苏科版七年级数学下册压轴题：平行线与三角形综合特训（压轴30题）解析版

专题03平行线与三角形综合特训（压轴30题）

选择题（共7小题）

1.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置.下列结论:

(1)Z1=Z2；(2)Z2+Z4=90°；(3)Z3=Z4；(4)Z4+Z5=180°；(5)Z1+

Z3=90°.

其中正确的共有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【解答】解：如图，根据题意得：AB//CD,ZFEG=90°,

；./l=N2,Z3=Z4,Z4+Z5=180°,/2+N4=90°；

故(1),(2),(3),(4)正确；

/.Zl+Z3=90°.

故(5)正确.

...其中正确的共有5个.

故选：A.

2.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需

C.8D.9

【答案】B

【解答】解：五边形的内角和为（5-2）X18O0=540°,

所以正五边形的每一个内角为540°+5=108°,

如图，延长正五边形的两边相交于点。，则/1=360°-108°X3=360°-324°=36°,

360°+36°=10,

；已经有3个五边形，

A10-3=7,

即完成这一圆环还需7个五边形.

故选：B.

3.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点、D,£分别是边A8、AC上,

将△ABC沿着。E重叠压平，A与A'重合，若乙4=70°,贝叱1+/2=()

【答案】A

【解答】解：：四边形AIM'E的内角和为(4-2)780°=360°,

而由折叠可知NAED=/A'ED,ZADE=ZA,DE,ZA=ZA',

：.ZAED+ZA1ED+ZADE+ZA'DE=360°-NA-NA'=360°-2X70°=220°,

；./l+N2=180°X2-CZAED+ZA'ED+ZADE+ZA'DE)=140°.

故选：A.

4.如图所示，己知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律，用2008个这样的三

角形镶嵌而成的四边形的周长是()

A.2008B.2009C.2010D.2011

【答案】C

【解答】解：由图中可知：1个三角形组成的图形的周长是3；

2个三角形组成的图形的周长是3+1=4；

3个三角形组成的图形的周长是3+2=5；

那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2007=2010.

故选：C.

5.如图，在△ABC中，BE,CE,CD分别平分NA8C,ZACB,ZACF,AB//CD,下列

结论：®ZBDC=ZBAC；②N8EC=90°+ZABD；

③/CA8=/CBA；®ZADB+ZABC=9Q°,其中正确的为（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】C

【解答】解：•.•。平分/人中，ZACF=ZABC+ZBAC,

：.ZACD=ZDCF=^ZACF=1ZABC+1ZBAC.

222

ZDCF=/DBC+/BDC=L/ABC+NBDC,

2

：.^ZBAC=ZBDC,即NBAC=2NBr)C,①错误；

2

：CE平分NACB,

ZACE=1.ZACB,

2

VZACB+ZACF=180°,

/.ZACE+ZACD=9Q°,即NEC£>=90°,

AZBEC=ZECD+ZCDB=90°+ZCDB,

'：CD//AB,

：.ZCDB=ZABD,

：.ZBEC=90°+ZABD,故②正确；

•.•8。平分/（7氏4,

・•・NCBA=2/ABD=2/CDB,

ZBAC=2ZBDC9

：.ZCAB=ZCBA9故③正确；

;瓦）平分NABC,CO平分NACF,

：.AD为LABC外角ZMAC的平分线,

VZMAC=ZABC+ZACB.ZMAD=ZABD+ZADB,ZABC=2ZABD,

：.ZACB=2ZADBf

：.ZADB=ZACEf

9：CD//AB,

：.ZABC=NDCF=ZACDf

VZACE+ZACD=90°,

AZADB+ZABC=90°,故④正确.

故选：C.

6.如图，在△ABC中，延长CA至点R使得A/=CA,延长AB至点D使得5£）=2A5,

延长至点E,使得CE=3CB,连接EF、FD、DE,若S2EF=36,则5“8。为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解答】解：如图，连接AE,CD,设AABC的面积为根.

'：BD=2ABf

：.丛BCD的面积为2m,AACD的面积为3m,

\tAC=AF,

：.ZkAO尸的面积=2\人。0的面积=3根，

・：EC=3BC,

•••△ECA的面积=3m，△E0C的面积=6根，

*：AC=AF,

：.AAEF的面积=/k£4。的面积=3根，

ADEF^®S\=m+2m+6m+3m+3m+3m=18m=36,

•・772■—2，

...△ABC的面积为2,

故选：A.

7.若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）

A.14或15B.13或14

C.13或14或15D.14或15或16

【答案】C

【解答】解：如图，〃边形,AL42A3…4,

若沿着直线4A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1,

若沿着直线4M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，

若沿着直线MV截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1,

因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或

15,

故选：C.

△

8.如图所示，在三角形ABC中，AC=3AE,三角形ABD的面积是三角形AOC面积的2倍,

则阴影部分的面积占三角形ABC面积的=_3_.

【答案】亘.

7

【解答】解：连接0C,

则SAAOE=LSAEOC,

2

SAODC=—SABOD,

2

又*•,SAADC=—SMBD,

2

SAAOC+SAODC=—(SMOB+SABOD),

2

SAAOC=A.5AAOB

2

设S/^AOE=lTly

贝US/\0EC=2m,S/\AOC=3m,SAAOB=6ITI,

=

,**S/\ABD-S/\BEC—S/\ABC>

2

•••SAAOB=S四边形EOZ)C=6"2,

:.SAODC—4m，S^BOD=8m,

・・SAABC=21加，

阴影部分的面积占三角形ABC面积de型配=旦.

21m7

9.如图，△ABC的外角/ACZ)的平分线CP与内角NABC平分线BP交于点P,若NBPC

=36°,则/CAP=54°.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过P点作PELB4于凡PNLBD于N,PM_LAC于M,

设/PCD=x°,

平分/AC£),

Z.ACP=APCD=x°,PM=PN,

：BP平分/ABC,

ZABP=ZPBC,PF=PN,

；.PF=PM,

又•.,PF'_LBA于尸，PAfJ_AC于M,

ZFAP=APAC.

<NBPC=36°,

；./ABP=NPBC=(x-36)°,

：.ZBAC=ZACD-ZABC^2x°-(尤。-36°)-(x°-36°)=72°,

AZCAF=108°,

：.ZFAP=ZPAC=54°.

故答案为：54。.

cND

10.如图，在△ABC中，/A=a,/ABC的平分线与NAC£）的平分线交于点4,得/Ai,

则/4=A.N4BC的平分线与NA1C。的平分线交于点A2,得NA2,…，/A2009BC

一2—

的平分线与/A2009CD的平分线交于点A2010,得NA2010,贝!1/42010=———.

-22010-

【答案】见试题解答内容

【解答】解：VZACD^ZA+ZABC,ZAiCD=ZA}+ZA}BC,ZACD=2ZA\CD,Z

ABC=2ZAiBC,

：.2ZAiCD=ZA+2ZAiBC,即NAiCO=_l/A+/4BC,

2

—等专

由此可得/4加。=品

故答案为：色,a

222010

11.已知△ABC中，/A=a.在图（1）中48、/C的角平分线交于点。1,则可计算得/

801C=90°+La；在图（2）中，设N8、ZC的两条三等分角线分别对应交于。1、

2

02,则/BO2C=60°+2a；请你猜想，当/B、/C同时w等分时，（"7）条等分

3-

角线分别对应交于。1、02,On-1,如图（3）,则/BOn_1C=_'；£1.）%1800

nn

（用含"和a的代数式表示）.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：在△ABC中，；/A=a,

Z.ZABC+ZACB=180°-a,

'：O2B和02c分别是/8、ZC的三等分线，

J.ZOiBC+ZOiCB=l.CZABC+ZACB)=2(180°-a)=120°-2a；

333

.♦./BO2c=180°-(NO2BC+NO2CB)=180°-(120°-2a)=60°+2a；

33

在△ABC中，VZA=a,

：.ZABC+ZACB=180°-a,

,.•。〃一12和0人1。分别是/2、NC的"等分线，

.".ZOniBC+ZOniCB^^1(ZABC+ZACB)=.n-1(180°-a)=18。°_31)

nnn

_(n-1)a

n

180

：.ZBOn-iC=180°-(ZOn-iBC+ZO«-iCB)=180°-(°~"-1)一(n-1)二)

nn

=(n-l)a上180°

nn

故答案为：600+2a；(n-l)a+180°

3nn

12.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若ZABC=120°,

ZBCD=S0°,则NC0E=20度.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过点C作C/〃A5,

已知珠江流域某江段江水流向经过3、C、。三点拐弯后与原来相同,

J.AB//DE,

J.CF//DE,

：.ZBCF+ZABC=iS0°,

：.ZBCF=60°,

：.ZDCF=20°,

：.ZCDE=ZDCF=20°.

故答案为：20.

A

13.如图，在△ABC中，/A=a、/ABC与/AC。的平分线交于点4,得/Ai；ZA1BC

与/A1CD的平分线相交于点念，得乙42；…；NA2010BC与NA2010CZ）的平分线相交于

点A2011,得/A20U,则NA2011=_―——__.

【解答】解：与NACD的平分线交于点4,

ZAi=180°-XzACD-ZACB-AZABC

22

=180°-A(ZABC+ZA)-(180°-ZA-ZABC)-IzABC

22

=AZA

2

_a

三

同理可得，NA2=」NAI=Q-,

222

_a_

NA2011=

22011

故答案为：,

14.如图，在第1个△ABAi中，ZB=40°，ZBAAi^ZBAiA,在43上取一点C,延长

441到A2,使得在第2个△4CA2中，ZAICA2=ZA1A2C；在A2c上取一点D,延长4A2

到A3,使得在第3个△?12m3中，ZA2DA3^ZA2A3D；■■■,按此做法进行下去，第3个

三角形中以A3为顶点的内角的度数为17.5。；第，个三角形中以4为顶点的底角的

度数为_工£^_.

B

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：在△AB4中，NB=40。，AB^AiB,

：.ZBAiA=A（180°-ZB）=■!（180°-40°）=70°,

22

\-AIA2=AIC,ZBAIA是△AL42c的外角，

.,.ZCA2Ai=izBAiA=Ax70o=35°；

22

同理可得，ZDA3A2=AX70°=17.5°,NEA4A3=」X70。，

48

以此类推，第〃个三角形的以4为顶点的底角的度数=理二.

2kl

故答案为：17.5°,生丁.

2n

15.如图。是长方形纸带，ZDEF=a0,将纸带沿EF折叠成图"再沿8尸折叠成图c,

则图c中的NCFE的度数是（180-3a）°（用含a的代数式表示）.

图a

【答案】180-3a.

【解答】\'AD//BC,NDEF=a°,

：.ZBFE=ZDEF=a,

：.ZEFC=180°-a°（图a）,

：.ZBFC=ZBFC=180°-a°-a0=180°-2a°（图6）,

.,.ZCF£=180°-2a°-a0=180°-3a°（图c）.

故答案为：180-3a.

三.解答题（共15小题）

16.已知ABC。为四边形，点E为边A8延长线上一点.

【探究】：

(1)如图1,ZADC=110°，NBCD=120°,和NCBE的平分线交于点况则

NAFB=25°；

(2)如图2,ZADC^a,NBCD=0,且a+0>18O°,NZMB和NCBE的平分线交于

点、F,则NAFB=—-1.Q+yP-90°—；(用a，B表示)

(3)如图3,ZADC=a,ZBCD=^,当/D48和/CBE的平分线AG,平行时，a,

B应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；

【挑战】：

如果将(2)中的条件a+0>18O°改为a+B<180°，再分别作ND4B和NC2E的平分线，

若两平分线所在的直线交于点R则/AEB与a,0有怎样的数量关系？请画出图形并直

接写出结论.

DG

图1图2图3

【答案】(1)25°；

(2)ya+yp-90°；

(3)若AG〃BH,则a邛=180°；90°

22

【解答】解：(1)如图1.

:BF平分NCBE,AF平分ND4B,

ZFBE=1ZCBE,ZFAB=1ZDAB.

22

•；ZD+ZDCB+ZDAB+ZABC=360a,

ZZ)AB+ZABC=360°-ZD-ZDCB

=360°-120°-110°=130°.

又；NF+NEiB=/FBE,

AZF=ZFBE-ZMB=1ZCBE_1ZDAB

=y(ZCBE-ZDAB)(1800-ZABC-ZDAB)

=_L(180°-130°)

2

=25°；

(2)如图2.

由(1)得:NAF2=£(]80。_/gc-/DAB>/D4B+NABC=36O°-ZD-ZDCB.

；•/AFB=y(180°-360°+ZD+ZDCB)

■|ZD+yZDCB-90°=>|-Cl-kj-p-90°-

(3)若AG〃BH,则a+0=18O°.

证明：如图3.

若AG〃BH,则

,・，AG平分NZM3,BH平分NCBE,

：.ZDAB^2ZGAB.ZCBE=2ZHBE.

：.ZDAB=ZCBE.

J.AD//BC.

：.ZZ)AB+ZZ)CB=a+p=180o.

挑战：如图4.

AZBAM=1/DAB，ZNBE=yZCBE-

VZZ)+ZZ)AB+ZABC+ZBCZ)=360o,

・•・ZZ)AB+ZABC=360°-ZD-50)=360°-a-p.

JZDAB+1800-ZCBE=360°-a-p.

：.ZDAB-ZCBE=180°-a-p.

•IZABF与ZNBE是对顶角，

：.ZABF=ZNBE.

又〈NF+/ABF=ZMAB,

：.ZF=ZMAB-ZABF.

ZF=-^ZDAB-ZNBE^-ZDAB-yZCBE

(ZDAB-ZCBE)(180°-Cl-p)

=90。-lJLR.

2a2P

17.已知直线MN与P。互相垂直，垂足为。，点A在射线。。上运动，点8在射线OM上

运动，点A,B均不与点。重合.

(1)如图1,A/平分/8AO,8/平分/A8O,则/A/B=135°.

(2)如图2,4/平分NA4O交OB于点/,BC平分NABM,BC的反向延长线交A/的延

长线于点D

①若N2AO=30。,则/ADB=45°.

②在点A,B的运动过程中，/AZJ8的大小是否会发生变化？若不变，求出/AZJ8的度

数；若变化，请说明理由.

(3)如图3,已知点E在54的延长线上，NBA。的平分线A/,NOAE的平分线A尸与

N20P的平分线所在的直线分别相交于点。，F.在尸中，如果有一个角的度数是

另一个角的3倍，请直接写出NA8。的度数.

【答案】(1)135°；(2)①45°,②不变.NADB=45°(3)60°或45

【解答】解：(1)平分NBA。，8/平分乙48。，

ZOBI=ZABI-|ZOBAZOAI=ZBAI=|ZOAB-

ZBZC=180°-NIBA-ZIAB

=180°-yZOBA-yZOAB

=180°-y(ZOBA+ZOAB)

=180°-y(180°-ZBOA)

=180°-90°4JZB0A

=90°+a,

•・•直线MN与尸。互相垂直，垂足为。，

：.ZBOA=90°,

•,-ZAIB=90°-^X90°=135°，

故答案为：135°.

(2)①：直线MN与P。互相垂直，垂足为。，

：.ZBOA=9Q°,

：/区40=30°,

：.ZABM=120°,

：A/平分/BAO交OB于点I,BC平分NABM,

AZCBA=yZABM=yX120o=60°，zgAD=yZBA0=yX300=15。，

AZADB=ZCBA-ZBAD=60°-15°=45°,

故答案为：45.

②不变，NADB=45°.

设NR4O=a,

•••4平分N3A0交03于点/,BC平分用，

；•ZBAI=yZOBA=yCl，ZMBA=90-

ZCBA=yZMBA=y(90°+a)=45°卷a，

NADB=NCBA-NBAD=45°a—^-a=45。，

不变，ZADB=45°.

(3)：NBAO的平分线A/,NOAE的平分线AF,

AZDAF=9Q°,

:一个角是另一角的3倍,

•••分两种情况讨论：

①当/D4尸=3NA。尸时，ZADF=30°,

：。厂为NBOP的平分线，

：.ZDOA=135

：.ZOAI^15

；./。48=30°,

AZOBA=90°-30°=60°；

②当/A阳=3NA。/时，ZA£>F=22.5°,

：。/为/BOP的平分线，

：.ZDOA=135°,

：.ZOAI=22.5°，

：.ZOAB=45

AZOBA=90°-45°=45°.

等于60°或45°.

18.直线MN与直线P。垂直相交于。，点A在直线P。上运动，点B在直线MN上运动.

(1)如图1,已知AE、BE分别是/8A。和/AB。角的平分线，点A、B在运动的过程

中，ZAEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，

试求出/AEB的大小.

(2)如图2,已知AB不平行CD,AZ)、8c分别是NA4P^ZABM的角平分线，又DE、

CE分别是NAOC和/BC。的角平分线，点A、B在运动的过程中，/CE。的大小是否

会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.

(3)如图3,延长54至G,已知/54。、/OAG的角平分线与/B。。的角平分线及延

长线相交于E、F,在△?1所中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求NA8。的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)的大小不变，

:直线MN与直线PQ垂直相交于0,

：.ZAOB=90°,

AZOAB+ZOBA=90°,

,：AE,BE分别是NBA。和乙42。角的平分线，

：.ZBAE=^ZOAB,ZABE=^ZABO,

22

AZBAE+ZABE=1.CZOAB+ZABO)=45°,

2

AZA£B=135°；

(2)NCE£)的大小不变.

延长A。、BC交于点F.

:直线MN与直线P。垂直相交于O,

：.ZAOB=90",

AZOAB+ZOBA=90°,

ZPAB+ZMBA=270°,

,.'AD,BC分别是N2AP^ZABM的角平分线，

：.ZBAD=1ZBAP,ZABC=1ZABM,

22

：.ZBAD+ZABC=1.(ZPAB+ZABM)=135°,

2

：.ZF=45°,

AZFDC+ZFCD^135°,

：.ZCDA+ZDCB^225°,

:DE、CE分别是N4DC和/BC。的角平分线，

AZCDE+ZDCE=U2.5°,

；./E=67.5°；

(3)与/B。。的角平分线相交于E,

：.ZEAO=1ZBAO,ZEOQ=1ZBOQ,

22

：.ZE=ZEOQ-Z£AO=A(ZBOQ-NBA。)=AZABO,

22

,：AE,AF分别是/BA。和N04G的角平分线,

AZEAF=90°.

在△AEP中，

:有一个角是另一个角的3倍，故有：

①NEAF=3NE,NE=30°,NABO=60°；

②匕EAF=32F,NE=60°,ZABO=120°（舍去）;

③NF=3/E,ZE=22.5°,ZABO=45°；

@Z£=3ZF,ZE=67.5°,ZABO=U5°（舍去）.

19.已知CM点8为平面内一点，ABLBC^B.

(1)如图1,直接写出NA和NC之间的数量关系NA+/C=90°；

(2)如图2,过点8作于点。，求证：NABD=NC；

(3)如图3,在(2)间的条件下，点E、尸在DM上，连接BE、BF、CF,BE平分/

DBC,BE平分NAB。，ZFCB+ZNCF=180°,ZBFC=3ZDBE,求NEBC的度数.

BD._/_M

D_EAFM

士-C工"图2c守

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,

BD._A__M

DwE用FM

图1C

图2图3

9：AM//CN,

：.ZC=ZAOB.

VABXBC,

ZA+ZAOB=90°,

AZA+ZC=90°,

故答案为：ZA+ZC=90°；

(2)如图2,过点5作5G〃/)M,

VBDXAM,

：.DB±BG,gpZABD+ZABG=90°,

XVABXBC,

：.ZCBG+ZABG=90°,

・•・NABD=/CBG,

9

：AM//CNfBG//AM,

：.CN//BG,

：.ZC=ZCBG,

：.ZABD=ZC；

(3)如图3,过点8作BG〃0M,

•・・5尸平分NO5C,BE平分NABD,

：.ZDBF=ZCBF,ZDBE=/ABE,

由⑵可得NA8O=NC3G,

・•・ZABF=ZGBF,

设NDBE=a,ZABF=^,则

ZABE=a,ZABD=2a=ZCBG,ZGBF=^=ZAFB,/BFC=3/DBE=3a,

ZAFC=3a+P，

VZAFC+ZNCF=180°,/FCB+/NCF=184°,

・•・N尸CB=NA尸。=3a+0,

△BC/中，由NC8b+NBbC+NBCT=180°,可得

(2a+0)+3a+(3a+0)=180°,①

由4B_LBC,可得

p+p+2a=90°,②

由①②联立方程组，解得a=15°,

AZABE^15°,

ZEBC=ZABE+ZABC=15°+90°=105°.

20.如图，已知直线/3、/4和人、/2分别交于点A、B、C、D,点尸在直线/3或/4

上且不与点A、B、C、。重合.记/PFB=/2,/EPF=/3.

（1）若点尸在图（1）位置时，求证：Z3=Z1+Z2；

（2）若点尸在图（2）位置时，请直接写出Nl、N2、N3之间的关系；

（3）若点尸在图（3）位置时，写出/I、乙2、N3之间的关系并给予证明；

（4）若点尸在C、D两点外侧运动时，请直接写出/I、N2、N3之间的关系.

【解答】解：（1）证明：过尸作P。〃/1〃/2,

由两直线平行，内错角相等，可得：

N1=NQPE、Z2=ZQPF；

'：Z3=ZQPE+ZQPF,

AZ3=Z1+Z2.

(2)Z3=Z2-Zl；

证明：过尸作直线尸。〃/1〃/2,

则：N1=NQPE、Z2=ZQPF；

*：Z3=ZQPF-ZQPE,

AZ3=Z2-Zl.

(3)N3=360°-Zl-Z2.

证明：过尸作尸。〃/1〃/2;

同(1)可证得：N3=NCEP+NDFP；

VZCEP+Z1=18O°,ZDFP+Z2=180°,

.•.ZCEP+Z£>FP+Z1+Z2=36O°,

即N3=360°-Zl-Z2.

(4)过尸作尸。〃/1〃/2;

①当尸在。点上方时，

同(2)可证：Z3=ZDFP-ZCEP；

VZCEP+Z1=18O°，ZZ)FP+Z2=180°，

：.ZDFP-/CEP+/2-N1=O,

即N3=/l-Z2.

②当尸在。点下方时，

Z3=Z2-Z1,解法同上.

综上可知：当尸在C点上方时，Z3=Z1-Z2,当尸在。点下方时，Z3=Z2-Z1.

21.如图1,已知线段AB,。相交于点。，连接AQ,CB,我们把形如图1的图形称之为

“8字形”.如图2,在图1的条件下，/D4B和NBCD的平分线AP和CP相交于点尸，

并且与CD,AB分别相交于点M,N,试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出/A、/B、/C、之间的数量关系；

(2)在图2中，若/。=40°,ZB=36°,试求/尸的度数；

(3)如果图2中/。和48为任意角时，其他条件不变，试问NP与N8之间存

在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）在△A。。中，ZAOD=180°-ZA-ZD,

在△30C中，ZBOC=180°-ZB-ZC,

VZAOD=ZBOC（对顶角相等），

.•.180°-ZA-ZD=180°-ZB-ZC,

：.ZA+ZD=ZB+ZC；

（2）VZD=40°,ZB=36°,

.\ZOAD+40°=NOCB+36°,

：.ZOCB-ZOAD=4°,

,：AP.CP分别是NZMB和NBCD的角平分线,

：.ZDAM^^.ZOAD,NPCM=L/OCB,

22

又•:ZDAM+ZD=ZPCM+ZP,

AZP=ZDAM+ZD-ZPCM=^(ZOAD-ZOCB)+ZD=^X(-4°)+40°=38°；

(3)根据“8字形”数量关系，ZOAD+ZD=ZOCB+ZB,ZDAM+ZD=ZPCM+ZP,

所以，ZOCB-ZOAD=ZD-ZB,ZPCM-ZDAM^ZD-ZP,

VAP>CP分别是NZMB和NBC。的角平分线，

:.ZDAM=^LZOAD,ZPCM=^ZOCB,

22

.".A(ZD-ZB)=ZD-ZP,

2

整理得，2NP=NB+ND.

22.如图(1),在△ABC中，/ABC、NACB的平分线相交于点。

(a)若NA=60°,求/8OC的度数；

(b)若NA=〃°,则/8OC=90°+△〃°；

(c)若N2OC=3/A,则NA=36°；

(2)如图(2),在AA'B'C中的外角平分线相交于点。'，ZA/=40°,求N8'

O'C的度数；

(3)上面(1),(2)两题中的乙BOC与NB'O'C有怎样的数量关系？

0,

⑵

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)(a)VZABC./AC8的平分线相交于点O,

.*.zi=AZABC,Z2=AZACB,

.\Z1+Z2=ACZABC+ZACB)(180°-/A)=Ax(180°-60°)=60°,

222

：.ZBOC=180°-60°=120°；

(6))ZABC.NACB的平分线相交于点O,

.\ZI=AZABC,Z2=AZACB,

22

.•.Z1+Z2=A(ZABC+ZACB)(180°-NA)=Ax(180°-n)=90°-A

2222

n°，

.*.ZBOC=180°-(90°-A«°)=90°+A«°.

22

故答案为：90°+ln°；

2

(c)ZABC,NACB的平分线相交于点O,/2OC=3NA,

：.Z1=1.ZABC,Z2=^ZACB,

22

.\Z1+Z2=ACZABC+ZACB)=A(180°-ZA)=90°-AZA,

222

.\90°-AZA+3ZA=180°,解得NA=36°

2

故答案为:36°；

(2)VZAZ=40°,

：.ZA'的外角等于180°-40°=140°,

•••△A'B'C另外的两外角平分线相交于点O,三角形的外角和等于360°,

.•.Z1+Z2=AX(360°-140°)=110°,

2

：.ZB'O'C=180°-110°=70°；

(3):由(1)知，/BOC=I"+/A,

2

由(2)知，ZB'O'C=180°-1苫。0+/A,

2

：.ZB'O'C=180°-ZBOC.

23.已知，BC//OA,ZB=ZA=100°,试回答下列问题：

(1)如图1所示，求证：OBIIAC；

(2)如图2,若点E、尸在8c上，且满足NPOC=/AOC,并且OE平分/8。尸.试求

ZEOC的度数；

(3)在(2)的条件下，若平行移动AC,如图3,那么N0C8：N。"的比值是否随之

发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)'：BC//OA,

：.ZB+ZO^18Q°,XVZB=ZA,

AZA+ZO=180°,

：.OB//AC；

(2)VZB+ZBOA=180°,ZB=100°,

：.ZB0A^8Q°,

：06平分/3。尸，

ZBOE=ZEOF,

又,:Z.FOC=ZAOC,

：.ZEOF+ZFOC=1-(/BOF+NFOA)=AZBOA=40°；

22

(3)结论：ZOCB：NOFB的值不发生变化.理由为：

'JBC//OA,

：.ZFCO=ZCOA,

又,：Z.FOC=ZAOC,

J.ZFOC^ZFCO,

：.ZOFB=ZFOC+ZFCO=2ZOCB,

：./OCB：NOFB=1：2=工；

2

24.有一款灯，内有两面镜子A3、BC,当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图

1、图2中的/1=/2,Z3=Z4.

(1)如图1,当ABL8C时，说明为什么进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相

平行.

(2)如图2,若两面镜子的夹角为a°(0<a<90)时，进入灯内的光线与离开灯的光

线的夹角为(0<0<90),试探索a与0的数量关系.

(3)若两面镜子的夹角为a。(90<a<180),进入灯内的光线与离开灯的光线所在直

线的夹角为p°(0<p<90).直接写出a与0

的数量关系.

【答案】见试题解答内容挈a与冬甘/

【解答】(1)证明：如图1所示：I/'*■,

二

又：N5=18O°-Z1-Z2=180°-2Z2,r-

；./5=180°-2Z2,电’3

同理/6=180°-2Z3,

；/2+/3=90°,

.•.Z5+Z6=180°,

.,.EF//GH,

即进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相平行.

(2)解：2a+p=180°,理由如下：

如图2所示：

由(1)所证，有N5=180°-2Z2,Z6=180°-2Z3,

VZ2+Z3=180°-Na,

；./B=180°-Z5-Z6=2(Z2+Z3)-180°=2(180°-Na)-180°=180°-2

Na,

；.a与0的数量关系为:2a+p=180°,

(3)解：2a-p=180°.

图2

25.如图，四边形ABC。，BE、OP分别平分四边形的外角和NNZ5C,若N54D=a,

ZBC£»=p.

(1)如图1,若a+0=lO5°,求NM2C+/NDC的度数；

(2)如图1,若8E与。尸相交于点G,ZBGD=45°,请直接写出a,0所满足的数量

关系式；

(3)如图2,若a=0,判断BE,。尸的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴105°；

(2)p-a=90°(或a-0=-90°等均正确)；

(3)BE//DF,理由见答案.

【解答】解：(1)••,四边形A8CO的内角和为360°,

.,.a+B=/A+NBC£)=360°-CZABC+ZADC),

'：ZMBC和ZNDC是四边形ABCD的外角，

：.ZMBC=180°-ZABC,ZNDC=1SO°-ZADC,

：.ZMBC+ZNDC=ISO0-ZABC+1800-ZADC

=360°-CZABC+ZADC),

=a+0

=105°；

(2)p-a=90°(或a-0=-90°等均正确).

理由：如图1,连接

图1

由(1)有，ZMBC+ZNDC=a+^,

:BE、。尸分别平分四边形的外角NA/BC和ZNDC,

：.ZCBG=^-ZMBC,4CDG=L/NDC,

22

：.ZCBG+ZCDG^^-ZMBC+l.ZNDC^l-(/MBC+/NDC)=•1(a+B),

2222

在△BCD中，ZBDC+ZCBD=1800-ZBC£>=180°-0,

在△2£>G中，ZBGD=45°,ZGBD+ZGDB+ZBGD=180°,

：.ZCBG+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=ISO°,

(ZCBG+ZCDG)+CZBDC+ZCBD)+ZBGD=180°,

(a邛)+180°-p+45°=180°,

2

Ap-a=90°.

(3)BE//DF.

理由：如图2,过点C作C尸〃BE,

则/班。=/2。尸,

ZDCP=ZBCD-ZBCP=^-ZEBC,

由(1)知NM8C+NNOC=a+0,

Va=P，

：.ZMBC+ZNDC=2^f

又,：BE、。厂分别平分NAffiC和NNDC,

：.ZEBC+ZFDC=1-(/MBC+NNDC)=0,

2

.,.ZF£)C=p-ZEBC,

又：N£)CP=B-ZEBC,

：.ZFDC=ZDCP,

J.CP//DF,

又CP//BE,

C.BE//DF.

26.已知，A8〃C。，点E为射线FG上一点.

(1)如图1,若/EAP=30°,ZEDG=40°,则/AED=70°；

(2)如图2,当点E在尸G延长线上时，止匕时CD与AE交于点”，则/AED、ZEAF.

NEDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

(3)如图3,D/平分/EDC,交AE于点K,交4于点/,且/EA/：ZBAI=1：2,Z

AED^22°,N/=20°,求NEKZ)的度数.