数列求和归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题6-2数列求和归类

目录

、热点题型归纳

【题型一】等差等比数列求和............................................................2

【题型二】分组求和....................................................................2

【题型三】倒序求和....................................................................3

【题型四】错位相消求和................................................................4

【题型五】裂项相消常规型..............................................................4

【题型六】分段求和....................................................................5

【题型七】正负相间求和................................................................6

2/\

【题型八】弧1一呢.型裂项相消.....................................................7

aja”+i

【题型九】7--------------~v型裂项相消.....................................................7

【题型十】型裂项相消...............................................8

a“印”+1

（_]产»a“+]-a）

【题型十一】a“阴〃+i型裂项相消............................................9

【题型十一】“分子分母有理化”型裂项...................................................9

(kn+b)\k(n+1)+b］型裂项相消

二、真题再现.........................................................................11

三、模拟检测.........................................................................12

热点题型归纳

【题型一】等差等比数列求和

【典例分析】

在等差数列｛。"｝中，4=4,%+%=15.(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)设a=2"i,求4+e+&+.+配的值.

【全国百强校】甘肃省高台县第一中学高三考试数学(文)试题

【提分秘籍】

等差等比求和公式：

枇辛在Em八fo1),二Q1+斯)

寸差：刖〃项和1A式：Sn—〃〃i+2d—2•

几。1，q=1,

等比：前"项和公式：Sn—'<?i(l—q")ai—a„q

【变式演练】

1.已知数列｛q｝是等差数列，其前〃项和为S,，且4=6,83=12,设2=2%.

(1)求(2)求数列色｝的前〃项和北.

2.已知等差数列｛4｝的公差不为零，4=25,且成等比数歹人

(1)求｛凡｝的通项公式；(2)求。1+。4+%++。3"-2.

【题型二】分组求和

【典例分析】

已知正项等比数列｛。,,｝的前〃项和为sn,且满足关于X的不等式%炉一邑x+2<0的解集为(1,2).

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若数列数｝满足a=21og2a"+2/+1,求数列色｝的前〃项和7；.

【提分秘籍】

基本规律

分组求和法：

1.形如a“=b”（等差）+"（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减

2.形如（等差比）+c”（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减

3.形如a〃=b“+c”，（b“，c,为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减

【变式演练】

1.已知在等比数列｛""｝中，且％是外和%-1的等差中项.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

（2）若数列｛2｝满足2=2〃+/（〃eN*）,求｛优｝的前〃项和S”.

2.已知正项数列｛。“｝满足：ax=a,-4a：+4+]—=0,neN*•

（1）判断数列｛4｝是否是等比数列，并说明理由；

（2）若。=2,设ai-n,〃eN*，求数列色｝的前"项和S,,.

【题型三】倒序求和

【典例分析】

3Y

已知函数/（X）=log3——・

1-X

（1）证明函数/（X）的图像关于点（；,1）对称；

（2）若S.=1/d）+/（2）+...+/■（巾）（〃eN+，〃N2）,求S,；

nnn

【提分秘籍】

基本规律

倒序求和，多是具有中心对称的

【变式演练】

1.设奇函数f（X）对任意X6R都有/（久）=/（x-1）+|.

（1）求和/q）+/（一）（k=0,1,2，…,用的值；

（2）数列｛厮｝满足：an=/（0）+/Q+/O+…（字）+/（I）-/（J，数列｛斯｝是等差数列吗？请给予

证明;

2.已知人工）=一一（xGR）,Pi（xi,yi）,Piixi,及）是函数y=1Ax）的图像上的两点，且线段P1P2的中点P

4+2

的横坐标是：.

（1）求证：点P的纵坐标是定值;

（2）若数列｛斯｝的通项公式是a„=fmeN*,〃=1,2,3,…，机），求数列｛丽｝的前小项和Sm.

【题型四】错位相消求和

【典例分析】

设｛七｝是公比不为1的等比数列，q为在，。3的等差中项.（1）求｛见｝的公比;

（2）若％=1,求数列｛〃%｝的前』项和.

【提分秘籍】

基本规律

错位相减法：形如斯=b”（等差）xc”（等比），用错位相减法求解.

【变式演练】

1.设等差数列｛。,,｝的前〃项和为S“，且S4=4SZ，%=2q+l.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设数列｛优｝满足2=2（/）,求数列｛bn｝的前〃项和Rn.

2.设数列｛4｝的前〃项和为S”，%=4,且对任意正整数〃，点（4+i，S“）都在直线x+3y+2=0上.（1）

求｛4｝的通项公式；

（2）若么="，求｛2｝的前几项和7“.

【题型五】裂项相消常规型

【典例分析】

设数列｛4｝满足：％=1,且2aa=。"1+（n>2）,a3+a4=12.

（1）求｛4｝的通项公式：

（2）求数列，一1一1的前几项和.

[44+2J

【提分秘籍】

基本规律

裂项相消法：常用的裂项公式有:

®-1—=1—

②(2aT)(2"+l厂头2"-12n+lJ;

③5+岛=醇—赤;

今2“_11

⑷(2f)(2"+i_l厂2」1~2',+1-1；

C〃+11("+2)2-“2111

⑨”2(“+2)2—4Xn2(n+2)2—4Xf(n+2)2:产1

【变式演练】

1.已知等差数列｛«„）的前〃项和为S,,且S$=15,S7=35.

（1）求｛4｝的通项公式与；

（2）若anbn=-^―,求数列他,｝的前〃项和T,.

2n-l

2.已知公差不为零的等差数列｛4｝满足：。3+。8=20,且应是生与囚4的等比中项•

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设数列｛bn｝满足包=」一,求数列｛〃｝的前〃项和Sn.

anan+\

【题型六】分段求和

【典例分析】

已知数列｛4｝的前〃项和为S,，％=：，S,£T+S“—S,T=O（”之2）.

（1）求证：数列！是等差数列；

——“为奇数

(2)若G=〃+3',设数列｛£,｝的前几项和为7,,求应.

2修,〃为偶数

【提分秘籍】

基本规律

分段数列求和：

1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。

2.要注意处理好奇偶数列对应的项：

(1)可构建新数列；(2)可“跳项”求和

【变式演练】

1..设｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列.已知4=1,4=2,伪=2%,4=2q+2.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

,,fl,n=2^(■.

(2)数列｛%｝满足c.=JkeN),设数列｛%｝的前〃项和为S“，求S*.

q,〃h2

2.已知等比数列｛4｝的前”项和为S“，1=1,且4S",3S,M，2S.+2成等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

a,2—2k-1k6Z

(2)若数列仍“｝满足4=0,bn+i-bn=l,设c"=\,求数列｛c,J的前2〃项和.

b,n=2K,KeZ

【题型七】正负相间求和

【典例分析】

设S”是数列｛%｝的前"项和，已知％=1,E,=2-24+]⑴求数列｛4｝的通项公式;

⑵设么=(T)"log”,求数列｛优｝的前〃项和Tn.

【提分秘籍】

基本规律

正负相间求和：

1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列

2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后

的奇数项通项。

【变式演练】

1.已知数列｛q｝的前〃项和是S”，且S“=2a”—(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)令a=log24,求数列］(-1)"照｝前2〃项的和T.

2.已知等差数列｛4｝满足：%=4,%—2%+2=0.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛2｝满足：2=(-l)"a“+M〃eN*),求｛2｝的前〃项和S..

【题型八］"a"+「a”)型裂项相消

a“・a“+i

【典例分析】

正项数列｛凡｝的前n项和Sn满足：S：—(/+〃一1)S“—(/+〃)=0⑴求数列｛«„｝的通项公式an；

7〃+15

(2)令b“=’~数列｛bn｝的前n项和为Tn,证明：对于任意的ndN*,都有TnV—.

(〃+2)-%-64

【提分秘籍】

基本规律

“，a-ba-b11

1.形如———------

ab,可列为abba型。其中，分子a-b是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出

这种形式。

2.如果分子次幕比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。

【变式演练】

1.数列｛«„｝满足«i=1,出=3且-"干—⑴设‘小乙二7证明：数列

an+2—an+l

(4+1),求数列｛的前n项和为

也｝是等差数列；⑵设%=c,JS”.

44+1

2.等差数列｛4｝满足％=3,«2+1,%+1，%+5成等比数列，数列也“｝满足4=1,口用=b„+an.

(I)求数列｛4｝,色｝的通项公式；(II)数列厂广的前〃项和为北，证明q<1.

、"n"n+l,

【题型九】述『型裂项相消

【典例分析】

在数列｛4｝中，4=1,“2=3,且对任意的〃eN*,都有为+2=3a〃+i-2an.

（I）证明数列｛a,.—%｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

2〃1

（II）设2=-----,记数列他,｝的前八项和为S,,若对任意的"CN*都有s“2一+加，求实数加的取

44+1册

值范围.

【提分秘籍】

基本规律

形如7——指数型,其中千行）可构造为=化为

（优―।t）、'7V7

—=注意构造过程中指数塞的运算。

abbao

【变式演练】

An

1..已知数列｛4｝满足勾=1,凡•4+1=5.⑴求数列｛4｝的通项公式；

2n

6令b“=-——---------,记数列｛2｝的前〃项和为Tn,若对于任意的〃eN*，均有机〉北恒成立,

求实数加的取值范围.

2.在数列｛4｝中，4=1,«2=2,氏+2=3a“+i+4%.

（1）求｛4｝的通项公式；

3

（2）b=卜；-2,S”是数歹！J｛〃一直｝的前〃项和,求证：7]+<+…

n

【题型十】（-I）"”立3型裂项相消

a“典+i

【典例分析】

,已知S"是公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和，$3=6,名是％与。9的等比中项.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设数列2=（-D"普^eN*）,数列也｝的前2”项和为与，若区“+［〈熹，求正整数”的最小

4n-P72020

值.

【提分秘籍】

基本规律

a+b_1+1

形如（-1）”】上"型，可构造f（n）="a“+i+a“），化为abba利用正负相间裂项相消求

a“一”+i

和。

【变式演练】

91n

1.已知数列｛斯｝的中ai=l,a2=2,且满足2k~L―/=>（1）求数列｛斯｝的通项公式;

1+W.+1

（2）设瓦,=（T）%+i,记数列｛瓦｝的前„项和为Tn,若|T„+l\<-^―,求n的最小值.

anan+\2020

2.已知数列｛凡｝的前〃项和为S〃,S〃=/+i+2〃-8”N*,4=8,设2=2.（1）证明:也｝是

等比数列；（2）设以=（-1）“（2"+1）\用+1）'求｛%｝的前〃项和I,若对于任意〃<N*,九恒成

立，求2取值范围.

（_］）"—"a〃+i-a”）

【题型十一】a〃典M型裂项相消

【典例分析】

已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，且4+1是4与S”的等比中项.（1）求｛q｝的通项公式；

（-l）n+1-n

（2）求数列———卜的前2”项和

。"9+1

【提分秘籍】

基本规律

形如（-1）1上”型,可构造f（n）=2（a„+1-a„）,化为曰』利用正负相间裂项相消求和。

a”典+iabba

注意构造过程中指数幕的运算。

【题型十一】“分子分母有理化”型裂项

【典例分析】

数列｛4｝满足q=1,q+1=庖\（1）求证:数列｛4｝是等比数列，并求出｛4｝的通项公式;

0

⑵若包=〜1,求数列也｝的前2019项和.

小幅氏+7+，1%4+6

【提分秘籍】

基本规律

一般情况下，无理型M+而5k

【变式演练】

1.设｛为｝是各项都为整数的等差数列，其前n项和为S”,｛勿｝是等比数列，且4=4=1,%+以=7,

S5a=50,“wN*.⑴求数列｛%｝,｛2｝的通项公式;

a

(2)设Cn=Iog2bl+log2b2+log2b3+'''+loglbn,Tn=%+1+%+2+c„+3+…+.

n]

(i)求T”；(n)求证：£-/声=<2.

1=2〃一，

2.已知数列｛«„)的前项和满足2Sn-nan=〃(〃wN*),且g=3.

(1)求证：数列[1一1(“22)是常数数列；

(2)设@E+a而?]为数列｛优｝的前“项和'求使1成立的最小正整数"的值•

【题型十二】2n+c1

(kn+b)\k(n+1)+/?]an型裂项相消

【典例分析】

已知正项数列｛4｝满足：a,=1,o'=Sn+1+Sn,其中Sn是数列｛4｝的前〃项和.

.、7Q”+11

(1)求数列｛q｝的通项公式；(2)设2"a-I)[2a+1)3-证明：+Z,2+--+^<~•

【提分秘籍】

基本规律

形如二~，广八八二型”等差指数塞”裂项型，分子2n+c可构造为

(Jen+/?)\k(n+1)+/?]a

a-b_11

11

收5+1)+勿a"—(而+b)a\化为abba裂项求解。

【变式演练】

1.设｛凡｝是等差数列，也｝是等比数列，公比大于0,已知4=1,劣+2之=1,（%+。6）4=1,

a4b2=%—a3

（1）求数列｛q｝,｛2｝的通项公式；（2）设1=1+7'；，S„=Cl-c2-c3c“（”eN*）

-

rl\rli乙J

（i）求S“（ii）求（neN*）.

k=xkSk

2.已知｛%｝为单调递增数列，S“为其前〃项和，2'=%2+〃（1）求｛4｝的通项公式；

d1

（ID若d=+ia—,看为数列也｝的前〃项和，证明：Tn<-.

/*an,an+l2

:建真题再现

1.（2017•全国•高考真题（理））等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0.若。2、的、必成等比数列，则｛4｝

的前6项的和为（）

A.-24B.-3C.3D.8

2V

2.（2022.全国•高考真题（理））记S"为数列｛%｝的前"项和.已知"+“=2应+1.

n

（1）证明：｛%,｝是等差数列；

⑵若见，%，。9成等比数列，求Sn的最小值.

Q

3.（2021•浙江,高考真题）已知数列｛%｝的前w项和为S.，％=-不且4s向=3S“-9.

（1）求数列｛“,｝的通项；

（2）设数列也｝满足沌+伽-4）可=0（“€心，记色｝的前”项和为7.，若，〈独，对任意“eN*恒成立，

求实数九的取值范围.

4.（2021.全国.高考真题（文））设｛凡｝是首项为1的等比数列，数列也“｝满足用=等.已知外,3%,9%

成等差数列.（1）求｛凡｝和也,｝的通项公式；

⑵记s”和,分别为｛凡｝和也｝的前〃项和.证明：Tn<^-.

[an+1,”为奇数,

5.（2021•全国•高考真题）已知数列&｝满足q=1,1%+2,〃为偶数.

（1）记£=%,,写出4，b2,并求数列也｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前20项和.

6.（2011.全国•高考真题（理））等比数列｛%｝的各项均为正数，且2%+3。2=1,。；=9%6.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设加=/og3a/+fc>g3a2+...+fc>g3am求数列的前〃项和，.

7.（天津・高考真题（理））已知数列｛凡｝满足%+2=效”①为实数，且#1），〃wN*,%=l,%=2,且

a2+a3,a3+%,4+生成等差数列.

（I）求4的值和｛%｝的通项公式；

（II）设a=史画,〃€e，求数列低｝的前〃项和.

a2n-l

8.（江西・高考真题（理））已知数列⑶｝的前n项和5“=-32+如（壮产）,且511的最大值为&

（1）确定常数k,求an；

（2）求数列]，的前n项和Tn.

9.（2020海南•高考真题）已知公比大于1的等比数列｛氏｝满足%+%=20,%=8.

（1）求｛凡｝的通项公式；

（2）求生生一。2。3+…+（―D"1anan+l-

10.（2020•全国•高考真题（理））设｛%｝是公比不为1的等比数列，%为的，a3的等差中项.

（1）求｛%｝的公比；

（2）若q=1,求数列｛7町,｝的前〃项和.

"模拟检测，

1.已知数列｛q｝是等差数列，其前几项和为S,，且q=6,S3=12,设2=2%.

（1）求a.；

（2）求数列｛2｝的前〃项和7；.

2.已知等差数列｛%｝中，4=5，%=",数歹!]｛a｝的前〃项和S“=22一1.

（1）求明,bn；

⑵若%=4+2，求｛%｝的前〃项和7,.

1Y1

3.设与％)是函数/(xh7+log2丁匚的图象上任意两点，^.OM=-(OA+OB),已知

21—x2

点M的横坐标为(D求证：M点的纵坐标为定值；

2

(2)若S0=/f-j+ff-+...+/f,neN'，且”22求S.；

4.已知数列｛q｝中，a.=1,an>0,前〃项和为S”，若4=疯+£7SN*，且2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记g=,求数列｛.｝的前〃项和T“.

5.在等差数列｛。〃｝中，q=—8,4=3%.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

74(AT*\\9

(2)设a=“02+a)(〃wN),T”为数列｛〃｝的前"项和，若求”的值•

6.已知｛4｝为等差数列，色｝为等比数列，｛q｝的前"项和为S"，满足q=3,4=1,a+S2=10