特殊角三角函数值及其应用（5大题型）-2024-2025学年北师大版九年级数学下册同步训练（含答案）

第03讲特殊角三角函数值及其应用

01学习目标

课程标准学习目标

1.能够进行30。，45°,60。角的三角函数值

的计算利用30。，45。,60。角的正切值、正弦

值、余弦值解决问题；

知道30°,45°,60。角的三角函数值.会使

2.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及

用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由

由三角函数值求相应的锐角的过程，能够运

已知三角函数值求它的对应锐角.

用计算器进行有关三角函数的计算；

3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算

的实际问题.

02思维导图

知识清单㊀知识点一：特殊角的三角函数值

/题型01已知三角函数值求角度

第03讲特殊角三角函数值1r题型02直翻用特殊角三角函数值的五十算

及箕应用/-----------------------------------------

、一题型精讲'［题型03利用计算器计算三角函数值

,"题型04利用特殊角三角函数值判忌角形形状

［题型05特殊角三角函数值的综■应用

03知识清单

知识点一：特殊角的三角函数值

30。、45。、60。角的各种三角函数值.

sin30°=v；cos30°=—；tan30°=—；

223

试卷第1页，共12页

5F）

sin45°=—；cos45°=—；tan45°=l；

22

1

sin60°=——；cos60°=—；tan60°=G；

22

【即学即练】

1.sin45。的值等于（）

1

A.1B.-C.—D.—

722

2.下列三角函数值是有理数的是（）

A.sin60°B.cos60°C.tan60°D.cot60°

3.sin60。的值等于（）

1V2

A.-B.—C.口D.1

222

4.下列四个数中，最小的数是（）

A.-V2B.兀C.0D.-tan60°

5.cos45°的值等于________.

6.计算：卜6+&]+（7i+2）°+tan45°.

题型精讲

MBA

题型01已知三角函数值求角度

例:

7.在A/BC中，ZC=90°,tanA=y/3,那么cosB等于（）

A.V3B.立C.yD.交

222

A

8.在△ABC中，ZC=90°,sinA=—,则cosB的值是（）

2

D,也

A.1B.yC.—

222

9.已知a为锐角，且sin（々-10。）=[,则a等于.

1A

10.在中，ZC=90°,cos^=—,则cos—=

22

题型02直接利用特殊角三角函数值进行计算

例:

试卷第2页，共12页

11.计算

(l)6tan230°+V3sin60o-V2sin45°；

⑵V12+(1)-1-(7t-5)°-4sin60°

12.计算：

(l)(V3)2-7r°+V3cos30°；

⑵已]-V4tan45°+|-5|.

13.计算：V8-2sin450+2cos600+11-VI|-cos230°-tan45°.

14.先化简，再求值：fl-一—Kfl~~4^+4,其中a=sin6(T+2tan45。.

1a-\)a-1

15.(1)计算：2cos2450-6sin600+3tan450+4cos30°;

(2)计算：3tan30。一(一£|+/142。+9)+J(l—tan60。)?.

16.求下列各式的值

⑴4sin30。-&cos45。-6tan30。+2sin60°

(2)3tan30°------+瓜os45。+^(1-tan600)2

⑶[J+4sin60°-|-2@+(2024-万)。

(4)——sin450+sin2600-V2cos45°

2

题型03利用计算器计算三角函数值

例：

17.如图，在△/吕。中，/。=90。,/5=42。,5。=8,若用科学计算器求/C的长，则下列

按键顺序正确的是()

A

-H[3SHHEB.叵|w叵]回回|目

试卷第3页，共12页

c-HH®HLUE]D-HHHHHH

18.某款科学计算器，依次按键：4而匚CUoDZltZ]，显示的结果在哪两个相邻整数之

间（）

A.2〜3B.3〜4C.4〜5D.5〜6

19.如图，在△45。中，ZACB=90。,/ABC=26。，BC=5.若用科学计算器求边ZC的

长，则下列按键顺序正确的是（）

Ch----------------

A.-5~\p-1\tan\fT]fT]B.||[S][T]|6||[=~

C.SE画口村三D.司门国后用臼

20.如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（）

A.田|臼匚按键的结果为0.064

⑹叩按键的结果为0.5

c国同日回R]国三按键的结果为-4

口•歹©Fiin⑸m按键的结果为0.3

21.若tan/=0.1890,利用科学计算器计算//的度数，下列按键顺序正确的是（）

A.[iHdFiraronnmMMroiFi

B.[an⑹EnniTirnm嗣Fi

c.roiMnnMr9iroiw[2RdF]Fi

D.MroinnnnrsiMronrMFiR

22.用计算器计算：sin35°*_,335。44'27'_（精确到。。1）.

题型04利用特殊角三角函数值判定三角形形状

例：

23.如果△4BC中，sirvl=cos5=—,则下列结论正确的是（）

2

A.△4BC是等边三角形B.△4BC是钝角三角形

试卷第4页，共12页

C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形

24.在△ABC中，若sinB-；+（tanN-道了=0,则△ABC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

25.在△4BC中，若（2cosN-行『+R_tan却=0,则么△/8C一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

26.在△4BC中，NC都是锐角，且sin/=cos（90。-。）=事，则△/BC的形状是

（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形

百2

27.在△/BC中，若sin/-《-+（tanB—1）=0,则/C的度数为.

28.在△48。中，若cos/-*+（1-tan2『=0,都是锐角，则△4BC是

三角形.

题型05特殊角三角函数值的综合应用

例：

29.爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬hn耗能（1.025-cosa）J,若某人爬了1000m,该

坡角为30。，则他耗能（）（参考数据：V3-1.732,夜土1.414）

A.116JB.159JC.1025JD.1732J

30.已知cosa<0.5,那么锐角a的取值范围是（）

A.60。<a<90。B.00<a<60°C.30°<a<90°D.0°<a<30。

31.如图所示，已知在三角形纸片中，BC=3,AB=6,ZBCA=90°,在4C上取一

点£,沿BE进行翻折，使A与5C延长线上的点。重合，则DE的长度为（）

试卷第5页，共12页

B

Dv

A.6B.3C.273D.3

32.如图，在平面直角坐标系中，点尸在反比例函数y=g（x>0）的图象上，点2在x

轴上，且尸8,尸/交y轴于点C,AO=BO=BP.若A/BP的面积是2,则人的值是

33.如图，在平面直角坐标系中，△0/5三个顶点的坐标分别为。（0,0）,/（26,0）,

5（V3,1）,△048与AOCB关于直线08对称，反比例函数y=g（左>0,x>0）的图象经

过5c的中点D,则左的值为.

34.如图，△N3C的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则cos/的值为.

试卷第6页，共12页

35.如图，在矩形ABCD中，E是DC上一点，AE=AB,AB=2AD,则ZEBC的度数是.

(1)若taiL4=6，则44=

(2)若2sith4=l,贝lJ//=；

(3)若tan(N/+15。)，贝I]44=.

37.(1)V2(2cos450-sin60°)+^p；

(2)(-2)°-3tan30°+|tan60°-2|.

(3)如图所示，在四边形48a)中，AD1AB,CDIBC,ZADC=120°,BC=14,

AD=3,求。C的长.

38.综合与实践

主题：用折纸折出特殊角

素材：一张矩形纸片.

步骤1：如图1,对折矩形纸片使与C£＞重合，得到折痕£尸，把纸片展平;

步骤2：如图2,再一次折叠纸片，使点。落在访上的点。处，折痕为NG.

试卷第7页，共12页

（1）直接写出NCMG的度数；

⑵证明（1）中你发现的结论.

强化训练

（建议用时45分钟）

39.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点&的坐标为（4,0）,连接N3,

将线段48绕点3顺时针旋转60。得到线段C2,连接。C,则线段OC的长为（）

「4历D-

X--•-------

3

40.如图，在A/BC中，以点8为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两

点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点。，作射线50,8。与

/C交于点E；分别以瓦。为圆心，以大于g的长为半爸作弧，两弧交于点P,。，连接

尸。，尸。与交于点尸，连接防.若AB=BC,BE=4C=4,则以下结论错误的是（）

试卷第8页，共12页

S1

A.S&ABC=8B.NN=60°C.资织=3D.△口?尸的周长为

》"BE，

26+2

41.题目“在△ABC中，N8=30。，AB=2,AC=空,求/C的度数.”对于其答案，甲

3

答：ZC=60°,乙答：ZC=90°,丙答：/C=60。或/C=120。，则正确的是（）

A.只有甲答的对B.只有乙答的对

C.只有丙答的对D.乙、丙合在一起才完整

42.在综合实践活动课上，老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动.如图，下面是

小星的操作步骤：第一步：将正方形纸片/BCD对折，使得N3与C。重合，展开铺平，折

痕为MN.第二步：将正方形纸片再沿过点8的直线折叠，使点C落在MN上的点E

处，展开铺平，折痕B尸与交于点G,连接CG,则提的值为.

43.如图1,这是一款升降电脑桌，它的升降范围是0〜40cm,图2是它的示意图，已知

EF〃MN,点、X、B在MN上滑动，点。、C在E尸上滑动，AC.AD相交于点

OA=OB=OC=OD=30cm.（结果精确到0.1）

图1图2图3

（1）如图2,当NO/8从0。增加到30。时，这款电脑桌升高了多少cm?

（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求/。48的大小及点A滑动的距离.（参

考数据：6。1.73,sin42.1°«0.67,cos42.1。合0.74,sin47.9°»0.74,cos47.9°~0.67）

44.如图，在口48。。中，AC=BC,M,N分别是“瓦⑺的中点.

试卷第9页，共12页

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若tan8=若，BC=2,求口/BC。的面积.

45.如图，△/BC中，BD平分/ABC,E为BC上一点、,ZBDE=ZBAD=90°,

B

(1)求证：BD2=BA-BE；

(2)求证：XCDEsXCBD；

(3)若/8=6,BE=8,求CE的长.

(1)试判断四边形/BCD的形状，并说明理由；

(2)己知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形/BCD的面积为8cm2,

求此时直线/£＞、CD所夹锐角/I的度数.

47.如图，在平面直角坐标系中，直线/分别交x轴y轴于4,3两点，点/的坐标为(1,0),

试卷第10页，共12页

(1)求直线/的解析式及点C的坐标；

⑵点。是直线8C上一点，当△4BD的面积为3时，求点。的坐标；

⑶点尸是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点。，使以B,P,。为顶点的四边形是

菱形？若存在，求出。点的坐标；若不存在，说明理由.

48.ZUBC中，ZABC=45°,BC=42AB.

(1)如图1,求证：/A4c=90。；

(2)如图2,点D位置如图所示，ZBDC=9Q°,连接力D,求证：BD-CD=42AD;

(3)如图3,在(2)的条件下，点E在上，连接。E,NDEC=/DCA+2NCAD,若

40=4后，CE=M,求4B的长.

49.【问题发现】

(1)在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1所示，^ABC是等腰直角三角形，

AB=AC,/A4c=90。，点。在上，连接4D,探究2D,BD,CD之间的数量关系.”

王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下：

图示思路

将线段绕点/逆时针旋转90。得线段

AE,连接CE,DE,易证“3。丝A/C£,

得到3D=CE,ZABD=ZACE=45°,

在Rt^DCE中，易得

BDBD

王林解析图CD1+CE2=DE2,由DE=y^AD，得

AD,BD,CD之间的数量关系为

【类比分析】

(2)如图2所示，当点。在线段8C的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请给出

判定，并写出你的推导过程；

试卷第11页，共12页

【拓展延伸】

(3)若(1)中的点。在射线CB上，且CD=取£>,请直接写出//DC的度数.

试卷第12页，共12页

1.c

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可.

【详解】解：如图，Rt4/BC中，AB=AC,NB=90°,则乙4=NC=45。，AC=6AB,

ABAB夜

・••sinC=sin45°

AC41AB~2

故选：C.

2.B

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数.熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数

是解题的关键.分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可.

【详解】解：由题意知，A中sin6(r=立，是无理数，故不符合要求；

2

B中8560。=(,是有理数，故符合要求；

C中tan60o=VL是无理数，故不符合要求；

D中cot6(T=",是无理数，故不符合要求；

3

故选：B.

3.C

【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据特殊角三

角函数值，可得答案.

【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=^.

2

故选：C.

4.D

【分析】本题考查了实数的比较大小，特殊角的三角函数值，解题的关键是两个负数比较大

小，绝对值大的反而小.

根据正数大于0,负数小于0,正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小来进

行比较即可.

答案第1页，共34页

【详解】解：-tan6(T=-G

■'-7T>0>-V2>-tan60°，

故选：D.

【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见角的三角函数值成为解题的关键.

直接根据特殊角的三角函数值即可解答.

【详解】解：cos45°=也.

2

故答案为：乌.

2

6.V3+4

【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值，负整数指数累，零指数累，特殊角的三角

函数值即可得出答案

【详解】原式=6+2+1+1=石+4

7.B

【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出//的度数，根据直

角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解.

【详解】解：,；tarM=G，

：.AA=60°.

•••ZC=90°,

.•.Z5=90°-60o=30°,

,R_V3

2

故选B.

8.D

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三

角函数值.

根据特殊角的三角函数求出ZA=60°,然后利用三角形内角和定理求出

ZB=180°-ZA-ZC=30°,然后利用30。角的余弦值求解即可.

答案第2页，共34页

【详解】解：在ZUBC中，ZC=90°,sin^^—,

2

ZA=60°f

ZB=180°-ZA-ZC=30°f

,6

,,COS-D——•

2

故选：D.

9.55°##55度

【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据sin45o=交求解即可.

2

【详解】sin(cr-10°)=^-,sin45°=^-,

.*.cr-10°=45°,

解得a=55。，

故答案为：55°.

10.—

2

1A

【分析】本题考查特殊三角函数值，利用COS"=—求出乙4=60。，贝Ijcos工=cos30。即可求

22

解.

【详解】解：在RtZX/BC中，ZC=90°,cos^=1,

ZA=60°,

.AV3

…cos—=cos30=——,

22

故答案为：旦.

2

5

11.(1)-；

(2)2.

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合混合运算，熟记特殊角的三角函数值

是解答本题的关键.

(1)代入特殊角的三角函数值计算即可.

(2)根据零指数哥，整数指数哥的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可.

【详解】(1)解：6tan230°+V3sin60°-A/2sin45°

答案第3页，共34页

=6x1也T+gx也一行x也，

I3J22

,I3

=6x—i---11,

32

=2+--l

2

_5

二5；

(2)解：V12+(1)-'-(7i-5)°-4sin60°

=2A/3+V-1-4X—

£2，

3

=26+3-1-25

=2.

⑵(D-7

(2)7

【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的实数的运算，正确化简计算每一项是解题的关

键.

(1)根据二次根式的性质和零指数累和特殊角的三角函数值化简，再进行加减计算；

(2)分别化简计算负整数指数哥、特殊角的三角函数值和化简绝对值，再进行加减计算即

可.

【详解】(1)解：(A/3)2-7I0+V3COS30°

=3-l+V3x—

2

=2+之

2

_7

=5；

(2)解：(gj-V4tan45°+|-5|

=4-2xl+5

=7.

13.2V2--

4

答案第4页，共34页

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值

是解答本题的关键.先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再

算加减即可.

【详解】解：V8-2sin450+2cos600+11-V2|-cos230°-tan45°

=2收一2x曰+2xg-l+0一仁)xl

=2A/2-V2+l-l+V2--

4

=2A/2--.

4

【分析】本题考查了分式的化简求值，三角函数的混合运算，先利用分式的性质和运算法则

对分式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出。的值，最后代入化简后的结果中计算即

可求解，正确化简分式和求出«的值是解题的关键.

CL—2CL—1

【详解】解：原式=----X-----7T

(。-2)

1

ci—2

•■•(z=sin60o+2tan45°=—+2xl=^+2,

22

12G

」♦原式V3??3•

----------rZ-Z

2

15.(1)4-V3；(2)25/3+8

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果;

(2)根据特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数累以及负整数指数暴即可得出计算

结果.

【详解】解：(1)原式=2x-6xF3x1+4x—

222

=1-3e+3+2百

=4-V3;

答案第5页，共34页

(2)原式=3x*一(一8)+1+卜一画

=73+8+1+73-1

=273+8.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数累，负整数指数募，二次根式的

混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键.

16.(1)73

(2)273-1

⑶-1

(4)；

【分析】此题考查了实数的运算；

(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

(3)根据负整数指数累，零指数暴，特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

(4)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【详解】(1)解：原式=4x」一行x正一gx3+2x立

2232

=2-1-1+73

=6

(2)解：原式=3x*_++2e+6-1

2

=6-2+2+百-1

=273-1

(3)解：原式=-2+4x巫-26+1

2

=-2+2A/3-2A/3+1

=-1

(4)角牛：原式=—^―x—^―+—^―I—，2x—^―

答案第6页，共34页

~4

17.D

【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到

ZC=3C・tanB=BCtan42。，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可.

【详解】解：•.•/。=90。,/5=42。,5。=8,

.-.^C=5C-tan5=5C-tan42°,

.•用科学计算器求4c的长的按键顺序为：

HH@H[3日

故选D.

18.B

【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值，根据计算器计算出的结果即可得出答案.

【详解】解:使用计算器计算得:4sin60°»3.464101615,

・•・显示的结果在3〜4之间，

故选：B.

19.D

【分析】本题考查正切函数值求边长，涉及计算器的使用，根据题意，得到

/C=5xtan26。，借助科学计算器求解即可得到答案，熟记正切函数值求边长的方法及科学

计算器的使用是解决问题的关键.

Ar

【详解】解：在△/BC中，ZACB=90°,ZABC=26°,BC=5,贝｝|tan26°=—,

BC

边ZC的长为BC•tan26°=5xtan26°,

若用科学计算器求边/c的长，则按键顺序正确S0丽E囚尸，

故选：D.

20.C

【分析】本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个

按键的含义.

根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可.

【详解】

答案第7页，共34页

解：A、可卬句⑶匚按键的结果为04=0.064,正确，故此选项不符合题意；

B、|COS|H[6]0按键的结果为cos6（T=；=0.5,正确，故此选项不符合题意；

C、|（一）I⑷[11]国|T|日按键的结果为—4.5+5=_0.9,原计算结果错误，故

此选项符合题意；

D、F|[¥A[¥][¥]—按键的结果为VW=0.3,正确，故此选项不符合题

-zfe.

忌；

故选：C.

21.A

【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键；

首先找到的按键符号，即2ndf键，然后根据2ndf键的使用方法，结合题目，即可得出

答案.

【详解】在计算器中按下Q1890,然后找至Uta^的按键符号，即2ndf键

按下2ndf键，再按tan键，A项符合题意

故选：A.

22.0.570.81

【分析】利用计算器计算，再依据近似数确定结果即可得.本题要求同学们能熟练应用计算

器，熟悉计算器的各个按键的功能.

【详解】解：sin35°®0.57,cos35°44'27"»0.81,

故答案为：0.57,0.81.

23.C

【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此

题的关键.

根据特殊角的三角函数值，直接得出的角度即可解答.

历

【详解】M：vsiih4=cos5=——,

2

，/4=/8=45°,

：.A4BC是等腰直角三角形.

故选C.

24.D

答案第8页，共34页

【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，

先由非负数的性质得出sinB-；=O,tan/-6=0,根据三角函数求得N2的度数,

然后根据三角形内角和定理，求得NC的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关

键是熟记特殊角的三角函数值.

【详解】sin5-1+(tan^-V3)2=0,

sinB——=0,tanA—6=0,

.♦.sin8=；,tan/=6,

.•.//=60°,4=30°,

/C=180。--4=180°-60。-30。=90°,

△NSC是直角三角形，

故选：D.

25.D

【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得

/、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案.

本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

【详解】解：：(2cos/-拒)+|l-tan5|=0

•••2cos^-V2=0，l-tan5=0

0

/.cosA=——,tanB=1

2

ZA=45°f25=45。

ZC=180°-Z^-ZS=90°.

△48C一定是等腰直角三角形，

故选：D.

26.D

【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类.熟练掌握特殊角三角函数

是解题的关键.

由特殊角三角函数值计算出//和/C的角度来即可确定.

【详解】解：••・sin4=cos(90O-C)=*,

答案第9页，共34页

，//=45°,90°-ZC=45°,

即N4=45°,ZC=45°,

ZB=90°,

即△NBC为直角三角形，

故选：D.

27.75°

【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性.

根据题意得出sin/-］-=0,(tan3-1)=0,进而得出乙4=60。,48=45。，根据三角形的内

角和定理，即可解答.

［详解］解：・・・sin4_¥+(tan5_l)2:0,

sinA-=0,(tan8一=o,

则sin4=——,tanB=l，

2

・•・NZ=60。"=45。，

.\ZC=180°-60°-45°=75°,

故答案为：75°.

28.等腰直角

【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟

记特殊角的三角函数值.

根据绝对值和平方的非负性可得，cos/-克=0,1-tan5=0,求得/B,即可求解.

2

Jy2

【详解】解：由cos/---+(l-tan5)'=0可得

V2

cosA------=0,1-tanB=0,

2

即cosA=,tanB=1,

2

解得：ZA=45°fAB=45°,则/C=90。，

•・•△/HC为等腰直角三角形，

答案第10页，共34页

故答案为：等腰直角.

29.B

【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键.根据特殊角三

角函数值计算求解.

【详解】解：1000(1.025-cosa)=1000(l.025-cos30°)

=1025-500A/3~1025-500x1.732=159，

故选：B.

30.A

【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意:当角是锐角时,

其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解

即可；

【详解】解：Ya是锐角，

cosa>0,

,/cos60°=0.5,cos90°=0,0<cosa<0.5f

60°<a<90°,

故选：A；

31.C

【分析】易得//=30。，/ABC=60°,根据轴对称的性质可得/CBE=/。=30。，在RLBCE

和Rt&DCE中运用三角函数求解即可.

【详解】解：・・・/BC4=90。，BC=3,AB=6,

.BC3\

smAA=----=—=一,

AB62

ZA=30°fZABC=60°,

根据轴对称的性质可知：

ZCBE=AABE=-ZABC=-x60°=30°,

22

ZD=ZA=30°f

:.CE=BC•tan/CBE=BC=3xJ=6,

3

•・・/。=30。，

DE=ICE=2x百=2百，

答案第11页，共34页

故选：c.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，含30。角的直角三角形，特殊

角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

32.C

【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面

积是解题关键.连接OP,作轴于D,根据三角形中线平分面积求出三角形尸的

面积，再求证出三角形尸08是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出无即可.

【详解】解：连接。尸，作轴于。，

的面积是2,AO=BO,

■：PA1PB,AO=BO=BP,

smAPAB=

2

•••sin30°=-,

2

NPAB=30°,

ZPBA=90°-30°=60°,

:.APOB为等边三角形,

.-.OD=BD=-OB,

2

.&=底_1

…°APOD_2D^POB_2'

•，M•_1—，

22

，左=±1,

•・•反比例函数的图象位于第一象限,

.'.k=\.

故选：C.

答案第12页，共34页

33.2A/3

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确

定.过点2作轴，根据题意得出38=1,0H=43,再由特殊角的三角函数及等腰

三角形的判定和性质得出08=48=2,/B0A=/BAO=30。,利用各角之间的关系

NOBC+N0BH=180°,确定H,B,。三点共线，结合图形确定。（道,2）,然后代入反比

例函数解析式即可.

【详解】解：如图，过点2作8。，无轴，

片

\C

0(0,0),4(2百,0),5(73,1),

/

or~H~~A-A

BH=\,OH=6

■■■AH=OH=y[?>,tanNBOA=%=叵

OH3

OB=AB=ylOH2+BH2=2，ZBOA=/BAO=3。。,

NOBH=NABH=60。,ZOBA=nO°,

•••AOAB与△OCB关于直线OB对称，

二.NO8C=120。，CB=AB=2,

丁./OBC+/OBHH80。,

C,B,〃三点共线，

•・•CD=BD,

BD=1,

DH=2,

■■0(6,2),

将其代入V=£得：左=26,

X

故答案为：2班.

答案第13页，共34页

34.拽##2方

55

【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等

面积法求值点c至!MB的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可

求解.

【详解】解：如图所示，过点c作与点。，

.­.S△,„c=—2BC'hA,=—2AB'CD,

AB3^/2

在Rt"CD中，AC=A/12+32=V10，

•••AD=4AC1-CD2=J（师?_（匈2=2亚

,AD2V22A/5

•••cosA=-----=,——=-------

ACV105

故答案为：巫.

5

35.15。##15度

AF）1

【分析】首先根据题意得到cos/DZ£=竽=求出/DZE=60。，然后根据三角形内角

AE2

和定理和等边对等角求解即可.

【详解】vAE=AB,AB=2AD

・••AE=2AD

・・•四边形458是矩形

・•・/£）=90。

••・/BAD=/ABC=ZD=90°

答案第14页，共34页

•・•cosNDAE="]_

AE2

ZDAE=60°

；・NBAE=30。

•••AE=AB

ZABE=ZAEB=1(180°-NBAE)=75°

ZEBC=NABC-ZABE=15°.

故答案为：15。.

【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解

题的关键是掌握以上知识点.

36.60°##60度30。##30度30°##30度

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.

(1)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；

(2)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；

(3)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【详解】解：(1),.,tanZ=百，tan60°=V3,//为锐角，

.\ZA=60°；

(2)2sin24=1,

.”1

1.sinZ=一,

2

•••sin30°=1,//为锐角，

N4=30°；

(3)♦.•tan(N/+15°)=l,tan45°=l,NN为锐角,

:.ZA+15°=45°,

ZA=30°.

故答案为：(1)60°；(2)30°；(3)30°.

37.(1)2+—(2)3-2君(3)1473-6

6

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可;

(2)根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可；

答案第15页，共34页

（3）延长A4,CD交于点E,根据四边形内角和得出28=360。-90。-90。-120。=60。，根

据含30。角的直角三角形性质得出8E=28C=28,OE=2/。=6,根据勾股定理求出

CE=^BE2-BC2=7282-142=1473>最后求出结果即可.

【详解】解：（1）后（2cos45。-sin60。）+浮

=y/2x

=V2x

、V62>/6

23

=2+"

6

(2)(-2)°-3tan30o+|tan600-2|

=l-3x

=l-V3+2-V3

=3-2A/3.

（3）解：如图,延长及I,CD交于点E,

在四边形48cz>中，AD±AB,CD_LBC,

；.NBAD=NC=9Q°,

ZADC=120°,

答案第16页，共34页

AB=360°-90°-90°-120°=60°,

Z5£C=90°-ZS=30°,

■.■BC=14,AD=3,

BE=2BC=28,DE=2AD=6,

•••CE=^BE1-BC1=4282-142=1473>

:.CD=CE—DE=\M-6.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式混

合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键.

38.（1）30°；

⑵ND/G=30。，证明见解析.

【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数.

（1）根据题意写出答案即可；

（2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可.

【详解】（1）解：由题意可得，ND4G=30。；

（2）解:证明：由折叠的性质可知，

AE^DE=-AD=-AD',ZAEF=NDEF=90°,/DAG=NGAD'=-ZEAD'

222

•/s，厂AEAE1

sinNADE=------=------=—

ADfAD2

・••乙4D'E=30。,

NEAD=