版）-2024年高考数学一轮复习导学案

第64讲椭圆的标准方程及其性质

1、椭圆的定义

平面内与两个定点F2的距离之和等于常数(大于|以尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合P={/W||MF11+I/WF2I=2。},IF1F21—2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.

(1)若a>c,则集合P为椭圆;

(2)若a=c,则集合P为线段;

⑶若a<c,则集合P为空集.

2、焦半径：椭圆上的点P(x°,y°)与左(下)焦点Fi与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分

别记作ri=|PFi|,r2=IPF21.

⑴7+京=l(a>b>0),ri=a+ex0,r2=a—ex0；

y2x2

(2)前十京=l(a>b>0)，ri=a+ey0,r2=o—ey0;

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).

3、椭圆的标准方程和几何性质

x2y2x2y2

标准方程/+炉=l(o>b>0)京+次=l(o>b>0)

图形小.

—a<x<a,~b<x<b,

范围

~b<y<b~a<y<a

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

性质

4(一。0),A2(a,0),4(0,—a),4(0，o)，

顶点

Bi(0,~b),B2(0,b)Bi(—b,0),B2也0)

轴长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F21=2c

离心率e=。,ee（o,l）

a,b,c

c2=a2~b2

的关系

r2v2I

1、（2022•甲卷（文））已知椭圆C:=十与=l（a＞b〉0）的离心率为—，A，4分别为C的左、右顶点，B

ab3

为C的上顶点.若网•％=T，则c的方程为（）

A.——+—=1B.——+—=1

181698

2

丫2v丫2

C.匕+&=1D.—+/=1

322-

【答案】B

22

【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为J+J=l（加＞0）,

9m28m2

则A（~3m,0）,A（3m,0）,B（0,2^f2m）,

由平面向量数量积的运算法则可得：

BAf-BA,=（-3m,-2y[2m）■（3m,-2y/2rri）=-9m2+Sm2=-1,m2=1,

22

则椭圆方程为土+匕=1.

98

故选：B.

r2v23

2、（2023•甲卷（理））已知椭圆§+器=1,耳，F?为两个焦点，O为原点，尸为椭圆上一点，cosN片尸鸟=《，

贝|J|R?|=（）

2a3D后

5252

【答案】B

22

【解析】椭圆'■+'=1,K，8为两个焦点，c=也,

O为原点，尸为椭圆上一点，cosN耳尸耳=g,

设|P£|=相，|PF2\=n,不妨加＞几，

2222222

可得相+〃=6,4c=m+n-2mncosZFXPF2,BP12=m+n—mn,可得加〃=m+n=21,

PO=^(PFl+PF2),

122

PO^=-(PF,'+PF2'+2PF1-PF2)

2

=；(m+几2+2mncos/.FXPF2)

=；(机2+〃2

1…615、15

寸—万•

可得|尸。|=粤.

故选：B.

22

3、(2022•新高考II)已知直线/与椭圆上+上=1在第一象限交于A,3两点，/与x轴、y轴分别相交于

63

M,N两点，且|M4|=|NB|,|MN\=2^,贝心的方程为

【答案】x+y/2y-242=Q.

【解析】设A(%,%),B(X2,%)，线段AB的中点为E，

哈

-才1

相减可得：4----,

九22

%—%货二二］

.L二❷3

贝1JkOE

石+x2%2一%入；—%；2

m

设直线/的方程为：y=kx+m,k〈O,m>0,M(----,0),N(0,加),

k

.“(卷,号,：,kOE=~k,

乙K乙

.hk」,角星得左二—也，

22

小g+/=20，化为:2

IMN\=2A/3,+根2-12

k2

/.3m2=12,m>09解得〃z=2.

:.l的方程为y=-^-x+2,即x+A/2^-2A/2=0,

故答案为：x+0y-2后=0.

4、【2022年全国甲卷】椭圆（::《+\=1（（1>6>0）的左顶点为4,点「，。均在C上，且关于y轴对称.若

直线4P,AQ的斜率之积为;，则C的离心率为（)

4

1

A.但B.0C.D-I

222

【答案】A

【解析】

解：4(—a,0),

设则Q（Ti，yi）,

则k”=告-%

-xT+a

21

故题P.%Q=含yi

22

—%I+Q-%1+a4

2_b2(a2-X12)

又合+号=1，则无=

》2(Q2Tl2)

所以.3,即H

所以椭圆C的离心率e=—=V3

a2,

故选：A.

5、【2021年乙卷文科】设2是椭圆c：三+y2=1的上顶点,点尸在。上，则|尸耳的最大值为（

5

A-1B.瓜D.2

【答案】A

2

【解析】设点尸（々,九），因为8（0,1）,羡+褚=1，所以

网2=需+(%-1)2=5(1—娟+(%一i)2=-4y；—2%+6=+；i+7

而-所以当％=-；1时，「邳的最大值为g.

4

故选：A.

22

6、【2021年乙卷理科】设8是椭圆C:5+当=1（a>6>0）的上顶点，若C上的任意一点尸都满足IP8区2A,

ab

则C的离心率的取值范围是（）

(V2

A.B.P1C.°4D.

【答案】C

22

【解析】设尸伍,九），由3（0,6）,因为其+乌=1,a2=b2+c2,所以

ab

22

|P到2=x；+（%-6）2=/1］_券］+（%_6）2=_宗卜+1y+<2+Z?,

因为当-白4，即方2.2时，河2=4凡即阀=26,符合题意，由622c2可得0222c2,

।Imax1imdx

即0<"正；

2

当上>-b,即廿<°2时，附2=*/+/，即2+/+从44〃，化简得，（c2-b2Y<0,显然该不

。2IImaxC2c2'

等式不成立.

故选：C.

22

7、【2021年新高考1卷】已知《，鸟是椭圆C：］+q=l的两个焦点，点/在C上，则|岬卜|晒|的最

大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由题，片=9方=4,则|幽+|幽=2a=6,

所以|叫HMKiJ眄*四］=9（当且仅当|昭|=|叫|=3时，等号成立）.

I2J

故选：C.

22

8、【2021年甲卷文科】已知片，耳为椭圆C：二+匕=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两

164一

点，且|尸0=|耳闾，则四边形因的面积为.

【答案】8

【解析】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，

且IPQH耳鸟I,所以四边形Pf；。鸟为矩形，

］〃

设|P6|=m,\PF2\=n,贝1机+〃=8,m2+2=48,

所以64=（机+"A=m2+2mn+n2=48+2mn,

mn=8,即四边形尸耳。月面积等于8.

故答案为：8.

热【身划1综

1、设尸是椭圆以+金=1上的点，若F1，/2是椭圆的两个焦点，贝IJI尸尸1|十|尸尸2|等于（）

A.4B.5

C.8D.10

【答案】D

【解析】依椭圆的定义知，|尸尸I|十|PF2|=2X5=10.

72

2、若方程占+弋=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数机的取值范围是（）

A.（-3,5）B.（-5,3）

C.（-3,1）D.（-5,1）

【答案】C

【解析】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得5—根＞根+3＞0,解得一3〈根＜1,所以实数机的取值范围是

（-3,1）.

3、椭圆C：=+言=1的左、右焦点分别为尸2,过点巳的直线交椭圆C于A,2两点，则△BA3的

周长为（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】C

【解析】的周长为尸凶+/出+&3=尸丛+丑+£8+/28=24+2。=44.在椭圆C中，a2=25,则a

=5,所以的周长为4a=20.

4、已知椭圆点+长；=1的离心率为治则实数左的值为.

【答案】21或一工19

呼

C4419

---解得%--

---

【解析】当椭圆的焦点在％轴上时，/=9,。2=4+左，则c=45525

当椭圆的焦点在y轴上时，/=4+左，从=九则

的值为21或一行.

fV2

5、过点（一3,2）且与/+：=1有相同焦点的椭圆方程是（）

2

A,2X2J;2c//X2y

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.——+—

15101015925105

【答案】A

22

【解析】因为焦点坐标为（土小，0）,设方程为3+生芋=1,将（一3,2）代入方程可得

94x2v2

^+a2_5=b解得a2=15,故方程为正+希=1

典luluuM

考向一椭圆的定义及其应用

例1、(1)一动圆与已知圆O1：。+3)2+丁=1外切，与圆。2：(无一3)2+步=81内切，试求动圆圆心的轨迹

方程.

(2)求过点A(2,0)且与圆/+4工+V-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.

【解析】(1)如图所示，设动圆的圆心为C,半径为r.

则由圆相切的性质知，COi=l+r,CO2=9-r,ACOi+CO2=10,而002=6,

点C的轨迹是以Oi、。2为焦点的椭圆，其中2a=10,2c=6,b=4.

22

动圆圆心的轨迹方程为念+诟=1.

(2)将圆的方程化为标准形式为(x+2>+y2=62,圆心B(—2,0),r=6.

设动圆圆心M的坐标为(x,y),动圆与已知圆的切点为C.

则BC-MC=BM,而BC=6,/.BM+CM=6.

又CM=AM,BM+AM=6>AB=4.

...点M的轨迹是以点B(—2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆.

a=3,c=2,b=木.

22

所求轨迹方程为^'+5=1.

变式1、(1)己知圆(尤+2>+产=36的圆心为M,设A是圆上任意一点，N(2,0),线段加V的垂直平分线交

MA于点P,则动点P的轨迹是()

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【解析】点尸在线段AN的垂直平分线上，故|以|=|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM+|PN=|PM+|B1|

=|4M=6>|MM.由椭圆的定义知，尸的轨迹是椭圆.

(2)△ABC的两个顶点为4(-3,0),2(3,0),△ABC周长为16,则顶点C的轨迹方程为()

A*+汽=Kk。)

B*+古=K/。)

C念十尹120)

D忐+A1/。)

【答案】A

【解析】由题知点C到A,B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以4(-3,0),3(3,0)为焦点，长轴长为

7772

10的椭圆，故2。=10,。=3,左=〃2—，=16.所以方程为赤+.=1.又A,B,。三点不能共线，所以而十・

NJJ.U乙JL\J

=i(y=o).

方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P

在椭圆上时，与椭圆的两焦点凡，F2组成的三角形通常称为"焦点三角形"，利用定义可求其周长，利用定义

和余弦定理可求\PF1\\PF2\,通过整体代入可求其面积等

考向二椭圆的标准方程

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)经过P(一2小，0),2(0,2)两点；

72

(2)与椭圆w+1=l有相同的焦点且经过点(2,一小).

【解析】(1)由题意，得尸，。分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在X轴上，

所以a=2y[3,b=2,

所以椭圆的标准方程为三+?=L

(2)设椭圆：+弓=1的左、右焦点分别为E,

则尸1(—1,0),F2(l,0),

所以所求椭圆的焦点在x轴上.

设椭圆方程为最+方=l(a>b>0),

a,2=4+2S，,2=4—小，

由题意，得彳43解得J,厂或彳，厂(舍去)，

萨+讲=1,[^=3+2^3〔炉=3-木

22

所以椭圆的标准方程为4+2小+33小=1

变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：_

(1)两个顶点为(310)，(-3'0)，离心率为斗^；

22

(2)过点(小，—小)，且与椭圆*+5=1有相同焦点的椭圆的标准方程.

【解析】⑴如果焦点在x轴上，则a=3，离心率：=¥，，c=2W，...b2=a2—c2=l，.•.椭圆的标

准方程为^_+y2=l；如果焦点在y轴上>则b=3>将：=斗^代入b2=a2—c2中>得a2—1a2=9，.*.a2=81>

22222

...椭圆的标准方程为於+]=1.故所求椭圆的标准方程为]+y2=1和+]=L

22

(2)(方法1)椭圆入+.=1的a=5，b=3，

・•・c=4，焦点为(0，一4)，(0，4).由椭圆定义知，2a=yj(^3-0)2+(-^5+4)2+

y](^3—0)2+(―^5~4)2，解得a=2、/5.由c2=a?_b2得b?=4.

22

•1•所求椭圆的标准方程为L

22

(方法2)设所求椭圆方程为工匕+'=1(1«9)，将点(小，一小)坐标代入，得

ZDK37K

(1*2+(£2=1，解得k=5(k=21舍去)，

ZDKyK

22

...所求椭圆的标准方程为4+1=1.

变式2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为小；

(3)经过点P(—2小，1),0(小，一2)两点；

72

(4)与椭圆w+]=l有相同离心率，且经过点(2,—^3).

v22

【解析】(1)若焦点在工轴上，设方程为”+$v=13>。>0)，

9

•・,椭圆过点A(3,0),・・・^=1得〃=3,

X2C

V2«=3X2/?,.\b=l,，方程为豆+_/=1,

若焦点在y轴上，

设方程为/=l(a>b>0),

9

•・•椭圆过点A(3,0),・,•记=1得b=3,

又2a=3X26,；.a=9,.,.方程为而十，=1.

综上所述，椭圆方程为总+户1或5+卷=1.

jq=2c,

(2)由已知，有

[a—c=y[3,

u—2*^3,

解得，乂=9,

2222

所求椭圆方程为为+]=1或]•+,=：1.

(3)设方程为m>0,n>0,m^n),

[12m+n=1,\m15，

则有。」।解得〈i

〔3相+4孔=1,_1

〔”一予

92

则所求椭圆方程为=+5=1.

2

(4)椭圆/下V片=1的离心率是e=]1,

当焦点在x轴上时，

72

设所求椭圆的方程是5+方=1(46>0),

a~29

2

・・・/42=〃+/,解得.a=89

b2=6,

1,

22

•••所求椭圆方程为5+尢=1.

27

当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为我+5=1(。>心0),

25

厂》ar9z=——

3，

a2=b2+cz,

T，

3+*=1，

椭圆的标准方程为白+*=1,

TT

72

故所求椭圆标准方程为3+看

方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤:

①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在X轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；

②设方程：根据上述判断设方程3+j=l(a>b>0)或|s+£=l(a>b>0)或mx*2+ny2=l(m>0,n>0)；

③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；

④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

考向三椭圆的性质

22

例3、(1)(2022・广东清远•高三期末)若椭圆C:±+匕=1的焦距为6,则实数加=()

4m

A.13B.40C.5D.2万

【答案】A

【分析】

根据题意，可知c=3,a2=m,b2=4,由/一进行运算，即可求出机的值.

【详解】

22

解：因为椭圆C:土+匕=1的焦距为6,

4m

可知2c=6,贝c=3,所以/=;77,Z?2=4,

所以根-4=3之，解得：m=\3.

故选：A.

(2)(2022・江苏海安・高三期末)若椭圆炉+/3$。=11()<。<1]的焦距为2,则该椭圆的离心率为

【答案】正

2

【分析】

工+上-11

将已知椭圆方程化为标准形式为T1--，由题意可得片=—扶=1,结合2c=2以及

----cos”

cos9

e=二即可求解.

a

【详解】

X2/1

由炉+y2cos6=1可得11一,

COS。

711

因为。<夕<所以OvcosOvl,所以-->1,

2cos。

可得=­i一,82=],_匕2=I---],

cos0cos0

1

由题意可得2c=2,所以。=1c1=a1—b1=1,

cos。

故答案为：走.

2

2222

（3）（2022•江苏如皋期初考试）椭圆土+匕=1与上二+二一=1（0<左<9）关系为（

2599一k2.5-k

A.有相等的长轴长B.有相等的离心率

C.有相同的焦点D.有相等的焦距

【答案】D

22_____

【解析】由题意，对于椭圆=+]=1,焦点在x轴上，a=5,b=3,所以c=#25—9=4,则离心率e=\=

1对于椭圆言+号，=1，因为25T>9T>0,所以焦点在y轴上，a=y125-k^5,6=回耳?3,

JyKK

c44-

所以。=,25一左一（9一©=4,则离心率e二点故选项D正确，其他选项错误；所以答案选D.

变式1、（1）设为，/2分别是椭圆C：务奈=1（。>>>°）的左、右焦点，点2在椭圆C上.若线段叨的

中点在y轴上，ZPFIF2=30°,则椭圆的离心率为

【答案】V

【解析】如图，设PQ的中点为连接尸6.因为。为的中点，所以OM为的中位线，所以

OM//PF2,所以/PBB=/MOB=90。.因为/尸尸出=30。，所以PFi=2PB.由勾股定理，得FB=

、尸疥一尸刑=小尸入.由椭圆定义,得2。=尸西+尸尸2=3刊"则。=等.又2c=FiB=/PB,则c=誓死，

cy[3PF22y/3

所以==

a2'3PF23'

92

（2）（2022•江苏如皋期初考试）焦点在无轴上的椭圆方程为”十方=l（a>b>0）,短轴的一个端点和两个焦

b

点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为多则椭圆的离心率为.

【答案】I

【解析】由题意，如图，由椭圆的性质可知，AB=2c,AC—BC=a,OC—b,.,.S^ABC=^AB-OC=^-2c-b=

ll」1bb（a~\~c）J（『c）=A,a—2c,故椭圆离心率e=5=g.

be,所以S03C=2（〃+〃+2C）XW=-—

72

变式3、（1）己知B，&分别是椭圆也十方=1（。»>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点尸，使NB*=90。,

则椭圆的离心率e的取值范围为（）

【解析】若椭圆上存在点P,使得尸尸2,则以原点为圆心，总尸2为直径的圆与椭圆必有交点，如图,

可得c与b,即将》>,

所以2/2/,即/三3，

又e<l,所以［乎，1）.

（2）已知椭圆C：5+卓=1（。>">0）,点A,B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P,使得NAP5=120。,

则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A皆，1）B停1）

D（0,1

【答案】A

【解析】如图,

当尸在上顶点时，NAP8最大，

此时NAP8N120。，

则NAPON60。，

所以tanZAPO^tan60°=5，

即/三45,〃223。2,〃223（〃2—02）,

所以2（22<3C2,

则如半

所以椭圆的离心率的取值范围是当，1）

方法总结：求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关

系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研

究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。

考向四与椭圆有关的范围（最值）

r2ff

例4、已知为，F2是椭圆了+V=1的左、右焦点，P是椭圆上的一个动点，求|防1+而2|的最小值.

【解析】设点尸（如y0）,由题意，得B（一小，0）,分（小，0）,则防尸（一小一孙-yo）,丽=（小一孙

一州），

所以动1+而2=（—2xo,-2州），

所以\PFi+PF2\=：4焉+4y$=2.4—4此+1=2丹—3M+4.

因为点尸在椭圆上，所以

所以当济=1时，I访i+防21取得最小值2.

72

变式1、椭圆，+全=1内有一点尸（1,-1）,尸为右焦点，在椭圆上有一点当MP+2M尸的值最小时,

求点M的坐标.

【解析】由题意，得“2=4,Z?2=3,

所以c=-\ja2-b2=l,

C1

所以椭圆的离心率e=£=],右准线方程为x=1=4.

作出椭圆的右准线/,过点M作跖V，/于点N,

MF1

则砺=e=]，所以2MF=MN,

所以MP+2MF=MP+MN.

要求MP+IMF的最小值，即求MP+MN的最小值，

过点尸(1,—1)作于点No,交椭圆于点M),则当动点M在椭圆上运动，与点Mo重合时，MP

+2MF取得最小值.

Dr

设Mo(xo,-1),代入椭圆方程，得次=3"(舍负)，

所以当MP+2MF的值最小时，点M的坐标为(半，-1).

方法总结：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；

(2)利用函数，尤其是二次函数；

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

wm

1、(2022•湖北•恩施土家族苗族高中高三期末)曲线C的方程是"(X-1)2+y2+J(x+1)2+/=4,则曲线C的

形状是()

A.圆B.椭圆C.线段D.直线

【答案】B

【解析】方程表示动点尸(x，y)到两定点A(-l,0),8(l,0)的距离之和为4.而|钻|=2<4,因此尸的轨迹是以

A,8为焦点的椭圆.

故选：B.

22

2、(2022・湖北江岸•高三期末)已知椭圆。：3+2=1(°>6>0)的左右焦点分别为凡，片,离心率为e,

ab

下列说法正确的是（）

A.当6=正时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得《鸟尸为直角三角形

2

B.当6=正时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得.百鸟P为等腰三角形

2

C.当e=g时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得.月月尸为直角三角形

D.当e=g时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得一片鸟尸为等腰三角形

【答案】A

【解析】对于A,当e=Y2时，可得6=c,要使得丹玛P为直角三角形，

2

则NRPB=90°或/月耳尸=90°或/4目尸=90°.

易知：当尸为上、下顶点时，/片尸瓦=90°,有2种情况，

当尸月，片入时，ZF2F,P=90°,有2种情况，

同理，当尸耳工，也有2种情况.故共有6个不同的点，使得“耳心尸为直角三角形，

选项A正确.

对于B,当e=Y2时，可得b=c,要使得刀工尸为等腰三角形，

2

则归周=|尸肉或|尸耳卜闺闾或归周=|耳闻.

根据对称性易知，以上每一种情况都有2种等腰三角形，故共有6个等腰三角形，故B错误.

对于C,当e=；时，可得6=辰，当点P在上顶点或下顶点时代PF?最大，且最大角为60。，故要使得小工尸

为直角三角形，

则/与片尸=90°或/耳6尸=901

当尸片_1_片8时，/居与尸=90°,有2种情况，

同理，当片工，也有2种情况.共有4个不同的点，使得月鸟尸为直角三角形，故选项C错误.

对于D,要使得，耳鸟尸为等腰三角形，

则|「耳卜IPF2\或|尸耳卜耳剧或附i1=1耳图.

根据对称性易知，以上每一种情况都有2种等腰三角形，故共有6个等腰三角形，故D错误.

故选：A

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3、（2022•山东淄博•高三期末）已知椭圆C*+}=l（a>b>0）的右焦点为F,上顶点为B,直线BF与C

相交于另一点4点A在x轴上的射影为4，O为坐标原点，若BO=2AA，则C的离心率为（）

A.BB.|C.