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文档简介
专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题,也是学生必须掌握的一块内容,熟
悉这些模型可以快速得到角的关系,求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型(铅笔头模型)进行梳
理及对应试题分析,方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点,然后把点与两条线分别连起来,就构成了拐点模型,
这个点叫做拐点,两条线的夹角叫做拐角。
通用解法:见拐点作平行线;基本思路:和差拆分与等角转化。
模型2:铅笔头模型
图1图2图3
如图1,①已知:AM//BN,结论:Zl+Z2+Z3=360";②已知:Zl+Z2+Z3=360°,结论:AM//BN.
如图2,已知:AM//BN,结论:Zl+Z2+Z3+Z4=540°
如图3,已知:AM//BN,结论:Zl+Z2+...+Zn=(〃-1)180°.
【模型证明】在图1中,过尸作AM的平行线P。,
•:AM〃BN,J.PQ//BN,:.Zl+ZAPQ=180°,N3+NBPQ=180°,Zl+Z2+Z3=360°;
在图2中,过Pi作AM的平行线PC,过点P2作AM的平行线P2。,
'JAM//BN,:.AM//PxC//PTD//BN,
.•./l+/APC=180°,NP2Ple+/尸1尸2。=180°,ZBP2Z)+Z4=180°,AZl+Z2+Z3+Z4=540°;
在图3中,过各角的顶点依次作A8的平行线,
根据两直线平行,同旁内角互补以及上述规律可得:/1+/2+/3+…+/w=(«-1)180°.
例1.(2023•江苏南通•校考二模)如图,已知AB//CD,N4=140。,ZE=120°,则/C的度数是()
A.80°B.120°C.100°D.140°
【答案】C
【分析】过E作直线MW/AB,根据两直线平行,同旁内角互补即可求出回L进而可求出团2,然后根据平行
于同一条直线的两直线平行可得MN〃C。,根据平行线性质从而求出团C.
【详解】解:过E作直线如下图所示,
^MN//AB,aaA+Ell=:180。(两直线平行,同旁内角互补),
031=180°-EL4=180°-140°=40°,
0ZAEC=Z1+Z2=120°,0Z2=ZAEC-Z1=120°-40°=80°
©MN"AB,AB//CD,0MN〃CD,
回放%回2=180。(两直线平行,同旁内角互补),
0EC=18O°-02=180°-80°=100°,故选:C.
【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质,掌握构造平行线的方法是解决此题的关键.
例2.(2023・山西吕梁・校联考模拟预测)如图,这是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平
行•若Nl=32。,Z2=62°,则/3的度数为()
A.118°B.148°C.150°D.162°
【答案】C
【分析】过点8作助〃工作篮底部,根据平行线的性质及角的和差求解即可.
【详解】解:如图,过点8作54〃工作篮底部,.•.N3+NM&l=180。,
,•,工作篮底部与支撑平台平行,B4〃工作篮底部,胡〃支撑平台,,//18囚=4=32。,
Z2=ZABN+ZMBA,Z2=62°,:.ZMBA=30°,.-.Z3=150o,故选:C.
【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记"两直线平行,内错角相等"、"两直线平行,同旁内角互补"是解题
的关键.
例3.(2023下・江苏•七年级专题练习)如图,AB//ED,a=0A+M,万=回2+回。+团£),则4与a的数量关系
是()
A.2£=3aB.£=2aC.2/?=5aD.£=3a
【答案】B
【分析】作C/7/E。,利用平行线的性质求得S与a,再判断£与a的数量关系即可.
【详解】解:如图,作C77/瓦),TABUED,回固4+回£=180°=a,
QED“CF,[33D+0Z)CF=18OO,
TABUED,ED//CF,EL4B//CF,00B+EBCF=18O°,
^\D+SDCF+^B+^BCF=180,,+180',即0B+EC+0D=360°=P,0y?=2a.故选8.
【点睛】本题考查了平行线的性质,熟悉运用平行线的性质是解题的关键.
例4.(2023下•广西南宁•七年级校考期末)如图,如果〃斯,那么NABC+NBCD+NCDE+NDEF=
A.270°B.360°C.540°D.560°
【答案】C
【分析】利用平行线的性质,结合所作的辅助线,可以得出答案.
【详解】解:过点C作。过点。作
回AB〃砂,S\AB//CM//DN//EF,
0ZABC+Z1=18O°,Z2+Z3=180°,Z4+ZDEF=180°,
0ZABC+ZBCD+ZCDE+Z.DEF=540°故选:C.
【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点,掌握知识点是解答此题的关键.
例5.(2023下•湖北武汉•七年级期末)如图,AB//EF,ZABP^-ZABC,ZEFP=-ZEFC,已知
44
NFCD=60°,则NP的度数为.
【答案】60。/60度
【分析】根据平角定义可求出入FCB的度数,如图所示,过点C作CM〃钿,可求出
ZABC+NFCB+Z.EFC=360°,由此可求ZABC+NEFC=240°,根据ZABP=-NABC,NEFP=-NEFC,
44
可求出NABP+NEFP的度数,如图所示,过点尸作尸NAB,可得ZBPF=ZABP+ZEFP,由此即可求解.
【详解】解:0ZFCD+ZFCB=180°,ZFCD=60°,0ZFCB=120°,
如图所示,过点C作CM〃45,SAB//EF,SAB//CM//EF,
0ZABC+ZBCM=180°,ZMCF+ZEFC=1SQ°,ZBCM+ZMCF=ZFCB,
0ZABC+NFCB+Z.EFC=360°,
0ZFCB=120°,ElZABC+ZEFC=360-ZFCB=360°-120°=240°,
0ZABP=-ZABC,ZEFP=-NEFC,
44
0ZABP+ZEFP=-(ZABC+ZEFC)=-x240°=60°,如图所示,过点P作/WAB,
44
BAB//EF,^\AB//PN//EF,0ZABP=NBPN,ZEFP=ZFPN,
0ZABP+ZEFP=ZBPN+ZFPN=ZBPF=60°,故答案为:60°.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握以上知识的灵活运用是解题的关键.
例6.(2023下•江苏南通•七年级统考期末)如图,直线AB。,点E,尸分别是直线A氏8上的两点,
点尸在直线和8之间,连接和ZPED的平分线交于点。,下列等式正确的是()
A.ZP+2Zg=360°B,2ZP+Ze=360°c,NQ=2NPD,ZP+ZQ=180°
【答案】A
【分析】过点尸作尸M〃的,过点Q作QN〃A8,可得PM〃48〃CD〃QN,从而得到
NEPM=NAEP,NFPM=ZCFP,Zl=ZEQN,Z2=ZFQN,NPEB+ZEPM=180°,NPFD+ZFPM=180°,
进而得到NEQF=Zl+N2,再由角平分线的定义可得NP£B+/PFD=2(/l+N2)=2/EQb,即可求解.
【详解】解:如图,过点P作尸“〃AB,过点。作。N〃AB,
CFD
SABCD,^\PM//AB//CD//QN,
回ZEPM=ZAEP,ZFPM=NCFP,Z1=ZEQN,Z2=ZFQN,
NPEB+NEPM=180°,ZPFD+/FPM=180°,团ZEQF=Z1+Z2,
和NPED的平分线交于点Q,国NPEB=2N1,NPFD=2N2,
0ZPEB+NPFD=2(Z1+Z2)=2(NEQN+ZFQN)=2ZEQF,
0ZPEB+ZEPM=180°,ZPFD+NFPM=180°,
0ZEPF+2ZEQF=ZAEP+ZCFP+ZPEB+ZPFD=360°.故选:A.
【点睛】本题考查了平行线的性质,平行公理的推论,角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的
关键.
例7.(2023下•江苏南京•七年级统考期中)从特殊到一般是数学研究的常用方法,有助于我们发现规律,
探索问题的解.
⑴如图1,AB//CD,点E为AB、CO之间的一点.求证:Zl+ZMEN+Z2=360°.
(2)如图2,AB〃CD,点、E、F、G、H为AB、。之间的四点.贝。Nl+N2+N3+/4+N5+N6=
⑶如图3,AB//CD,贝U/1+/2+N3+-+Zn=
【答案】⑴证明见详解;(2)900°;(3)180°,—1);
【分析】(])过点E作。可得OE〃AB〃CD,根据平行线的性质可得/1+4因9=180。,
ZO£7V+Z2=180°,再计算角度和即可证明;(2)分别过点£、F、G、〃作A3的平行线,在两相邻平行
线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后,再将所有角度相加即可解答;(3)由(2)解答可知
在A3、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和,结合图3找出w和线段条数的关系便可解答;
【详解】(1)证明:如下图,过点E作
^AB//CD,OE〃AB,^OECD,
根据两直线平行同旁内角互补可得:Z1+ZMEO=180°,ZOEN+Z2=180°,
0Z1+ZMEO+NOEN+N2=360°,0Z1+AMEN+N2=360°;
(2)解:如下图,分别过点E、F、G、H作。出〃AB,O2F//AB,O3G//AB,O.H//AB,
结合(1)解答在两相邻平行线间可得:ZAME+ZMEO,=180°,
Z^EF+ZfiFO,=180°,ZO2FG+ZFGO3=180°,ZO3GH+ZGHO4=180°,
NO,HN+NHNC=180°,将所有角度相加可得:Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°;
(3)解:由(2)解答可知在A3、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和,
由图3可知:当AB、CO之间有2条线段时,〃=3,当A3、。之间有3条线段时,”=4,
当A3、8之间有4条线段时,n=5,当AB、8之间有5条线段时,n=6,
当A3、8之间有(〃一1)条线段时,”=〃,0Z1+Z2+Z3++Z»=180°(«-l):
【点睛】本题考查了平行线公理的推论,平行线的性质,归纳总结的解题思路,通过作辅助线将角度按组
计算是解题关键.
例8.(2023下•江苏苏州•七年级校考期中)当光线经过镜面反射时,入射光线、反射光线与镜面所夹的角
对应相等例如:在图①、图中②,都有N1=N2,,3=/4,设镜子与BC的夹角NABC=a.
F
⑴如图①,若a=90。,判断入射光线所与反射光线G"的位置关系,并说明理由.
(2)如图②,若90。<(1<180。,入射光线昉与反射光线GH的夹角=探索a与p的数量关系,并
说明理由.(3)如图③,若a=120。,设镜子CD与3C的夹角NBCD=Y(90O<Y<180。),入射光线所与镜
面A3的夹角/1=皿。°<〃7<90。),已知入射光线从镜面A3开始反射,经过为正整数,且〃<3)次
反射,当第"次反射光线与入射光线所平行时,请直接写出丫的度数(可用含有加的代数式表示).
【答案】WEF〃GH,见解析⑵£=2々-180。,见解析⑶90。+根或150。
【分析】⑴在-BEG中,/2+/3+a=180。,a=90。,可得/2+N3=90。,根据入射光线、反射光线与
镜面所夹的角对应相等可得,ZFEG+ZEGH=180°,进而可得EF//G";
(2)在3EG中,/2+一3+a=180。,可得-2+—3=180。-(1,根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角
对应相等可得,NMEG=2/2,NMGE=2N3,在二MEG中,+=180°,可得a与p的
数量关系;(3)分两种情况画图讨论:①当〃=3时,根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等,
及△GCH内角和,可得丫=90。+机.②当场=2时,如果在BC边反射后与所平行,贝Ua=90°,与题意不符;
则只能在。边反射后与跖平行,根据三角形内角和定理推出,可得/G=Y-60。,由EF〃HK,且由(1)
的结论可得,7=150°.
【详解】(1)EF//GH,理由如下:在3EG中,N2+/3+a=180。,a=90。,.-.Z2+Z3=90o,
Z1=Z2,N3=/4,.'.Zl+Z2+Z3+Z4=180o,
Zl+/2+"EG=180。,^3+^4+ZEGH=180°,:.NFEG+NEGH=180。,:.EF//GH-
(2)p=2a-180°,理由如下:在,BEG中,N2+/3+a=180。,.♦.N2+/3=180°—a,
■.Z1=Z2,Z1=ZMEB,:.Z2=ZMEB,:"MEG=2/2,
同理可得,/MGE=2/3,在,MEG中,=180°,
P=180°-{ZMEG+ZMGE)=180。-(2/2+2/3)=180°-2(^2+^3)=180°-2(180°-a)=2a-180°;
(3)90。+机或150。.理由如下:①当72=3时,如下图所示:
-/BEG=Z\=m,ZBGE=NCGH=180°-120°-m=60°-m,
ZFEG=1800-2Z\=180°-2m,^EGH=180°-2ZBGE=180°-2(60°-m),
EF//HK,ZFEG+ZEGH+ZGHK=360°,
则NGHK=120。,则NGHC=30。,由△GCH内角和得Y=90。+%.
②当〃=2时,如果在BC边反射后与EF平行,由(1)可知a=90。,与题意不符;
则只能在8边反射后与跖平行,如下图所示,设A3与。。的延长线交于点G,
同a=/G+/BCG.y=/G+NCBG,U]a+/=NG+N_BCG+NG+NC3G,
012O°+/=ZG+18O°,0^G=Y-6O°,
由EF〃HK,且由(1)的结论可得,^G=Y-60°=90°,贝IJY=150°.
综上所述:Y的度数为:90。+机或150。.
【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式,解决本题的关键是掌握平行线的性质,注意分类讨论思想
的利用.
例9.(2023下•湖北武汉•七年级统考期中)已知直线AB〃CD,点P在直线AB,CD之间,连接AR,CP.
⑴如图1,若NAPC=120。,ZPAB=130°,直接写出/PCD的大小;
⑵如图2,点。在A5,CD之间,ZQAP=2NQAB,NQCP=2NQCD,试探究/APC和NAQC的数量关系,
并说明理由;(3)如图3,的角平分线交CD于点且AM〃尸C,点N在直线AB,CD之间,连接
1/N
CN,MN,ZPCN=nZNCD,ZAMN=-ZNMD,n>l,直接写出一的值(用含"的式子表示,题中的
nZP
角均指大于0°且小于180。的角).
BBB
〃一
【答案】(1)11O0(2)NAPC=36O。—3NAQC;(3)~1
〃+l
【分析】(1)过点p作尸。〃AB,则PQ〃AB〃CD,根据平行线的性质即可求解;
(2)过点「作「河〃过点。作QN〃AB,则尸M〃AB〃CD,QN//AB//CD,结合
ZQAP=2ZQAB,ZQCP=2ZQCD,即可得到结论;(3)过点P作则小〃AB〃CD,可得
ZAPC=360。一(Z.PAB+ZPCD),过点N作NF〃AM,可得JBAP=180。-ZAMF,即BAP=360°-2AAMF,
]〃一1
结合/PCN=n/NCD,/AMN=—/NMD,n>l,可得NMNC=——AAMF,进而可得结论.
nn+1
【详解】(1)解:过点P作尸。〃AB,则尸0〃A5〃C。,
0ZB4B=13O°,0ZAP2=18O°-13O°=5OO,
0ZAPC=120°,0ZCPQ=120°-50°=70°,E^PCD=180°-70°=110°;
(2)解:过点尸作PA/〃AB,过点。作QN〃A8,则PM〃AB〃CD,QN//AB//CD,
SZPAB+ZAPM=180°,ZPCD+ZCPM=1SO°,
®ZPAB+ZPCD+ZAPC=360°,即ZAPC=360°—(ZR4B+NPCD),同理:ZAQC=ZBAQ+ZDCQ,
SiZQAP=2.ZQAB,ZQCP=2ZQCD,^\ZBAQ=^ZPAB,ZDCQ=^ZPCD,
0ZAPC=360°-(NPAB+NPCD)=360°-3(ZBAQ+ZDCQ)=360°—3ZAQC,
E]ZAPC=360°-3ZAQC;
(3)解:过点P作PE〃AB,则尸E〃AB〃CE),
^PE//AB,^ZAPE+ZPAB=180°,ZAPE=1800-ZPAB,
0PE〃CD,ElZCPE=180O-ZPCD,0ZAPC=360°-(ZPAB+ZPCD)
过点N作NF〃AAf,^\AM//PC,0NF〃PC,0NCNF=NPCN,
0NF〃AM,@NFNM=ZAMN,^AB//CD,^ZBAM^ZAMC,
团3平分Z&4P,^ZBAMBAP,0ZAMC=180O-ZAMF,0-BAP=180°-ZAWF,
22
@ZAMN=L/NMD,ZAMN+ZNMD=ZAMFSZAMN=-^—ZAMF,^ZFNM=AAMN=ZAMF,
nn+1n+1
rj
0/PCN=nNNCD,ZPCN+ANCD=ZPCD,国NPCN=——/PCD,
n+\
出/CNF=NPCN=——/PCD,⑦ZMNC=/CNF—NFNM,
n+1
n1
团ZMNC=ZCNF-ZFNM=——/PCD--------ZAMF,
n+1n+1
0-BAP=180°-ZAMF,[?]BAP=360°-2ZAMF,
2
团ZAPC=360°-(ZPAB+/PCD)=360°-(360°-2ZAMF+ZPCD)=2ZAMF-/PCD,
^\AM//PC,^ZPCD=ZAMF,0ZAPC=2ZAMF-ZAMF=ZAMF,
n1ij1n—1
国/MNC=——/PCD--------ZAMF=——ZAMF---------ZAMF=——ZAMF,
n+1n+1n+1n+1n+1
c八巴匚ZAMF1
[?]ZMNC_n+1_n-1.
ZAPC~ZAMF~~^+l
【点睛】本题考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质,添加辅助线,理清各个相关角的关系是关键.
课后专项训练
1.(2023下•江苏苏州•七年级校考期中)如图,在五边形ABCDE中,AE〃3C,则NC+NO+/E=()
【答案】B
【分析】首先过点。作。/〃AE,交AB于点F,由AE〃3C,可证得AE〃。尸〃3C,然后由两直线平
行,同旁内角互补可知?E7EDF180?,2CDF?C180?,继而证得结论.
【详解】解:过点。作。尸〃AE,交A2于点尸,
AE//BC,..AE//DF//BC,:.NE+NEDF=180°,?CDF?C180?,
\?C1CDE?E360?.故选:B.
【点睛】此题考查了平行线的性质,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
2.(2023上•四川绵阳•八年级统考开学考试)如图,一束光线A3先后经平面镜OM,QV反射后,当
ZABM=35。时,/OCN的度数为()
A.55°B.70°C.60°D.35°
【答案】A
【分析】根据入射角等于反射角以及"两直线平行,同旁内角互补"解答即可.
【详解】解:BZABM=35°,ZABM=ZOBC,ElZOSC=35°,
0ZABC=180°-ZABM-ZOBC=180°-35°-35°=110°,
0CD/7AB,EIZABC+ZBCD=180o,0Z.BCD=180°-ZABC=70°,
0ZBCO=ZDGV,ZBCO+ZBCD+ZDCN=180°,回ZDCN=g(180°-ZBCD)=55°,故选:A.
【点睛】此题考查了平行线的性质,入射角等于反射角等知识,熟记"两直线平行,同旁内角互补"是解题的
关键.
3.(2023•山东泰安・统考中考真题)如图,直线乙12,4=30。,贝"2+/3=()
A.150°B.180°C.210°D.240°
【答案】C
【分析】根据题意作直线/平行于直线//和12,再根据平行线的性质求解即可.
【详解】解:作直线/平行于直线〃和反
/〃/]/〃2,,-.Zl=Z4=30\Z3+Z5=180°.
Z2=Z4+Z5,N2+N3=N4+N5+N3=30°+180°=210°.故选C.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握两直线平行同旁内角互补,两直线平行内错角相等是解题关键.
4.(2023下•河北邯郸•七年级校联考阶段练习)如图,将直线机按箭头所指方向平移至直线”,若4=65°,
则N2-/3的度数为()
>
A.115°B.120°C.125°D.130°
【答案】A
【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案.
【详解】解:过2作相,
0Z3=ZZ3BC,ZABD=180°-Z1=180°-65°=115°,
0Z2-Z3=Z2-Z£)BC=ZASD=115O.故选:A.
【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质,正确转化角的关系是解题关键.
5.(2023・安徽安庆•八年级统考期中)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放,若N1=46。,则N2=()
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质,掌握两直线平行,同位角相等是解题的关键,过三角板的直角顶点作直
尺两边的平行线,根据平行线的性质可得4=N3=46。,,2=/4,再结合角的和差关系可得答案.
【详解】解:过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线,
回直尺两边互相平行,0Z1=Z3=46°,—2=N4,
0Z4=9O°-Z3=44°,0Z2=Z4=44°,故选:B.
6.(2023下•山东烟台•七年级统考期末)如图,按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角,并使/1=160。,
AB1BC,则N2的度数为()
A.100°B.110°C.120°D.130°
【答案】B
【分析】过点B作理〃AD,然后根据两直线平行,同旁内角互补得出/l+NABE+/CBE+/2=360。,再
解答即可.
【详解】解:过点8作fflZASE+Zl=360°
^CF//AD,SCF//BE//AD,EZCBE+Z2=360°
0Z1+ZABE+Z.CBE+Z2=360°,0Z1+ZABC+Z2=360°,
0ABBC0ZABC=90°0Zl=160°,12/2的度数为110°.故选:B.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,加辅助线,然后利用平行线的性质求解是解此题的关键.
7.(2023下•广东中山•七年级校联考期中)如图,已知:AB//CD,ZB=115°,ZD=135°,则NE=()
A.105°B.110°C.115°D.120°
【答案】B
【分析】过点E作根据平行线的性质得出N3+N3EM=180。,ZD+ZDEM=180°,再根据角的
和差求解即可.
【详解】解:如图,过点石作ME〃/
8A
AB//CD,:.ME//AB//CD,ZB+ZBEM=180°,ZD+ZDEM=180°,
ZB=115°,ZD=135°,:.NBEM=65。,ZDEM=45°,
ZBED=ZBEM+ZDEM=110°,故选:B.
【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记"两直线平行,同旁内角互补"是解题的关键.
8.(2023•安徽合肥•统考模拟预测)如图,在五边形ABCDE中,4£〃。。,/1=50。,/2=70。,则/3的度
数是()
A.40°B.50°C.60°D.70°
【答案】C
【分析】利用多边形的内角和公式求得五边形的内角和,再由平行线性质求得ND+NE的和,继而求得
ZBAE+ZABC+ZBCD,最后利用角的和差即可求得答案.
【详解】解:回四边形ABCDE为五边形,团其内角和为(5—2)xl800=540。,
团AE〃CD,团NO+N石=180。,0ZBAE+ZABC+ZBCD=540°-180°=360°,
I?]Zl+Z2+Z3=180°x3-360°=180°,
团N1=50°,N2=70。回N3=180°-50°-70。=60°,故选:C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及平行线的性质,结合已知条件求得NB4E+NABC+N3co是解题
的关键.
9.(2023下•黑龙江绥化•七年级校考期末)如图,已知展场〃则NA+N5+NC+NO=—.
AE
c\______
DF
【答案】540。/540度
【分析】可过点5,C分别作即CN//AE,进而利用同旁内角互补得出结论.
【详解】解:如图,过点B,C分别作即CN//AE,
DF
AE//DF,:.AE//BM//CN//DF,
则ZA+ZABM=180°,NMBC+NBCN=180。,ZNCD+ZD=180°,:.ZA+ZABC+NBCD+ND
=ZA+ZABM+ZMBC+ZBCN+ZNCD+ZD=180°x3=540°,故答案为540°.
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质,平行公理的推论,掌握两直线平行,同旁内角互补是解决此
题的关键.
10.(2022上•辽宁鞍山•八年级统考期中)如图,已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE平分NADC,ZBAD=80°,
ZBCD=n°,则N3ED的度数为.(用含w的式子表示)
【答案】40°+1«°
【分析】首先过点E作砂〃由平行线的传递性得AB〃CD〃EF,再根据两直线平行,内错角相等,
得出/比力=/放=〃。,ZBAD=ZADC^80°,由角平分线的定义得出,ZEDC=40°,再
2
由两直线平行,内错角相等得出ZB£F=ZABE=;〃。ZFED=ZEDC=40°,由=+即可
得出答案.
【详解】解:如图,过点E作EF〃AB,则AB〃CD〃瓦"
B
AB//CD,⑦/BCD=/ABC=rf,ZBAD=ZADC=SO°f
又EIBE平分/ABC,DE■平分,AT>C,^ZABE=-ZABC=-n°,/EDC=工ZAOC=工x80。=40。,
2222
^AB//EFIICD,SZBEF=ZABE=-n°,ZFED=ZEDC=40°,
2
0ABED=ZFED+ZBEF=40°+-n°,故答案为:40°+-n°.
22
【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,解题关键是作出正确的辅助线,掌握平行线的性质和
角平分线的定义.
11.(2023下•吉林•七年级统考阶段练习)如图,AB//EF,8平分NACE,若—A=155。,ZE=105°,
则ZACD=
【答案】50
【分析】先根据平行公理判定。以〃跖〃AB,进而利用平行线的性质及角平分线的定义即可求解.
【详解】解:如图,过点C作。0〃口,
CM//EF,AB//EF,:.CM//EF//AB,:.ZA+ZACM=180°,/E+/ECM=180°,
•••/A=155°,ZE=105°,ZACM=25°,ZECM=75°ZACE=ZACM+ZECM=100°,
。平分/ACE,=』NACE=50。故答案为:50.
2
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理及角平分线的定义,求出ZACE是解题关键.
12.(2023下•江苏镇江•七年级统考期末)如图是某小区大门的道闸栏杆示意图,立柱54垂直于地面AE于
点A,当栏杆达到最高高度时,横栏CD〃AE,止匕时贝UNABC=120。,ZBCD=
图1图2
【答案】150
【分析】过点8作板IAE,根据平行线的性质可得ZBCD+ZCBF=180。,根据54,AE得出ZBAE=90°,
贝UNAB尸=90。,可求出NCB尸=30。,即可求解.
【详解】解:过点8作2尸AE,
CD
^CD//AE,^BF//AE//CD,ZBCD+ZCBF=18Q°,
^BArAE,SiZBAE=90°,BZABF=90°,
EINABC=120°,0ZCBF=30°,0ZBCD=180°-ZCBF=150°.故答案为:150.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定,解题的关键是掌握:平行于同一直线的两直线互相平行;
两直线平行,同旁内角互补.
13.(2023上•四川绵阳•八年级统考开学考试)如图,已知AB〃EF,若&=
13=ZB+NBCD+NCDE+ZE,则a与£之间的数量关系为.
【答案】/=3a/a=)
【分析】过C作。0〃AB,过。作。N〃AB,得到C河〃。V〃跖,由平行线的性质推出
ZA+ZF=\80°,ZB+ZMCB=180°,ZEDN+ZDEF=180°,得到+^BCD+^CDE+^E=180°x3,
即可得出结果.
【详解】解:过C作CM〃AB,过。作DN〃AB,SAB//EF,®CM〃DN〃EF,
团NA+Nb=180°,NB+NMCB=180°,NEDN+ZDEF=180°,
El+ZMCB+ZMCD+NNDC+NEDN+NDEF=180°x3,
¥8+/BCD+NCDE+NE=180°x3,
=ZA+ZF,f3=ZB+ZBCD+ZCDE+ZE,回P=3c.故答案为:/3=3a.
【点睛】本题考查平行线的性质,关键是过点C作。/〃AB,过。作DN〃AB,得到。/〃。N〃跖,由
平行线的性质即可解决问题..
14.(2023下•贵州安顺•七年级校考阶段练习)如图,已知AB//CD,易得如+回2+03=360°,回1+02+回3+04=540°,
根据以上的规律求团1+回2+回3+...+即=
【答案】180(71-1)
【分析】过点P作平行于A3的直线,运用两次两条直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和;分别过
点P,。作的平行线,运用三次平行线的性质,即可得到四个角的和;同样作辅助线,运用(力-1)次平
行线的性质,则”个角的和是180(〃-1)。.
【详解】解:(1)如图,过点P作一条直线平行于A8,
ABAB
0AB0CD,AB^PMSABSPMSCD,
<>
001+E1APJW=18O,0MPC+03=18O°,EB1+EIAPC+I33=36O°;
(2)如图,过点尸、。作PM、QN平行于AB,EIAB0CD,SABSPMSQN^CD,
001+0APM=18O°,13MpQ+I3PQN=180°,回河。。+回4=180°;031+042。+13P。。+回4=540°;
根据上述规律,显然作(〃-2)条辅助线,运用(〃;)次两条直线平行,同旁内角互补.
即可得到回1+回2+回3+...+即=180°(%1).故答案为:180(力-1)°
【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.
15.(2023下•湖北襄阳•七年级统考期中)如图,AB//CD,BE平分ZABF,DE平分NCDF,若NE=110。,
贝|J/F=度.
【答案】140
【分析】过点E作EM//AB,利用平行线的性质可证得NBED=1(NABF+ZCDF)可以得到NBED与ZBFD
的关系,即可求解.
【详解】解:过点E1作如图:
AB//CD,EM//AB--CD//EM,:.ZABE=NBEM,NCDE=NDEM,
ZABF的平分线与ZCDF的平分线相交于点E,
NABE=|ZABF,ZCDE=|ZCDF,ABED=NBEM+NDEM=1(ZABF+ZCDF),
ZABF+ZBFD+ZCDF=360°,ZABF+ZCDF=360°-ZBFD,
ZE=110°,ZF=360°-2ZE=360°-220°=140°,故答案为:140.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线,解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角,
依据平行线的性质进行推导计算,解题时注意数形结合思想的运用.
16.(2023下•江西南昌•七年级南昌二中校考期中)如图已知:AB//CD,CD//EF,AE平分-54C,
AC1CE,有以下结论:①AB〃EF;②2N1-N4=90°;③2N3-N2=180°;④N3+;N4=135°,其
中,正确的结论有.(填序号)
【答案】①②③④
【分析】根据平行公理判断①;根据角平分线得到4MC=2Z1,根据平行线的性质和垂线的定义分别得
到2?1?2180?,/2+/4=90。,进一步推出2N1—N4=9O°,可判断②;结合=Zl+Z3=180°
得到2/1+2/3=360。,根据2?1?2180?两式相减可判断③;根据平行线的性质得到
.-.Z3+ZAEC+Z4=180°,根据垂直得至IjN3+N4—N1=90°,从而进一步推出/3+;/4=135。,可判断④.
【详解】解:AB//CD,CD//EF,:.AB//EF,故①正确;
AE平分,54C,:.ZBAC=2Z\,
AB//CD,.•.ZBAC+N2=180°,;.2N1+N2=18O°(1),
AC±CE,.-.Z2+Z4=90°(2),
(1)-(2)得,2Z1-Z4=9O°,故②正确;
QAB//EF,..ZR4E+Z3=180°,
AE平分/BAC,:.N1=NBAE,.-.Zl+Z3=180o,
.-.2Z1+2Z3=36O°(3),2Z1+Z2=18O°(1),
(3)-(1)得,2N3—N2=180。,故③正确;
CD//EF,.-.ZCEF+Z4=180°,.■.Z3+ZAEC+Z4=180°,
AC±CE,..Zl+ZAEC=90°,:.ZAEC=90°-Zl,Z3+Z4-Z1=9O°,
2Z1-Z4=9O°,.-.Zl=45o+1z4,.-.Z3+|z4=135o,故④正确.
故正确的结论有:①②③④.故答案为:①②③④.
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键,平行线的性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.平行线的判定是由角
的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.应用平行线的判定
和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
17.(2023下•江苏南京•七年级校考阶段练习)如图,在六边形A8CDEF中,AF^CD,她=140。,0C=165°.
(1)求回B的度数;(2)当回—。时,ABSDE?为什么?
【答案】(])55。;(2)140°
【分析】(1)过点B作BMEIAF,贝I]BMI3AFIBCD,EL4=140°,EIC=165O,进而即可求解;
(2)延长AB,DC交于点N,由EIABC=55。,圉BCD=165°,得回BNC=40°,结合AB0DE,即可得到答案.
【详解】(1)过点B作BMEIAF,
0AB3CD,EBM0AF0CD,03A+13ABM=180°,0C+0CBM=18O°,
00A=14O°,0C=165°,00B=0ABM+0CBM=36O°-0A-0C=36OO-14OO-165O=55°.
(2)延长AB,DC交于点N,EBABC=55°,EBNBC=125°,
00BCD=165°,[30NBC=165O-125O=4OO
ABSDE,贝幅D=180°-40°=140°.故答案是:140°
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质,掌握两直线平行,同旁内角互补,是解题的关键.
18.(2023下•江苏南京•七年级校联考期末)珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A,B.如图1,2所
示,假如河道两岸是平行的,PQ//MN,且NA4M灯A射线从A"开始顺时针旋转至AN便
立即回转,灯B射线从阶开始顺时针旋转至8。便立即回转,两灯不停交叉照射巡视,且灯A转动的速度
是每秒2度,灯2转动的速度是每秒1度.
⑴填空:ZBAN=°;(2)若灯8射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯8射线到达BQ之前,
A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?(3)如图3,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前,若两灯发出
的射线AC与8C交于点C,过C作/ACD交P。于点,且NACD=120。,则在转动过程中,请探究—54C
与ZBCD的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)60(2)当,=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行⑶/54。=2/"笫,见解析
【分析】(1)根据NB4M+/"4N=180。,ZBAM-./BAN=2:1,即可得到/A4N的度数;
(2)设A灯转动/秒,两灯的光束互相平行,分两种情况进行讨论:当0</<90时,根据2,=lx(30+。,
可得f=30;当90</<150时,根据lx(30+t)+(2f—180)=180,可得f=110;
(3)设灯A射线转动时间为f秒,根据ZBAC=27-120。,/BCD=120°-/BCD=r-60。,即可得出/BAC:
NBCD=2:1,据此可得/84C和/BCD关系不会变化.
【详解】(1)ZBAM+ZBAN=180°,ZBAM=2ZBAN,ZBAN=180°x-=60°,故答案为:60;
3
(2)设A灯转动/秒,两灯的光束互相平行,
①当0</<90时,如图1,PQ//MN,.-.ZPBD^ZBDA,
AC\BD,Z.CAM=ABDA,ZCAM=ZPBD:.2t=\x(30+t),解得f=30:
②当90<l<150时,如图2,PQ//MN,ZPBD+ZBDA=180°,
AC|BD,ZCAN=ABDAZPBD+ZCAN=180°
.•.lx(30+r)+(2r-180)=180,解得f=110,
综上所述,当f=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
(3)/BAC=2NBCD.理由:设灯A射线转动时间为t秒,
ZCAN=180°-2t,.•.ZBAC=60°-(180°-2f)=2f-120°,
又•.ZABC=120°-t,ZBCA=180°-ZABC-ZBAC=180°-r,而ZAC£>=120。,
ZBCD=120°-ZBCA=120°-(180°-t)=t-6O°,:,ABAC:/BCD=2:1,即/B
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