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文档简介
第03讲特殊角三角函数值及其应用
01学习目标
课程标准学习目标
1.能够进行30。,45°,60。角的三角函数值
的计算利用30。,45。,60。角的正切值、正弦
值、余弦值解决问题;
知道30°,45°,60。角的三角函数值.会使
2.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及
用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由
由三角函数值求相应的锐角的过程,能够运
已知三角函数值求它的对应锐角.
用计算器进行有关三角函数的计算;
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算
的实际问题.
02思维导图
知识清单㊀知识点一:特殊角的三角函数值
/题型01已知三角函数值求角度
第03讲特殊角三角函数值1r题型02直翻用特殊角三角函数值的五十算
及箕应用/-----------------------------------------
、一题型精讲'[题型03利用计算器计算三角函数值
,"题型04利用特殊角三角函数值判忌角形形状
[题型05特殊角三角函数值的综■应用
03知识清单
知识点一:特殊角的三角函数值
30。、45。、60。角的各种三角函数值.
sin30°=v;cos30°=—;tan30°=—;
223
试卷第1页,共12页
5F)
sin45°=—;cos45°=—;tan45°=l;
22
1
sin60°=——;cos60°=—;tan60°=G;
22
【即学即练】
1.sin45。的值等于()
1
A.1B.-C.—D.—
722
2.下列三角函数值是有理数的是()
A.sin60°B.cos60°C.tan60°D.cot60°
3.sin60。的值等于()
1V2
A.-B.—C.口D.1
222
4.下列四个数中,最小的数是()
A.-V2B.兀C.0D.-tan60°
5.cos45°的值等于________.
6.计算:卜6+&]+(7i+2)°+tan45°.
题型精讲
MBA
题型01已知三角函数值求角度
例:
7.在A/BC中,ZC=90°,tanA=y/3,那么cosB等于()
A.V3B.立C.yD.交
222
A
8.在△ABC中,ZC=90°,sinA=—,则cosB的值是()
2
D,也
A.1B.yC.—
222
9.已知a为锐角,且sin(々-10。)=[,则a等于.
1A
10.在中,ZC=90°,cos^=—,则cos—=
22
题型02直接利用特殊角三角函数值进行计算
例:
试卷第2页,共12页
11.计算
(l)6tan230°+V3sin60o-V2sin45°;
⑵V12+(1)-1-(7t-5)°-4sin60°
12.计算:
(l)(V3)2-7r°+V3cos30°;
⑵已]-V4tan45°+|-5|.
13.计算:V8-2sin450+2cos600+11-VI|-cos230°-tan45°.
14.先化简,再求值:fl-一—Kfl~~4^+4,其中a=sin6(T+2tan45。.
1a-\)a-1
15.(1)计算:2cos2450-6sin600+3tan450+4cos30°;
(2)计算:3tan30。一(一£|+/142。+9)+J(l—tan60。)?.
16.求下列各式的值
⑴4sin30。-&cos45。-6tan30。+2sin60°
(2)3tan30°------+瓜os45。+^(1-tan600)2
⑶[J+4sin60°-|-2@+(2024-万)。
(4)——sin450+sin2600-V2cos45°
2
题型03利用计算器计算三角函数值
例:
17.如图,在△/吕。中,/。=90。,/5=42。,5。=8,若用科学计算器求/C的长,则下列
按键顺序正确的是()
A
-H[3SHHEB.叵|w叵]回回|目
试卷第3页,共12页
c-HH®HLUE]D-HHHHHH
18.某款科学计算器,依次按键:4而匚CUoDZltZ],显示的结果在哪两个相邻整数之
间()
A.2〜3B.3〜4C.4〜5D.5〜6
19.如图,在△45。中,ZACB=90。,/ABC=26。,BC=5.若用科学计算器求边ZC的
长,则下列按键顺序正确的是()
Ch----------------
A.-5~\p-1\tan\fT]fT]B.||[S][T]|6||[=~
C.SE画口村三D.司门国后用臼
20.如图,利用课本上的计算器讲行计算,其按键顺序及结果有错误的是()
A.田|臼匚按键的结果为0.064
⑹叩按键的结果为0.5
c国同日回R]国三按键的结果为-4
口•歹©Fiin⑸m按键的结果为0.3
21.若tan/=0.1890,利用科学计算器计算//的度数,下列按键顺序正确的是()
A.[iHdFiraronnmMMroiFi
B.[an⑹EnniTirnm嗣Fi
c.roiMnnMr9iroiw[2RdF]Fi
D.MroinnnnrsiMronrMFiR
22.用计算器计算:sin35°*_,335。44'27'_(精确到。。1).
题型04利用特殊角三角函数值判定三角形形状
例:
23.如果△4BC中,sirvl=cos5=—,则下列结论正确的是()
2
A.△4BC是等边三角形B.△4BC是钝角三角形
试卷第4页,共12页
C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形
24.在△ABC中,若sinB-;+(tanN-道了=0,则△ABC是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形
25.在△4BC中,若(2cosN-行『+R_tan却=0,则么△/8C一定是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
26.在△4BC中,NC都是锐角,且sin/=cos(90。-。)=事,则△/BC的形状是
()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形
百2
27.在△/BC中,若sin/-《-+(tanB—1)=0,则/C的度数为.
28.在△48。中,若cos/-*+(1-tan2『=0,都是锐角,则△4BC是
三角形.
题型05特殊角三角函数值的综合应用
例:
29.爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬hn耗能(1.025-cosa)J,若某人爬了1000m,该
坡角为30。,则他耗能()(参考数据:V3-1.732,夜土1.414)
A.116JB.159JC.1025JD.1732J
30.已知cosa<0.5,那么锐角a的取值范围是()
A.60。<a<90。B.00<a<60°C.30°<a<90°D.0°<a<30。
31.如图所示,已知在三角形纸片中,BC=3,AB=6,ZBCA=90°,在4C上取一
点£,沿BE进行翻折,使A与5C延长线上的点。重合,则DE的长度为()
试卷第5页,共12页
B
Dv
A.6B.3C.273D.3
32.如图,在平面直角坐标系中,点尸在反比例函数y=g(x>0)的图象上,点2在x
轴上,且尸8,尸/交y轴于点C,AO=BO=BP.若A/BP的面积是2,则人的值是
33.如图,在平面直角坐标系中,△0/5三个顶点的坐标分别为。(0,0),/(26,0),
5(V3,1),△048与AOCB关于直线08对称,反比例函数y=g(左>0,x>0)的图象经
过5c的中点D,则左的值为.
34.如图,△N3C的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上,则cos/的值为.
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35.如图,在矩形ABCD中,E是DC上一点,AE=AB,AB=2AD,则ZEBC的度数是.
(1)若taiL4=6,则44=
(2)若2sith4=l,贝lJ//=;
(3)若tan(N/+15。),贝I]44=.
37.(1)V2(2cos450-sin60°)+^p;
(2)(-2)°-3tan30°+|tan60°-2|.
(3)如图所示,在四边形48a)中,AD1AB,CDIBC,ZADC=120°,BC=14,
AD=3,求。C的长.
38.综合与实践
主题:用折纸折出特殊角
素材:一张矩形纸片.
步骤1:如图1,对折矩形纸片使与C£>重合,得到折痕£尸,把纸片展平;
步骤2:如图2,再一次折叠纸片,使点。落在访上的点。处,折痕为NG.
试卷第7页,共12页
(1)直接写出NCMG的度数;
⑵证明(1)中你发现的结论.
强化训练
(建议用时45分钟)
39.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点&的坐标为(4,0),连接N3,
将线段48绕点3顺时针旋转60。得到线段C2,连接。C,则线段OC的长为()
「4历D-
X--•-------
3
40.如图,在A/BC中,以点8为圆心,以适当长为半径作弧,分别与交于两
点;分别以为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点。,作射线50,8。与
/C交于点E;分别以瓦。为圆心,以大于g的长为半爸作弧,两弧交于点P,。,连接
尸。,尸。与交于点尸,连接防.若AB=BC,BE=4C=4,则以下结论错误的是()
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S1
A.S&ABC=8B.NN=60°C.资织=3D.△口?尸的周长为
》"BE,
26+2
41.题目“在△ABC中,N8=30。,AB=2,AC=空,求/C的度数.”对于其答案,甲
3
答:ZC=60°,乙答:ZC=90°,丙答:/C=60。或/C=120。,则正确的是()
A.只有甲答的对B.只有乙答的对
C.只有丙答的对D.乙、丙合在一起才完整
42.在综合实践活动课上,老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动.如图,下面是
小星的操作步骤:第一步:将正方形纸片/BCD对折,使得N3与C。重合,展开铺平,折
痕为MN.第二步:将正方形纸片再沿过点8的直线折叠,使点C落在MN上的点E
处,展开铺平,折痕B尸与交于点G,连接CG,则提的值为.
43.如图1,这是一款升降电脑桌,它的升降范围是0〜40cm,图2是它的示意图,已知
EF〃MN,点、X、B在MN上滑动,点。、C在E尸上滑动,AC.AD相交于点
OA=OB=OC=OD=30cm.(结果精确到0.1)
图1图2图3
(1)如图2,当NO/8从0。增加到30。时,这款电脑桌升高了多少cm?
(2)当电脑桌从图2位置升到最大高度(如图3)时,求/。48的大小及点A滑动的距离.(参
考数据:6。1.73,sin42.1°«0.67,cos42.1。合0.74,sin47.9°»0.74,cos47.9°~0.67)
44.如图,在口48。。中,AC=BC,M,N分别是“瓦⑺的中点.
试卷第9页,共12页
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若tan8=若,BC=2,求口/BC。的面积.
45.如图,△/BC中,BD平分/ABC,E为BC上一点、,ZBDE=ZBAD=90°,
B
(1)求证:BD2=BA-BE;
(2)求证:XCDEsXCBD;
(3)若/8=6,BE=8,求CE的长.
(1)试判断四边形/BCD的形状,并说明理由;
(2)己知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时,四边形/BCD的面积为8cm2,
求此时直线/£>、CD所夹锐角/I的度数.
47.如图,在平面直角坐标系中,直线/分别交x轴y轴于4,3两点,点/的坐标为(1,0),
试卷第10页,共12页
(1)求直线/的解析式及点C的坐标;
⑵点。是直线8C上一点,当△4BD的面积为3时,求点。的坐标;
⑶点尸是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点。,使以B,P,。为顶点的四边形是
菱形?若存在,求出。点的坐标;若不存在,说明理由.
48.ZUBC中,ZABC=45°,BC=42AB.
(1)如图1,求证:/A4c=90。;
(2)如图2,点D位置如图所示,ZBDC=9Q°,连接力D,求证:BD-CD=42AD;
(3)如图3,在(2)的条件下,点E在上,连接。E,NDEC=/DCA+2NCAD,若
40=4后,CE=M,求4B的长.
49.【问题发现】
(1)在数学活动课上,赵老师给出如下问题:“如图1所示,^ABC是等腰直角三角形,
AB=AC,/A4c=90。,点。在上,连接4D,探究2D,BD,CD之间的数量关系.”
王林思考片刻之后,利用手拉手模型解答问题如下:
图示思路
将线段绕点/逆时针旋转90。得线段
AE,连接CE,DE,易证“3。丝A/C£,
得到3D=CE,ZABD=ZACE=45°,
在Rt^DCE中,易得
BDBD
王林解析图CD1+CE2=DE2,由DE=y^AD,得
AD,BD,CD之间的数量关系为
【类比分析】
(2)如图2所示,当点。在线段8C的延长线上时,请问(1)中的结论还成立吗?请给出
判定,并写出你的推导过程;
试卷第11页,共12页
【拓展延伸】
(3)若(1)中的点。在射线CB上,且CD=取£>,请直接写出//DC的度数.
试卷第12页,共12页
1.c
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,根据特殊角构造直角三角形计算即可.
【详解】解:如图,Rt4/BC中,AB=AC,NB=90°,则乙4=NC=45。,AC=6AB,
ABAB夜
・••sinC=sin45°
AC41AB~2
故选:C.
2.B
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,有理数.熟练掌握特殊角的三角函数值,有理数
是解题的关键.分别求出各选项中特殊角的三角函数值,然后进行判断即可.
【详解】解:由题意知,A中sin6(r=立,是无理数,故不符合要求;
2
B中8560。=(,是有理数,故符合要求;
C中tan60o=VL是无理数,故不符合要求;
D中cot6(T=",是无理数,故不符合要求;
3
故选:B.
3.C
【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据特殊角三
角函数值,可得答案.
【详解】解:根据特殊角的三角函数值可知:sin60°=^.
2
故选:C.
4.D
【分析】本题考查了实数的比较大小,特殊角的三角函数值,解题的关键是两个负数比较大
小,绝对值大的反而小.
根据正数大于0,负数小于0,正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小来进
行比较即可.
答案第1页,共34页
【详解】解:-tan6(T=-G
■'-7T>0>-V2>-tan60°,
故选:D.
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值,牢记常见角的三角函数值成为解题的关键.
直接根据特殊角的三角函数值即可解答.
【详解】解:cos45°=也.
2
故答案为:乌.
2
6.V3+4
【分析】本题考查实数的混合运算,根据绝对值,负整数指数累,零指数累,特殊角的三角
函数值即可得出答案
【详解】原式=6+2+1+1=石+4
7.B
【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值,先根据正切值求出//的度数,根据直
角三角形的性质得到的度数,再根据余弦的定义即可求解.
【详解】解:,;tarM=G,
:.AA=60°.
•••ZC=90°,
.•.Z5=90°-60o=30°,
,R_V3
2
故选B.
8.D
【分析】本题考查特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,解题的关键是熟记特殊角的三
角函数值.
根据特殊角的三角函数求出ZA=60°,然后利用三角形内角和定理求出
ZB=180°-ZA-ZC=30°,然后利用30。角的余弦值求解即可.
答案第2页,共34页
【详解】解:在ZUBC中,ZC=90°,sin^^—,
2
ZA=60°f
ZB=180°-ZA-ZC=30°f
,6
,,COS-D——•
2
故选:D.
9.55°##55度
【分析】本题考查特殊角度三角函数,根据sin45o=交求解即可.
2
【详解】sin(cr-10°)=^-,sin45°=^-,
.*.cr-10°=45°,
解得a=55。,
故答案为:55°.
10.—
2
1A
【分析】本题考查特殊三角函数值,利用COS"=—求出乙4=60。,贝Ijcos工=cos30。即可求
22
解.
【详解】解:在RtZX/BC中,ZC=90°,cos^=1,
ZA=60°,
.AV3
…cos—=cos30=——,
22
故答案为:旦.
2
5
11.(1)-;
(2)2.
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,实数的混合混合运算,熟记特殊角的三角函数值
是解答本题的关键.
(1)代入特殊角的三角函数值计算即可.
(2)根据零指数哥,整数指数哥的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可.
【详解】(1)解:6tan230°+V3sin60°-A/2sin45°
答案第3页,共34页
=6x1也T+gx也一行x也,
I3J22
,I3
=6x—i---11,
32
=2+--l
2
_5
二5;
(2)解:V12+(1)-'-(7i-5)°-4sin60°
=2A/3+V-1-4X—
£2,
3
=26+3-1-25
=2.
⑵(D-7
(2)7
【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的实数的运算,正确化简计算每一项是解题的关
键.
(1)根据二次根式的性质和零指数累和特殊角的三角函数值化简,再进行加减计算;
(2)分别化简计算负整数指数哥、特殊角的三角函数值和化简绝对值,再进行加减计算即
可.
【详解】(1)解:(A/3)2-7I0+V3COS30°
=3-l+V3x—
2
=2+之
2
_7
=5;
(2)解:(gj-V4tan45°+|-5|
=4-2xl+5
=7.
13.2V2--
4
答案第4页,共34页
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值
是解答本题的关键.先根据二次根式的性质,特殊角的三角函数值,绝对值的性质化简,再
算加减即可.
【详解】解:V8-2sin450+2cos600+11-V2|-cos230°-tan45°
=2收一2x曰+2xg-l+0一仁)xl
=2A/2-V2+l-l+V2--
4
=2A/2--.
4
【分析】本题考查了分式的化简求值,三角函数的混合运算,先利用分式的性质和运算法则
对分式进行化简,再根据特殊角的三角函数值求出。的值,最后代入化简后的结果中计算即
可求解,正确化简分式和求出«的值是解题的关键.
CL—2CL—1
【详解】解:原式=----X-----7T
(。-2)
1
ci—2
•■•(z=sin60o+2tan45°=—+2xl=^+2,
22
12G
」♦原式V3??3•
----------rZ-Z
2
15.(1)4-V3;(2)25/3+8
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值,即可得出计算结果;
(2)根据特殊角三角函数值,二次根式的性质,零指数累以及负整数指数暴即可得出计算
结果.
【详解】解:(1)原式=2x-6xF3x1+4x—
222
=1-3e+3+2百
=4-V3;
答案第5页,共34页
(2)原式=3x*一(一8)+1+卜一画
=73+8+1+73-1
=273+8.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算,零指数累,负整数指数募,二次根式的
混合运算等知识点,熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键.
16.(1)73
(2)273-1
⑶-1
(4);
【分析】此题考查了实数的运算;
(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(3)根据负整数指数累,零指数暴,特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
(4)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
【详解】(1)解:原式=4x」一行x正一gx3+2x立
2232
=2-1-1+73
=6
(2)解:原式=3x*_++2e+6-1
2
=6-2+2+百-1
=273-1
(3)解:原式=-2+4x巫-26+1
2
=-2+2A/3-2A/3+1
=-1
(4)角牛:原式=—^―x—^―+—^―I—,2x—^―
答案第6页,共34页
~4
17.D
【分析】本题考查解直角三角形,用计算器计算三角函数值,先解直角三角形得到
ZC=3C・tanB=BCtan42。,再根据科学计算器的计算方法,进行判断即可.
【详解】解:•.•/。=90。,/5=42。,5。=8,
.-.^C=5C-tan5=5C-tan42°,
.•用科学计算器求4c的长的按键顺序为:
HH@H[3日
故选D.
18.B
【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值,根据计算器计算出的结果即可得出答案.
【详解】解:使用计算器计算得:4sin60°»3.464101615,
・•・显示的结果在3〜4之间,
故选:B.
19.D
【分析】本题考查正切函数值求边长,涉及计算器的使用,根据题意,得到
/C=5xtan26。,借助科学计算器求解即可得到答案,熟记正切函数值求边长的方法及科学
计算器的使用是解决问题的关键.
Ar
【详解】解:在△/BC中,ZACB=90°,ZABC=26°,BC=5,贝}|tan26°=—,
BC
边ZC的长为BC•tan26°=5xtan26°,
若用科学计算器求边/c的长,则按键顺序正确S0丽E囚尸,
故选:D.
20.C
【分析】本题主要考查了科学计算器的使用,解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个
按键的含义.
根据计算器按键,写出式子,进行计算判定即可.
【详解】
答案第7页,共34页
解:A、可卬句⑶匚按键的结果为04=0.064,正确,故此选项不符合题意;
B、|COS|H[6]0按键的结果为cos6(T=;=0.5,正确,故此选项不符合题意;
C、|(一)I⑷[11]国|T|日按键的结果为—4.5+5=_0.9,原计算结果错误,故
此选项符合题意;
D、F|[¥A[¥][¥]—按键的结果为VW=0.3,正确,故此选项不符合题
-zfe.
忌;
故选:C.
21.A
【分析】本题考查了计算器的使用方法,牢记计算器的按键顺序是解题的关键;
首先找到的按键符号,即2ndf键,然后根据2ndf键的使用方法,结合题目,即可得出
答案.
【详解】在计算器中按下Q1890,然后找至Uta^的按键符号,即2ndf键
按下2ndf键,再按tan键,A项符合题意
故选:A.
22.0.570.81
【分析】利用计算器计算,再依据近似数确定结果即可得.本题要求同学们能熟练应用计算
器,熟悉计算器的各个按键的功能.
【详解】解:sin35°®0.57,cos35°44'27"»0.81,
故答案为:0.57,0.81.
23.C
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值,掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此
题的关键.
根据特殊角的三角函数值,直接得出的角度即可解答.
历
【详解】M:vsiih4=cos5=——,
2
,/4=/8=45°,
:.A4BC是等腰直角三角形.
故选C.
24.D
答案第8页,共34页
【分析】本题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理等知识点,
先由非负数的性质得出sinB-;=O,tan/-6=0,根据三角函数求得N2的度数,
然后根据三角形内角和定理,求得NC的度数,从而确定三角形的形状,解决此类题目的关
键是熟记特殊角的三角函数值.
【详解】sin5-1+(tan^-V3)2=0,
sinB——=0,tanA—6=0,
.♦.sin8=;,tan/=6,
.•.//=60°,4=30°,
/C=180。--4=180°-60。-30。=90°,
△NSC是直角三角形,
故选:D.
25.D
【分析】根据非负数的和为零,可得每个非负数同时为零,根据特殊角三角函数值,可得
/、B的值,根据直角三角形的判定,可得答案.
本题考查了特殊角三角函数值,直角三角形的判定,熟记特殊角三角函数值是解题关键.
【详解】解::(2cos/-拒)+|l-tan5|=0
•••2cos^-V2=0,l-tan5=0
0
/.cosA=——,tanB=1
2
ZA=45°f25=45。
ZC=180°-Z^-ZS=90°.
△48C一定是等腰直角三角形,
故选:D.
26.D
【分析】本题考查特殊角三角函数,三角形内角和,三角形分类.熟练掌握特殊角三角函数
是解题的关键.
由特殊角三角函数值计算出//和/C的角度来即可确定.
【详解】解:••・sin4=cos(90O-C)=*,
答案第9页,共34页
,//=45°,90°-ZC=45°,
即N4=45°,ZC=45°,
ZB=90°,
即△NBC为直角三角形,
故选:D.
27.75°
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题,绝对值和平方的非负性.
根据题意得出sin/-]-=0,(tan3-1)=0,进而得出乙4=60。,48=45。,根据三角形的内
角和定理,即可解答.
[详解]解:・・・sin4_¥+(tan5_l)2:0,
sinA-=0,(tan8一=o,
则sin4=——,tanB=l,
2
・•・NZ=60。"=45。,
.\ZC=180°-60°-45°=75°,
故答案为:75°.
28.等腰直角
【分析】此题考查了已知三角函数值求角,涉及了绝对值和平方的非负性,解题的关键是熟
记特殊角的三角函数值.
根据绝对值和平方的非负性可得,cos/-克=0,1-tan5=0,求得/B,即可求解.
2
Jy2
【详解】解:由cos/---+(l-tan5)'=0可得
V2
cosA------=0,1-tanB=0,
2
即cosA=,tanB=1,
2
解得:ZA=45°fAB=45°,则/C=90。,
•・•△/HC为等腰直角三角形,
答案第10页,共34页
故答案为:等腰直角.
29.B
【分析】本题考查特殊角三角函数值,掌握特殊角三角函数值是解题的关键.根据特殊角三
角函数值计算求解.
【详解】解:1000(1.025-cosa)=1000(l.025-cos30°)
=1025-500A/3~1025-500x1.732=159,
故选:B.
30.A
【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用,注意:当角是锐角时,
其正弦和正切随角度的增大而增大,余弦随角度的增大而减小;根据三角函数的增减性求解
即可;
【详解】解:Ya是锐角,
cosa>0,
,/cos60°=0.5,cos90°=0,0<cosa<0.5f
60°<a<90°,
故选:A;
31.C
【分析】易得//=30。,/ABC=60°,根据轴对称的性质可得/CBE=/。=30。,在RLBCE
和Rt&DCE中运用三角函数求解即可.
【详解】解:・・・/BC4=90。,BC=3,AB=6,
.BC3\
smAA=----=—=一,
AB62
ZA=30°fZABC=60°,
根据轴对称的性质可知:
ZCBE=AABE=-ZABC=-x60°=30°,
22
ZD=ZA=30°f
:.CE=BC•tan/CBE=BC=3xJ=6,
3
•・・/。=30。,
DE=ICE=2x百=2百,
答案第11页,共34页
故选:c.
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,直角三角形的性质,含30。角的直角三角形,特殊
角的三角函数值等知识点,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
32.C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用,等边三角形的确定、三角形中线平分面
积是解题关键.连接OP,作轴于D,根据三角形中线平分面积求出三角形尸的
面积,再求证出三角形尸08是等边三角形,再利用反比例函数的几何意义求出无即可.
【详解】解:连接。尸,作轴于。,
的面积是2,AO=BO,
■:PA1PB,AO=BO=BP,
smAPAB=
2
•••sin30°=-,
2
NPAB=30°,
ZPBA=90°-30°=60°,
:.APOB为等边三角形,
.-.OD=BD=-OB,
2
.&=底_1
…°APOD_2D^POB_2'
•,M•_1—,
22
,左=±1,
•・•反比例函数的图象位于第一象限,
.'.k=\.
故选:C.
答案第12页,共34页
33.2A/3
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质,特殊角的三角函数及反比例函数的确
定.过点2作轴,根据题意得出38=1,0H=43,再由特殊角的三角函数及等腰
三角形的判定和性质得出08=48=2,/B0A=/BAO=30。,利用各角之间的关系
NOBC+N0BH=180°,确定H,B,。三点共线,结合图形确定。(道,2),然后代入反比
例函数解析式即可.
【详解】解:如图,过点2作8。,无轴,
片
\C
0(0,0),4(2百,0),5(73,1),
/
or~H~~A-A
BH=\,OH=6
■■■AH=OH=y[?>,tanNBOA=%=叵
OH3
OB=AB=ylOH2+BH2=2,ZBOA=/BAO=3。。,
NOBH=NABH=60。,ZOBA=nO°,
•••AOAB与△OCB关于直线OB对称,
二.NO8C=120。,CB=AB=2,
丁./OBC+/OBHH80。,
C,B,〃三点共线,
•・•CD=BD,
BD=1,
DH=2,
■■0(6,2),
将其代入V=£得:左=26,
X
故答案为:2班.
答案第13页,共34页
34.拽##2方
55
【分析】本题考查了网格与勾股定理,余弦值的计算,根据题意,运用网格与勾股定理,等
面积法求值点c至!MB的距离(即垂线),构造出直角三角形,再根据余弦值的计算方法即可
求解.
【详解】解:如图所示,过点c作与点。,
..S△,„c=—2BC'hA,=—2AB'CD,
AB3^/2
在Rt"CD中,AC=A/12+32=V10,
•••AD=4AC1-CD2=J(师?_(匈2=2亚
,AD2V22A/5
•••cosA=-----=,——=-------
ACV105
故答案为:巫.
5
35.15。##15度
AF)1
【分析】首先根据题意得到cos/DZ£=竽=求出/DZE=60。,然后根据三角形内角
AE2
和定理和等边对等角求解即可.
【详解】vAE=AB,AB=2AD
・••AE=2AD
・・•四边形458是矩形
・•・/£)=90。
••・/BAD=/ABC=ZD=90°
答案第14页,共34页
•・•cosNDAE="]_
AE2
ZDAE=60°
;・NBAE=30。
•••AE=AB
ZABE=ZAEB=1(180°-NBAE)=75°
ZEBC=NABC-ZABE=15°.
故答案为:15。.
【点睛】此题考查了解直角三角形,矩形的性质,三角形内角和定理和等边对等角性质,解
题的关键是掌握以上知识点.
36.60°##60度30。##30度30°##30度
【分析】本题考查特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.
(1)根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答;
(2)根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答;
(3)根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.
【详解】解:(1),.,tanZ=百,tan60°=V3,//为锐角,
.\ZA=60°;
(2)2sin24=1,
.”1
1.sinZ=一,
2
•••sin30°=1,//为锐角,
N4=30°;
(3)♦.•tan(N/+15°)=l,tan45°=l,NN为锐角,
:.ZA+15°=45°,
ZA=30°.
故答案为:(1)60°;(2)30°;(3)30°.
37.(1)2+—(2)3-2君(3)1473-6
6
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可;
(2)根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可;
答案第15页,共34页
(3)延长A4,CD交于点E,根据四边形内角和得出28=360。-90。-90。-120。=60。,根
据含30。角的直角三角形性质得出8E=28C=28,OE=2/。=6,根据勾股定理求出
CE=^BE2-BC2=7282-142=1473>最后求出结果即可.
【详解】解:(1)后(2cos45。-sin60。)+浮
=y/2x
=V2x
、V62>/6
23
=2+"
6
(2)(-2)°-3tan30o+|tan600-2|
=l-3x
=l-V3+2-V3
=3-2A/3.
(3)解:如图,延长及I,CD交于点E,
在四边形48cz>中,AD±AB,CD_LBC,
;.NBAD=NC=9Q°,
ZADC=120°,
答案第16页,共34页
AB=360°-90°-90°-120°=60°,
Z5£C=90°-ZS=30°,
■.■BC=14,AD=3,
BE=2BC=28,DE=2AD=6,
•••CE=^BE1-BC1=4282-142=1473>
:.CD=CE—DE=\M-6.
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值,勾股定理,直角三角形的性质,二次根式混
合运算,熟练掌握相关的运算法则,是解题的关键.
38.(1)30°;
⑵ND/G=30。,证明见解析.
【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数.
(1)根据题意写出答案即可;
(2)根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可.
【详解】(1)解:由题意可得,ND4G=30。;
(2)解:证明:由折叠的性质可知,
AE^DE=-AD=-AD',ZAEF=NDEF=90°,/DAG=NGAD'=-ZEAD'
222
•/s,厂AEAE1
sinNADE=------=------=—
ADfAD2
・••乙4D'E=30。,
NEAD=
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