四川省广元市朝天区2024-2025学年八年级上学期期末检测数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

2024〜2025学年度（上）教学质量监测试题

八年级数学

说明：

1.全卷满分150分，考试时间120分钟.

2.本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）.

3.考生必须在答题卡上答题，写在试卷上无效.选择题必须使用26铅笔填涂答案，非选择

题必须使用0.5毫米黑色签字笔答题.

4.考试结束，将答题卡统一收回.

第I卷选择题（30分）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（）

A.2,3,4B.3,7,7C.2,2,6D.5,6,7

2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国

四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

的

B.

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3若点2（机—6,3）与点8（2,〃+2）关于了轴对称，则W（）

A.4B.1C.8D.20

4.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

Lx6

X

4

A.(x+6)(x+4)-6xB.x(x+4)+24

C4(x+6)+D.X2+24

5.用提公因式法分解因式正确的是()

A.\2abc-9a1b1c1=3abc(4-3ab)B.一3町+6y=3y(%2-x+2y)

C.—/+ab—etc——a(a—b+c)D.x2y+5xy-y=J(x2+5x)

6.如图，在V48C中，AB=AC,乙4=36。，点。，尸分别是图中所作直线和射线与,CD的交

点.根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）

A.ZABP=ZAB.AD=CD

C.ZPBC=ZACDD.Z5PC=118°

7.如图，在等腰三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D点作DELDF交AB于E,交

BC于F,若四边形BFDE的面积为16,则AB的长为（）

A.8B.10C.12D.16

V2-1

8.若分式—的值为0,则x的值为（）

x+1

A.±1B.1C.-1D.无解

9.如图，己知aABC,O是aABC内的一点，连接OB、OC,将NABO、NACO分别记为41、Z.2,则

Nl、N2、NA、N8OC四个角之间的数量关系是（）

A

A.zl+zBOC=zA+z2B.zl+z2+zA+zBOC=180°

C.zl+z2+zA+zBOC=360°D.zl+z2+zA=zBOC

10.占希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形

数记为生,第二个三角形数记为外，…，第〃个三角形数记为%，则%00-。99的值为（）

A.99B.100C.199D.200

第n卷选择题（120分）

二、填空题.（每小题4分，共24分）

11.已知，aABC三ADEF,BC=EF=6cm,AABC的面积为18cm2,则EF边上的高是cm.

12.一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是边形.

13.给多项式4必+9添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是.（填

一个即可）

14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为.

2Axk

15.若分式方程--+--=一；有增根，贝同=______.

x—1X—1x—1

16.如图，在V48C中，/45C和//C8的平分线相交于点O,过O点、作EF〃BC交AB于点、E,

交AC于点、F,过点。作0。，4c于。，下列四个结论：①EF=BE+CF；

®ZBOC=9Q°+-ZA,③点。到V4SC各边的距离相等；④设。£>=m，AE+AF=n,贝U

2

S.AEF=fn.其中，正确的是（只填写序号）

17.如图，在△4&D中，ZABC=45°,AC,AF为的两条高.

A

(1)求证：BE=AD.

(2)若过点C作CM〃48,交4D于点/，求证：BE=AM+EM.

18」阅读材料］我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，

而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的

正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为外宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种

纸片一张，内种纸片两张拼成了如图1)所示的一个大正方形.

(b)

(1)理解应用：观察图(6),用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个

等式.

(2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题:

①已知/+62=20，a+b-6,求ab的值;

2

②已知(2024-c)(c-2022)=1,求(2024—(c_2022)的值.

19.【生活常识】

射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1,是

平面镜，若入射光线NO与水平镜面夹角为/I,反射光线08与水平镜面夹角为/2,则/1=/2.

【应用探究】

有两块平面镜OM,ON,入射光线N8经过两次反射，得到反射光线CZX

(1)如图2,若OM1ON,试证明

(2)如图3,光线与CD相交于点P,若/MON=48°,求N8PC的度数；

(3)如图4,光线48与CD所在的直线相交于点尸，ZMON=a,ZBPC=/3,试猜想a与夕之间满足的数

量关系，并说明理由.

图1图2

图3图4

20.(1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接

起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1,V48C和

V4DE是顶角相等的等腰三角形，即45=ZC,AD=AE,S.ZBAC=ZDAE,分别连接

CE.求证：BD=CE；

(2)类比探究：如图2,V45C和VZDE都是等腰三角形，即48=ZC,AD=AE,且

ABAC=ADAE=90°,B,C,。在同一条直线上.请判断线段8。与CE存在怎样的数量关系及位

置关系，并说明理由.

(3)问题解决：如图3,若和△DCE均为等腰直角三角形，且C4=C5,CD=CE,

NACB=NDCE=90°,点、A,D,£在同一条直线上，C”为△QCE中边上的高，连接BE,

若AE=7,BE=2,请直接写出四边形4BEC的面积.

参考答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（）

A,2,3,4B.3,7,7C.2,2,6D.5,6,7

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了构成等腰三角形的条件，解题关键是熟记等腰三角形的性质及三边关系.

【详解】解：A.2,3,4不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误；

B.3,7,7符合构成等腰三角形的条件，符合题意，选项正确；

C.2,2,6不符合构成三角形的条件，不符合题意，选项错误；

D.5,6,7不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误，

故选：B

2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国

四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

的

B.

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【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、B,D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是

轴对称图形；

故选：C.

3.若点Z（加一6,3）与点5（2,〃+2）关于y轴对称,则加"（）

A.4B.1C.8D.20

【答案】A

【解析】

【分析】考查关于y轴对称的点的坐标特征，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反

数”列出方程求求出机=4,n=l,然后代入相〃求解即可.

【详解】•.•点2（机—6,3）与点8（2,〃+2）关于了轴对称，

，加一6+2=0,〃+2=3

解得：m=4,n=1

・•・m"=41=4.

故选：A.

4.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

A.(x+6)(x+4)-6xB.x(x+4)+24

C.4(x+6)+x2D.X2+24

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方

形的面积减去空白处小长方形的面积来计算.

【详解】解：A、大长方形的面积为：(x+6)(x+4),空白处小长方形的面积为：6x,所以阴影部分的面

积为(x+6)(x+4)-6x,故不符合题意；

B、阴影部分可分为两个长为x,宽为x+4和长为6,宽为4的长方形，他们的面积分别为x(x+4)和

4x6=24,所以阴影部分的面积为x(x+4)+24,故不符合题意；

C、阴影部分可分为一个长为x+6,宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4(x+6)

+x2,故不符合题意；

D、阴影部分的面积为x(x+4)+24=x2+4x+24,故符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，难度适中，解题时要注意利用数形结合的思想找出对应的数

量关系进行计算.

5.用提公因式法分解因式正确的是()

A.12abe-9a2b2c2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(^x2-x+2yj

C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y^x2+5x)

【答案】C

【解析】

【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案.

【详解】解：A、12abe-9a2b2c2=3abc(4-3abc),故本选项错误；

B、3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),故本选项错误；

C>-a2+ab-ac=-a(a-b+c),正确；

D、x2y+5xy-y=y(x2+5x-l),故本选项错误.

故选：C.

【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项.

6.如图，在V4SC中，AB=AC,NZ=36°,点。，尸分别是图中所作直线和射线与48,CQ的交

点.根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是()

A

C.ZPBC=ZACDD.Z5PC=118°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了作图-基本作图，利用基本作图得到AP平分N4BC,则可对B选项进行判断；利用

基本作图可得到。点为NC的垂直平分线与AB的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到D4=DC,所

以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出N4BC=NZC8=72。，则

NPBC=36°,接着利用DA=DC得到ZACD=ZA=36°,可对A、C选项进行判断根据三角形内角

和定理计算出ZBPC=108°,则可对D选项进行判断.

【详解】解：,.•/3=/C,ZA=36°,

ZABC=ZACJ3=~X(180°-36°)=72°,

ZPBC=-ZABC=36°,

2

由作图痕迹得到AP平分N48C,。点为ZC的垂直平分线与48的交点，

NABP=NCBP=36。,所以A选项不符合题意；

DA=DC,所以B选项不符合题意；

QDA=DC,

ZACD=ZA=36°,

ZPBC=ZACD=36°,

所以C选项不符合题意；

vZPBC=36°,ZACD=36°,

NPCB=36°,

ZBPC=180°-36°-36°=108°,

二.D选项符合题意.

故选：D.

7.如图，在等腰三角形ABC中，/ABC=90。，D为AC边上中点，过D点作DELDF交AB于E,交

BC于F,若四边形BFDE的面积为16,则AB的长为（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】A

【解析】

【分析】连接BD,根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD,ZC=ZABD=45°,根据直角三角形两锐角

互余的关系可得/FDC=/EDB,利用ASA可证明△EDB0/\FDC,可得S四边形BFDE=S^BDC=5S^ABC，

根据三角形面积公式求出AB的长即可得答案.

【详解】连接BD,

;等腰三角形ABC中，ZABC=90°,

...△ABC是等腰直角三角形，

.,.ZC=45°,

：D为AC边上中点，

.\BDXAC（三线合一），BD=CD=AD,ZABD=45°,

AZABD=ZC,

又：DEJ_DF,

ZFDC+ZBDF=ZEDB+ZBDF=90°,

；./FDC=/EDB,

NEBD=ZC

在AEDB与AFDC中，＜BD=CD,

ZEDB=NFDC

/.AEDB^AFDC（ASA）,

••S四边形BFDE=SABDC=ySAABC—16,

AyAB2=32,

；.AB=8,

故选A.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，根据全等得出S四边

形BFDE=S^BDC=ySAABC是解题关键.

8.若分式—的值为0,则x的值为（）

x+1

A.±1B.1C.-1D.无解

【答案】B

【解析】

【分析】根据分子等于零，分母不等于零列式求解即可.

【详解】解：由题意得

N-l=0且x+IWO,

解得

x=\,

故选B.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0,②

分母的值不为0,这两个条件缺一不可.

9.如图，已知△ABC,O是AABC内的一点，连接OB、OC,将NABO、NACO分别记为41、N2,贝U

N1、42、NA、lBOC四个角之间的数量关系是（）

A

a

Bc

A.zl+zB0C=zA+z2B.zl+z2+zA+zBOC=180°

C.Z1+Z2+ZA+ZBOC=360°D,zl+z2+zA=zB0C

【答案】D

【解析】

【分析】连接NO并延长，交BC于点。，由三角形外角的性质可知

/COD=/CAD+/2,再把两式相加即可得出结论.

【详解】解：连接/。并延长，交8c于点。，

•/ZBOD是AAOB的外角，ZCOD是△/OC的外角，

:./BOD=NBAD+/1①,/COZ)=/G4D+/2②，

①+②得，ZBOC=CZBAD+ZCAD)+Z1+Z2,ZBOC=ZBAC+Z1+Z2.

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答

此题的关键.

10.占希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形

数记为为,第二个三角形数记为的，…，第"个三角形数记为4，则％00-。99的值为()

A.99B.100C.199D.200

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了数字类规律探索，理解题意，确定“三角形数”的变化规律是解题关键.根据题

意,可知第"个三角形数为%=1+2+3+…+〃，据此即可获得答案.

【详解】解：根据题意，％=1,

a2=1+2=3,

%=1+2+3=6,

%=1+2+3+4=10,

%=1+2+3+4+5=15,

4=1+2+3+4+5+6=21,

cin=1+2+3+…+〃,

%oo-颊=(1+2+3+4+•••+98+99+100)-(1+2+3+4+•••+97+98+99)

=100.

故选：B.

第n卷选择题(120分)

二、填空题.(每小题4分，共24分)

11.已知，△ABC三ADEF,BC=EF=6cm,aABC的面积为18cm2,则EF边上的高是cm.

【答案】6

【解析】

【详解】本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高.

解：vAABC^ADEF

SADEF=SAABC=18cm

设EF边上的高为h,则，EF・h=18

2

即—x6xh=18

2

h=6

故填6.

12.一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是边形.

【答案】十

【解析】

【分析】先根据一个正多边形的内角和相邻外角的互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的

外角和等于360°即可求出正多边形的边数.

【详解】设正多边形的每个外角的度数为〃°,则内角为4〃。，

〃+4〃=180,

解得〃=36,

即这个多边形的数是：­=10.

36

故答案为：十.

【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是计算出一个外角的度数，进而得到边数.

13.给多项式+9添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是.（填

一个即可）

【答案】12x或—12x

【解析】

【分析】本题主要考查了完全平方式，可以把4好和9看作两平方项，则一次项可以为2x2xx3=12x,

据此可得答案.

【详解】解：由题意得，（2x）2±2x3x2x+32=（2x±3）\

则给多项式4必+9添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，添加的这个单项式可以是±12x,

故答案为：12x或-12x.

14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为.

【答案】60°或120。

【解析】

【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可.

【详解】解：①如图1,当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90。+30。=120。；

②如图2,当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°-30。=60°.

图I图2

故答案为60。或120°.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运

用相关性质是解答本题的关键.

24

15.若分式方程--+―；=—；有增根，则左=______.

X—1X—1X—1

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查分式方程的增根.将原分式方程去分母，变形为整式方程，用含左的式子表示出方程的

解，再根据分式方程有增根得到X-1=0,即可求出发的值.

）4丫k

【详解】解：--+--=—7，

X—1X—1X—1

去分母，得2+3x=左，

k

解得％=一^,

3

23xk

分式方程-7+1=—7有增根，

X—1X—1X—1

••x—1=0,

解得k=5,

故答案为：5.

16.如图，在V48C中，/4BC和/ZC5的平分线相交于点。，过。点作£尸〃交4B于点E,

交NC于点尸，过点。作0£>_L4C于。，下列四个结论：①EF=BE+CF；

®ZBOC=9Q0+-ZA；③点。到V4BC各边的距离相等；④设OD=?n,AE+AF=n,贝I

2

S“EF=：mn.其中，正确的是（只填写序号）

【答案】①②③④

【解析】

【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得②/5。。=90。+444正确；由角平分

2

线的定义和平行线的性质得出8£=。£,CF=OF,进而得出①£R=5E+C户正确；过点。作

。攸，幺5于河，作ONLBC千N,连接04,由角平分线的性质定理得出（W=ON=0。=加，

然后利用三角形的面积公式即可得出④=；加〃正确；由角平分线的性质定理得出

OM=ON=OD,于是可得结论③正确.

【详解】解：.•.在V45C中，N45C和//C5的平分线相交于点。，

NOBC=-NABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZOBC+NOCB=g(NABC+NACB)=；(180。—NZ)=90。—gNZ,

NBOC=180°-(NOBC+NOCB)=180°—190°—；NZ)=90°+g"

结论②正确；

•••在V4SC中,ZABC和ZACB的平分线相交于点。,

/LOBC=AOBE,ZOCB=ZOCF,

•/EF//BC,

AOBC=NEOB,ZOCB=ZFOC,

ZEOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

BE=OE,CF=OF,

EF=OE+OF=BE+CF,

..结论①正确;

如图，过点。作于/,作ONLBC于N,连接。N,

•••在V48C中,ZABC和NACB的平分线相交于点。,

OM=ON,ON=OD=m,

/.OM=ON=OD=m,

又,/AE+AF=n,

+S&AOF

…口"EF一口"OE

=-AEOM+--AF-OD

22

=~OD\AE+AF)

1

二—mn,

2

结论④正确；

•••在V4SC中，/45C和N/C5的平分线相交于点。，

0M=ON,ON=OD,

OM=ON=0D,

即点。到V48C各边的距离相等，

结论③正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角

平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

17.如图，在△25。中，NZ5c=45°,AC,89为△25。的两条高.

A

(1)求证：BE=AD.

(2)若过点C作CM〃/8,交/。于点/，求证：BE=AM+EM.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】⑴求出=NACD=NBCE,AC=BC,证出V8CE4VNCO(ASA),即可

得到3E=4D；

(2)求出CE=C。，NECM=NDCM,证VCEW©/CDM(SAS),推出〃E=即可得出答

案.

【小问1详解】

■-AC,AF是高，

ZBCE=ZACD=ZAFE=90°,

ZAEF=ZBEC,ACAD+AAFE+ZAEF=180°,ZEBC+ZBCE+ZBEC=180°,

ADAC=ZEBC,

•••ZACB=90°,ZABC=45°,

ZBAC=45°=NABC,

：.BC^AC,

在ASCE和"CD中

ZBCE=ZACD

<BC=AC

ZEBC=ZDAC

:NBCE^VACD(ASA),

•1•BE=AD.

【小问2详解】

•••CM//AB,

."MCE=ABAC=45°,

■.■ZACD=9Q°,

ZMCD=45°=NMCE,

・•・ABCE以A4CD,

CE=CD,

在ACEN和VC。/中

CE=CD

<ZECM=ZDCM

CM=CM

:NCEM^VCDM(SAS),

•••ME=MD，

•1.BE=AD=AM+DM=AM+ME,

即BE=ZM+EN.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的内角和定理，垂直定义，等腰三角

形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力.

18」阅读材料］我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，

而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的

正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为外宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种

纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（6）所示的一个大正方形.

(b)

（1）理解应用：观察图。），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个

等式.

（2）拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：

①已知a2+〃=20，a+b=6,求ab的值；

②已知（2024一c）（c-2022）=1,求（2024-c）2（c-2022）2的值.

【答案】（1）理解应用：（x+y）2—2町=/+/；

（2）拓展升华：①ab=8；②2

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键.

理解应用图中阴影部分面积=大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积=两个正方形的面

积的和，即可得到等式；

拓展升华：①根据拓展升华中的公式，将/+〃=20，a+b=6,代入即可；②根据拓展升华中的公式,

将（2024-c）（c-2022）=1,且（2024-c）+（c-2022）=2代入即可.

【小问1详解】

理解应用：图6中阴影部分的面积=(x+y)2-2町

图b中阴影部分的面积=/+/,

等式为(x+v)"-2xy-x~+y2；

【小问2详解】

拓展升华：①由理解应用可得(a+6)2—2仍=/+〃

当。2+/=20，a+b=6,时，36-2ab=20,

解得仍=8；

©V(2024-c)(c-2022)=1,且(2024—c)+(c—2022)=2,

根据拓展升华中的等式可得

[(2024-c)+(c-2022)1_2(2024-c)(c-2022)=(2024-c)2+(c-20227,

(2024-c)2+(c-2022)2=2?—2=2.

19.【生活常识】

射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1,是

平面镜，若入射光线工。与水平镜面夹角为N1,反射光线。2与水平镜面夹角为N2,则N1=N2.

【应用探究】

有两块平面镜OM,ON,入射光线经过两次反射，得到反射光线CD.

(1)如图2,若OM1ON,试证明N8〃C£＞；

(2)如图3,光线N5与CD相交于点尸，若/MON=48。,求N2PC的度数；

(3)如图4,光线与CD所在的直线相交于点尸，ZMON=a,NBPC=/3,试猜想a与/之间满足的数

量关系，并说明理由.

图3图4

【答案】(1)见解析(2)84。

(3)B=2a,理由见解析

【解析】

【分析】(1)iZ^C+Z5CD=180o-Z3-Z4+180°-Zl-Z2=360o-2(Z2+Z3)=180°,可证；

(2)由(1)求得NZ3C+NBCZ)的值，即可求解；

(3)由N尸3D+N尸=NO+N4,Z3=Z4=ZO+Z2,N1=N2=NP3。可得Nl+/?=a+a+Nl,可求解.

【小问1详解】

证明：YOM工ON

：.ZMON=90°

：.Z2+Z3=90°

又\・N1=N2,Z3=Z4,

・•・/ABC+NBCD

=180°-Z3-Z4+180°-Zl-Z2

=360°-2(Z2+Z3)

=360。-2乂90。

=180°

：.AB//CD.

【小问2详解】

解：,:/MON=4&。

：.Z2+Z3=132°

由(1)可知，

ZABC+ZBCD

=180°-Z3-Z4+180°-Zl-Z2

=360°-2(Z2+Z3)

=360°-2xl32°

=96°

AZ5PC=180°-(/ABC+/BCD)=180°-96°=84°.

【小问3