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文档简介
专题03平行线与三角形综合特训(压轴30题)
选择题(共7小题)
1.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置.下列结论:
(1)Z1=Z2;(2)Z2+Z4=90°;(3)Z3=Z4;(4)Z4+Z5=180°;(5)Z1+
Z3=90°.
其中正确的共有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
【答案】A
【解答】解:如图,根据题意得:AB//CD,ZFEG=90°,
;./l=N2,Z3=Z4,Z4+Z5=180°,/2+N4=90°;
故(1),(2),(3),(4)正确;
/.Zl+Z3=90°.
故(5)正确.
...其中正确的共有5个.
故选:A.
2.如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需
C.8D.9
【答案】B
【解答】解:五边形的内角和为(5-2)X18O0=540°,
所以正五边形的每一个内角为540°+5=108°,
如图,延长正五边形的两边相交于点。,则/1=360°-108°X3=360°-324°=36°,
360°+36°=10,
;已经有3个五边形,
A10-3=7,
即完成这一圆环还需7个五边形.
故选:B.
3.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点、D,£分别是边A8、AC上,
将△ABC沿着。E重叠压平,A与A'重合,若乙4=70°,贝叱1+/2=()
【答案】A
【解答】解::四边形AIM'E的内角和为(4-2)780°=360°,
而由折叠可知NAED=/A'ED,ZADE=ZA,DE,ZA=ZA',
:.ZAED+ZA1ED+ZADE+ZA'DE=360°-NA-NA'=360°-2X70°=220°,
;./l+N2=180°X2-CZAED+ZA'ED+ZADE+ZA'DE)=140°.
故选:A.
4.如图所示,己知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律,用2008个这样的三
角形镶嵌而成的四边形的周长是()
A.2008B.2009C.2010D.2011
【答案】C
【解答】解:由图中可知:1个三角形组成的图形的周长是3;
2个三角形组成的图形的周长是3+1=4;
3个三角形组成的图形的周长是3+2=5;
那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2007=2010.
故选:C.
5.如图,在△ABC中,BE,CE,CD分别平分NA8C,ZACB,ZACF,AB//CD,下列
结论:®ZBDC=ZBAC;②N8EC=90°+ZABD;
③/CA8=/CBA;®ZADB+ZABC=9Q°,其中正确的为()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
【答案】C
【解答】解:•.•。平分/人中,ZACF=ZABC+ZBAC,
:.ZACD=ZDCF=^ZACF=1ZABC+1ZBAC.
222
ZDCF=/DBC+/BDC=L/ABC+NBDC,
2
:.^ZBAC=ZBDC,即NBAC=2NBr)C,①错误;
2
:CE平分NACB,
ZACE=1.ZACB,
2
VZACB+ZACF=180°,
/.ZACE+ZACD=9Q°,即NEC£>=90°,
AZBEC=ZECD+ZCDB=90°+ZCDB,
':CD//AB,
:.ZCDB=ZABD,
:.ZBEC=90°+ZABD,故②正确;
•.•8。平分/(7氏4,
・•・NCBA=2/ABD=2/CDB,
ZBAC=2ZBDC9
:.ZCAB=ZCBA9故③正确;
;瓦)平分NABC,CO平分NACF,
:.AD为LABC外角ZMAC的平分线,
VZMAC=ZABC+ZACB.ZMAD=ZABD+ZADB,ZABC=2ZABD,
:.ZACB=2ZADBf
:.ZADB=ZACEf
9:CD//AB,
:.ZABC=NDCF=ZACDf
VZACE+ZACD=90°,
AZADB+ZABC=90°,故④正确.
故选:C.
6.如图,在△ABC中,延长CA至点R使得A/=CA,延长AB至点D使得5£)=2A5,
延长至点E,使得CE=3CB,连接EF、FD、DE,若S2EF=36,则5“8。为()
A.2B.3C.4D.5
【答案】A
【解答】解:如图,连接AE,CD,设AABC的面积为根.
':BD=2ABf
:.丛BCD的面积为2m,AACD的面积为3m,
\tAC=AF,
:.ZkAO尸的面积=2\人。0的面积=3根,
・:EC=3BC,
•••△ECA的面积=3m,△E0C的面积=6根,
*:AC=AF,
:.AAEF的面积=/k£4。的面积=3根,
ADEF^®S\=m+2m+6m+3m+3m+3m=18m=36,
•・772■—2,
...△ABC的面积为2,
故选:A.
7.若一个多边形截去一个角后,变成十四边形,则原来的多边形的边数可能为()
A.14或15B.13或14
C.13或14或15D.14或15或16
【答案】C
【解答】解:如图,〃边形,AL42A3…4,
若沿着直线4A3截去一个角,所得到的多边形,比原来的多边形的边数少1,
若沿着直线4M截去一个角,所得到的多边形,与原来的多边形的边数相等,
若沿着直线MV截去一个角,所得到的多边形,比原来的多边形的边数多1,
因此将一个多边形截去一个角后,变成十四边形,则原来的多边形的边数为13或14或
15,
故选:C.
△
8.如图所示,在三角形ABC中,AC=3AE,三角形ABD的面积是三角形AOC面积的2倍,
则阴影部分的面积占三角形ABC面积的=_3_.
【答案】亘.
7
【解答】解:连接0C,
则SAAOE=LSAEOC,
2
SAODC=—SABOD,
2
又*•,SAADC=—SMBD,
2
SAAOC+SAODC=—(SMOB+SABOD),
2
SAAOC=A.5AAOB
2
设S/^AOE=lTly
贝US/\0EC=2m,S/\AOC=3m,SAAOB=6ITI,
=
,**S/\ABD-S/\BEC—S/\ABC>
2
•••SAAOB=S四边形EOZ)C=6"2,
:.SAODC—4m,S^BOD=8m,
・・SAABC=21加,
阴影部分的面积占三角形ABC面积de型配=旦.
21m7
9.如图,△ABC的外角/ACZ)的平分线CP与内角NABC平分线BP交于点P,若NBPC
=36°,则/CAP=54°.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:过P点作PELB4于凡PNLBD于N,PM_LAC于M,
设/PCD=x°,
平分/AC£),
Z.ACP=APCD=x°,PM=PN,
:BP平分/ABC,
ZABP=ZPBC,PF=PN,
;.PF=PM,
又•.,PF'_LBA于尸,PAfJ_AC于M,
ZFAP=APAC.
<NBPC=36°,
;./ABP=NPBC=(x-36)°,
:.ZBAC=ZACD-ZABC^2x°-(尤。-36°)-(x°-36°)=72°,
AZCAF=108°,
:.ZFAP=ZPAC=54°.
故答案为:54。.
cND
10.如图,在△ABC中,/A=a,/ABC的平分线与NAC£)的平分线交于点4,得/Ai,
则/4=A.N4BC的平分线与NA1C。的平分线交于点A2,得NA2,…,/A2009BC
一2—
的平分线与/A2009CD的平分线交于点A2010,得NA2010,贝!1/42010=———.
-22010-
【答案】见试题解答内容
【解答】解:VZACD^ZA+ZABC,ZAiCD=ZA}+ZA}BC,ZACD=2ZA\CD,Z
ABC=2ZAiBC,
:.2ZAiCD=ZA+2ZAiBC,即NAiCO=_l/A+/4BC,
2
—等专
由此可得/4加。=品
故答案为:色,a
222010
11.已知△ABC中,/A=a.在图(1)中48、/C的角平分线交于点。1,则可计算得/
801C=90°+La;在图(2)中,设N8、ZC的两条三等分角线分别对应交于。1、
2
02,则/BO2C=60°+2a;请你猜想,当/B、/C同时w等分时,("7)条等分
3-
角线分别对应交于。1、02,On-1,如图(3),则/BOn_1C=_';£1.)%1800
nn
(用含"和a的代数式表示).
【答案】见试题解答内容
【解答】解:在△ABC中,;/A=a,
Z.ZABC+ZACB=180°-a,
':O2B和02c分别是/8、ZC的三等分线,
J.ZOiBC+ZOiCB=l.CZABC+ZACB)=2(180°-a)=120°-2a;
333
.♦./BO2c=180°-(NO2BC+NO2CB)=180°-(120°-2a)=60°+2a;
33
在△ABC中,VZA=a,
:.ZABC+ZACB=180°-a,
,.•。〃一12和0人1。分别是/2、NC的"等分线,
.".ZOniBC+ZOniCB^^1(ZABC+ZACB)=.n-1(180°-a)=18。°_31)
nnn
_(n-1)a
n
180
:.ZBOn-iC=180°-(ZOn-iBC+ZO«-iCB)=180°-(°~"-1)一(n-1)二)
nn
=(n-l)a上180°
nn
故答案为:600+2a;(n-l)a+180°
3nn
12.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同,如图,若ZABC=120°,
ZBCD=S0°,则NC0E=20度.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:过点C作C/〃A5,
已知珠江流域某江段江水流向经过3、C、。三点拐弯后与原来相同,
J.AB//DE,
J.CF//DE,
:.ZBCF+ZABC=iS0°,
:.ZBCF=60°,
:.ZDCF=20°,
:.ZCDE=ZDCF=20°.
故答案为:20.
A
13.如图,在△ABC中,/A=a、/ABC与/AC。的平分线交于点4,得/Ai;ZA1BC
与/A1CD的平分线相交于点念,得乙42;…;NA2010BC与NA2010CZ)的平分线相交于
点A2011,得/A20U,则NA2011=_―——__.
【解答】解:与NACD的平分线交于点4,
ZAi=180°-XzACD-ZACB-AZABC
22
=180°-A(ZABC+ZA)-(180°-ZA-ZABC)-IzABC
22
=AZA
2
_a
三
同理可得,NA2=」NAI=Q-,
222
_a_
NA2011=
22011
故答案为:,
14.如图,在第1个△ABAi中,ZB=40°,ZBAAi^ZBAiA,在43上取一点C,延长
441到A2,使得在第2个△4CA2中,ZAICA2=ZA1A2C;在A2c上取一点D,延长4A2
到A3,使得在第3个△?12m3中,ZA2DA3^ZA2A3D;■■■,按此做法进行下去,第3个
三角形中以A3为顶点的内角的度数为17.5。;第,个三角形中以4为顶点的底角的
度数为_工£^_.
B
【答案】见试题解答内容
【解答】解::在△AB4中,NB=40。,AB^AiB,
:.ZBAiA=A(180°-ZB)=■!(180°-40°)=70°,
22
\-AIA2=AIC,ZBAIA是△AL42c的外角,
.,.ZCA2Ai=izBAiA=Ax70o=35°;
22
同理可得,ZDA3A2=AX70°=17.5°,NEA4A3=」X70。,
48
以此类推,第〃个三角形的以4为顶点的底角的度数=理二.
2kl
故答案为:17.5°,生丁.
2n
15.如图。是长方形纸带,ZDEF=a0,将纸带沿EF折叠成图"再沿8尸折叠成图c,
则图c中的NCFE的度数是(180-3a)°(用含a的代数式表示).
图a
【答案】180-3a.
【解答】\'AD//BC,NDEF=a°,
:.ZBFE=ZDEF=a,
:.ZEFC=180°-a°(图a),
:.ZBFC=ZBFC=180°-a°-a0=180°-2a°(图6),
.,.ZCF£=180°-2a°-a0=180°-3a°(图c).
故答案为:180-3a.
三.解答题(共15小题)
16.已知ABC。为四边形,点E为边A8延长线上一点.
【探究】:
(1)如图1,ZADC=110°,NBCD=120°,和NCBE的平分线交于点况则
NAFB=25°;
(2)如图2,ZADC^a,NBCD=0,且a+0>18O°,NZMB和NCBE的平分线交于
点、F,则NAFB=—-1.Q+yP-90°—;(用a,B表示)
(3)如图3,ZADC=a,ZBCD=^,当/D48和/CBE的平分线AG,平行时,a,
B应该满足怎样的数量关系?请证明你的结论;
【挑战】:
如果将(2)中的条件a+0>18O°改为a+B<180°,再分别作ND4B和NC2E的平分线,
若两平分线所在的直线交于点R则/AEB与a,0有怎样的数量关系?请画出图形并直
接写出结论.
DG
图1图2图3
【答案】(1)25°;
(2)ya+yp-90°;
(3)若AG〃BH,则a邛=180°;90°
22
【解答】解:(1)如图1.
:BF平分NCBE,AF平分ND4B,
ZFBE=1ZCBE,ZFAB=1ZDAB.
22
•;ZD+ZDCB+ZDAB+ZABC=360a,
ZZ)AB+ZABC=360°-ZD-ZDCB
=360°-120°-110°=130°.
又;NF+NEiB=/FBE,
AZF=ZFBE-ZMB=1ZCBE_1ZDAB
=y(ZCBE-ZDAB)(1800-ZABC-ZDAB)
=_L(180°-130°)
2
=25°;
(2)如图2.
由(1)得:NAF2=£(]80。_/gc-/DAB>/D4B+NABC=36O°-ZD-ZDCB.
;•/AFB=y(180°-360°+ZD+ZDCB)
■|ZD+yZDCB-90°=>|-Cl-kj-p-90°-
(3)若AG〃BH,则a+0=18O°.
证明:如图3.
若AG〃BH,则
,・,AG平分NZM3,BH平分NCBE,
:.ZDAB^2ZGAB.ZCBE=2ZHBE.
:.ZDAB=ZCBE.
J.AD//BC.
:.ZZ)AB+ZZ)CB=a+p=180o.
挑战:如图4.
AZBAM=1/DAB,ZNBE=yZCBE-
VZZ)+ZZ)AB+ZABC+ZBCZ)=360o,
・•・ZZ)AB+ZABC=360°-ZD-50)=360°-a-p.
JZDAB+1800-ZCBE=360°-a-p.
:.ZDAB-ZCBE=180°-a-p.
•IZABF与ZNBE是对顶角,
:.ZABF=ZNBE.
又〈NF+/ABF=ZMAB,
:.ZF=ZMAB-ZABF.
ZF=-^ZDAB-ZNBE^-ZDAB-yZCBE
(ZDAB-ZCBE)(180°-Cl-p)
=90。-lJLR.
2a2P
17.已知直线MN与P。互相垂直,垂足为。,点A在射线。。上运动,点8在射线OM上
运动,点A,B均不与点。重合.
(1)如图1,A/平分/8AO,8/平分/A8O,则/A/B=135°.
(2)如图2,4/平分NA4O交OB于点/,BC平分NABM,BC的反向延长线交A/的延
长线于点D
①若N2AO=30。,则/ADB=45°.
②在点A,B的运动过程中,/AZJ8的大小是否会发生变化?若不变,求出/AZJ8的度
数;若变化,请说明理由.
(3)如图3,已知点E在54的延长线上,NBA。的平分线A/,NOAE的平分线A尸与
N20P的平分线所在的直线分别相交于点。,F.在尸中,如果有一个角的度数是
另一个角的3倍,请直接写出NA8。的度数.
【答案】(1)135°;(2)①45°,②不变.NADB=45°(3)60°或45
【解答】解:(1)平分NBA。,8/平分乙48。,
ZOBI=ZABI-|ZOBAZOAI=ZBAI=|ZOAB-
ZBZC=180°-NIBA-ZIAB
=180°-yZOBA-yZOAB
=180°-y(ZOBA+ZOAB)
=180°-y(180°-ZBOA)
=180°-90°4JZB0A
=90°+a,
•・•直线MN与尸。互相垂直,垂足为。,
:.ZBOA=90°,
•,-ZAIB=90°-^X90°=135°,
故答案为:135°.
(2)①:直线MN与P。互相垂直,垂足为。,
:.ZBOA=9Q°,
:/区40=30°,
:.ZABM=120°,
:A/平分/BAO交OB于点I,BC平分NABM,
AZCBA=yZABM=yX120o=60°,zgAD=yZBA0=yX300=15。,
AZADB=ZCBA-ZBAD=60°-15°=45°,
故答案为:45.
②不变,NADB=45°.
设NR4O=a,
•••4平分N3A0交03于点/,BC平分用,
;•ZBAI=yZOBA=yCl,ZMBA=90-
ZCBA=yZMBA=y(90°+a)=45°卷a,
NADB=NCBA-NBAD=45°a—^-a=45。,
不变,ZADB=45°.
(3):NBAO的平分线A/,NOAE的平分线AF,
AZDAF=9Q°,
:一个角是另一角的3倍,
•••分两种情况讨论:
①当/D4尸=3NA。尸时,ZADF=30°,
:。厂为NBOP的平分线,
:.ZDOA=135
:.ZOAI^15
;./。48=30°,
AZOBA=90°-30°=60°;
②当/A阳=3NA。/时,ZA£>F=22.5°,
:。/为/BOP的平分线,
:.ZDOA=135°,
:.ZOAI=22.5°,
:.ZOAB=45
AZOBA=90°-45°=45°.
等于60°或45°.
18.直线MN与直线P。垂直相交于。,点A在直线P。上运动,点B在直线MN上运动.
(1)如图1,已知AE、BE分别是/8A。和/AB。角的平分线,点A、B在运动的过程
中,ZAEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,
试求出/AEB的大小.
(2)如图2,已知AB不平行CD,AZ)、8c分别是NA4P^ZABM的角平分线,又DE、
CE分别是NAOC和/BC。的角平分线,点A、B在运动的过程中,/CE。的大小是否
会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.
(3)如图3,延长54至G,已知/54。、/OAG的角平分线与/B。。的角平分线及延
长线相交于E、F,在△?1所中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求NA8。的度数.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)的大小不变,
:直线MN与直线PQ垂直相交于0,
:.ZAOB=90°,
AZOAB+ZOBA=90°,
,:AE,BE分别是NBA。和乙42。角的平分线,
:.ZBAE=^ZOAB,ZABE=^ZABO,
22
AZBAE+ZABE=1.CZOAB+ZABO)=45°,
2
AZA£B=135°;
(2)NCE£)的大小不变.
延长A。、BC交于点F.
:直线MN与直线P。垂直相交于O,
:.ZAOB=90",
AZOAB+ZOBA=90°,
ZPAB+ZMBA=270°,
,.'AD,BC分别是N2AP^ZABM的角平分线,
:.ZBAD=1ZBAP,ZABC=1ZABM,
22
:.ZBAD+ZABC=1.(ZPAB+ZABM)=135°,
2
:.ZF=45°,
AZFDC+ZFCD^135°,
:.ZCDA+ZDCB^225°,
:DE、CE分别是N4DC和/BC。的角平分线,
AZCDE+ZDCE=U2.5°,
;./E=67.5°;
(3)与/B。。的角平分线相交于E,
:.ZEAO=1ZBAO,ZEOQ=1ZBOQ,
22
:.ZE=ZEOQ-Z£AO=A(ZBOQ-NBA。)=AZABO,
22
,:AE,AF分别是/BA。和N04G的角平分线,
AZEAF=90°.
在△AEP中,
:有一个角是另一个角的3倍,故有:
①NEAF=3NE,NE=30°,NABO=60°;
②匕EAF=32F,NE=60°,ZABO=120°(舍去);
③NF=3/E,ZE=22.5°,ZABO=45°;
@Z£=3ZF,ZE=67.5°,ZABO=U5°(舍去).
19.已知CM点8为平面内一点,ABLBC^B.
(1)如图1,直接写出NA和NC之间的数量关系NA+/C=90°;
(2)如图2,过点8作于点。,求证:NABD=NC;
(3)如图3,在(2)间的条件下,点E、尸在DM上,连接BE、BF、CF,BE平分/
DBC,BE平分NAB。,ZFCB+ZNCF=180°,ZBFC=3ZDBE,求NEBC的度数.
BD._/_M
D_EAFM
士-C工"图2c守
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,
BD._A__M
DwE用FM
图1C
图2图3
9:AM//CN,
:.ZC=ZAOB.
VABXBC,
ZA+ZAOB=90°,
AZA+ZC=90°,
故答案为:ZA+ZC=90°;
(2)如图2,过点5作5G〃/)M,
VBDXAM,
:.DB±BG,gpZABD+ZABG=90°,
XVABXBC,
:.ZCBG+ZABG=90°,
・•・NABD=/CBG,
9
:AM//CNfBG//AM,
:.CN//BG,
:.ZC=ZCBG,
:.ZABD=ZC;
(3)如图3,过点8作BG〃0M,
•・・5尸平分NO5C,BE平分NABD,
:.ZDBF=ZCBF,ZDBE=/ABE,
由⑵可得NA8O=NC3G,
・•・ZABF=ZGBF,
设NDBE=a,ZABF=^,则
ZABE=a,ZABD=2a=ZCBG,ZGBF=^=ZAFB,/BFC=3/DBE=3a,
ZAFC=3a+P,
VZAFC+ZNCF=180°,/FCB+/NCF=184°,
・•・N尸CB=NA尸。=3a+0,
△BC/中,由NC8b+NBbC+NBCT=180°,可得
(2a+0)+3a+(3a+0)=180°,①
由4B_LBC,可得
p+p+2a=90°,②
由①②联立方程组,解得a=15°,
AZABE^15°,
ZEBC=ZABE+ZABC=15°+90°=105°.
20.如图,已知直线/3、/4和人、/2分别交于点A、B、C、D,点尸在直线/3或/4
上且不与点A、B、C、。重合.记/PFB=/2,/EPF=/3.
(1)若点尸在图(1)位置时,求证:Z3=Z1+Z2;
(2)若点尸在图(2)位置时,请直接写出Nl、N2、N3之间的关系;
(3)若点尸在图(3)位置时,写出/I、乙2、N3之间的关系并给予证明;
(4)若点尸在C、D两点外侧运动时,请直接写出/I、N2、N3之间的关系.
【解答】解:(1)证明:过尸作P。〃/1〃/2,
由两直线平行,内错角相等,可得:
N1=NQPE、Z2=ZQPF;
':Z3=ZQPE+ZQPF,
AZ3=Z1+Z2.
(2)Z3=Z2-Zl;
证明:过尸作直线尸。〃/1〃/2,
则:N1=NQPE、Z2=ZQPF;
*:Z3=ZQPF-ZQPE,
AZ3=Z2-Zl.
(3)N3=360°-Zl-Z2.
证明:过尸作尸。〃/1〃/2;
同(1)可证得:N3=NCEP+NDFP;
VZCEP+Z1=18O°,ZDFP+Z2=180°,
.•.ZCEP+Z£>FP+Z1+Z2=36O°,
即N3=360°-Zl-Z2.
(4)过尸作尸。〃/1〃/2;
①当尸在。点上方时,
同(2)可证:Z3=ZDFP-ZCEP;
VZCEP+Z1=18O°,ZZ)FP+Z2=180°,
:.ZDFP-/CEP+/2-N1=O,
即N3=/l-Z2.
②当尸在。点下方时,
Z3=Z2-Z1,解法同上.
综上可知:当尸在C点上方时,Z3=Z1-Z2,当尸在。点下方时,Z3=Z2-Z1.
21.如图1,已知线段AB,。相交于点。,连接AQ,CB,我们把形如图1的图形称之为
“8字形”.如图2,在图1的条件下,/D4B和NBCD的平分线AP和CP相交于点尸,
并且与CD,AB分别相交于点M,N,试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出/A、/B、/C、之间的数量关系;
(2)在图2中,若/。=40°,ZB=36°,试求/尸的度数;
(3)如果图2中/。和48为任意角时,其他条件不变,试问NP与N8之间存
在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)在△A。。中,ZAOD=180°-ZA-ZD,
在△30C中,ZBOC=180°-ZB-ZC,
VZAOD=ZBOC(对顶角相等),
.•.180°-ZA-ZD=180°-ZB-ZC,
:.ZA+ZD=ZB+ZC;
(2)VZD=40°,ZB=36°,
.\ZOAD+40°=NOCB+36°,
:.ZOCB-ZOAD=4°,
,:AP.CP分别是NZMB和NBCD的角平分线,
:.ZDAM^^.ZOAD,NPCM=L/OCB,
22
又•:ZDAM+ZD=ZPCM+ZP,
AZP=ZDAM+ZD-ZPCM=^(ZOAD-ZOCB)+ZD=^X(-4°)+40°=38°;
(3)根据“8字形”数量关系,ZOAD+ZD=ZOCB+ZB,ZDAM+ZD=ZPCM+ZP,
所以,ZOCB-ZOAD=ZD-ZB,ZPCM-ZDAM^ZD-ZP,
VAP>CP分别是NZMB和NBC。的角平分线,
:.ZDAM=^LZOAD,ZPCM=^ZOCB,
22
.".A(ZD-ZB)=ZD-ZP,
2
整理得,2NP=NB+ND.
22.如图(1),在△ABC中,/ABC、NACB的平分线相交于点。
(a)若NA=60°,求/8OC的度数;
(b)若NA=〃°,则/8OC=90°+△〃°;
(c)若N2OC=3/A,则NA=36°;
(2)如图(2),在AA'B'C中的外角平分线相交于点。',ZA/=40°,求N8'
O'C的度数;
(3)上面(1),(2)两题中的乙BOC与NB'O'C有怎样的数量关系?
0,
⑵
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)(a)VZABC./AC8的平分线相交于点O,
.*.zi=AZABC,Z2=AZACB,
.\Z1+Z2=ACZABC+ZACB)(180°-/A)=Ax(180°-60°)=60°,
222
:.ZBOC=180°-60°=120°;
(6))ZABC.NACB的平分线相交于点O,
.\ZI=AZABC,Z2=AZACB,
22
.•.Z1+Z2=A(ZABC+ZACB)(180°-NA)=Ax(180°-n)=90°-A
2222
n°,
.*.ZBOC=180°-(90°-A«°)=90°+A«°.
22
故答案为:90°+ln°;
2
(c)ZABC,NACB的平分线相交于点O,/2OC=3NA,
:.Z1=1.ZABC,Z2=^ZACB,
22
.\Z1+Z2=ACZABC+ZACB)=A(180°-ZA)=90°-AZA,
222
.\90°-AZA+3ZA=180°,解得NA=36°
2
故答案为:36°;
(2)VZAZ=40°,
:.ZA'的外角等于180°-40°=140°,
•••△A'B'C另外的两外角平分线相交于点O,三角形的外角和等于360°,
.•.Z1+Z2=AX(360°-140°)=110°,
2
:.ZB'O'C=180°-110°=70°;
(3):由(1)知,/BOC=I"+/A,
2
由(2)知,ZB'O'C=180°-1苫。0+/A,
2
:.ZB'O'C=180°-ZBOC.
23.已知,BC//OA,ZB=ZA=100°,试回答下列问题:
(1)如图1所示,求证:OBIIAC;
(2)如图2,若点E、尸在8c上,且满足NPOC=/AOC,并且OE平分/8。尸.试求
ZEOC的度数;
(3)在(2)的条件下,若平行移动AC,如图3,那么N0C8:N。"的比值是否随之
发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)':BC//OA,
:.ZB+ZO^18Q°,XVZB=ZA,
AZA+ZO=180°,
:.OB//AC;
(2)VZB+ZBOA=180°,ZB=100°,
:.ZB0A^8Q°,
:06平分/3。尸,
ZBOE=ZEOF,
又,:Z.FOC=ZAOC,
:.ZEOF+ZFOC=1-(/BOF+NFOA)=AZBOA=40°;
22
(3)结论:ZOCB:NOFB的值不发生变化.理由为:
'JBC//OA,
:.ZFCO=ZCOA,
又,:Z.FOC=ZAOC,
J.ZFOC^ZFCO,
:.ZOFB=ZFOC+ZFCO=2ZOCB,
:./OCB:NOFB=1:2=工;
2
24.有一款灯,内有两面镜子A3、BC,当光线经过镜子反射时,入射角等于反射角,即图
1、图2中的/1=/2,Z3=Z4.
(1)如图1,当ABL8C时,说明为什么进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相
平行.
(2)如图2,若两面镜子的夹角为a°(0<a<90)时,进入灯内的光线与离开灯的光
线的夹角为(0<0<90),试探索a与0的数量关系.
(3)若两面镜子的夹角为a。(90<a<180),进入灯内的光线与离开灯的光线所在直
线的夹角为p°(0<p<90).直接写出a与0
的数量关系.
【答案】见试题解答内容挈a与冬甘/
【解答】(1)证明:如图1所示:I/'*■,
二
又:N5=18O°-Z1-Z2=180°-2Z2,r-
;./5=180°-2Z2,电’3
同理/6=180°-2Z3,
;/2+/3=90°,
.•.Z5+Z6=180°,
.,.EF//GH,
即进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相平行.
(2)解:2a+p=180°,理由如下:
如图2所示:
由(1)所证,有N5=180°-2Z2,Z6=180°-2Z3,
VZ2+Z3=180°-Na,
;./B=180°-Z5-Z6=2(Z2+Z3)-180°=2(180°-Na)-180°=180°-2
Na,
;.a与0的数量关系为:2a+p=180°,
(3)解:2a-p=180°.
图2
25.如图,四边形ABC。,BE、OP分别平分四边形的外角和NNZ5C,若N54D=a,
ZBC£»=p.
(1)如图1,若a+0=lO5°,求NM2C+/NDC的度数;
(2)如图1,若8E与。尸相交于点G,ZBGD=45°,请直接写出a,0所满足的数量
关系式;
(3)如图2,若a=0,判断BE,。尸的位置关系,并说明理由.
【答案】⑴105°;
(2)p-a=90°(或a-0=-90°等均正确);
(3)BE//DF,理由见答案.
【解答】解:(1)••,四边形A8CO的内角和为360°,
.,.a+B=/A+NBC£)=360°-CZABC+ZADC),
':ZMBC和ZNDC是四边形ABCD的外角,
:.ZMBC=180°-ZABC,ZNDC=1SO°-ZADC,
:.ZMBC+ZNDC=ISO0-ZABC+1800-ZADC
=360°-CZABC+ZADC),
=a+0
=105°;
(2)p-a=90°(或a-0=-90°等均正确).
理由:如图1,连接
图1
由(1)有,ZMBC+ZNDC=a+^,
:BE、。尸分别平分四边形的外角NA/BC和ZNDC,
:.ZCBG=^-ZMBC,4CDG=L/NDC,
22
:.ZCBG+ZCDG^^-ZMBC+l.ZNDC^l-(/MBC+/NDC)=•1(a+B),
2222
在△BCD中,ZBDC+ZCBD=1800-ZBC£>=180°-0,
在△2£>G中,ZBGD=45°,ZGBD+ZGDB+ZBGD=180°,
:.ZCBG+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=ISO°,
(ZCBG+ZCDG)+CZBDC+ZCBD)+ZBGD=180°,
(a邛)+180°-p+45°=180°,
2
Ap-a=90°.
(3)BE//DF.
理由:如图2,过点C作C尸〃BE,
则/班。=/2。尸,
ZDCP=ZBCD-ZBCP=^-ZEBC,
由(1)知NM8C+NNOC=a+0,
Va=P,
:.ZMBC+ZNDC=2^f
又,:BE、。厂分别平分NAffiC和NNDC,
:.ZEBC+ZFDC=1-(/MBC+NNDC)=0,
2
.,.ZF£)C=p-ZEBC,
又:N£)CP=B-ZEBC,
:.ZFDC=ZDCP,
J.CP//DF,
又CP//BE,
C.BE//DF.
26.已知,A8〃C。,点E为射线FG上一点.
(1)如图1,若/EAP=30°,ZEDG=40°,则/AED=70°;
(2)如图2,当点E在尸G延长线上时,止匕时CD与AE交于点”,则/AED、ZEAF.
NEDG之间满足怎样的关系,请说明你的结论;
(3)如图3,D/平分/EDC,交AE于点K,交4于点/,且/EA/:ZBAI=1:2,Z
AED^22°,N/=20°,求NEKZ)的度数.
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