特殊角三角函数值及其应用(5大题型)-2024-2025学年北师大版九年级数学下册同步训练(含答案)_第1页
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文档简介

第03讲特殊角三角函数值及其应用

01学习目标

课程标准学习目标

1.能够进行30。,45°,60。角的三角函数值

的计算利用30。,45。,60。角的正切值、正弦

值、余弦值解决问题;

知道30°,45°,60。角的三角函数值.会使

2.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及

用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由

由三角函数值求相应的锐角的过程,能够运

已知三角函数值求它的对应锐角.

用计算器进行有关三角函数的计算;

3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算

的实际问题.

02思维导图

知识清单㊀知识点一:特殊角的三角函数值

/题型01已知三角函数值求角度

第03讲特殊角三角函数值1r题型02直翻用特殊角三角函数值的五十算

及箕应用/-----------------------------------------

、一题型精讲'[题型03利用计算器计算三角函数值

,"题型04利用特殊角三角函数值判忌角形形状

[题型05特殊角三角函数值的综■应用

03知识清单

知识点一:特殊角的三角函数值

30。、45。、60。角的各种三角函数值.

sin30°=v;cos30°=—;tan30°=—;

223

试卷第1页,共12页

5F)

sin45°=—;cos45°=—;tan45°=l;

22

1

sin60°=——;cos60°=—;tan60°=G;

22

【即学即练】

1.sin45。的值等于()

1

A.1B.-C.—D.—

722

2.下列三角函数值是有理数的是()

A.sin60°B.cos60°C.tan60°D.cot60°

3.sin60。的值等于()

1V2

A.-B.—C.口D.1

222

4.下列四个数中,最小的数是()

A.-V2B.兀C.0D.-tan60°

5.cos45°的值等于________.

6.计算:卜6+&]+(7i+2)°+tan45°.

题型精讲

MBA

题型01已知三角函数值求角度

例:

7.在A/BC中,ZC=90°,tanA=y/3,那么cosB等于()

A.V3B.立C.yD.交

222

A

8.在△ABC中,ZC=90°,sinA=—,则cosB的值是()

2

D,也

A.1B.yC.—

222

9.已知a为锐角,且sin(々-10。)=[,则a等于.

1A

10.在中,ZC=90°,cos^=—,则cos—=

22

题型02直接利用特殊角三角函数值进行计算

例:

试卷第2页,共12页

11.计算

(l)6tan230°+V3sin60o-V2sin45°;

⑵V12+(1)-1-(7t-5)°-4sin60°

12.计算:

(l)(V3)2-7r°+V3cos30°;

⑵已]-V4tan45°+|-5|.

13.计算:V8-2sin450+2cos600+11-VI|-cos230°-tan45°.

14.先化简,再求值:fl-一—Kfl~~4^+4,其中a=sin6(T+2tan45。.

1a-\)a-1

15.(1)计算:2cos2450-6sin600+3tan450+4cos30°;

(2)计算:3tan30。一(一£|+/142。+9)+J(l—tan60。)?.

16.求下列各式的值

⑴4sin30。-&cos45。-6tan30。+2sin60°

(2)3tan30°------+瓜os45。+^(1-tan600)2

⑶[J+4sin60°-|-2@+(2024-万)。

(4)——sin450+sin2600-V2cos45°

2

题型03利用计算器计算三角函数值

例:

17.如图,在△/吕。中,/。=90。,/5=42。,5。=8,若用科学计算器求/C的长,则下列

按键顺序正确的是()

A

-H[3SHHEB.叵|w叵]回回|目

试卷第3页,共12页

c-HH®HLUE]D-HHHHHH

18.某款科学计算器,依次按键:4而匚CUoDZltZ],显示的结果在哪两个相邻整数之

间()

A.2〜3B.3〜4C.4〜5D.5〜6

19.如图,在△45。中,ZACB=90。,/ABC=26。,BC=5.若用科学计算器求边ZC的

长,则下列按键顺序正确的是()

Ch----------------

A.-5~\p-1\tan\fT]fT]B.||[S][T]|6||[=~

C.SE画口村三D.司门国后用臼

20.如图,利用课本上的计算器讲行计算,其按键顺序及结果有错误的是()

A.田|臼匚按键的结果为0.064

⑹叩按键的结果为0.5

c国同日回R]国三按键的结果为-4

口•歹©Fiin⑸m按键的结果为0.3

21.若tan/=0.1890,利用科学计算器计算//的度数,下列按键顺序正确的是()

A.[iHdFiraronnmMMroiFi

B.[an⑹EnniTirnm嗣Fi

c.roiMnnMr9iroiw[2RdF]Fi

D.MroinnnnrsiMronrMFiR

22.用计算器计算:sin35°*_,335。44'27'_(精确到。。1).

题型04利用特殊角三角函数值判定三角形形状

例:

23.如果△4BC中,sirvl=cos5=—,则下列结论正确的是()

2

A.△4BC是等边三角形B.△4BC是钝角三角形

试卷第4页,共12页

C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形

24.在△ABC中,若sinB-;+(tanN-道了=0,则△ABC是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

25.在△4BC中,若(2cosN-行『+R_tan却=0,则么△/8C一定是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

26.在△4BC中,NC都是锐角,且sin/=cos(90。-。)=事,则△/BC的形状是

()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形

百2

27.在△/BC中,若sin/-《-+(tanB—1)=0,则/C的度数为.

28.在△48。中,若cos/-*+(1-tan2『=0,都是锐角,则△4BC是

三角形.

题型05特殊角三角函数值的综合应用

例:

29.爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬hn耗能(1.025-cosa)J,若某人爬了1000m,该

坡角为30。,则他耗能()(参考数据:V3-1.732,夜土1.414)

A.116JB.159JC.1025JD.1732J

30.已知cosa<0.5,那么锐角a的取值范围是()

A.60。<a<90。B.00<a<60°C.30°<a<90°D.0°<a<30。

31.如图所示,已知在三角形纸片中,BC=3,AB=6,ZBCA=90°,在4C上取一

点£,沿BE进行翻折,使A与5C延长线上的点。重合,则DE的长度为()

试卷第5页,共12页

B

Dv

A.6B.3C.273D.3

32.如图,在平面直角坐标系中,点尸在反比例函数y=g(x>0)的图象上,点2在x

轴上,且尸8,尸/交y轴于点C,AO=BO=BP.若A/BP的面积是2,则人的值是

33.如图,在平面直角坐标系中,△0/5三个顶点的坐标分别为。(0,0),/(26,0),

5(V3,1),△048与AOCB关于直线08对称,反比例函数y=g(左>0,x>0)的图象经

过5c的中点D,则左的值为.

34.如图,△N3C的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上,则cos/的值为.

试卷第6页,共12页

35.如图,在矩形ABCD中,E是DC上一点,AE=AB,AB=2AD,则ZEBC的度数是.

(1)若taiL4=6,则44=

(2)若2sith4=l,贝lJ//=;

(3)若tan(N/+15。),贝I]44=.

37.(1)V2(2cos450-sin60°)+^p;

(2)(-2)°-3tan30°+|tan60°-2|.

(3)如图所示,在四边形48a)中,AD1AB,CDIBC,ZADC=120°,BC=14,

AD=3,求。C的长.

38.综合与实践

主题:用折纸折出特殊角

素材:一张矩形纸片.

步骤1:如图1,对折矩形纸片使与C£>重合,得到折痕£尸,把纸片展平;

步骤2:如图2,再一次折叠纸片,使点。落在访上的点。处,折痕为NG.

试卷第7页,共12页

(1)直接写出NCMG的度数;

⑵证明(1)中你发现的结论.

强化训练

(建议用时45分钟)

39.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点&的坐标为(4,0),连接N3,

将线段48绕点3顺时针旋转60。得到线段C2,连接。C,则线段OC的长为()

「4历D-

X--•-------

3

40.如图,在A/BC中,以点8为圆心,以适当长为半径作弧,分别与交于两

点;分别以为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点。,作射线50,8。与

/C交于点E;分别以瓦。为圆心,以大于g的长为半爸作弧,两弧交于点P,。,连接

尸。,尸。与交于点尸,连接防.若AB=BC,BE=4C=4,则以下结论错误的是()

试卷第8页,共12页

S1

A.S&ABC=8B.NN=60°C.资织=3D.△口?尸的周长为

》"BE,

26+2

41.题目“在△ABC中,N8=30。,AB=2,AC=空,求/C的度数.”对于其答案,甲

3

答:ZC=60°,乙答:ZC=90°,丙答:/C=60。或/C=120。,则正确的是()

A.只有甲答的对B.只有乙答的对

C.只有丙答的对D.乙、丙合在一起才完整

42.在综合实践活动课上,老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动.如图,下面是

小星的操作步骤:第一步:将正方形纸片/BCD对折,使得N3与C。重合,展开铺平,折

痕为MN.第二步:将正方形纸片再沿过点8的直线折叠,使点C落在MN上的点E

处,展开铺平,折痕B尸与交于点G,连接CG,则提的值为.

43.如图1,这是一款升降电脑桌,它的升降范围是0〜40cm,图2是它的示意图,已知

EF〃MN,点、X、B在MN上滑动,点。、C在E尸上滑动,AC.AD相交于点

OA=OB=OC=OD=30cm.(结果精确到0.1)

图1图2图3

(1)如图2,当NO/8从0。增加到30。时,这款电脑桌升高了多少cm?

(2)当电脑桌从图2位置升到最大高度(如图3)时,求/。48的大小及点A滑动的距离.(参

考数据:6。1.73,sin42.1°«0.67,cos42.1。合0.74,sin47.9°»0.74,cos47.9°~0.67)

44.如图,在口48。。中,AC=BC,M,N分别是“瓦⑺的中点.

试卷第9页,共12页

(1)求证:四边形是矩形;

(2)若tan8=若,BC=2,求口/BC。的面积.

45.如图,△/BC中,BD平分/ABC,E为BC上一点、,ZBDE=ZBAD=90°,

B

(1)求证:BD2=BA-BE;

(2)求证:XCDEsXCBD;

(3)若/8=6,BE=8,求CE的长.

(1)试判断四边形/BCD的形状,并说明理由;

(2)己知矩形纸条宽度为2cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时,四边形/BCD的面积为8cm2,

求此时直线/£>、CD所夹锐角/I的度数.

47.如图,在平面直角坐标系中,直线/分别交x轴y轴于4,3两点,点/的坐标为(1,0),

试卷第10页,共12页

(1)求直线/的解析式及点C的坐标;

⑵点。是直线8C上一点,当△4BD的面积为3时,求点。的坐标;

⑶点尸是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点。,使以B,P,。为顶点的四边形是

菱形?若存在,求出。点的坐标;若不存在,说明理由.

48.ZUBC中,ZABC=45°,BC=42AB.

(1)如图1,求证:/A4c=90。;

(2)如图2,点D位置如图所示,ZBDC=9Q°,连接力D,求证:BD-CD=42AD;

(3)如图3,在(2)的条件下,点E在上,连接。E,NDEC=/DCA+2NCAD,若

40=4后,CE=M,求4B的长.

49.【问题发现】

(1)在数学活动课上,赵老师给出如下问题:“如图1所示,^ABC是等腰直角三角形,

AB=AC,/A4c=90。,点。在上,连接4D,探究2D,BD,CD之间的数量关系.”

王林思考片刻之后,利用手拉手模型解答问题如下:

图示思路

将线段绕点/逆时针旋转90。得线段

AE,连接CE,DE,易证“3。丝A/C£,

得到3D=CE,ZABD=ZACE=45°,

在Rt^DCE中,易得

BDBD

王林解析图CD1+CE2=DE2,由DE=y^AD,得

AD,BD,CD之间的数量关系为

【类比分析】

(2)如图2所示,当点。在线段8C的延长线上时,请问(1)中的结论还成立吗?请给出

判定,并写出你的推导过程;

试卷第11页,共12页

【拓展延伸】

(3)若(1)中的点。在射线CB上,且CD=取£>,请直接写出//DC的度数.

试卷第12页,共12页

1.c

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,根据特殊角构造直角三角形计算即可.

【详解】解:如图,Rt4/BC中,AB=AC,NB=90°,则乙4=NC=45。,AC=6AB,

ABAB夜

・••sinC=sin45°

AC41AB~2

故选:C.

2.B

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,有理数.熟练掌握特殊角的三角函数值,有理数

是解题的关键.分别求出各选项中特殊角的三角函数值,然后进行判断即可.

【详解】解:由题意知,A中sin6(r=立,是无理数,故不符合要求;

2

B中8560。=(,是有理数,故符合要求;

C中tan60o=VL是无理数,故不符合要求;

D中cot6(T=",是无理数,故不符合要求;

3

故选:B.

3.C

【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据特殊角三

角函数值,可得答案.

【详解】解:根据特殊角的三角函数值可知:sin60°=^.

2

故选:C.

4.D

【分析】本题考查了实数的比较大小,特殊角的三角函数值,解题的关键是两个负数比较大

小,绝对值大的反而小.

根据正数大于0,负数小于0,正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小来进

行比较即可.

答案第1页,共34页

【详解】解:-tan6(T=-G

■'-7T>0>-V2>-tan60°,

故选:D.

【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值,牢记常见角的三角函数值成为解题的关键.

直接根据特殊角的三角函数值即可解答.

【详解】解:cos45°=也.

2

故答案为:乌.

2

6.V3+4

【分析】本题考查实数的混合运算,根据绝对值,负整数指数累,零指数累,特殊角的三角

函数值即可得出答案

【详解】原式=6+2+1+1=石+4

7.B

【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值,先根据正切值求出//的度数,根据直

角三角形的性质得到的度数,再根据余弦的定义即可求解.

【详解】解:,;tarM=G,

:.AA=60°.

•••ZC=90°,

.•.Z5=90°-60o=30°,

,R_V3

2

故选B.

8.D

【分析】本题考查特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,解题的关键是熟记特殊角的三

角函数值.

根据特殊角的三角函数求出ZA=60°,然后利用三角形内角和定理求出

ZB=180°-ZA-ZC=30°,然后利用30。角的余弦值求解即可.

答案第2页,共34页

【详解】解:在ZUBC中,ZC=90°,sin^^—,

2

ZA=60°f

ZB=180°-ZA-ZC=30°f

,6

,,COS-D——•

2

故选:D.

9.55°##55度

【分析】本题考查特殊角度三角函数,根据sin45o=交求解即可.

2

【详解】sin(cr-10°)=^-,sin45°=^-,

.*.cr-10°=45°,

解得a=55。,

故答案为:55°.

10.—

2

1A

【分析】本题考查特殊三角函数值,利用COS"=—求出乙4=60。,贝Ijcos工=cos30。即可求

22

解.

【详解】解:在RtZX/BC中,ZC=90°,cos^=1,

ZA=60°,

.AV3

…cos—=cos30=——,

22

故答案为:旦.

2

5

11.(1)-;

(2)2.

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,实数的混合混合运算,熟记特殊角的三角函数值

是解答本题的关键.

(1)代入特殊角的三角函数值计算即可.

(2)根据零指数哥,整数指数哥的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可.

【详解】(1)解:6tan230°+V3sin60°-A/2sin45°

答案第3页,共34页

=6x1也T+gx也一行x也,

I3J22

,I3

=6x—i---11,

32

=2+--l

2

_5

二5;

(2)解:V12+(1)-'-(7i-5)°-4sin60°

=2A/3+V-1-4X—

£2,

3

=26+3-1-25

=2.

⑵(D-7

(2)7

【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的实数的运算,正确化简计算每一项是解题的关

键.

(1)根据二次根式的性质和零指数累和特殊角的三角函数值化简,再进行加减计算;

(2)分别化简计算负整数指数哥、特殊角的三角函数值和化简绝对值,再进行加减计算即

可.

【详解】(1)解:(A/3)2-7I0+V3COS30°

=3-l+V3x—

2

=2+之

2

_7

=5;

(2)解:(gj-V4tan45°+|-5|

=4-2xl+5

=7.

13.2V2--

4

答案第4页,共34页

【分析】本题考查了二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值

是解答本题的关键.先根据二次根式的性质,特殊角的三角函数值,绝对值的性质化简,再

算加减即可.

【详解】解:V8-2sin450+2cos600+11-V2|-cos230°-tan45°

=2收一2x曰+2xg-l+0一仁)xl

=2A/2-V2+l-l+V2--

4

=2A/2--.

4

【分析】本题考查了分式的化简求值,三角函数的混合运算,先利用分式的性质和运算法则

对分式进行化简,再根据特殊角的三角函数值求出。的值,最后代入化简后的结果中计算即

可求解,正确化简分式和求出«的值是解题的关键.

CL—2CL—1

【详解】解:原式=----X-----7T

(。-2)

1

ci—2

•■•(z=sin60o+2tan45°=—+2xl=^+2,

22

12G

」♦原式V3??3•

----------rZ-Z

2

15.(1)4-V3;(2)25/3+8

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值,即可得出计算结果;

(2)根据特殊角三角函数值,二次根式的性质,零指数累以及负整数指数暴即可得出计算

结果.

【详解】解:(1)原式=2x-6xF3x1+4x—

222

=1-3e+3+2百

=4-V3;

答案第5页,共34页

(2)原式=3x*一(一8)+1+卜一画

=73+8+1+73-1

=273+8.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算,零指数累,负整数指数募,二次根式的

混合运算等知识点,熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键.

16.(1)73

(2)273-1

⑶-1

(4);

【分析】此题考查了实数的运算;

(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;

(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;

(3)根据负整数指数累,零指数暴,特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

(4)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【详解】(1)解:原式=4x」一行x正一gx3+2x立

2232

=2-1-1+73

=6

(2)解:原式=3x*_++2e+6-1

2

=6-2+2+百-1

=273-1

(3)解:原式=-2+4x巫-26+1

2

=-2+2A/3-2A/3+1

=-1

(4)角牛:原式=—^―x—^―+—^―I—,2x—^―

答案第6页,共34页

~4

17.D

【分析】本题考查解直角三角形,用计算器计算三角函数值,先解直角三角形得到

ZC=3C・tanB=BCtan42。,再根据科学计算器的计算方法,进行判断即可.

【详解】解:•.•/。=90。,/5=42。,5。=8,

.-.^C=5C-tan5=5C-tan42°,

.•用科学计算器求4c的长的按键顺序为:

HH@H[3日

故选D.

18.B

【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值,根据计算器计算出的结果即可得出答案.

【详解】解:使用计算器计算得:4sin60°»3.464101615,

・•・显示的结果在3〜4之间,

故选:B.

19.D

【分析】本题考查正切函数值求边长,涉及计算器的使用,根据题意,得到

/C=5xtan26。,借助科学计算器求解即可得到答案,熟记正切函数值求边长的方法及科学

计算器的使用是解决问题的关键.

Ar

【详解】解:在△/BC中,ZACB=90°,ZABC=26°,BC=5,贝}|tan26°=—,

BC

边ZC的长为BC•tan26°=5xtan26°,

若用科学计算器求边/c的长,则按键顺序正确S0丽E囚尸,

故选:D.

20.C

【分析】本题主要考查了科学计算器的使用,解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个

按键的含义.

根据计算器按键,写出式子,进行计算判定即可.

【详解】

答案第7页,共34页

解:A、可卬句⑶匚按键的结果为04=0.064,正确,故此选项不符合题意;

B、|COS|H[6]0按键的结果为cos6(T=;=0.5,正确,故此选项不符合题意;

C、|(一)I⑷[11]国|T|日按键的结果为—4.5+5=_0.9,原计算结果错误,故

此选项符合题意;

D、F|[¥A[¥][¥]—按键的结果为VW=0.3,正确,故此选项不符合题

-zfe.

忌;

故选:C.

21.A

【分析】本题考查了计算器的使用方法,牢记计算器的按键顺序是解题的关键;

首先找到的按键符号,即2ndf键,然后根据2ndf键的使用方法,结合题目,即可得出

答案.

【详解】在计算器中按下Q1890,然后找至Uta^的按键符号,即2ndf键

按下2ndf键,再按tan键,A项符合题意

故选:A.

22.0.570.81

【分析】利用计算器计算,再依据近似数确定结果即可得.本题要求同学们能熟练应用计算

器,熟悉计算器的各个按键的功能.

【详解】解:sin35°®0.57,cos35°44'27"»0.81,

故答案为:0.57,0.81.

23.C

【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值,掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此

题的关键.

根据特殊角的三角函数值,直接得出的角度即可解答.

【详解】M:vsiih4=cos5=——,

2

,/4=/8=45°,

:.A4BC是等腰直角三角形.

故选C.

24.D

答案第8页,共34页

【分析】本题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理等知识点,

先由非负数的性质得出sinB-;=O,tan/-6=0,根据三角函数求得N2的度数,

然后根据三角形内角和定理,求得NC的度数,从而确定三角形的形状,解决此类题目的关

键是熟记特殊角的三角函数值.

【详解】sin5-1+(tan^-V3)2=0,

sinB——=0,tanA—6=0,

.♦.sin8=;,tan/=6,

.•.//=60°,4=30°,

/C=180。--4=180°-60。-30。=90°,

△NSC是直角三角形,

故选:D.

25.D

【分析】根据非负数的和为零,可得每个非负数同时为零,根据特殊角三角函数值,可得

/、B的值,根据直角三角形的判定,可得答案.

本题考查了特殊角三角函数值,直角三角形的判定,熟记特殊角三角函数值是解题关键.

【详解】解::(2cos/-拒)+|l-tan5|=0

•••2cos^-V2=0,l-tan5=0

0

/.cosA=——,tanB=1

2

ZA=45°f25=45。

ZC=180°-Z^-ZS=90°.

△48C一定是等腰直角三角形,

故选:D.

26.D

【分析】本题考查特殊角三角函数,三角形内角和,三角形分类.熟练掌握特殊角三角函数

是解题的关键.

由特殊角三角函数值计算出//和/C的角度来即可确定.

【详解】解:••・sin4=cos(90O-C)=*,

答案第9页,共34页

,//=45°,90°-ZC=45°,

即N4=45°,ZC=45°,

ZB=90°,

即△NBC为直角三角形,

故选:D.

27.75°

【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题,绝对值和平方的非负性.

根据题意得出sin/-]-=0,(tan3-1)=0,进而得出乙4=60。,48=45。,根据三角形的内

角和定理,即可解答.

[详解]解:・・・sin4_¥+(tan5_l)2:0,

sinA-=0,(tan8一=o,

则sin4=——,tanB=l,

2

・•・NZ=60。"=45。,

.\ZC=180°-60°-45°=75°,

故答案为:75°.

28.等腰直角

【分析】此题考查了已知三角函数值求角,涉及了绝对值和平方的非负性,解题的关键是熟

记特殊角的三角函数值.

根据绝对值和平方的非负性可得,cos/-克=0,1-tan5=0,求得/B,即可求解.

2

Jy2

【详解】解:由cos/---+(l-tan5)'=0可得

V2

cosA------=0,1-tanB=0,

2

即cosA=,tanB=1,

2

解得:ZA=45°fAB=45°,则/C=90。,

•・•△/HC为等腰直角三角形,

答案第10页,共34页

故答案为:等腰直角.

29.B

【分析】本题考查特殊角三角函数值,掌握特殊角三角函数值是解题的关键.根据特殊角三

角函数值计算求解.

【详解】解:1000(1.025-cosa)=1000(l.025-cos30°)

=1025-500A/3~1025-500x1.732=159,

故选:B.

30.A

【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用,注意:当角是锐角时,

其正弦和正切随角度的增大而增大,余弦随角度的增大而减小;根据三角函数的增减性求解

即可;

【详解】解:Ya是锐角,

cosa>0,

,/cos60°=0.5,cos90°=0,0<cosa<0.5f

60°<a<90°,

故选:A;

31.C

【分析】易得//=30。,/ABC=60°,根据轴对称的性质可得/CBE=/。=30。,在RLBCE

和Rt&DCE中运用三角函数求解即可.

【详解】解:・・・/BC4=90。,BC=3,AB=6,

.BC3\

smAA=----=—=一,

AB62

ZA=30°fZABC=60°,

根据轴对称的性质可知:

ZCBE=AABE=-ZABC=-x60°=30°,

22

ZD=ZA=30°f

:.CE=BC•tan/CBE=BC=3xJ=6,

3

•・・/。=30。,

DE=ICE=2x百=2百,

答案第11页,共34页

故选:c.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,直角三角形的性质,含30。角的直角三角形,特殊

角的三角函数值等知识点,熟练掌握相关知识点是解题的关键.

32.C

【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用,等边三角形的确定、三角形中线平分面

积是解题关键.连接OP,作轴于D,根据三角形中线平分面积求出三角形尸的

面积,再求证出三角形尸08是等边三角形,再利用反比例函数的几何意义求出无即可.

【详解】解:连接。尸,作轴于。,

的面积是2,AO=BO,

■:PA1PB,AO=BO=BP,

smAPAB=

2

•••sin30°=-,

2

NPAB=30°,

ZPBA=90°-30°=60°,

:.APOB为等边三角形,

.-.OD=BD=-OB,

2

.&=底_1

…°APOD_2D^POB_2'

•,M•_1—,

22

,左=±1,

•・•反比例函数的图象位于第一象限,

.'.k=\.

故选:C.

答案第12页,共34页

33.2A/3

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质,特殊角的三角函数及反比例函数的确

定.过点2作轴,根据题意得出38=1,0H=43,再由特殊角的三角函数及等腰

三角形的判定和性质得出08=48=2,/B0A=/BAO=30。,利用各角之间的关系

NOBC+N0BH=180°,确定H,B,。三点共线,结合图形确定。(道,2),然后代入反比

例函数解析式即可.

【详解】解:如图,过点2作8。,无轴,

\C

0(0,0),4(2百,0),5(73,1),

/

or~H~~A-A

BH=\,OH=6

■■■AH=OH=y[?>,tanNBOA=%=叵

OH3

OB=AB=ylOH2+BH2=2,ZBOA=/BAO=3。。,

NOBH=NABH=60。,ZOBA=nO°,

•••AOAB与△OCB关于直线OB对称,

二.NO8C=120。,CB=AB=2,

丁./OBC+/OBHH80。,

C,B,〃三点共线,

•・•CD=BD,

BD=1,

DH=2,

■■0(6,2),

将其代入V=£得:左=26,

X

故答案为:2班.

答案第13页,共34页

34.拽##2方

55

【分析】本题考查了网格与勾股定理,余弦值的计算,根据题意,运用网格与勾股定理,等

面积法求值点c至!MB的距离(即垂线),构造出直角三角形,再根据余弦值的计算方法即可

求解.

【详解】解:如图所示,过点c作与点。,

.­.S△,„c=—2BC'hA,=—2AB'CD,

AB3^/2

在Rt"CD中,AC=A/12+32=V10,

•••AD=4AC1-CD2=J(师?_(匈2=2亚

,AD2V22A/5

•••cosA=-----=,——=-------

ACV105

故答案为:巫.

5

35.15。##15度

AF)1

【分析】首先根据题意得到cos/DZ£=竽=求出/DZE=60。,然后根据三角形内角

AE2

和定理和等边对等角求解即可.

【详解】vAE=AB,AB=2AD

・••AE=2AD

・・•四边形458是矩形

・•・/£)=90。

••・/BAD=/ABC=ZD=90°

答案第14页,共34页

•・•cosNDAE="]_

AE2

ZDAE=60°

;・NBAE=30。

•••AE=AB

ZABE=ZAEB=1(180°-NBAE)=75°

ZEBC=NABC-ZABE=15°.

故答案为:15。.

【点睛】此题考查了解直角三角形,矩形的性质,三角形内角和定理和等边对等角性质,解

题的关键是掌握以上知识点.

36.60°##60度30。##30度30°##30度

【分析】本题考查特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.

(1)根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答;

(2)根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答;

(3)根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.

【详解】解:(1),.,tanZ=百,tan60°=V3,//为锐角,

.\ZA=60°;

(2)2sin24=1,

.”1

1.sinZ=一,

2

•••sin30°=1,//为锐角,

N4=30°;

(3)♦.•tan(N/+15°)=l,tan45°=l,NN为锐角,

:.ZA+15°=45°,

ZA=30°.

故答案为:(1)60°;(2)30°;(3)30°.

37.(1)2+—(2)3-2君(3)1473-6

6

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可;

(2)根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可;

答案第15页,共34页

(3)延长A4,CD交于点E,根据四边形内角和得出28=360。-90。-90。-120。=60。,根

据含30。角的直角三角形性质得出8E=28C=28,OE=2/。=6,根据勾股定理求出

CE=^BE2-BC2=7282-142=1473>最后求出结果即可.

【详解】解:(1)后(2cos45。-sin60。)+浮

=y/2x

=V2x

、V62>/6

23

=2+"

6

(2)(-2)°-3tan30o+|tan600-2|

=l-3x

=l-V3+2-V3

=3-2A/3.

(3)解:如图,延长及I,CD交于点E,

在四边形48cz>中,AD±AB,CD_LBC,

;.NBAD=NC=9Q°,

ZADC=120°,

答案第16页,共34页

AB=360°-90°-90°-120°=60°,

Z5£C=90°-ZS=30°,

■.■BC=14,AD=3,

BE=2BC=28,DE=2AD=6,

•••CE=^BE1-BC1=4282-142=1473>

:.CD=CE—DE=\M-6.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值,勾股定理,直角三角形的性质,二次根式混

合运算,熟练掌握相关的运算法则,是解题的关键.

38.(1)30°;

⑵ND/G=30。,证明见解析.

【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数.

(1)根据题意写出答案即可;

(2)根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可.

【详解】(1)解:由题意可得,ND4G=30。;

(2)解:证明:由折叠的性质可知,

AE^DE=-AD=-AD',ZAEF=NDEF=90°,/DAG=NGAD'=-ZEAD'

222

•/s,厂AEAE1

sinNADE=------=------=—

ADfAD2

・••乙4D'E=30。,

NEAD=

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