椭圆的标准方程及其性质(解析版)-2024年高考数学一轮复习导学案_第1页
椭圆的标准方程及其性质(解析版)-2024年高考数学一轮复习导学案_第2页
椭圆的标准方程及其性质(解析版)-2024年高考数学一轮复习导学案_第3页
椭圆的标准方程及其性质(解析版)-2024年高考数学一轮复习导学案_第4页
椭圆的标准方程及其性质(解析版)-2024年高考数学一轮复习导学案_第5页
已阅读5页,还剩13页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第64讲椭圆的标准方程及其性质

1、椭圆的定义

平面内与两个定点F2的距离之和等于常数(大于|以尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆

的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合P={/W||MF11+I/WF2I=2。},IF1F21—2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.

(1)若a>c,则集合P为椭圆;

(2)若a=c,则集合P为线段;

⑶若a<c,则集合P为空集.

2、焦半径:椭圆上的点P(x°,y°)与左(下)焦点Fi与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分

别记作ri=|PFi|,r2=IPF21.

⑴7+京=l(a>b>0),ri=a+ex0,r2=a—ex0;

y2x2

(2)前十京=l(a>b>0),ri=a+ey0,r2=o—ey0;

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).

3、椭圆的标准方程和几何性质

x2y2x2y2

标准方程/+炉=l(o>b>0)京+次=l(o>b>0)

图形小.

—a<x<a,~b<x<b,

范围

~b<y<b~a<y<a

对称性对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0)

性质

4(一。0),A2(a,0),4(0,—a),4(0,o),

顶点

Bi(0,~b),B2(0,b)Bi(—b,0),B2也0)

轴长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F21=2c

离心率e=。,ee(o,l)

a,b,c

c2=a2~b2

的关系

r2v2I

1、(2022•甲卷(文))已知椭圆C:=十与=l(a>b〉0)的离心率为—,A,4分别为C的左、右顶点,B

ab3

为C的上顶点.若网•%=T,则c的方程为()

A.——+—=1B.——+—=1

181698

2

丫2v丫2

C.匕+&=1D.—+/=1

322-

【答案】B

22

【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为J+J=l(加>0),

9m28m2

则A(~3m,0),A(3m,0),B(0,2^f2m),

由平面向量数量积的运算法则可得:

BAf-BA,=(-3m,-2y[2m)■(3m,-2y/2rri)=-9m2+Sm2=-1,m2=1,

22

则椭圆方程为土+匕=1.

98

故选:B.

r2v23

2、(2023•甲卷(理))已知椭圆§+器=1,耳,F?为两个焦点,O为原点,尸为椭圆上一点,cosN片尸鸟=《,

贝|J|R?|=()

2a3D后

5252

【答案】B

22

【解析】椭圆'■+'=1,K,8为两个焦点,c=也,

O为原点,尸为椭圆上一点,cosN耳尸耳=g,

设|P£|=相,|PF2\=n,不妨加>几,

2222222

可得相+〃=6,4c=m+n-2mncosZFXPF2,BP12=m+n—mn,可得加〃=m+n=21,

PO=^(PFl+PF2),

122

PO^=-(PF,'+PF2'+2PF1-PF2)

2

=;(m+几2+2mncos/.FXPF2)

=;(机2+〃2

1…615、15

寸—万•

可得|尸。|=粤.

故选:B.

22

3、(2022•新高考II)已知直线/与椭圆上+上=1在第一象限交于A,3两点,/与x轴、y轴分别相交于

63

M,N两点,且|M4|=|NB|,|MN\=2^,贝心的方程为

【答案】x+y/2y-242=Q.

【解析】设A(%,%),B(X2,%),线段AB的中点为E,

-才1

相减可得:4----,

九22

%—%货二二]

.L二❷3

贝1JkOE

石+x2%2一%入;—%;2

m

设直线/的方程为:y=kx+m,k〈O,m>0,M(----,0),N(0,加),

k

.“(卷,号,:,kOE=~k,

乙K乙

.hk」,角星得左二—也,

22

小g+/=20,化为:2

IMN\=2A/3,+根2-12

k2

/.3m2=12,m>09解得〃z=2.

:.l的方程为y=-^-x+2,即x+A/2^-2A/2=0,

故答案为:x+0y-2后=0.

4、【2022年全国甲卷】椭圆(::《+\=1((1>6>0)的左顶点为4,点「,。均在C上,且关于y轴对称.若

直线4P,AQ的斜率之积为;,则C的离心率为()

4

1

A.但B.0C.D-I

222

【答案】A

【解析】

解:4(—a,0),

设则Q(Ti,yi),

则k”=告-%

-xT+a

21

故题P.%Q=含yi

22

—%I+Q-%1+a4

2_b2(a2-X12)

又合+号=1,则无=

》2(Q2Tl2)

所以.3,即H

所以椭圆C的离心率e=—=V3

a2,

故选:A.

5、【2021年乙卷文科】设2是椭圆c:三+y2=1的上顶点,点尸在。上,则|尸耳的最大值为(

5

A-1B.瓜D.2

【答案】A

2

【解析】设点尸(々,九),因为8(0,1),羡+褚=1,所以

网2=需+(%-1)2=5(1—娟+(%一i)2=-4y;—2%+6=+;i+7

而-所以当%=-;1时,「邳的最大值为g.

4

故选:A.

22

6、【2021年乙卷理科】设8是椭圆C:5+当=1(a>6>0)的上顶点,若C上的任意一点尸都满足IP8区2A,

ab

则C的离心率的取值范围是()

(V2

A.B.P1C.°4D.

【答案】C

22

【解析】设尸伍,九),由3(0,6),因为其+乌=1,a2=b2+c2,所以

ab

22

|P到2=x;+(%-6)2=/1]_券]+(%_6)2=_宗卜+1y+<2+Z?,

因为当-白4,即方2.2时,河2=4凡即阀=26,符合题意,由622c2可得0222c2,

।Imax1imdx

即0<"正;

2

当上>-b,即廿<°2时,附2=*/+/,即2+/+从44〃,化简得,(c2-b2Y<0,显然该不

。2IImaxC2c2'

等式不成立.

故选:C.

22

7、【2021年新高考1卷】已知《,鸟是椭圆C:]+q=l的两个焦点,点/在C上,则|岬卜|晒|的最

大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由题,片=9方=4,则|幽+|幽=2a=6,

所以|叫HMKiJ眄*四]=9(当且仅当|昭|=|叫|=3时,等号成立).

I2J

故选:C.

22

8、【2021年甲卷文科】已知片,耳为椭圆C:二+匕=1的两个焦点,P,。为C上关于坐标原点对称的两

164一

点,且|尸0=|耳闾,则四边形因的面积为.

【答案】8

【解析】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,

且IPQH耳鸟I,所以四边形Pf;。鸟为矩形,

]〃

设|P6|=m,\PF2\=n,贝1机+〃=8,m2+2=48,

所以64=(机+"A=m2+2mn+n2=48+2mn,

mn=8,即四边形尸耳。月面积等于8.

故答案为:8.

热【身划1综

1、设尸是椭圆以+金=1上的点,若F1,/2是椭圆的两个焦点,贝IJI尸尸1|十|尸尸2|等于()

A.4B.5

C.8D.10

【答案】D

【解析】依椭圆的定义知,|尸尸I|十|PF2|=2X5=10.

72

2、若方程占+弋=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数机的取值范围是()

A.(-3,5)B.(-5,3)

C.(-3,1)D.(-5,1)

【答案】C

【解析】由方程表示焦点在x轴上的椭圆,得5—根>根+3>0,解得一3〈根<1,所以实数机的取值范围是

(-3,1).

3、椭圆C:=+言=1的左、右焦点分别为尸2,过点巳的直线交椭圆C于A,2两点,则△BA3的

周长为()

A.12B.16C.20D.24

【答案】C

【解析】的周长为尸凶+/出+&3=尸丛+丑+£8+/28=24+2。=44.在椭圆C中,a2=25,则a

=5,所以的周长为4a=20.

4、已知椭圆点+长;=1的离心率为治则实数左的值为.

【答案】21或一工19

C4419

---解得%--

---

【解析】当椭圆的焦点在%轴上时,/=9,。2=4+左,则c=45525

当椭圆的焦点在y轴上时,/=4+左,从=九则

的值为21或一行.

fV2

5、过点(一3,2)且与/+:=1有相同焦点的椭圆方程是()

2

A,2X2J;2c//X2y

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.——+—

15101015925105

【答案】A

22

【解析】因为焦点坐标为(土小,0),设方程为3+生芋=1,将(一3,2)代入方程可得

94x2v2

^+a2_5=b解得a2=15,故方程为正+希=1

典luluuM

考向一椭圆的定义及其应用

例1、(1)一动圆与已知圆O1:。+3)2+丁=1外切,与圆。2:(无一3)2+步=81内切,试求动圆圆心的轨迹

方程.

(2)求过点A(2,0)且与圆/+4工+V-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.

【解析】(1)如图所示,设动圆的圆心为C,半径为r.

则由圆相切的性质知,COi=l+r,CO2=9-r,ACOi+CO2=10,而002=6,

点C的轨迹是以Oi、。2为焦点的椭圆,其中2a=10,2c=6,b=4.

22

动圆圆心的轨迹方程为念+诟=1.

(2)将圆的方程化为标准形式为(x+2>+y2=62,圆心B(—2,0),r=6.

设动圆圆心M的坐标为(x,y),动圆与已知圆的切点为C.

则BC-MC=BM,而BC=6,/.BM+CM=6.

又CM=AM,BM+AM=6>AB=4.

...点M的轨迹是以点B(—2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆.

a=3,c=2,b=木.

22

所求轨迹方程为^'+5=1.

变式1、(1)己知圆(尤+2>+产=36的圆心为M,设A是圆上任意一点,N(2,0),线段加V的垂直平分线交

MA于点P,则动点P的轨迹是()

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【解析】点尸在线段AN的垂直平分线上,故|以|=|PN|.又AM是圆的半径,所以|PM+|PN=|PM+|B1|

=|4M=6>|MM.由椭圆的定义知,尸的轨迹是椭圆.

(2)△ABC的两个顶点为4(-3,0),2(3,0),△ABC周长为16,则顶点C的轨迹方程为()

A*+汽=Kk。)

B*+古=K/。)

C念十尹120)

D忐+A1/。)

【答案】A

【解析】由题知点C到A,B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以4(-3,0),3(3,0)为焦点,长轴长为

7772

10的椭圆,故2。=10,。=3,左=〃2—,=16.所以方程为赤+.=1.又A,B,。三点不能共线,所以而十・

NJJ.U乙JL\J

=i(y=o).

方法总结:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P

在椭圆上时,与椭圆的两焦点凡,F2组成的三角形通常称为"焦点三角形",利用定义可求其周长,利用定义

和余弦定理可求\PF1\\PF2\,通过整体代入可求其面积等

考向二椭圆的标准方程

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)经过P(一2小,0),2(0,2)两点;

72

(2)与椭圆w+1=l有相同的焦点且经过点(2,一小).

【解析】(1)由题意,得尸,。分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在X轴上,

所以a=2y[3,b=2,

所以椭圆的标准方程为三+?=L

(2)设椭圆:+弓=1的左、右焦点分别为E,

则尸1(—1,0),F2(l,0),

所以所求椭圆的焦点在x轴上.

设椭圆方程为最+方=l(a>b>0),

a,2=4+2S,,2=4—小,

由题意,得彳43解得J,厂或彳,厂(舍去),

萨+讲=1,[^=3+2^3〔炉=3-木

22

所以椭圆的标准方程为4+2小+33小=1

变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程:_

(1)两个顶点为(310),(-3'0),离心率为斗^;

22

(2)过点(小,—小),且与椭圆*+5=1有相同焦点的椭圆的标准方程.

【解析】⑴如果焦点在x轴上,则a=3,离心率:=¥,,c=2W,...b2=a2—c2=l,.•.椭圆的标

准方程为^_+y2=l;如果焦点在y轴上>则b=3>将:=斗^代入b2=a2—c2中>得a2—1a2=9,.*.a2=81>

22222

...椭圆的标准方程为於+]=1.故所求椭圆的标准方程为]+y2=1和+]=L

22

(2)(方法1)椭圆入+.=1的a=5,b=3,

・•・c=4,焦点为(0,一4),(0,4).由椭圆定义知,2a=yj(^3-0)2+(-^5+4)2+

y](^3—0)2+(―^5~4)2,解得a=2、/5.由c2=a?_b2得b?=4.

22

•1•所求椭圆的标准方程为L

22

(方法2)设所求椭圆方程为工匕+'=1(1«9),将点(小,一小)坐标代入,得

ZDK37K

(1*2+(£2=1,解得k=5(k=21舍去),

ZDKyK

22

...所求椭圆的标准方程为4+1=1.

变式2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为小;

(3)经过点P(—2小,1),0(小,一2)两点;

72

(4)与椭圆w+]=l有相同离心率,且经过点(2,—^3).

v22

【解析】(1)若焦点在工轴上,设方程为”+$v=13>。>0),

9

•・,椭圆过点A(3,0),・・・^=1得〃=3,

X2C

V2«=3X2/?,.\b=l,,方程为豆+_/=1,

若焦点在y轴上,

设方程为/=l(a>b>0),

9

•・•椭圆过点A(3,0),・,•记=1得b=3,

又2a=3X26,;.a=9,.,.方程为而十,=1.

综上所述,椭圆方程为总+户1或5+卷=1.

jq=2c,

(2)由已知,有

[a—c=y[3,

u—2*^3,

解得,乂=9,

2222

所求椭圆方程为为+]=1或]•+,=:1.

(3)设方程为m>0,n>0,m^n),

[12m+n=1,\m15,

则有。」।解得〈i

〔3相+4孔=1,_1

〔”一予

92

则所求椭圆方程为=+5=1.

2

(4)椭圆/下V片=1的离心率是e=]1,

当焦点在x轴上时,

72

设所求椭圆的方程是5+方=1(46>0),

a~29

2

・・・/42=〃+/,解得.a=89

b2=6,

1,

22

•••所求椭圆方程为5+尢=1.

27

当焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为我+5=1(。>心0),

25

厂》ar9z=——

3,

a2=b2+cz,

T,

3+*=1,

椭圆的标准方程为白+*=1,

TT

72

故所求椭圆标准方程为3+看

方法总结:用待定系数法求椭圆方程的一般步骤:

①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在X轴上、在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能;

②设方程:根据上述判断设方程3+j=l(a>b>0)或|s+£=l(a>b>0)或mx*2+ny2=l(m>0,n>0);

③找关系:根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组;

④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.

考向三椭圆的性质

22

例3、(1)(2022・广东清远•高三期末)若椭圆C:±+匕=1的焦距为6,则实数加=()

4m

A.13B.40C.5D.2万

【答案】A

【分析】

根据题意,可知c=3,a2=m,b2=4,由/一进行运算,即可求出机的值.

【详解】

22

解:因为椭圆C:土+匕=1的焦距为6,

4m

可知2c=6,贝c=3,所以/=;77,Z?2=4,

所以根-4=3之,解得:m=\3.

故选:A.

(2)(2022・江苏海安・高三期末)若椭圆炉+/3$。=11()<。<1]的焦距为2,则该椭圆的离心率为

【答案】正

2

【分析】

工+上-11

将已知椭圆方程化为标准形式为T1--,由题意可得片=—扶=1,结合2c=2以及

----cos”

cos9

e=二即可求解.

a

【详解】

X2/1

由炉+y2cos6=1可得11一,

COS。

711

因为。<夕<所以OvcosOvl,所以-->1,

2cos。

可得=­i一,82=],_匕2=I---],

cos0cos0

1

由题意可得2c=2,所以。=1c1=a1—b1=1,

cos。

故答案为:走.

2

2222

(3)(2022•江苏如皋期初考试)椭圆土+匕=1与上二+二一=1(0<左<9)关系为(

2599一k2.5-k

A.有相等的长轴长B.有相等的离心率

C.有相同的焦点D.有相等的焦距

【答案】D

22_____

【解析】由题意,对于椭圆=+]=1,焦点在x轴上,a=5,b=3,所以c=#25—9=4,则离心率e=\=

1对于椭圆言+号,=1,因为25T>9T>0,所以焦点在y轴上,a=y125-k^5,6=回耳?3,

JyKK

c44-

所以。=,25一左一(9一©=4,则离心率e二点故选项D正确,其他选项错误;所以答案选D.

变式1、(1)设为,/2分别是椭圆C:务奈=1(。>>>°)的左、右焦点,点2在椭圆C上.若线段叨的

中点在y轴上,ZPFIF2=30°,则椭圆的离心率为

【答案】V

【解析】如图,设PQ的中点为连接尸6.因为。为的中点,所以OM为的中位线,所以

OM//PF2,所以/PBB=/MOB=90。.因为/尸尸出=30。,所以PFi=2PB.由勾股定理,得FB=

、尸疥一尸刑=小尸入.由椭圆定义,得2。=尸西+尸尸2=3刊"则。=等.又2c=FiB=/PB,则c=誓死,

cy[3PF22y/3

所以==

a2'3PF23'

92

(2)(2022•江苏如皋期初考试)焦点在无轴上的椭圆方程为”十方=l(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦

b

点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为多则椭圆的离心率为.

【答案】I

【解析】由题意,如图,由椭圆的性质可知,AB=2c,AC—BC=a,OC—b,.,.S^ABC=^AB-OC=^-2c-b=

ll」1bb(a~\~c)J(『c)=A,a—2c,故椭圆离心率e=5=g.

be,所以S03C=2(〃+〃+2C)XW=-—

72

变式3、(1)己知B,&分别是椭圆也十方=1(。»>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点尸,使NB*=90。,

则椭圆的离心率e的取值范围为()

【解析】若椭圆上存在点P,使得尸尸2,则以原点为圆心,总尸2为直径的圆与椭圆必有交点,如图,

可得c与b,即将》>,

所以2/2/,即/三3,

又e<l,所以[乎,1).

(2)已知椭圆C:5+卓=1(。>">0),点A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,使得NAP5=120。,

则该椭圆的离心率的取值范围是()

A皆,1)B停1)

D(0,1

【答案】A

【解析】如图,

当尸在上顶点时,NAP8最大,

此时NAP8N120。,

则NAPON60。,

所以tanZAPO^tan60°=5,

即/三45,〃223。2,〃223(〃2—02),

所以2(22<3C2,

则如半

所以椭圆的离心率的取值范围是当,1)

方法总结:求离心率的值关键是找到不等关系,解出a与c的关系,进而求出离心率的范围。常见的等式关

系主要有:1、若椭圆上的点,则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围;2、若是椭圆上的点,则研

究此点到焦点的范围;要特别注意离心率的范围。

考向四与椭圆有关的范围(最值)

r2ff

例4、已知为,F2是椭圆了+V=1的左、右焦点,P是椭圆上的一个动点,求|防1+而2|的最小值.

【解析】设点尸(如y0),由题意,得B(一小,0),分(小,0),则防尸(一小一孙-yo),丽=(小一孙

一州),

所以动1+而2=(—2xo,-2州),

所以\PFi+PF2\=:4焉+4y$=2.4—4此+1=2丹—3M+4.

因为点尸在椭圆上,所以

所以当济=1时,I访i+防21取得最小值2.

72

变式1、椭圆,+全=1内有一点尸(1,-1),尸为右焦点,在椭圆上有一点当MP+2M尸的值最小时,

求点M的坐标.

【解析】由题意,得“2=4,Z?2=3,

所以c=-\ja2-b2=l,

C1

所以椭圆的离心率e=£=],右准线方程为x=1=4.

作出椭圆的右准线/,过点M作跖V,/于点N,

MF1

则砺=e=],所以2MF=MN,

所以MP+2MF=MP+MN.

要求MP+IMF的最小值,即求MP+MN的最小值,

过点尸(1,—1)作于点No,交椭圆于点M),则当动点M在椭圆上运动,与点Mo重合时,MP

+2MF取得最小值.

Dr

设Mo(xo,-1),代入椭圆方程,得次=3"(舍负),

所以当MP+2MF的值最小时,点M的坐标为(半,-1).

方法总结:与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质;

(2)利用函数,尤其是二次函数;

(3)利用不等式,尤其是基本不等式.

wm

1、(2022•湖北•恩施土家族苗族高中高三期末)曲线C的方程是"(X-1)2+y2+J(x+1)2+/=4,则曲线C的

形状是()

A.圆B.椭圆C.线段D.直线

【答案】B

【解析】方程表示动点尸(x,y)到两定点A(-l,0),8(l,0)的距离之和为4.而|钻|=2<4,因此尸的轨迹是以

A,8为焦点的椭圆.

故选:B.

22

2、(2022・湖北江岸•高三期末)已知椭圆。:3+2=1(°>6>0)的左右焦点分别为凡,片,离心率为e,

ab

下列说法正确的是()

A.当6=正时,椭圆C上恰好有6个不同的点,使得《鸟尸为直角三角形

2

B.当6=正时,椭圆C上恰好有2个不同的点,使得.百鸟P为等腰三角形

2

C.当e=g时,椭圆C上恰好有6个不同的点,使得.月月尸为直角三角形

D.当e=g时,椭圆C上恰好有2个不同的点,使得一片鸟尸为等腰三角形

【答案】A

【解析】对于A,当e=Y2时,可得6=c,要使得丹玛P为直角三角形,

2

则NRPB=90°或/月耳尸=90°或/4目尸=90°.

易知:当尸为上、下顶点时,/片尸瓦=90°,有2种情况,

当尸月,片入时,ZF2F,P=90°,有2种情况,

同理,当尸耳工,也有2种情况.故共有6个不同的点,使得“耳心尸为直角三角形,

选项A正确.

对于B,当e=Y2时,可得b=c,要使得刀工尸为等腰三角形,

2

则归周=|尸肉或|尸耳卜闺闾或归周=|耳闻.

根据对称性易知,以上每一种情况都有2种等腰三角形,故共有6个等腰三角形,故B错误.

对于C,当e=;时,可得6=辰,当点P在上顶点或下顶点时代PF?最大,且最大角为60。,故要使得小工尸

为直角三角形,

则/与片尸=90°或/耳6尸=901

当尸片_1_片8时,/居与尸=90°,有2种情况,

同理,当片工,也有2种情况.共有4个不同的点,使得月鸟尸为直角三角形,故选项C错误.

对于D,要使得,耳鸟尸为等腰三角形,

则|「耳卜IPF2\或|尸耳卜耳剧或附i1=1耳图.

根据对称性易知,以上每一种情况都有2种等腰三角形,故共有6个等腰三角形,故D错误.

故选:A

22

3、(2022•山东淄博•高三期末)已知椭圆C*+}=l(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,直线BF与C

相交于另一点4点A在x轴上的射影为4,O为坐标原点,若BO=2AA,则C的离心率为()

A.BB.|C.

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论