苏科版七年级数学下册常见几何模型专练：三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型（解析版）

专题06三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风

筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1图2图3

条件：如图1,凹四边形ABCD；结论：®ZBCD=ZA+ZB+ZD；②AB+AD>3C+CD。

条件：如图2,线段8。平分NABC,线段平分NADC；结论：（ZA+ZC）o

2

条件：如图3,线段平分ND48,线段C。平分NBC。；结论：ZO=-（/D-/B）。

2

飞镖模型结论的常用证明方法：

例1.（2023•山西晋城•七年级校联考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的"飞镖图”.如图1的

四边形这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为"飞镖图”.它实际上就是凹四边形，同学们通过

探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1,ZADB=ZA+ZB+ZC.

图1图2图3

“智慧小组"通过互学证明了这个结论：

方法一：如图2,连接A3,则在AABC中，ZC+ZG4B+ZCBA=180°,

BPZ1+Z2+Z3+Z4+ZC=18O°,

又：在中，Zl+Z2+^4T）B=180o,

EIZADB=Z3+Z4+ZC,

即ZADB=ACAD+ACBD+ZC.

“创新小组”想出了另外一种方法

方法二：如图3,连接CD并延长至R

0Z1和Z3分别是AACD和ABCD的一个外角，

任务：⑴填空："智慧小组"用的"方法一"主要依据的一个数学定理是;

（2）根据“创新小组"用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分.

【答案】（1）三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度）（2）见解析

【分析】（1）连接之后，构成了三角形，从而利用三角形内角和的基本性质，由此填写即可；

（2）利用三角形的外角定理进行证明即可.

【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度）

（2）证明：如图3,连接CO并延长至尸，

回/1和N3分别是AACD和△BCD的一个外角，EZ1=Z2+ZA,Z3=Z4+ZB,

0Z1+Z3=Z2+ZA+Z4+ZB,ZADB=ZA+ZACB+ZB.

【点睛】本题考查三角形内角和定理以及外角定理的应用，理解并熟练运用这些基本定理是解题关键.

例2.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图，仍是的平分线，CF是/ACD的平分线，BE与CF交

于G,若N3£）C=140。，ZBGC=110°,则ZA=.

【答案】80°

【分析】首先连接BC,根据三角形的内角和定理，求出N1+N2=4O。，01+02+03+04=70°；然后判断出

N3+N4=3O。，再根据3E是财8。的平分线，CP是0AC。的平分线，判断出N5+N6=3O。；最后根据三角

形的内角和定理，ffll80°-(Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6)即可求出她的度数.

【详解】如下图所示，连接BC,

0NBDC=140°,回Nl+N2=180°-140°=40°,

0ZBGC=110°,EIN1+N2+N3+N4=18O°—110°=70°,EZ3+Z4=70°-40o=30°,

EIBE是0AB。的平分线，CF是0ACD的平分线，033=135,04=06,

又EIN3+N4=30°,IBN5+N6=3O°,

0Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=(Z1+Z2+Z3+Z4)+(Z5+/6)=70°+30°=100°,

0=180°-100°=80°.故答案为：80°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题的关键.

例3.(2022秋•广西八年级期中)如图，ZABD,—ACD的角平分线交于点尸，若NA=48。，ZD=10°,

则立尸的度数()

A

B

D

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延长PC交8。于E,设AC、尸8交于凡根据三角形的内角和定理得到财+她8月+财产8

=回尸+回「。歹+"/(=180°推出团产+13尸"'=她+&42凡根据三角形的外角性质得到EIP+I3P2E=EIPE£),推

出EIP+I3PBE=EIPC£>-EI。，根据P8、PC是角平分线得至附尸。尸=团尸。，^ABF^PBE,推出2EIP=EIA-EI。，

代入即可求出回？法二：延长。C,与AB交于点E.设AC与BP相交于O,贝！Ja4OB=EIPOC,可得回P+g

0ACO=0A+；0A8。，代入计算即可.

【详解】解：法一：延长PC交2D于£,设AC、PB交于F,

0EA+EIABF+[3AFB=EIP+0PCF+I3PFC=18O°,

00AFB=EPFC,SEP+^PCF=SA+^ABF,

EBP+aP8E=ELPE£),团PED=0PCDT3D,0EP+0PB£=0PCD-0D,

02EP+EPCF+B1PBE=0A-0D+^ABF+^PCD,

EIPB、PC是角平分线EHPCF=[3PC。，^ABF=^PBE,02EP=EA-EID

00A=48°,00=10°,00P=19".

法二：延长。C,与AB交于点E.

EBACD是EACE■的外角，她=48°,EHACZ)=EA+lMEC=48°+ElAEC.

0EL4EC是EIBOE的外角，00A£C=她8。+回。=EIABO+10°,

fflEACD=48°+EAEC=48°+EIAB£)+10°,整理得EACr)-EABO=58°.

设AC与2尸相交于0,贝I|EIAO2=[3POC,

00P+1-EIAC£)=EIA4-1E1ABZ),即回尸=48°-gCSACD-BABD)=19°.故选A.

【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知

识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.

例4.(2023,广东•八年级期中)如图，在三角形A8C中，AB>AC>BC,为三角形内任意一点，连结AP,

并延长交BC于点D求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

【详解】（1）VAB>AC,：.ZABD<ZACD

VZADB>ZACD,：.ZADB>ZABD,：.AB>AD

VAOBC,：.AB+AOAD+BC

（2）过点尸作跖〃BC,交AB、AC于E、F,则NA£F=NABC,ZAFE=ZACB

由（1）知AE+AF>AP+EF

VBE+EP>BP,CF+FP>CP：.（AE+BE）+（AF+CF）+（EP+FP）>AP+BP+CP+EF

即AB+AC>AP+BP+CP

（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论）

例5.（2023•江苏南京•七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图三角形ABC,点。是三角形ABC内一点，连接3D,CO,试探究N3DC与'A,Z1,

/2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

（工）请你在横线上补全小明的探究过程：

ElZBDC+ZDBC+ZBCD=180°,（）

0ZBDC=180°-Z.DBC-ABCD,（等式性质）

0ZA+Zl+Z2+ZDBC+ZBCD=180。，

0ZA+Zl+Z2=18O°-ZDfiC-ZBCD,

0ZBDC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；

（3）利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形ABCD中，ZBDC=135°,ZB=ZC=25°,求NA=

②如图②，在凹四边形ABCD中，1ABD与—ACD的角平分线交于点E,/A=60。，N3DC=140。，则NE=

③如图③，/ABD,—4CD的十等分线相交于点、片、F….、F9,若/班＞C=120。，NBF3c=64°,

则/A的度数为

④如图④，NBAC,/BDC的角平分线交于点E,ZB,NC与NE之间的数量关系是:

⑤如图⑤，XABD,NBAC的角平分线交于点E,C=40。，ZfiDC=140°,求NAEB的度数.

【答案】（1）三角形内角和180。；等量代换；（2）；(3)①ZA=85°；@ZE=100°；③ZA=40°；

④NB-NC=2NE；（5）130°

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断;

（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长8。交AC于E,然后根据外角的性质确定

NBEC=ZA+N1,ZBDC=ZBEC+Z2,即可判断ZBOC与NA,Z1,/2之间的关系；

（3）①连接BC,然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；

②连接BC,然后根据（1）中结论，求得加D+ZACD的和，进而得到/D3C+/DCB的和，然后根据角

平分线求得N£BD+NECD的和，进而求得N£BC+NECB=80。，然后利用三角形内角和定理

ZE+ZEBC+ZECB=180°,即可求解；

③连接BC,首先求得/。3。+。8=180。-加＞。=60。,然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到

ZCBF3+ZBCF3=180°-ZBF3C=U60,然后得到ZABD+N4CD的和，最后根据⑴中结论即可求解；

④设5。与AE的交点为点。，首先利用根据外角的性质将/BOE用两种形式表示出来，然后得到

ZBAE+ZABD=ZE+ZBDE,然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断；

⑤根据（1）问结论，得到N54C+NABD的和，然后根据角平分线的性质得到N&1E+NABE的和，然后

利用三角形内角和性质即可求解.

【详解】（1）0ZBDC+ZDBC+ZBCD=180°,（三角形内角和180。）

0ZBDC=180。—ZDBC—NBCD,（等式性质）

0ZA+Z1+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,0ZA+Z1+Z2=18O°-ZDBC-ZBCD,

0ZBDC=ZA+Z1+Z2.（等量代换）故答案为：三角形内角和180。；等量代换.

(2)如图，延长3。交AC于召,

A

由三角形外角性质可知，ZBEC=ZA+Zl,ZBDC=ZBEC+Z2,

0ZfiDC=ZA+Zl+Z2.

（3）①如图①所示，连接8C,

根据（1）中结论，WZBDC=ZA+ZABD+ZACD,

EIZA=ZB£>C—ZABD—ZAC£>=135°—25°—25°=85°,0ZA=85°；

②如图②所示，连接BC,

图②

根据（1）中结论，WZBDC=ZA+ZABD+ZACD,0ZABD+ZACD=ZBDC-ZA=140°-60°=80°,

团—。与NACD的角平分线交于点E,aNEBD=；/ABD,ZECD=^ZACD,

回ZEBD+NECD=1ZABD+1ZACD=|（ZABD+ZACD）=40°,

0ZBDC=140°,Z.BDC+ZDBC+ZDCB=180°,

0ZDBC+ZDCB=180°-Z.BDC=40°,0NEBC+ZECB=80°,

0ZE+ZEBC+ZECB=180°,0ZE=1OO°；

③如图③所示，连接BC,

A

图③

根据（1）中结论，得N5DC=NA+NABD+NACD,

0NBDC=120°,NBDC+ZDBC+NDCB=180。，ZDBC+ZDCB=1800-ZBDC=60°,

77

团—AaD与/AC。的十等分线交于点工，^ZDBF3=—ZABD,ZDCF3=-ZACDf

777

0Z^+ZDCF3=-ZA5n+-ZACD=-(ZABD+ZACD),

7

0ZCBF3+NBCF3=ZEBF3+NECF3+NDBC+ZDCB=—(ZABD+ZACD)+60°,

团ZCBF3+ZBCF3+NBF3c=180°,回ZCBF3+ZBCF3=180。—ZBF3C=116°f

0ZABD+ZACD=80°,0ZA=Z5DC-(ZABD+ZACD)=12OO-8O°=4O°,回ZA=40°；

④如图④所示，设8。与AE的交点为点。，

EIAE平分/3AC,BD平分NBDC,SZBAE=-ZBAC,NBDE’NBDC,

22

^ZBOE=ZBAE+ZABD,ZBOE=ZE+ZBDE,ZBAE+ZABD=ZE+ZBDE,

01ABAC+ZABD=ZE+!(ZBAC+ZABD+ZACD),

EINE=；(NBAC+ZABr>+ZA8)-；ZBAC-ZAB£)=；ZABO-；ZACD,即/B-/C=2/E；

⑤团4B。，-54C的角平分线交于点E,EZBAE+ZABE=1(ABAC+ZABD)=50°,

ElZAEB=180°-(ZBAE+ZABE)=180°-50°=130°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路,

然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解.

模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型

图1图2

1）鹰爪模型：结论：ZA+ZO=Z1+Z2；

2）鹰爪模型（变形）：结论：ZA+Z0=Z2-Zlo

3）角内翻模型：

如图3,将三角形纸片ABC沿E尸边折叠，当点C落在四边形内部时，结论：2/C=/l+/2；

如图4,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2ZC=Z2-Zlo

例L（2023•四川达州•八年级期末）如图，Zl,N2,23分别是四边形ABCD的外角，判定下列大小关系：

①N1+N3=Z/WC+ND；@Z1+Z3<ZA5C+ZD；③Nl+N2+N3=360。；（4）Zl+Z2+Z3>360°.其

【答案】①

【分析】根据多边形（三角形）的外角和为360。即可求解.

【详解】解：如图，连接30,

I

A

0

BC

0Z1=ZABD+ZADB,/3=ZDBC+NBDC,

0Z1+Z3=ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC+ZADC,故①正确，②不正确；

回多边形的外角和是360。，0Z1+Z2+Z3<36O°,故③④不正确，故答案为：①.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形

是解题的关键.

例2.（2023春•江苏•七年级期中）如图，在AABC中，ZA=60°,将沿OE翻折后，点A落在边

上的点4处.若ZA，EC=70。，则的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】根据折叠的性质，得至IJZAT）E=ZADE,ZAED=ZAED,结合ZzVEC=70。，得到

ZA'ED=ZAED=1^-/V=55°,再根据NA=60。，利用三角形内角和定理计算即可.

【详解工根据折叠的性质，得到ZA72E=ZADE,ZAED=ZAED,

1QAO_

因为ZA'EC=70。，所以ZAED=ZAED=——-——=55°,

因为ZA=60。，ZADE=ZADE=180°-60°-55°=65°.故选C.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键.

例3.（2023•江苏泰州七年级校考期中）在EA2C中，鲂=33。，将0ABe沿直线机翻折，点B落在点。的位

置，则回1一回2的度数是

【答案】660

【分析】由折叠的性质得至胞。=回8,再利用外角性质即可求出所求角的度数.

【详解】解：如图，由折叠的性质得：SD=aB=33。，

根据外角性质得：01=03+0B,03=02+0D,

031=回2+回。+回8=02+2133=团2+66°,0E1-02=66°.故答案为：66°.

【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.折叠是

一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

例4.（2023春•甘肃天水•七年级校联考期末）如图①，Nl、N2是四边形A3CD的两个不相邻的外角.

⑴猜想并说明N1+N2与—4、NC的数量关系；（2汝口图②，在四边形中，/ABC与NAOC的平分

线交于点。.若/A=60。，ZC=130°,求—3QD的度数；（3）如图③，80、DO分别是四边形A3CD外

角/CBE、NC。尸的角平分线.请直接写出NA、NC与/。的数量关系一.

【答案】（1）4+N2=ZA+NC；（2）145°；（3）ZC-ZA=2ZO.

【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明N1+N2与/A、NC的数量关系;

(2)结合⑴的结论，根据，ABC与4DC的平分线，ZA=60°,ZC=130°,即可求-30。的度数；

(3)结合⑴的结论，根据5。、。。分别是四边形ABCD外角/CBE、NCD尸的角平分线.进而可以写出—4、

NC与N。的数量关系.

【详解】(1)猜想：Z1+Z2=ZA+ZC,理由如下：

0Z1+ZABC+Z2+ZADC=36O°,Z/4+AABC+ZC+ZADC=360°,0Z1+Z2=ZA+ZC,

(2)0ZA=6O°,ZC=130°,ZJ+ZABC+AC+AADC=360°,

0ZABC+ZADC=360°-190°=170°,

回30、3。分别平分/AfiC与/ADC,^ZOBC=-ZABC,ZODC=-ZADC,

22

团NOBC+NODC=；(ZABC+ZADC)=85。，

0ZBOD=360°-(ZOSC+Z.ODC+ZC)=360°-85°-130°=145°,

(3)/A、/C与/O的数量关系为：ZC-ZA=2ZO,理由如下：

回30、DO分别是四边形ABCD外角NC3E、NCD9的角平分线，

0ZFDC=2ZFDO=2ZODC,2EBC2?EBO2?CBO,

由(1)可知:？FDO?EBO?A20,V.FDO》EBO?A?C,

02ZA+2ZO=ZA+ZC,0ZC-ZA=2ZO,故答案为：ZC-ZA=2ZO.

【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角.

例5.(2022•江苏宿迁•七年级校考期中)三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°.

⑴【定理推论】如图②，在0ABe中，有0A+aB+0AC8=18O°,点。是BC延长线上一点.

由平角的定义可得0ACD+&4cB=180。，所以S4CZ)=.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形

的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

⑵【初步运用】如图③，点。、E分别是a48c的边AB、AC延长线上一点.

①若0A=8O°,0£>BC=15O",贝!|E1AC3=°;②若04=80°,贝盟D8C+aECB=°,

⑶【拓展延伸】如图④，点、D、E分别是四边形A2PC的边A3、AC延长线上一点.

①若0A=8O°,0P=15O°,贝峋。BP+EIECP=°；

②分别作SD8P和aECP的平分线，交于点。，如图⑤，若回。=50。，求妫和回尸之间的数量关系；

③分别作回DBP和EIECP的平分线8河、CN,如图⑥，若她="，求证：BM//CN.

A

AA

D

图②图③

图④

【答案】(1)ZA+ZB(2)7O；260(3)230；ZP=ZA+100°；证明见解析

【分析】(1)根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论;

(2)①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论;

②根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和与三角形内角和定理列式可得结论；

(3)①连接AP,根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论；

②设团。20=尤，！3OCE=y,贝！|回。80=团02尸=无，0PC(?=0OCE=y,由①得：尤+y=0A+!3。，2x+2y=EL4+!3P,

即可得到结论；③延长BP交CN于点。，构建三角形尸。C,由①的结论得：^DBP+^\ECP=SA+BBPC,根

据角平分线的定义，证明回可得结论.

【详解】(1)0EIA+0B+0ACB=18OO,0ACD+0ACB=180°,

00ACD=0A+EB,故答案为：EIA+EIB；

(2)①EHD2C=EA+0ACB,0A=80°,回DBC=150°,

EBACB=[3£)BC-EIA=70。，故答案为：70；

(2)0E£)BC=EL4+EL4CB,EIECB=EA+a4BC,

EBDBC+[3ECB=(EA+a4a)+(EA+0ABe)=0A+(0ACB+0A+0ABe)=EIA+18O°,

EBA=80°,0EZ)BC+E£CB=26O°,故答案为：260；

(3)①连接AP,如图,

A

A

团团08尸+回ECP=团BAP+团6E4+回CAP+团=团BAC+国BPC,

团团A4C=80°,团5尸。=150°,雕尸+团ECP=230。，故答案为：230；

②设团。50=冗，^\OCE=y,贝崛。80=团05P=x,^\PCO=^\OCE=y,

贝|J：x+y=0A+iaa2x+2y=©A+回尸，团2团A+2回O=0A+回尸.

团团0=50°,团团尸=94+100°,故答案为：回尸=财+100°；

③证明：延长3P交CN于点Q,如图：

平分回。2尸，CN平分ELECP,EEOBP=20AffiP,SECP=2^NCP,

回由①知：EDBP+E£CP=EL4+0BPC,又SL4=EI3PC,

S2SMBP+2SNCP=SA+BBPC=2SBPC,SEBPC^SMBP+SNCP.

^BBPC=SPQC+^NCP,^iMBP=^PQC,@BM〃CN.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质的推理及运用，角平分线的定义，平行线的判定.根

据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键.

例6.（2023春•江苏宿迁•七年级校考期中）（1）如图1,将AABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形3CDE

内点4的位置.则NA、ZADC.NA'EB之间的数量关系为：；

（2）如图2,若将（1）中"点A落在四边形8CDE内点A的位置"变为"点A落在四边形8cDE外点A的位

置”，则此时NANADC、44'班之间的数量关系为：；

（3）如图3,将四边形纸片ABCD（ZC=90°,ABCD不平行）沿EF折叠成图3的形状，若AD,EC=115°,

ZA'FB=45。，求/ABC的度数；（4）在图3中作出“'EC、/A'阳的平分线EG、FH,试判断射线EG、FH

的位置关系，当点E在。C边上向点C移动时（不与点C重合），NDEC、NA'FB的大小随之改变（其它条

件不变），上述EG,FH的位置关系改变吗？为什么？

B

图2图3

【答案】（1）2ND4E=NA7X?+ZA'EB,（2）2ZDAE=ZA'DC—ZA'EB；（3）ZABC=55°；（4）位置不

改变，EG//FH.

【分析】（1）连接A4'，证明NDAE=NDA'E，结合NA'EB=/E4'A+/&U',ZADC=ZDAA+ZDAA,

再利用角的和差关系可得答案；

（2）连接A4"证明NDAE=NZM'E，结合Z4'£B=NE4'A+NW，ZAfDC=ZDAA+ZDAA,再利用角

的和差关系可得答案；（3）如图，延长电，8交于点Q,延长即'，E4'交于点，则对折后尸。与△瓦。

重合，由（2）的结论可得：2ZQ=ZD'EC-ZA'FB,可得N0=35。，再利用三角形的内角和定理可得答案；

（4）如图，EG平分ND'EC,FH平分ZA'FB,可得ND'EG=ZCEG=-ZD'EC,ZA'FH=ZBFH=-ZA'FB,

22

由对折可得：ZQ'EF=ZQEF,ZQ'FE=ZQFE,

由（2）的结论可得：ZD'EC=ZA'FB+2ZQ,即NZXEG=NA'FH+N。，证明

ZFEG+ZHFE=ZQ+ZQEF+ZQFE=180°,可得EG//FH.

【详解】（1）结论：2ZDAE=ZA'DC+ZA'EB理由：连接A4）

沿DE折叠A和A重合，El/DAF.=/DA'F.

0ZAEB=ZEAA+ZEAA,ZADC=ZDAA+ZDAA

团ZA'EB+ZADC=Z.EAA+AEAA:+ZDAA+ZDAA!=ZDAE+ZDA;E=2ZDAE.

(2)2ZDAE=ZADC-ZAEB理由：连接

沿OE折叠4和A重合，^ZDAE=ZDAE

0ZAEB=ZEA'A+/F.AA',ZADC=ZDAA+ZDAA

SZADC-ZAEB=ZDAA+ZDAA-ZEAA-AEAA!=ZDAE+ZDAE=2ZDAE；

(3)如图，延长54,8交于点。，延长ED,E4,交于点。'，则对折后△EFQ与A"。'重合,

H\

由（2）的结论可得：2ZQ=ZD'EC-ZA'FB,而ZZXEC=115。，ZA'FB=45。，

02/。=115°-45°=70°,ONQ=35°,0ZC=9O°,13ZABC=90°-35°=55°：

（4）EG//FH,理由见解析如图，EG平分/DEC,FH平分ZA'FB,

0ND'EG=NCEG=-ZD'EC,ZA'FH=ZBFH=-ZA'FB,

22

由对折可得：ZQ'EF=ZQEF,ZQ'FE=ZQFE,

由（2）的结论可得：ZD'EC-ZA'FB=2ZQ,即/D'EC=/A'FB+2/0[aN£）'£G=NA'EH+/。，

团ND'EG+ND'EF+NBFE+NBFH=ZA'FH+NQ+NQEF+NBFH+NBFE,

0NFEG+ZHFE=ZQ+ZQEF+ZQ'FE,

0NFEG+NHFE=ZQ+ZQEF+ZQFE=180°,0EG〃FH.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的

性质并进行解题是关键.

课后专项训练

1.（2023春・江苏扬州•七年级统考期末）如图，将AABC沿DE折叠，使A，E、AO与边8C分别相交于点M、

N,若4+N2=150。，则N3+N4的度数为（）

C

A.250°B.2550C.260°D.265°

【答案】B

【分析】可得NADEn/A'DE,ZAED=ZAED,可求/1+/2=360。-2（180。—44）,从而可求/A=75。,

由N3=N1+NC,Z4=Z2+ZB,即可求解.

【详解】解：由翻折得：ZADE=ZADE,ZAED^ZAED,

.-.Zl=180o-2ZAED,Z2=180°-2ZADE,r.N1+N2=36O°—2（ZAED+ZADE）,

Zl+Z2=360°-2（180°-ZA）,Z1+Z2=2ZA,

Zl+Z2=150°,;.NA=75。，/.ZB+ZC=180°-ZA=105°,

Z3=Z1+ZC,Z4=Z2+ZB,/.Z3+Z4=Z1+Z2+ZB+ZC=150°+105°=255°,故选：B.

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握性质及定理是解题的

关键.

2.（2023•四川绵阳•八年级校考期中）如图，A4BC中，NC=90。，将AABC沿OE折叠，使得点8落在AC

边上的点尸处，若NCED=60。且NA£F=NAfE,则/A的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】平角的定义，求出NA7Z*的度数,翻折，得到ZDFE=ZB,等边对等角,得到ZAFE=1(180°-ZA),

三角形内角和定理，得到"EE=NB=90。-NA,再根据N4FD=NAFE+NDEE列式求解即可.

【详解】解：回AABC中，ZC=90°,EZB=90°-ZA,

团将AABC沿。E折叠，使得点B落在AC边上的点尸处，ZDFE=ZB=90°-ZA,

0ZCFD=60°,0ZAFD=120°,^ZAEF=ZAFE,EZAFE=1(180°-ZA),

0ZAFD=ZAFE+ZDFE=90°-ZA+1(180°-ZA)=120°,0ZA=4O°；故选B.

【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角.解题关键是理清角度之间的等量关系.

3.(2023•河南安阳•八年级校考期中)如图，把EA8C纸片沿QE折叠，当点A落在四边形BCEO的外部时,

则她与回1和回2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()

A.20A=01-02B.3EIA=2(01-02)C.3EIA=201-02D.0A=01-02

【答案】A

【分析】根据折叠的性质可得NA=NA'，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到

Z1=ZDOA+ZA,ZDOA=Z2+ZA,然后列式整理即可得解.

【详解】解：根据折叠的性质，得NA=NAL

在△AOQ中，Z1=ZDOA+ZA,在AHOE中，ZDOA=Z2+ZA,

0Zl=ZAf+Z2+ZA,BP2ZA=Z1-Z2.故选A.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键.

4.(2023・广东广州•八年级统考期中)如图，01,02,03,团4满足的关系式是()

A.01+02=03+04B.01+02=04-03C.01+04=02+03D.01+04=02-03

【答案】D

【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系.根据外角的性质，可推出01+回4=06,06=02-03,从而推出

01+04=02-03

【详解】解：幽6是a48c的外角，001+04=06(1),

又回团2>I3C£)F的夕卜角，006=02-03(2),

由①和②得：回1+回4=02-回3.故选D.

【点睛】此题考查了三角形内角和外角，解题的关键是记住外角和定理.

5.(2023•新疆乌鲁木齐,八年级校考期中)如图，ZA=3O°,/B=45。，ZC=40°,贝|NDFE=()

A.75°B.100°C.115°D.120°

【答案】C

【分析】在△AEC中由三角形外角的性质可求得ZBEF,在ABEF中，利用三角形外角的性质可求得ZDFE.

【详解】解：团ZBEF是的一个外角，0ABEF=ZA+ZC=30°+40°=70°,

EI/DEE是的一个外角，0ZDFE=ZB+ZBEF=7OO+45°=115°,故选：C.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键.

6.（2023春•河南洛阳,七年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30。的角后得到一个六边形

BCDEMN,则N1+N2的度数为（）

A.100°B.105°C.200°D.210°

【答案】D

【分析】根据三角形的内角和定理可得NAW+/AW=150。，根据平角的定义可得

Zl+ZAMN=180°,Z2+ZANM=180°,从而求出结论.

【详解】解：回NA=30°,0ZAMN+ZANM=180°-ZA=150°,

0Zl+ZAMN=180°,Z2+ZANM=180°,0Zl+Z2=180°+180°-（ZAMN+ZANM）=210°.故选D.

【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键.

7.（2023春•山东苗泽•七年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，0A=60。，BB=70。，将纸片的一角

折叠，使点C落在0ABe外，若回2=18。，则如的度数为（）

A.50°B.118°C.100°D.90°

【答案】B

【分析】在0ABe中利用三角形内角和定理可求出团C的度数，由折叠的性质，可知：0CD£=ECD£,回CEO

=SC'ED,结合国2的度数可求出回CEO的度数，在回CCE中利用三角形内角和定理可求出回CQE的度数，再

由团1=180°-0CDE-EIC'DE即可求出结论.

【详解】解：在EIABC中，13A=60°,0B=7O°,EEC=180°-0A-0B=5O°.

1800+N2

由折叠，可知：0CDE=0CzDE,EICED=I3C'ED,fflCED=--------=99°,

2

0ECDE=18O°-EICED-EC=31°,001=180°-ECDE-EC,DE=1800-20CDE=118°.故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出回CDE的

度数是解题的关键.

8.（2022秋•八年级课时练习）如图，把0ABe沿环对折，折叠后的图形如图所示，ZA=60。，4=96。,

则N2的度数为（）

A.30°B.24°C.25°D.26°

【答案】B

【分析】由三角形的内角和，得NAEF+NAEE=120。，由邻补角的性质得NEEB+NEFC=24O。，根据折叠

的性质得N3'£F+NC'FE=240。，即N1+/AEF+N2+/AFE=240。，所以，Z2=24°.

【详解】解：团ZA=60°,回ZAEF+ZAFE=180°—ZA=180°—60°=120°,E/FEB+NEFC=360°-120°=240°,

由折叠的性质可得：ZB'EF+ZC'FE^Z.FEB+ZEFC=240°,0Z1+ZA£F+Z2+ZAFE=240°,

0Z1=96°,096°+12O°+Z2=24O°,BPZ2=240°-120°-96°=24°.故选B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为180。，

互为邻补角的两个角之和为180。以及折叠的性质是本题的解题关键.

9.（2023•福建三明•八年级统考期末）如图0ABe中，将边BC沿虚线翻折，若回1+回2=110。，则0A的度数是

度.

【答案】55/五十五

【分析】延长C'F,交于点。，依据财=SD,a4E£>+S4阳=250。，即可得到她的度数.

【详解】解：如图，延长8'£,CF,交于点。，

A

：o-

D

由折叠可得，0B=0B',fflC=EC,fflia4=0D,

X001+02=11O°,00A££>+0AFr>=36O°-llO°=25O°,

回四边形AE。尸中，0A=4(360°-250°)=55°,故答案为：55.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算.

10.(2023春•山东潍坊•七年级统考期末)在"C中，ZB=40°,NC=75。，将—3、NC按照如图所示

折叠，若NA£>B'=35。，贝U/l+N2+N3=°

【答案】265

【分析】先根据折叠的性质求出NaG=NC'FG,ACGF=AC'GF,4'=4=40。,再根据三角形内

角和定理求出/行G+/痢，AB'HD,进而求出4+N2,然后求出四边形内角和，进而得出N3,即可得

出答案.

【详解】根据折叠性质得NCFG=NCRG,ACGF=AC'GF,々=40。.

0ZC=75°,ZADB'=35°,^ACFG+ACGF=105°,AB'HD=180°-AB'-AADB'=105°,

^AC'FG+AC'GF=105°,ZAHE=105°,

0Z1+Z2=360°-(/CFG+4CGF)-(乙CFG+AC'GF)=360°-2x105°=150°.

在四边形AHEC中，AA+ZAHE+Z3+NC=2x180°=360°.

0Z3=360°-(180°-AB-ZC)-AAHE-AC,

即Z3=360°-(180°-40°-75°)-105°-75°,EZ3=115°,

0Z1+Z2+Z3=150°+115°=265°.故答案为：265.

A

B'

/，7\

BEGC

【点睛】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角之间的数量关系是解题

的关键.

11.（2023・广东•八年级校考阶段练习）（1）如图①回1+回2与SB+回C有什么关系？为什么？

（2）把图①AABC沿。£折叠，得到图②，填空：

01+02EB+0C（填当0A=6O°时，0B+EIC+01+02=

（3）如图③，是由图①的"BC沿DE折叠得到的，猜想副。1+回CEA与EA的关系，并证明你的猜想.

【答案】（1）01+02=EB+13C；理由见解析；（2）=；240°（3）0BDA+ECEA=20A；理由见解析.

【分析】（］）根据三角形的内角和定理即可推得团1+回2与SB+IBC的关系；

（2）由折叠的性质和（1）的结论可得131+132与团2+I3C的关系；当EA=60。时，先求出I3B+EIC的度数，再利

用前者的结论即可得出答案；

（3）如图③，延长80交CE的延长线于A,利用三角形的外角的性质即可得出结论：SBD4+回CE4=20A.

【详解】解：（1）根据三角形内角是180°,可知：131+02=180°-EIA,0B+0C=18O°-EA,

ffll+E2=SB+0C;

（2）由折叠的性质知：图②的回1+回2就是图①的01+回2,而由（1）知：01+02=0B+0C；

团在图②中有回1+回2=EIB+I2C；当她=60°时，EB+0C=180°-EL4=120",

00B+0C+01+02=120°x2=240°；故答案为=；240°

（3）EIBD4+EICEA与0A的关系为：^BDA+QCEA=2BA.

理由如下：如图③，延长80交CE的延长线于4,连接

B

00BDA=SDA'A+^iDAA',^AEC=^EA'A+SEAA',^DA'E=SDAE,

EBBD4+0AEC=2SDAE,EHBD4+EICE4与0A的关系为：SBDA+QCEA=20A.

【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理与三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定

理和三角形外角的性质是解此题的关键.

12.(2023春•江苏泰州•七年级校联考期中)已知，在AABC中，Zfi4C=ZABC,点。在AB上，过点。的一

条直线与直线AC、8C分别交于点E、F.⑴如图1,44c=70。，则NCFE+NFEC=°.

(2)如图2,猜想NA4C、/EEC、/CFE之间的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,直接写出/54C、NFEC、/CTE之间的数量关系.

【答案】(l)：L40(2)NFEC+NCFE=2N54C,证明见解析⑶/引/+/。庄=180。一2/区4c

【分析】(1)根据三角形内角和定理先求出NACB=180。-2NB4C,再根据NCFE+/EEC=180。-/ACS,

代入后得出NCFE+/FEC=2/BAC,即可得出答案;

(2)先求出NCEF+NCFE=18()o—NC,再得出/CE尸+NCFE=NBAC+//RC,进而可得出答案;

(3)根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质即可得出答案.

【详解】(1)解：0ZACB+ZABC+ZBAC=180°,ZBAC=ZABC,0ZACB=180°-2ABAC,

0NCFE+NFEC=180°-ZACB,0ZCFE+NFEC=180°-(180°-2ZBAC)=2ABAC,

0Zfi4C=7O°,0ZCFE+ZFEC=140°；

(2)NFEC+NCFE=2NBAC,

证明：在△CEF中IBNC+NCEF+NCFE=180。，ElZCEF+ZCFE=180°-ZC,

在AABC中，0