苏科版七年级数学下册常见几何模型专练：平行线中的拐点模型之羊角模型（解析版）

专题04平行线中的拐点模型之羊角模型

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理

及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：羊角模型

如图1,已知：AB//DE,结论：a=y—/3.

如图2,已知：AB//DE,结论：6Z+/7+7=180°.

【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,，/夕二/尸。？

A\J

F

图1\图2

______________________€

D

9：AB//DE,：.CF//DE,：.Zy=ZF（7D,'：Za=ZFCD-ZFCB,：.Za=Zy-Z.

在图2中，过。作A8的平行线CR，/4=ZFCB

\'AB//DE,：.CF//DE,AZ/+ZFCZ)=18O°,,：ZFCD=Za+ZFCB,：.Za+Z+Zy-Z=]8Q°.

例L（2023•江苏七年级期中）如图所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.则/C等于（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】根据AB〃CD,ZA=50°,所以/A=NAOC.又因为NC=/E,/AOC是外角，所以可求得/C.

【详解】解：：AB〃CD,/A=50。，.••/A=/AOC（内错角相等），

XVZC=ZE,NAOC是外角，；.^^=50。+2=25。.故选B.

例2.（2023上•河南新乡•八年级校考阶段练习）如图，AB//CD,证明：ZA=ZC+ZP.

//

【答案】见解析

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得Z4=ZDEP,再根据三角形外角可得的P=NC+ZP,即可证明.

【详解】证明：0AB"CD,^ZA=ZDEP,

^\ZDEP=ZC+ZP,E]ZA=ZC+ZP；

【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角，灵活运用所学知识是关键.

例3.（2023上•广东韶关•八年级统考期中）如图，如果AE〃。*，求ZA+N8+NC+ZD的度数是（）

B

A.90°B.180°C.300°D.360°

【答案】B

【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质.

根据题〃。尸可得+=又根据三角形外角的性质得到NDW=NC+",从而

ZA+ZB+ZC+ZZ)=ZAMN+ZDNM=180°.

【详解】0隹〃。9,0ZAMN+Z.DNM=180°,

SZAMN=ZA+ZB,ZDNM=ZC+ZD,

BiZA+ZB+ZC+ZD^ZAMN+ZDNM=180°.故选：B

例4.（2023下•重庆沙坪坝•七年级校考期中）如图，已知AB〃CD,NABC=；NCBE,CB的延长线交NBE。

"=35。，则ZF的度数为（）

E

A.27°B.30°C.32°D.36°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质得出，ABC的度数，进而得出N3ED的度数，利用角平分线的定义和三角形外

角性质解答即可.

【详解】解：如图，CD与BE交于点、G,CD与EF交于点H,"AB〃CD,:.ZABC=NC=25。,

ZABC=-ZCBE,,-.ZCBE=50°,ZABE=ZABC+ACBE=25°+50°=75°,

2

-,-AB//CD,:.ZBGD=ZABE=15°,Q?D35?,ABED=ZBGD-ZD=75°-35°=40°,

EF是/BED的角平分线，；.NGEF=；/BED=20°,

:.ZF=ZCBE-ZGEF=50°-20°=30°.故选：B.

【点睛】此题考查平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义，解答本题的关键是根据两直线平行，

内错角相等求角度.

例5.（2023下•福建宁德•七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线AB、CD,然后在平行线间画了

一点、E,连接BE,DE后（如图①），再拖动点E,分别得到如图②、③、④等图形.

⑴请你分别写出图①至图④各图中的23、，。与NBED之间关系；

①，②,③,④.（2）请写出图③证明过程.

【答案】（1）/B+ZD=ZBED；ZB+ZD+ABED=360°；ZBED=ZD—NB；/BED=/B—/D⑵见解析

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行解答；

（2）过点E作的平行线，由平行线的性质和三角形外角的性质证明.

【详解】（1）解：@ZB+ZD=ZBED-,②N8+ZD+N8£D=360°；

③ABED=ND-/B；®ZBED=ZB-ZD-

（2）①如图①，过点后作历〃钻，则EF〃CD,:.ZB=/BEF,ZD=ZDEF,

:.ZB+ZD=ZBEF+ZDEF,:.ZB+ZD=/BED.

②如图②，过点E作EG〃AB,则EG〃CD,..ZB+ZBEG=180°,ZD+ZDEG=180°,

ZB+ZD+ZBEG+ZDEG=360°,Z.B+Z.D+ZBED=360°.

③如图③，过点E作则E"〃CD,:.ZD=ZDEH,ZB=ABEH,

:.ZD-ZB=ZDEH-ZBEH,:.ZBED=ZD-ZB.

④如图④，过点E作则Ef〃CD,.-.ZD=ZDEI,ZB=ZBEI,

:.ZB-zT>=ZBEI-ZDEI,:.ZBED=ZD-ZB.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是过拐点E准确作出A3的平行线.

例6.（2023下•黑龙江双鸭山•七年级统考期末）已知AB〃CD,尸为直线AB,。所确定的平面内一点.

⑶如图③，点E在直线上，若ZAPC=20°,ZPAB=30。，过点E作EF//PC,作/PEG=NPEF,/BEG

的平分线交PC于点直接写出NPEH的度数.

【答案】(l)ZP=ZA+"(2)见解析⑶25。

【分析】(1)首先过点尸作PE〃钻，则易得PE//AB〃CL>,然后由两直线平行，内错角相等，即可证

得/尸=NA+NC；(2)过点尸作9〃AB,由A3〃CD,可得PA/〃CD,由平行线性质得NMPC=NC

ZAPC=ZMPC-ZMPA,证得NAPC=NC—NA；(3)由三角形外角的性质，可求得4=50。，然后由平

行线的性质，求NFEB=50。，再利用角平分线的性质，求得

ZPEH=ZPEG-ZGEH=1(ZFEG-ZBEG)=|ZFEB=25°

【详解】(1)解：ZP=ZA+ZC.

理由：过点尸作尸E〃AB,如下图：^AB//CD,^\PE//AB//CD,

■F

0Z1=ZA,Z2=ZC,0ZP=Z1+Z2=ZA+ZC；

(2)证明：如图，过点尸作^\PM//AB,^\ZMPA=ZA

SAB//CD,MP//AB,^\PM//CD^ZMPC=ZC

SZAPC=ZMPC-ZMPA,0ZAPC=ZC-ZA.

(3)解：NPE”的度数为25。,

0ZAPC=2O°,ZPAB=30°,如图：ZPOB=ZAPC+ZPAB=50°,

SEF//PC,^ZFEB=ZPOB=50°,

^ZPEG=ZPEF,N3EG的平分线交PC于点H,SZGEH=-ZBEG,ZPEG=-ZFEG,

22

0NPEH=NPEG-NGEH=1(ZFEG-NBEG)=|NFEB=25°.

【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题关键是掌握辅助线的作法以及数形结

合思想的应用.

课后专项训练

1.（2023上•广东江门•八年级校考期中）如图，AB//DF,AC13C于C,BC与DF交于点E,若

【答案】A

【分析】根据平行线的性质可求得NABC,再利用三角形内角和定理计算即可.

【详解】解：ZCEF=110°,ACJ.BC,

ZABC=ZCED=180°-ZCEF=70°,ZACB=90°,

ZA=180°-ZACB-ZABC=180°-90°-70°=20°,故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线的性质求得/ABC是解题的关键.

2.（2023下•陕西西安•七年级校考期末）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZBAF^148°,AF//BE.若

【答案】D

【分析】根据ZBAF=148°,得出//钻£=180。-148。=32。，根据角平分线的定义得出

ZABC=2ZABE=64°,根据直角三角形两锐角互余得出ABAC=90°-64°=26°.

【详解】解：^AF//BE,ZBAF=148°,EZAB£=180°-148°=32°,

国破平分/ABC,EZABC=2ZABE=64°,

回NC=90°,0ZSAC=90°-64°=26°,故D正确.故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌

握平行线的性质，得出ZABE=180°-148°=32°.

3.（2023,河南驻马店•统考三模）如图，已知AB/CZ）,若"=26。，/尸=49。，则13的度数为（）

A.23°B.65°C.75°D.76°

【答案】C

【分析】先根据三角形的外角性质可得NCEF=75。，再根据平行线的性质即可得.

【详解】解：•.•/。=26。，ZF=49°,:.ZCEF=ZD+ZF=15°,

■.■AB//CD,ZB=ZCEF=75°,故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键.

4.（2023•江苏南通•统考中考真题）如图，AABC中，/ACB=90。，顶点A,C分别在直线机，〃上.若相〃〃,

4=50。，则N2的度数为（）

A.140°B.130°C.120°D.110°

【答案】A

【分析】先根据平行线的性质求出N3的度数，再由/ACB=90。得出/4的度数，根据补角的定义即可得出

结论.

【详解】解：如图，

•.•〃?〃〃，Zl=50°,.-.Z3=Zl=50o,

vZACB=90°，Z4=ZACB-Z3=90°-50°=40°,

.•.Z2=180°-Z4=180°-40°=140°,故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

5.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在中，ZACB=90°,ZB=50。，DF//EB.若/。=70。,

则—ACD的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】A

【分析】先根据在直角三角形中，两锐角互余得出NA=40。，根据。/〃EB,/D=70。，得到

/D=NCEB=70。,再根据三角形外角的性质，即可得出-4CD的度数.

【详解】解：•.•△ABC中，ZACB=90°,4=50。,/.ZA=40°,

DF//EB,ZD=70°,ND=/CEB=70°,

：.ZACD=ZCEB-ZA=70°-40°=30°,故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线

的性质是解题的关键.

6.（2023下,广东潮州•八年级统考期中）如图所示，在YABCD中，NC=120。，延长创至点E,延长

至点、F,连接则NE+N尸的度数为（）

Z7

A.120°B.30°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质求得ZE短=60。，再根据三角形的外角性质求解即可.

【详解】解：团四边形覆CD是平行四边形，

0AD/7BC,AB//CD,SZFAB=ZB,ZB+ZC=180°,

0ZC=120°,EZFAB=ZB=18O°-ZC=18O°-120°=60°,

SZE+ZF=ZFAB=60°.故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行四边形的性质和

三角形的外角性质是解答的关键.

7.（2023下,甘肃白银•七年级统考期末）如图，直线上〃尸G,Rt^ABC的顶点3,C分别在DEFG上，

若N3CF=20。，则，ABE的度数是（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【答案】B

【分析】先根据平行线的性质得到/EBC=/BCF=20。，再利用互余得到NABE=70。.

【详解】解：SDE//FG,/BCF=20。,^\ZEBC=ZBCF=20°

^\ZABC=90°,ZABE=ZABC-ZEBC=90°-20°=70°.故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质、余角，掌握"两直线平行，内错角相等"是解题关键.

8.（2023下•四川泸州•七年级校考期末）如图，E在线段54的延长线上，ZE4D=ZD,ZB=ZD,EF//HC,

连FH交AD于G,NFG4的余角比NDGH大16。，K为线段3C上一点，连CG,使/CKG=NCGK,在

/AGK内部有射线GAf,GM平分NFGC.则下列结论：①AD〃8C；②GK平分NAGC；③NFG4=42。；

（4）ZMGK=21°.其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理可判断①；由平行线的性质得到NAGK=NCKG,等量代换得到

ZAGK=ZCGK,可判断②；根据NFGA的余角比NDGH大16。，又NFGA=2DGH,由此列方程得到

ZFGA=ZDGH=31°,可判断③；设NAGM=a,NMGK=。,得到NAGK=（z+£,根据角平分线的定

义即可得到结论，可判断④.

【详解】解：fflZE4£>=ZD,ZB=ZD,^1ZEAD=ZB,

SAD//BC,故①正确；fHZAGK=ZCKG,

BZCKG=ZCGK,SIZAGK^ZCGK,EIGK平分NAGC,故②正确；

团ZFGA的余角比ZDGH大16°,090°-ZFGA-ZDGH=16°,

SZFGA=ZDGH,090°-2ZFG4=16°,0ZFG4=ZDGH=37°,故③错误；

^ZAGM=a,ZMGK=0,回NAGK==+£,BGK^-^ZAGC,S^CGK=ZAGK=a+/3,

回GM平分ZFGC,^\ZFGM=ZCGM,0ZFGA+ZAGM=ZMGK+ZCGK,

^3T+a=p+a+p,回分=18.5。，ZMGK=18.5°,故④错误，回正确结论的个数有2个.故选：B.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，正确识别图形是解题的关键.

9.（2023下•辽宁锦州•七年级统考期中）如图，A3〃CD且48=35。，ZD=65°,贝1］皿有=.

【答案】30。/30度

【分析】过点P作E尸〃然后根据两直线平行，内错角相等求解即可.

【详解】解：如图，过点尸作EP〃AB,

CD

^AB//CD,0ABlIEFHCD,EZOPE=ZD=65°,ZBPE=NB=35。

0ZDPB=ZDPE-Z.BPE=65°-35°=30°.故答案为：30°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.

10.（2023下•江苏宿迁•七年级校考期中）如图，直线AB〃C£>,ZB=68°,ND=35。，则/E的度数是

【答案】33。/33度

【分析】由平行线的性质可得N3网>=/3=68。，再利用三角形的外角的性质可求得，石的度数.

【详解】解：令BE和CD相交于点产，

AB//CD,々=68。，:.ZBFD=ZB=68°,

QZBFD=ZE+ZD,Z£>=35°,ZE=ZBFD-ZD=68°-35°=33°,故答案为：33°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相

等，是解题的关键.

11.（2023下•山东临沂•七年级统考期中）如图，直线。〃方，ZABD=28°,ZACE=50。,那么NA的度

数是.

【答案】22722度

【分析】过点人作。〃0,先根据平行线的性质可得NW=//®）=28。，再根据平行公理推论可得c〃m

然后根据平行线的性质可得Z.CAF=ZACE=50。，最后根据ZBAC=ZCAF-ZBAF即可得.

【详解】解：如图，过点A作。〃a,.•./B〃=/ABD=28。，

c

8°

D\Ba

5。。\

ECb

回直线:.c//b,;.ZCAF=ZACE=50°,

ABAC=ZCAF-ZBAF=22°,故答案为：22。.

【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

12.（2023•广东汕头•校联考三模）如图，AB\\CE,ZA=40°,CE=DE,则/C的度数是

【答案】20。/20度

【分析】先利用平行线的性质得到/AEC=/A=40。，再利用等边对等角和三角形外角的性质即可得到一C

的度数.

【详解】解：EABHCE,ZA=40°,0ZAEC=ZA=40°,

SCE=DE,ZAEC=ZC+ZD,回NC=ZD=；ZAEC=20。.故答案为：20。

【点睛】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的

关键.

13.（2023下・浙江杭州•七年级校考期中）如图，已知AB〃CD,点E为A3上一点，ZCDF=ZFDG,FE

平分NBEG,

⑴若NCDF=30：ZF=100°,则NG=°；（2）/尸与NG之间满足的数量关系是

【答案】20。ZF-|ZG=90°

【分析】（］）延长所，交CD与点、H,令OG和AB相交于点/,根据三角形的外角定理得出

4770=100。-30。=70。，易得NCDG=2NCD尸=60。，根据平行线的性质得出NGZ4=CDG=60。，

ZFHD=ZPEB=10°,求出/3EG=140。，进而求出NGE7=40。，最后根据三角形的外角定理得出

ZG=ZGIA-ZGEI,即可求解；（2）设NAEG=x,贝UNBEG=18（F-x,根据角平分线的定义的得出

ZBEP=-ZBEG=90。一!无，贝ljZQEI=ZBEP=90。一!无，进而得出ZGEQ=ZAEG+ZQEI=90°+-x,

2222

根据平行线的性质得出NCDG=NA/G=x+/G,进而得出NFDQ=gNCDG=g尤+g/G,最后根据三角

形的内角和定理得出NG+NGEQ=NEDQ+NF,列出等式，即可得出结论.

【详解】解：（］）延长交CD与点、H,令。G和相交于点/,

0ZCDF=30°,ZDFE=100°,fflZFHD=100°-30°=70°,

0ZCDF=30°,ZCDF=ZFDG,0ZCDG=2ZCDF=60°,

^AB//CD,SiZGIA^CDG=60°,4FHD=ZPEB=70。,

国FE平分/BEG,EIZBEG=70ox2=140o,0ZGEI=180°-ZBEG=40°,

ElNG=NGZ4-NGE/=60O-40o=20。，故答案为：20。；

(2)设ZA£G=x,13ZBEG=180°—x,

gFE平分NBEG,回/3EP=LN3EG=90°-,尤，

一22

回ZQEI=ZBEP=90°x,ElZGEQ=ZAEG+NQE/=90°+g无，

BZAIG=ZAEG+ZG=x+ZG,AB//CD,^Z.CDG=ZAIG=x+Z.G,

SZCDF=ZFDG,S\ZFDQ=-ZCDG^-x+-ZG,

222

0ZGQE=ZDQF,NG+ZGEQ+ZGQE=180°,ZFDQ+ZF+ZDQF=180°,

0ZG+ZGEQ=ZFDQ+ZF,gpZG+90°+-x=-%+-ZG+ZF,

~222

整理得：ZF--ZG=90°.故答案为：ZF--ZG=90°

22

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线

平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；三角形的内角和为180。；三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角之和.

13.（2023上•陕西西安•八年级统考期末）如图，E是AB、CO外一点，AB//CD,ZB=20°,ZE=10°,

求NO的度数.

【答案】ND=30°

【分析】根据AB〃CD运用两直线平行，同位角相等得出=/芯，再根据三角形外角的性质和等量代

换得出NDuNB+NE即可得解；

【详解】解：AB//CD,0ZD=ZAFE.

^ZAFE=ZB+ZE,^ZD=ZB+ZE.

0ZB=2O°,NE=10°,EZD=20°+10°=30°.

【点睛】该题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，解答该题的关键是能够合理运用平行线的

性质以及三角形的外角定理.

14.（2023下•四川德阳•七年级统考期末）如图，已知AB〃CD,射线A〃交BC于点八交CD于点D,

从点。引一条射线DE,若NAFC=NEDH,48=65。，求NCDE的度数.

【答案】ZCDE=115°.

【分析】先证明8C〃Z）E可得/C+/CDE=180。，再根据AB〃C。可得N3=NC,从而可得结论.

【详解】解：团ZAFC=NEDH且ZAFC=NBFD（对顶角相等）,

:.ZBFD=ZEDH,:.BC//DE,ZC+ZCDE=180°,

又•：通〃CD,0ZB=ZC=65°,0ZCDE=18OO-65°=115°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键.

15.（2023下•山东济南•六年级统考期末）已知AB〃CD,点尸为平面内的一点，APIPC,垂足为尸.

（1）问题呈现：如图LZA=120°,则/C=。；

⑵问题迁移：如图2,点尸在A3的上方，请探究一A,/C之间的数量关系，并说明理由;

⑶联想拓展：如图3,在（2）的条件下，已知NQAB=2NQAP,NQC£>=2NQCP,请求出N。的度数.

Q

【分析】（1）过P作PF//AB,根据平行线的性质得到ZA+ZAPF=180°,ZFPC+ZC=180°,根据

垂直的定义得到ZAPC=90°,于是得到结论；（2）过点P作PE//AB,根据平行线的性质和垂直的定

义即可得到结论；（3）过点Q作MQ//CD,由（2）可知：AB//CD//MQ,根据平行线的性质得到

ZQAB=ZMQA,ZQCD=ZMQC,根据角的和差倍分即可得到结论;

【详解】（1）过P作PF〃AB,=/4+//囱=180。,

-,-AB//CD,PF//CD,.-.ZFPC+ZC=180°,:.ZA+ZAPC+ZC^360°,

vAPLPC,:.ZAPC=90°,.•./。=360。一90。一120。=150。，故答案为：150；

(2)ZC-ZA=90°,理由：过点尸作尸E〃AB,

•：AB//CD,AB//PE,:.PE//CD,:.NEPC=NC,ZEPA=ZA,

•:ZAPC=NEPC-NEPA.:.ZAPC=ZC-ZA,

■：APLPC:.ZAPC=90°,,-.ZC-ZA=90°；

(3)过点。作MQ〃CD,由(2)可知：AB//CD//MQ,:.ZQAB=ZMQA,ZQCD=ZMQC,

22

ZQAB=2ZQAP,ZQCD=2ZQCP,ZQCD=-ZPCD,ZQAB=-ZPAB,

222

ZAQC=ZMQC-ZMQA=ZQCD-ZQAB=-ZPCD--ZPAB=-(ZPCD-ZPAB),

2

由（2）知，ZPCD-NPAB=90,..ZAQC=-x90°=60°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键

16.（2023下•四川凉山•七年级统考期末）直线E尸交AB、CD于M、N,尸点是直线E歹上一个动点

（1）如图尸点在线段肱V上时，若ZBAP+NPCD=ZAPC,试判断直线AB与8的位置关系，并说明理

由；（2）如图b,P点在射线"E上时，若AB〃CD时，证明/R4B、NPCD与NAPC的关系.

【答案】⑴AB〃C£）,理由见解析⑵NAPC=/PCD-/F4B,理由见解析

【分析】（1）过点P作尸。〃A3,得到NAPQ=4,进而推出/PCD=NCP。，得到尸。〃。，由此得

到结论AB〃CD；（2）过点P作PG〃AB,得到尸G〃AB〃CD,推出NPAB=NGR4,NGPC=NPCD,

由此得到结论ZAPC=ZPCD-ZPAB.

【详解】（1）解：AB//CD,理由如下：过点尸作尸。〃A3回/APQ=4

0/PCD=ZCPQ^\PQ//CDsPQ//ABSAB//CD-.

(2)证明：ZAPC=ZPCD-ZPAB,理由如下：过点尸作PG〃A5,

^AB//CD^PG//AB//CD^\NPAB=ZGPA,ZGPC=NPCD

团ZAPC=ZGPC-ZGPASZAPC=ZPCD-ZPAB.

【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键.

17.（2023上•黑龙江大庆•七年级校联考期中）如图，已知AB〃8,分别写出下面的四个图形中/APC与

/PAB,1尸8的关系，请你从所得关系中任意选取一个加以证明

①②③④

【答案】图①结论/APC+NR4S+NPCD=360。；图②结论=图③结论

Z.PAB=ZAPC+ZPCD；图④结论NPCE>=/B4B+NAPC；证明见解析

【分析】①②过转折点作平行线，根据平行线的性质进行求证即可；③④利用平行线的性质结合三角形

的外角性质求证即可.

【详解】解：图①结论/APC+/B4B+NPCD=360。；图②结论NAPC=/R4fi+/PCD；图③结论

ZPAB=ZAPC+ZPCD■,图④结论/PCD=/RW+NAPC,理由如下:

如图①：过点尸做P尸〃,

0AB"CD,^\PF//AB//CD,ZAPF+ZA=180°,ZCPM+ZC=180°,

两式相加得国NA+NC+/APAf+NCPM=360。,BPZAPC+ZPAB+ZPCD=360°：

如图②：过点尸做PE〃AB,

QABHCD,S\PF//AB//CD,回ZBAP=ZAPE,NEPC=NPCD,

0ZAPE+ZEPC=ZBAP+ZPCD,BPZAPC=ZPAB+ZPCD；

如图③，延长54与PC交于点尸.

-,-AB//CD,:.ZPFA=ZPCD（两直线平行，同位角相等），

又•.•/以3="右+/尸£4（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,

ZPAB=ZAPC+ZPCD；

如图④：•.•AB〃CD,.•./PEB=/PCD（两直线平行，同位角相等），

又•.•/PEB=NAPC+NRLB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

:.ZPCD=ZAPC+ZPAB.

【点睛】本题考查平行线的性质.熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键.

18.（2023上•黑龙江绥化•七年级期末）已知直线4〃34和乙，4分别交于C,。点A,8分别在直线乙,

4上，且位于，3的左侧，点P在直线4上，且不和点C,。重合.

⑴如图1,有一动点尸在线段C。间运动时，求证：/4PB=N1+N2；

⑵如图2,当动点尸在C点之上运动时，猜想N4PB、N1、/2有何数量关系，并说明理由.

【答案】⑴见解析；⑵N2=N1+NAPB,理由见解析.

【分析】（1）过「作PE|[4,根据判定则有，尸引小也，再利用平行线的性质，最后用角度和差即可求证;

（2）过户作平行线，再利用平行线的性质，内错角相等，最后用角度和差即可求证；

【详解】（[）证明：如图1,过点尸作PE||4,

•••li||4-二阳上，；.Z1=ZAPE,Z2=ZBPE.

y,-.-ZAPB=ZAPE+ZBPE,.-.ZAPB=Z1+Z2；

(2)解：Z2=Z1+ZAPB,

理由如下：如图2,过户作PE||AC,

图2

k||4,：.PE\\BD,.-.Z2=ZBPE,Z1=ZAPE,

NBPE=ZAPE+ZAPB,.-.Z2=Z1+ZAPB.

【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键.

19.(2023下•辽宁营口•七年级校联考期中)已知A2〃C£),点加、N分别是AB、8上两点，点E在A3、

。之间，连接EM、EN.

⑴如图1,已知/£MB=30°,ZEND=40°,求/MEN的度数；

⑵如图2,若点尸是上方一点，EN平分4CNP,AM平分ZEMP,已知NCWE=25。，求4/硒+/尸的

度数；⑶如图3,若点P是CO下方一点，连接PM、PN,且EN的延长线NP平分ZDNP,PM平分ZEMB,

2NP+NMEN=105°,求/DNP的度数.

【答案】⑴70。(2)75。⑶50°

【分析】(1)如图1中，作利用平行线的性质证明NMEN=/EWB+N£2V。即可解决问题；

(2)如图2中，^ZAMP=ZAME=x,则有NE=x+25。，ZP+2x=ZE+25°,由此可得结论；

(3)如图3中，设NPME=ZPMB=x,ZFND=ZFNP=y,根据三角形外角的性质，角平分线的性质，平

角的性质等量代换即可求解.

【详解】([)解：如图1中，作EQ〃AB.

0AB//CD,EQ//AB,^\EQ//CD//AB,©NEMB=NQEM,ZEND=ZQEN,

EEMEN=ZQEM+ZQEN=ZEMB+4END=30°+40°=70°.

QNENC=NENP=25°,!3NE=;c+25°,Elx=NE—25°,

回NP+2x=NE+25°,EINP+2NE—50°=NE+25°,EINP+NE=75°.

(3)解：如图3中，设NPME=NPMB=x,NFND=/FNP=y,

回NBMP=NP+/DNP,即尤=NP+2y,^ZP=2y-x,

0ZBMP=ZAME+ZENC,BPZBMP=(180°-ZEMB)+ZDNF,0ZE=18O°-2x+j；

X02ZP+ZE=1O5°；ffl2(x-2y)+180°-2x+y=105°,

回y=25°,E]Nr）NP=2y=50°.

【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是

学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

20.（2023下•山西吕梁•七年级统考期末）如图1,点。是NABC的边AB上一点，过点。作直线EF〃BC,

8Af是—A3c的平分线，以点。为端点作线段。N,连接MN.

⑴在图1中，若£>N是NAZ）户的平分线，试探究：与NN的数量关系；

（2）如图2,若ZW是上班汨的平分线，则41与/N又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由;

（3）如图3,若CN是NADE的平分线，ZN=15°,请求出的度数.

【答案】（l）NM+NN=180。⑵NM=",证明见解析⑶105。

【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明。N〃3M,即可求出4/与/N的数量关系；

（2）根据内错角相等，两直线平行证明。N〃比0,即可求出与/N的数量关系；（2）先证明

/BDG=；NBDE,结合BM是/ABC的平分线，求出NG=90。，然后利用三角形外角的性质可求出的

度数.

【详解】（1）^EF//BC^ZADF=ZABC

是/ABC的平分线，DN是NADb的平分线

0ZABM=-ZABC£^ZADN=-ZADF回ZABM=ZADN

22

回£W〃国NM+NN=180°

(2)ZM=ZN,理由：^EF//BCSZABC=ZBDE

El8W是—ABC的平分线，DN是N3DE的平分线

0ZABM=-/ABC£r/BDN=-ZBDE

22

^ZABM=ABDN^\DN//BM^ZM=ZN

(3)延长ND,3M交于点G

回3N是/ADE的平分线回NADN=-NADE

2

0ZADN=ZBDG,ZADE=ZBDF团ZBDG=-ZBDE

2

El是ZABC的平分线回ZABM=-NABC

2

0ZBDG+ZABM=-NBDE+-ZABC=-(NBDF+ZABC)

222、7

团EF〃3C回ZBDF+ZABC=180°0ZBDG+ZABM=90°回NG=90°

回々=15°团=NG+N/V=105°

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，数形结合是解答本题的关键.

21.（2023下•广西河池,七年级校考阶段练习）（1）如图1,已知AB〃CD,点E在两平行线的内侧，连

接AE,CE.若/E4B=35。，48=25。，求NAEC的度数；

（2）如图2,已知AB〃CD,点£在两平行线的外侧，连接AE,CE,若NEAB=a,/ECD=。.

①求的大小（用含a,4的代数式表示）；

②作NECD的平分线交AB于点G,连接GE,AG^^-ZCGE(如图3).若ZAEG=130。，a+£=80。,

分别求出a,夕的度数.

【分析】（1）如图1，过点E作MN〃AB.根据两直线平行，内错角相等即可作答.（2）①如图2,根

据平行线的性质，由四〃CD,得NEFB=NECD=0.根据三角形外角的性质，即可作答.②如图3,根

据平行线的性质，由AR3C。，得团1=团2.根据角平分线的定义，^0£AB=01=1a,回2=团3,那么回3=EIE4B

=1a.根据三角形内角和定理，得团£48+03=180°-0AEG=50°,进而求得a=25°,[3=55".

【详解】解：（1）如图1,过点E作肱V〃AB.

AB//MN,SMN//CD.

SZMEC=ZECD=25°.^\ZAEC=ZAEM+ZMEC=350+25°=60°.

(2)(l)SAB//CD,0NEFB=NECD=/3.

^ZEFB=ZEAB+ZAEC,NEAB=a,02AEC=2EFB-NEAB=0-a.

②如图3,^AB//CD,0Z1=Z2.

又回CG平分/ECD,raZECG=Zl=1^.EZECG=Z