图形的相似与位似（学生版）-中考数学题型训练

专题23图形的相似与位似【十四大题型】

►题型梳理

【题型1利用比例的性质求值】.................................................................1

【题型2黄金分割】...........................................................................3

【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】..................................................4

【题型4平行线分线段成比例（A型）】........................................................5

【题型5平行线分线段成比例（X型）】........................................................7

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】..............................................8

【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】............................................9

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】.............................................10

【题型9相似多边形的性质】..................................................................11

【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】.............................................13

【题型11求位似图形的坐标】..................................................................15

【题型12求位似图形的线段长度】..............................................................16

【题型13求位似图形的周长】..................................................................17

【题型14求位似图形的面积】..................................................................18

►举一反三

【知识点图形的相似与位似】

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是，-=-

bn

或写成a：b=m：n

在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简

称比例线段

HC

若四条a,b,c,d满足一=一或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫做比

bd

例外项，线段b,c叫做比例内项，线段的d叫做a,b,c的第四比例项。

ah

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即3=2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例中

bc

项。

2.比例的性质

(1)基本性质

①a：b=c：d=ad=bc

②a：b=b：c=b2=ac

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

厂-=-（交换内项）

cd

acdc/一3小v、

_=__=—（父换外项）

bdba

-（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项.后项）：

——a=——c~~>b———d——

bdac

（4）合比性质：

aca+bc+d

—=一n------=-------

bdbd

（5）等比性质：

a_c_em,,,,c、a+c+e-\-------1-ma

=—(b+d+f+---+n^Q)=>---------------------=—

~b~~d~7nb+d+fH-------\-nb

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金

分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=----------ABuO.618AB

2

4.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平

行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

5.相似多边形

定义1：形状相同的图形叫做相似图形。

定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边

形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

【题型1利用比例的性质求值】

【例1】（2023•浙江•统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容

是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.图中横线处应填—

当x=y=6时一7―b~\当@=▲时abI-

a=y_b=c=^

xc»b~c----------------►

比例线段出现比例中项线段出现特殊线段比

【答案】2

【变式1-1]（2023•四川甘孜•统考中考真题）若：=2,则子=.

【变式1-2]（2023・湖南岳阳•校考一模）己知X=且3久+4z-2y=40,贝卜的值为.

【变式1-3】（2023・浙江•模拟预测）用“▲”，“・”，“♦”分别表示三种物体的重量，若;=彳=3,则

▲,・，♦这三种物体的重量比为（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【题型2黄金分割】

【例2】（2023•广东云浮•统考一模）如图，在△4BC中，”=36。，AB=AC,以点3为圆心任意长为半径

1

画弧，分别交ZB,BC于点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O,

连接BO,并延长交力C于点D,若48=2,贝UCD的长为（）

C.V5+1D.3+V5

【变式2-1]（2023•上海杨浦•统考一模）已知P是线段4B的黄金分割点，且AP>BP,那么下列等式能成立

的是（）

ABBP

A股=”B.

APBP~BP~AP

AP_AB_遮_]

C而一丁D.於一丁

【变式2-2]（2023•四川达州•统考中考真题）如图，乐器上的一根弦4B=80cm,两个端点4B固定在乐器

板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点。是靠近点4的黄金分割点，&D之间的距离为.

【变式2-3]（2023•安徽・统考模拟预测）如图，为半圆。的直径，点。为圆心，点C是弧上的一点，

沿C8为折痕折叠而交48于点连接CM,若点M为A8的黄金分割点,贝㈣n/BCM的值为

【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】

【例3】（2023•青海西宁•统考中考真题）如图，在△ABC中，NACB=90。，分别以点/和点C为圆心,

大于的长为半径作弧，两弧相交于P,0两点，作直线PQ交AB,AC于点。，E,连接CD.下列说法错

误的是（）

A.直线PQ是4C的垂直平分线B.CD=1AB

C.DE=^BC

D.S^ADE-.S^^^DBCE=1:4

【变式3-1]（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连

接DE,点尸为BC边上一点，BF=2FC,连接力F交OE于点N,则下列结论中错误的是（）

A

AN1DN2AD1NE1

A・~AF~2B・~DE~SC.耘一万D.7^-2

【变式3-2］（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，△/8。中，。是/8边上一点，。切|8。交/。于点

E,连接BE,DFIIBE交4;于点月则下列结论错误的是（）.

A---=—R—=—C—=—T）—=—

BDECAEBEECFEBCFE

【变式3-3］（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ZBCD中，E、F分

别是力D、CD边上的点，连接BE、AF,它们相交于点G,延长BE交CD的延长线于点H,下列结论错误的是

（）

“AEBEcEHDHEG_AE—AGBG

A———B—=一

»EDEHEBCDC.D—FG=—GH

【题型4平行线分线段成比例（A型）】

【例4】（2023•湖北恩施・统考中考真题）如图,在△4BC中，DEII8C分别交AC,AB于点。，E,EF||2C交

BC于点R=BF=8,贝UDE的长为()

DC□

A

A.yB.yC.2D.3

【变式4-1]（2023•辽宁沈阳•校考一模）如图，在△ABC中，点。、E分另U在4B、4C上，连接。E,DE\\

BC,2E=4,AD=3,CE=2,贝/。的长为（）

A

A.1.5B.V2C.V3D.2

【变式4-2]（2023•湖北武汉•校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角

ADPC=30°,已知窗户的高度4F=2m,窗外水平遮阳篷的宽力D=0.8m,则洒在地面上光线"的宽度为一

m（参考数据值=1.732,结果精确到0.1）.

【变式4-3]（2023•全国•一模）剪纸是中国的传统文化之一.如图1,将长为12cm,宽为5cm的矩形纸片

剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”.若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小

纸片①”中，较长直角边=cm.

图1图2

【题型5平行线分线段成比例（X型）】

【例5】（2023•广西贵港・统考一模）如图，厂是矩形4BCD的边CO上一点,射线BF交2D的延长线于点E,

已知DE=2BC=4,CD=6,求BP的长（）

AB

A.2V2B.3C.V13D.V5

【变式5-1］（2023・北京・统考中考真题）如图，直线4D,3c交于点O,4B||EF||CD.若4。=2,0F=l,

【变式5-2］（2023•安徽滁州・统考二模）如图，在△A8C中，点。、E分别在边AB、4C的反向延长线上,

^.DEWBC.若2E=2/C=4,AB=S,贝!的长为

ED

【变式5-3］（2023•重庆渝中•统考一模）已知口4BCD,点E是82延长线上一点，CE与4D,分别相交

于点G,F.求证：CF2=EF-GF.

£

------^1）

//

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】

【例6】（2023•安徽滁州・统考二模）如图，G为△NBC的重心，AG=12,则AD=.

【变式6-1］（2023・湖南湘潭•模拟预测）如图，平行四边形力BCD的对角线AC、BD相交于点O,0EII4B交AD

于点E.若。4=2,△AOE周长为10,则平行四边形力BCD的周长为（）

A.16B.32C.36D.40

【变式6-2］（2023•宁夏银川•校考一模）如图，在口力BCD中，AB=5,BC=8.E是边BC的中点，F是口ABCD

内一点，1.ZBFC=90°.连接4F并延长，交CD于点G.若，贝3G的长为（）

5

A.B.C.3D.2

2

【变式6-3］（2023•山东聊城•统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC,BD相交

于/点。；②分别以点8,C为圆心、大于匏C的长为半径画弧，两弧相交于点£；③连接。E交于点尸;

④连接4F交B。于点G.若4。=4五,则。G的长度为（）

A.1B.2C.1D.V2

【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】

【例7】（2023・湖北武汉•校考模拟预测）△4BC中，^BAC=90°,D、E分别是力B、4c上的点,CE=2,

CA=5,AD=4,BD=|,贝Usin/DOB的值是.

【变式7-1］（2023•广东深圳•统考模拟预测）如图，在△ABC中，。为BC边的中点，点£在线段2D上，BE

的延长线交力C边于点尸，若4E：ED=1:3,AF=2,则线段FC的长为

A

F

【变式7-2］（2023•安徽宿州•校考一模）如图，在△ABC中，CG平分N4CB,过点4作4"1CG交BC于点

H,且“是BC的中点.若4"=4,CG=6,则的长为.

【变式7-3］（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，48=9,

乙B=2乙C,ADLBC,4E是BC边上中线，则线段DE=

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】

【例8】（2023•浙江•一模）如图，菱形力BCD中，点E是CD的中点，EF垂直4B交力B延长线于点F,若定=

EF=2V5,则菱形的边长是（）

A.3V5B.^V5C.5D.6

【变式8-1］（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，乙48c=45。，AK1BC

,2

于点点在上，为的中点，为的中点，若则线段

K,M2KCK=KM,tan^KAC=~q,NBMGACBC=14,NG

的长为

【变式8-2］（2023•河南商丘•校考二模）如图，RtzXABC中，乙4=90。，AC=5,AB=12,将△ABC绕

点C逆时针旋转力（0。＜］＜90。），得到△DEC,点/,2的对应点分别为。，E,射线ED分别交BC,AB

于点RM,当aMPB为等腰三角形时，AM的长为.

【变式8-3］（2023•黑龙江绥化•校考模拟预测）如图，点P是△ABC内部一点，且PA=PB=PC,"8C=45

°,点D在AC上，连接OP并延长交BC于点E,若CD=3AD,^APD=ACBP,PE=V7则线段PD的长为.

【题型9相似多边形的性质】

【例9】（2023•上海虹口・统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与己

知四边形相似的是（）

L____I____1______I

【变式9-1］（2023•浙江宁波•校联考三模）如图，口ABCDFEFGH,AB\\EF,记四边形N5FE、四边形

BCGF、四边形CD8G、四边形的面积分别S”S2,S3,S4,若已知口48CD和C7EFG”的面积，则

不用测量就可知的区域的面积为（）

A.Sj-S2B.Sj+S3C.S4-S2D.S3+S4

【变式9-2］（2023•河北衡水•统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：

甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1,则新菱形与原菱形相

似.

乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1,则新

菱形与原菱形相似；

对于两人的观点，下列说法正确的是（）.

A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

【变式9-3］（2023•河北石家庄•统考三模）对于题目：“在长为6,宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形,

使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大

值.”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值.

甲方案：如图1所示，最大值为16；

乙方案：如图2所示，最大值为16.

下列选项中说法正确的是（）

A.甲方案正确，周长和的最大值错误

B.乙方案错误，周长和的最大值正确

C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确

D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误

【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】

【例10】(2023•安徽芜湖•统考一模)如图，△ABC的顶点都在网格点上，点2的坐标(—2,1).

(1)以点。为位似中心，把△ABC按2:1放大在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；

(2)点A的对应点D的坐标是；

(3)S〃BO：S四边形B4ED=-

【变式10-1】(2023•广西防城港•统考三模)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单

位长度，已知的顶点坐标为2(—6,4),B(-2,6),4—4,2).

⑴画出△ABC沿着x轴向右平移5个单位长度得到的△41比的；

1

(2)以原点O为位似中心，将△A8C缩小为原来的万，请在位似中心同侧画出缩小后的△AB2c2.

(3)直接写出线段的长.

【变式10-2】(2023•安徽合肥・统考二模)如图，在平面直角坐标系中，△4BC的三个顶点的坐标分别为

⑴以点。为对称中心，画出△ABC关于原点。成中心对称的图形△力1B1Q(其中4与B与Bi，。与的是

对应点)；

⑵以点D(—2,1)为位似中心，将△4BC放大2倍得到△2c2(其中力与4，B与B2,C与C?是对应点)，

且写出点心的坐标.

【变式10-3】(2023,广西桂林,统考一模)如图，△A8C在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为4(-1,2),

⑴画出△28C关于〉轴对称的△力道1射；

(2)以点3为位似中心，在点2的下方画出2c2，使△七⑶2c2与△ABC位似，且位似比为3：1；

⑶直接写出点21，。2的坐标.

【题型11求位似图形的坐标】

【例11】(2023•山东日照•校考三模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点/在第二象限，点8坐

标为(-2,0),点C坐标为(―1,0),以点C为位似中心，在x轴的下方作△4BC的位似图形△4B£.若

点/的对应点4的坐标为(2,-3),点2的对应点夕的坐标为(1,0),则点/坐标为()

A.(3,-2)B.(―2,|)C.(-|,|)D.

【变式11-1】(2023・浙江嘉兴•统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为2(1,2),B

(2,1),C(3,2),现以原点。为位似中心，在第一象限内作与△4BC的位似比为2的位似图形△49则顶

【变式11-2](2023•辽宁盘锦•统考中考真题)如图，△AB。的顶点坐标是4(2,6),5(3,1),0(0,0),以点。

为位似中心，将△48。缩小为原来的，得到△AB。，则点4的坐标为.

【变式11-3】（2023•江苏盐城•统考二模）如图，以点C（0,l）为位似中心，将△4BC按相似比1:2缩小，得

到△DEC,则点4（2,-1）的对应点D的坐标为.

【题型12求位似图形的线段长度】

【例12】（2023•广东湛江•岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，与△DEF是以坐标

原点。为位似中心的位似图形，若从-2,0）,。（3,0）,且4=2也则线段DF的长度为（）.

A.2V2B.3V2C.4V2D.6立

【变式12-1】（2023•河南周口•校联考二模）如图，在中，Z.B=90°,48=2,B。=2遮，以点。

为位似中心，将△40B缩小为原图形的《得到△COD,则OC的长度是（）

A.2B.3C.2.5D.3.5

【变式12-2】（2023•江苏南京・统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是4（2,2）,

B（4,2）,C（4,4）,以原点为位似中心，在原点的异侧画使△DEF与△48C成位似图形，且相似比

为1:2,则线段。尸的长度为（）

c.2V2D.4

【变式12-3】（2023上•吉林长春•九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△04B的顶点为。（0,0

,a（4,3）,B（3,0）,以点。为位似中心，在第三象限内作与△04B的位似比为9的位似图形△OCD,则

【例13】（2023•山东荷泽•统考三模）如图，△ABC和