苏科版七年级数学下册常见几何模型专练：平行线中的拐点模型之铅笔头模型（解析版）

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳

理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型2：铅笔头模型

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3=360"；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Zn=(〃-1)180°.

【模型证明】在图1中，过尸作AM的平行线P。,

•：AM〃BN,J.PQ//BN,：.Zl+ZAPQ=180°,N3+NBPQ=180°,Zl+Z2+Z3=360°；

在图2中，过Pi作AM的平行线PC,过点P2作AM的平行线P2。，

'JAM//BN,：.AM//PxC//PTD//BN,

.•./l+/APC=180°,NP2Ple+/尸1尸2。=180°,ZBP2Z)+Z4=180°,AZl+Z2+Z3+Z4=540°；

在图3中，过各角的顶点依次作A8的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：/1+/2+/3+…+/w=(«-1)180°.

例1.（2023•江苏南通•校考二模）如图，已知AB//CD,N4=140。，ZE=120°,则/C的度数是（）

A.80°B.120°C.100°D.140°

【答案】C

【分析】过E作直线MW/AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出回L进而可求出团2,然后根据平行

于同一条直线的两直线平行可得MN〃C。，根据平行线性质从而求出团C.

【详解】解：过E作直线如下图所示，

^MN//AB,aaA+Ell=：180。（两直线平行，同旁内角互补），

031=180°-EL4=180°-140°=40°,

0ZAEC=Z1+Z2=120°,0Z2=ZAEC-Z1=120°-40°=80°

©MN"AB,AB//CD,0MN〃CD,

回放％回2=180。（两直线平行，同旁内角互补），

0EC=18O°-02=180°-80°=100°,故选：C.

【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键.

例2.（2023・山西吕梁・校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平

行•若Nl=32。，Z2=62°,则/3的度数为（）

A.118°B.148°C.150°D.162°

【答案】C

【分析】过点8作助〃工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可.

【详解】解：如图，过点8作54〃工作篮底部，.•.N3+NM&l=180。,

,•,工作篮底部与支撑平台平行，B4〃工作篮底部,胡〃支撑平台，,//18囚=4=32。，

Z2=ZABN+ZMBA,Z2=62°,:.ZMBA=30°,.-.Z3=150o,故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记"两直线平行，内错角相等"、"两直线平行，同旁内角互补"是解题

的关键.

例3.（2023下・江苏•七年级专题练习）如图，AB//ED,a=0A+M,万=回2+回。+团£）,则4与a的数量关系

是（）

A.2£=3aB.£=2aC.2/?=5aD.£=3a

【答案】B

【分析】作C/7/E。，利用平行线的性质求得S与a,再判断£与a的数量关系即可.

【详解】解：如图，作C77/瓦），TABUED,回固4+回£=180°=a,

QED“CF,[33D+0Z）CF=18OO,

TABUED,ED//CF,EL4B//CF,00B+EBCF=18O°,

^\D+SDCF+^B+^BCF=180,,+180',即0B+EC+0D=360°=P,0y?=2a.故选8.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键.

例4.（2023下•广西南宁•七年级校考期末）如图，如果〃斯，那么NABC+NBCD+NCDE+NDEF=

A.270°B.360°C.540°D.560°

【答案】C

【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案.

【详解】解：过点C作。过点。作

回AB〃砂,S\AB//CM//DN//EF,

0ZABC+Z1=18O°,Z2+Z3=180°,Z4+ZDEF=180°,

0ZABC+ZBCD+ZCDE+Z.DEF=540°故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键.

例5.（2023下•湖北武汉•七年级期末）如图，AB//EF,ZABP^-ZABC,ZEFP=-ZEFC,已知

44

NFCD=60°,则NP的度数为.

【答案】60。/60度

【分析】根据平角定义可求出入FCB的度数，如图所示，过点C作CM〃钿，可求出

ZABC+NFCB+Z.EFC=360°，由此可求ZABC+NEFC=240°,根据ZABP=-NABC,NEFP=-NEFC,

44

可求出NABP+NEFP的度数，如图所示，过点尸作尸NAB,可得ZBPF=ZABP+ZEFP,由此即可求解.

【详解】解：0ZFCD+ZFCB=180°,ZFCD=60°,0ZFCB=120°,

如图所示，过点C作CM〃45,SAB//EF,SAB//CM//EF,

0ZABC+ZBCM=180°,ZMCF+ZEFC=1SQ°,ZBCM+ZMCF=ZFCB,

0ZABC+NFCB+Z.EFC=360°,

0ZFCB=120°,ElZABC+ZEFC=360-ZFCB=360°-120°=240°,

0ZABP=-ZABC,ZEFP=-NEFC,

44

0ZABP+ZEFP=-（ZABC+ZEFC）=-x240°=60°,如图所示，过点P作/WAB,

44

BAB//EF,^\AB//PN//EF,0ZABP=NBPN,ZEFP=ZFPN,

0ZABP+ZEFP=ZBPN+ZFPN=ZBPF=60°,故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键.

例6.（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图，直线AB。，点E,尸分别是直线A氏8上的两点,

点尸在直线和8之间，连接和ZPED的平分线交于点。，下列等式正确的是（）

A.ZP+2Zg=360°B,2ZP+Ze=360°c,NQ=2NPD,ZP+ZQ=180°

【答案】A

【分析】过点尸作尸M〃的，过点Q作QN〃A8,可得PM〃48〃CD〃QN,从而得到

NEPM=NAEP,NFPM=ZCFP,Zl=ZEQN,Z2=ZFQN,NPEB+ZEPM=180°,NPFD+ZFPM=180°,

进而得到NEQF=Zl+N2,再由角平分线的定义可得NP£B+/PFD=2（/l+N2）=2/EQb,即可求解.

【详解】解：如图，过点P作尸“〃AB,过点。作。N〃AB,

CFD

SABCD,^\PM//AB//CD//QN,

回ZEPM=ZAEP,ZFPM=NCFP,Z1=ZEQN,Z2=ZFQN,

NPEB+NEPM=180°,ZPFD+/FPM=180°,团ZEQF=Z1+Z2,

和NPED的平分线交于点Q,国NPEB=2N1,NPFD=2N2,

0ZPEB+NPFD=2(Z1+Z2)=2(NEQN+ZFQN)=2ZEQF,

0ZPEB+ZEPM=180°,ZPFD+NFPM=180°,

0ZEPF+2ZEQF=ZAEP+ZCFP+ZPEB+ZPFD=360°.故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的

关键.

例7.(2023下•江苏南京•七年级统考期中)从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律,

探索问题的解.

⑴如图1,AB//CD,点E为AB、CO之间的一点.求证：Zl+ZMEN+Z2=360°.

(2)如图2,AB〃CD,点、E、F、G、H为AB、。之间的四点.贝。Nl+N2+N3+/4+N5+N6=

⑶如图3,AB//CD,贝U/1+/2+N3+-+Zn=

【答案】⑴证明见详解；(2)900°；(3)180°,—1)；

【分析】(])过点E作。可得OE〃AB〃CD,根据平行线的性质可得/1+4因9=180。，

ZO£7V+Z2=180°,再计算角度和即可证明；(2)分别过点£、F、G、〃作A3的平行线，在两相邻平行

线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知

在A3、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和，结合图3找出w和线段条数的关系便可解答；

【详解】（1）证明：如下图，过点E作

^AB//CD,OE〃AB,^OECD,

根据两直线平行同旁内角互补可得：Z1+ZMEO=180°,ZOEN+Z2=180°,

0Z1+ZMEO+NOEN+N2=360°,0Z1+AMEN+N2=360°；

(2)解：如下图，分别过点E、F、G、H作。出〃AB,O2F//AB,O3G//AB,O.H//AB,

结合（1）解答在两相邻平行线间可得：ZAME+ZMEO,=180°,

Z^EF+ZfiFO,=180°,ZO2FG+ZFGO3=180°,ZO3GH+ZGHO4=180°,

NO,HN+NHNC=180°,将所有角度相加可得：Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°；

（3）解：由（2）解答可知在A3、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和，

由图3可知：当AB、CO之间有2条线段时，〃=3,当A3、。之间有3条线段时，”=4,

当A3、8之间有4条线段时，n=5,当AB、8之间有5条线段时，n=6,

当A3、8之间有（〃一1）条线段时，”=〃，0Z1+Z2+Z3++Z»=180°（«-l）:

【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组

计算是解题关键.

例8.（2023下•江苏苏州•七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角

对应相等例如：在图①、图中②，都有N1=N2,，3=/4,设镜子与BC的夹角NABC=a.

F

⑴如图①，若a=90。，判断入射光线所与反射光线G"的位置关系，并说明理由.

（2）如图②，若90。<（1<180。，入射光线昉与反射光线GH的夹角=探索a与p的数量关系，并

说明理由.（3）如图③，若a=120。，设镜子CD与3C的夹角NBCD=Y（90O<Y<180。），入射光线所与镜

面A3的夹角/1=皿。°<〃7<90。），已知入射光线从镜面A3开始反射，经过为正整数，且〃<3）次

反射，当第"次反射光线与入射光线所平行时，请直接写出丫的度数（可用含有加的代数式表示）.

【答案】WEF〃GH,见解析⑵£=2々-180。，见解析⑶90。+根或150。

【分析】⑴在-BEG中，/2+/3+a=180。，a=90。，可得/2+N3=90。，根据入射光线、反射光线与

镜面所夹的角对应相等可得，ZFEG+ZEGH=180°,进而可得EF//G"；

（2）在3EG中，/2+一3+a=180。，可得-2+—3=180。-（1,根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角

对应相等可得，NMEG=2/2,NMGE=2N3,在二MEG中，+=180°,可得a与p的

数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当〃=3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，

及△GCH内角和，可得丫=90。+机.②当场=2时，如果在BC边反射后与所平行，贝Ua=90°,与题意不符；

则只能在。边反射后与跖平行，根据三角形内角和定理推出，可得/G=Y-60。，由EF〃HK,且由（1）

的结论可得，7=150°.

【详解】（1）EF//GH,理由如下：在3EG中，N2+/3+a=180。，a=90。，.-.Z2+Z3=90o,

Z1=Z2,N3=/4,.'.Zl+Z2+Z3+Z4=180o,

Zl+/2+"EG=180。，^3+^4+ZEGH=180°,:.NFEG+NEGH=180。,:.EF//GH-

（2）p=2a-180°,理由如下：在，BEG中，N2+/3+a=180。，.♦.N2+/3=180°—a,

■.Z1=Z2,Z1=ZMEB,:.Z2=ZMEB,:"MEG=2/2,

同理可得，/MGE=2/3,在，MEG中，=180°,

P=180°-{ZMEG+ZMGE）=180。-（2/2+2/3）=180°-2（^2+^3）=180°-2（180°-a）=2a-180°；

（3）90。+机或150。.理由如下：①当72=3时，如下图所示:

-/BEG=Z\=m,ZBGE=NCGH=180°-120°-m=60°-m,

ZFEG=1800-2Z\=180°-2m,^EGH=180°-2ZBGE=180°-2（60°-m）,

EF//HK,ZFEG+ZEGH+ZGHK=360°,

则NGHK=120。，则NGHC=30。，由△GCH内角和得Y=90。+%.

②当〃=2时，如果在BC边反射后与EF平行，由（1）可知a=90。，与题意不符；

则只能在8边反射后与跖平行，如下图所示，设A3与。。的延长线交于点G,

同a=/G+/BCG.y=/G+NCBG,U]a+/=NG+N_BCG+NG+NC3G,

012O°+/=ZG+18O°,0^G=Y-6O°,

由EF〃HK,且由（1）的结论可得，^G=Y-60°=90°,贝IJY=150°.

综上所述：Y的度数为：90。+机或150。.

【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想

的利用.

例9.（2023下•湖北武汉•七年级统考期中）已知直线AB〃CD,点P在直线AB,CD之间，连接AR,CP.

⑴如图1,若NAPC=120。，ZPAB=130°,直接写出/PCD的大小；

⑵如图2,点。在A5,CD之间，ZQAP=2NQAB,NQCP=2NQCD,试探究/APC和NAQC的数量关系，

并说明理由；（3）如图3,的角平分线交CD于点且AM〃尸C,点N在直线AB,CD之间，连接

1/N

CN,MN,ZPCN=nZNCD,ZAMN=-ZNMD,n>l,直接写出一的值（用含"的式子表示，题中的

nZP

角均指大于0°且小于180。的角）.

BBB

〃一

【答案】(1)11O0(2)NAPC=36O。—3NAQC；(3)~1

〃+l

【分析】（1）过点p作尸。〃AB,则PQ〃AB〃CD,根据平行线的性质即可求解;

（2）过点「作「河〃过点。作QN〃AB,则尸M〃AB〃CD,QN//AB//CD,结合

ZQAP=2ZQAB,ZQCP=2ZQCD,即可得到结论；(3)过点P作则小〃AB〃CD,可得

ZAPC=360。一(Z.PAB+ZPCD)，过点N作NF〃AM,可得JBAP=180。-ZAMF,即BAP=360°-2AAMF,

]〃一1

结合/PCN=n/NCD,/AMN=—/NMD,n>l,可得NMNC=——AAMF,进而可得结论.

nn+1

【详解】（1）解：过点P作尸。〃AB,则尸0〃A5〃C。，

0ZB4B=13O°,0ZAP2=18O°-13O°=5OO,

0ZAPC=120°,0ZCPQ=120°-50°=70°,E^PCD=180°-70°=110°；

(2)解：过点尸作PA/〃AB,过点。作QN〃A8,则PM〃AB〃CD,QN//AB//CD,

SZPAB+ZAPM=180°,ZPCD+ZCPM=1SO°,

®ZPAB+ZPCD+ZAPC=360°,即ZAPC=360°—(ZR4B+NPCD),同理：ZAQC=ZBAQ+ZDCQ,

SiZQAP=2.ZQAB,ZQCP=2ZQCD,^\ZBAQ=^ZPAB,ZDCQ=^ZPCD,

0ZAPC=360°-(NPAB+NPCD)=360°-3(ZBAQ+ZDCQ)=360°—3ZAQC,

E]ZAPC=360°-3ZAQC；

(3)解：过点P作PE〃AB,则尸E〃AB〃CE),

^PE//AB,^ZAPE+ZPAB=180°,ZAPE=1800-ZPAB,

0PE〃CD,ElZCPE=180O-ZPCD,0ZAPC=360°-(ZPAB+ZPCD)

过点N作NF〃AAf,^\AM//PC,0NF〃PC,0NCNF=NPCN,

0NF〃AM,@NFNM=ZAMN,^AB//CD,^ZBAM^ZAMC,

团3平分Z&4P,^ZBAMBAP,0ZAMC=180O-ZAMF,0-BAP=180°-ZAWF,

22

@ZAMN=L/NMD,ZAMN+ZNMD=ZAMFSZAMN=-^—ZAMF,^ZFNM=AAMN=ZAMF,

nn+1n+1

rj

0/PCN=nNNCD,ZPCN+ANCD=ZPCD,国NPCN=——/PCD,

n+\

出/CNF=NPCN=——/PCD,⑦ZMNC=/CNF—NFNM,

n+1

n1

团ZMNC=ZCNF-ZFNM=——/PCD--------ZAMF,

n+1n+1

0-BAP=180°-ZAMF,[?]BAP=360°-2ZAMF,

2

团ZAPC=360°-(ZPAB+/PCD)=360°-(360°-2ZAMF+ZPCD)=2ZAMF-/PCD,

^\AM//PC,^ZPCD=ZAMF,0ZAPC=2ZAMF-ZAMF=ZAMF,

n1ij1n—1

国/MNC=——/PCD--------ZAMF=——ZAMF---------ZAMF=——ZAMF,

n+1n+1n+1n+1n+1

c八巴匚ZAMF1

[?]ZMNC_n+1_n-1.

ZAPC~ZAMF~~^+l

【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键.

课后专项训练

1.（2023下•江苏苏州•七年级校考期中）如图，在五边形ABCDE中，AE〃3C,则NC+NO+/E=（）

【答案】B

【分析】首先过点。作。/〃AE，交AB于点F,由AE〃3C,可证得AE〃。尸〃3C,然后由两直线平

行，同旁内角互补可知？E7EDF180?,2CDF?C180?,继而证得结论.

【详解】解：过点。作。尸〃AE,交A2于点尸，

AE//BC,..AE//DF//BC,:.NE+NEDF=180°,?CDF?C180?,

\?C1CDE?E360?.故选：B.

【点睛】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

2.（2023上•四川绵阳•八年级统考开学考试）如图，一束光线A3先后经平面镜OM,QV反射后，当

ZABM=35。时，/OCN的度数为（）

A.55°B.70°C.60°D.35°

【答案】A

【分析】根据入射角等于反射角以及"两直线平行，同旁内角互补"解答即可.

【详解】解：BZABM=35°,ZABM=ZOBC,ElZOSC=35°,

0ZABC=180°-ZABM-ZOBC=180°-35°-35°=110°,

0CD/7AB,EIZABC+ZBCD=180o,0Z.BCD=180°-ZABC=70°,

0ZBCO=ZDGV,ZBCO+ZBCD+ZDCN=180°,回ZDCN=g（180°-ZBCD）=55°,故选：A.

【点睛】此题考查了平行线的性质，入射角等于反射角等知识，熟记"两直线平行，同旁内角互补"是解题的

关键.

3.（2023•山东泰安・统考中考真题）如图，直线乙12,4=30。，贝"2+/3=（）

A.150°B.180°C.210°D.240°

【答案】C

【分析】根据题意作直线/平行于直线//和12,再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：作直线/平行于直线〃和反

/〃/]/〃2，,-.Zl=Z4=30\Z3+Z5=180°.

Z2=Z4+Z5,N2+N3=N4+N5+N3=30°+180°=210°.故选C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键.

4.（2023下•河北邯郸•七年级校联考阶段练习）如图，将直线机按箭头所指方向平移至直线”,若4=65°,

则N2-/3的度数为（）

>

A.115°B.120°C.125°D.130°

【答案】A

【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案.

【详解】解：过2作相，

0Z3=ZZ3BC,ZABD=180°-Z1=180°-65°=115°,

0Z2-Z3=Z2-Z£）BC=ZASD=115O.故选：A.

【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键.

5.（2023・安徽安庆•八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若N1=46。，则N2=（）

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直

尺两边的平行线，根据平行线的性质可得4=N3=46。，,2=/4,再结合角的和差关系可得答案.

【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，

回直尺两边互相平行，0Z1=Z3=46°,—2=N4,

0Z4=9O°-Z3=44°,0Z2=Z4=44°,故选：B.

6.（2023下•山东烟台•七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使/1=160。,

AB1BC,则N2的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】过点B作理〃AD,然后根据两直线平行，同旁内角互补得出/l+NABE+/CBE+/2=360。，再

解答即可.

【详解】解：过点8作fflZASE+Zl=360°

^CF//AD,SCF//BE//AD,EZCBE+Z2=360°

0Z1+ZABE+Z.CBE+Z2=360°,0Z1+ZABC+Z2=360°,

0ABBC0ZABC=90°0Zl=160°,12/2的度数为110°.故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键.

7.（2023下•广东中山•七年级校联考期中）如图，已知：AB//CD,ZB=115°,ZD=135°,则NE=（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

【答案】B

【分析】过点E作根据平行线的性质得出N3+N3EM=180。，ZD+ZDEM=180°,再根据角的

和差求解即可.

【详解】解：如图，过点石作ME〃/

8A

AB//CD,:.ME//AB//CD,ZB+ZBEM=180°,ZD+ZDEM=180°,

ZB=115°,ZD=135°,:.NBEM=65。,ZDEM=45°,

ZBED=ZBEM+ZDEM=110°,故选：B.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记"两直线平行，同旁内角互补"是解题的关键.

8.（2023•安徽合肥•统考模拟预测）如图，在五边形ABCDE中，4£〃。。,/1=50。,/2=70。，则/3的度

数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】利用多边形的内角和公式求得五边形的内角和，再由平行线性质求得ND+NE的和，继而求得

ZBAE+ZABC+ZBCD,最后利用角的和差即可求得答案.

【详解】解：回四边形ABCDE为五边形，团其内角和为（5—2）xl800=540。，

团AE〃CD,团NO+N石=180。，0ZBAE+ZABC+ZBCD=540°-180°=360°,

I?]Zl+Z2+Z3=180°x3-360°=180°,

团N1=50°,N2=70。回N3=180°-50°-70。=60°,故选：C.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和及平行线的性质，结合已知条件求得NB4E+NABC+N3co是解题

的关键.

9.（2023下•黑龙江绥化•七年级校考期末）如图，已知展场〃则NA+N5+NC+NO=—.

AE

c\______

DF

【答案】540。/540度

【分析】可过点5,C分别作即CN//AE,进而利用同旁内角互补得出结论.

【详解】解：如图，过点B,C分别作即CN//AE,

DF

AE//DF,:.AE//BM//CN//DF,

则ZA+ZABM=180°,NMBC+NBCN=180。,ZNCD+ZD=180°,:.ZA+ZABC+NBCD+ND

=ZA+ZABM+ZMBC+ZBCN+ZNCD+ZD=180°x3=540°,故答案为540°.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此

题的关键.

10.（2022上•辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE平分NADC,ZBAD=80°,

ZBCD=n°,则N3ED的度数为.（用含w的式子表示）

【答案】40°+1«°

【分析】首先过点E作砂〃由平行线的传递性得AB〃CD〃EF,再根据两直线平行，内错角相等，

得出/比力=/放=〃。，ZBAD=ZADC^80°,由角平分线的定义得出，ZEDC=40°,再

2

由两直线平行，内错角相等得出ZB£F=ZABE=；〃。ZFED=ZEDC=40°,由=+即可

得出答案.

【详解】解：如图，过点E作EF〃AB,则AB〃CD〃瓦"

B

AB//CD,⑦/BCD=/ABC=rf,ZBAD=ZADC=SO°f

又EIBE平分/ABC,DE■平分,AT>C,^ZABE=-ZABC=-n°,/EDC=工ZAOC=工x80。=40。，

2222

^AB//EFIICD,SZBEF=ZABE=-n°,ZFED=ZEDC=40°,

2

0ABED=ZFED+ZBEF=40°+-n°,故答案为：40°+-n°.

22

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和

角平分线的定义.

11.（2023下•吉林•七年级统考阶段练习）如图，AB//EF,8平分NACE,若—A=155。，ZE=105°,

则ZACD=

【答案】50

【分析】先根据平行公理判定。以〃跖〃AB,进而利用平行线的性质及角平分线的定义即可求解.

【详解】解:如图，过点C作。0〃口，

CM//EF,AB//EF,：.CM//EF//AB,：.ZA+ZACM=180°,/E+/ECM=180°,

•••/A=155°,ZE=105°,ZACM=25°,ZECM=75°ZACE=ZACM+ZECM=100°,

。平分/ACE,=』NACE=50。故答案为：50.

2

【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理及角平分线的定义，求出ZACE是解题关键.

12.（2023下•江苏镇江•七年级统考期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱54垂直于地面AE于

点A,当栏杆达到最高高度时，横栏CD〃AE,止匕时贝UNABC=120。，ZBCD=

图1图2

【答案】150

【分析】过点8作板IAE,根据平行线的性质可得ZBCD+ZCBF=180。，根据54，AE得出ZBAE=90°,

贝UNAB尸=90。，可求出NCB尸=30。，即可求解.

【详解】解：过点8作2尸AE,

CD

^CD//AE,^BF//AE//CD,ZBCD+ZCBF=18Q°,

^BArAE,SiZBAE=90°,BZABF=90°,

EINABC=120°,0ZCBF=30°,0ZBCD=180°-ZCBF=150°.故答案为：150.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行;

两直线平行，同旁内角互补.

13.（2023上•四川绵阳•八年级统考开学考试）如图，已知AB〃EF,若&=

13=ZB+NBCD+NCDE+ZE,则a与£之间的数量关系为.

【答案】/=3a/a=)

【分析】过C作。0〃AB,过。作。N〃AB,得到C河〃。V〃跖，由平行线的性质推出

ZA+ZF=\80°,ZB+ZMCB=180°,ZEDN+ZDEF=180°,得到+^BCD+^CDE+^E=180°x3,

即可得出结果.

【详解】解：过C作CM〃AB,过。作DN〃AB,SAB//EF,®CM〃DN〃EF,

团NA+Nb=180°,NB+NMCB=180°,NEDN+ZDEF=180°,

El+ZMCB+ZMCD+NNDC+NEDN+NDEF=180°x3,

¥8+/BCD+NCDE+NE=180°x3,

=ZA+ZF,f3=ZB+ZBCD+ZCDE+ZE,回P=3c.故答案为：/3=3a.

【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点C作。/〃AB,过。作DN〃AB,得到。/〃。N〃跖，由

平行线的性质即可解决问题..

14.（2023下•贵州安顺•七年级校考阶段练习）如图，已知AB//CD,易得如+回2+03=360°,回1+02+回3+04=540°,

根据以上的规律求团1+回2+回3+...+即=

【答案】180（71-1）

【分析】过点P作平行于A3的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过

点P,。作的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（力-1）次平

行线的性质，则”个角的和是180（〃-1）。.

【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线平行于A8,

ABAB

0AB0CD,AB^PMSABSPMSCD,

<>

001+E1APJW=18O,0MPC+03=18O°,EB1+EIAPC+I33=36O°；

（2）如图，过点尸、。作PM、QN平行于AB,EIAB0CD,SABSPMSQN^CD,

001+0APM=18O°,13MpQ+I3PQN=180°,回河。。+回4=180°；031+042。+13P。。+回4=540°；

根据上述规律，显然作（〃-2）条辅助线，运用（〃；）次两条直线平行，同旁内角互补.

即可得到回1+回2+回3+...+即=180°（%1）.故答案为：180（力-1）°

【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.

15.（2023下•湖北襄阳•七年级统考期中）如图，AB//CD,BE平分ZABF,DE平分NCDF,若NE=110。,

贝|J/F=度.

【答案】140

【分析】过点E作EM//AB,利用平行线的性质可证得NBED=1（NABF+ZCDF）可以得到NBED与ZBFD

的关系，即可求解.

【详解】解：过点E1作如图：

AB//CD,EM//AB--CD//EM,:.ZABE=NBEM,NCDE=NDEM,

ZABF的平分线与ZCDF的平分线相交于点E,

NABE=|ZABF,ZCDE=|ZCDF,ABED=NBEM+NDEM=1（ZABF+ZCDF）,

ZABF+ZBFD+ZCDF=360°,ZABF+ZCDF=360°-ZBFD,

ZE=110°,ZF=360°-2ZE=360°-220°=140°,故答案为：140.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角,

依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用.

16.（2023下•江西南昌•七年级南昌二中校考期中）如图已知：AB//CD,CD//EF,AE平分-54C,

AC1CE,有以下结论：①AB〃EF；②2N1-N4=90°；③2N3-N2=180°；④N3+；N4=135°,其

中，正确的结论有.（填序号）

【答案】①②③④

【分析】根据平行公理判断①；根据角平分线得到4MC=2Z1,根据平行线的性质和垂线的定义分别得

到2?1?2180?,/2+/4=90。，进一步推出2N1—N4=9O°,可判断②；结合=Zl+Z3=180°

得到2/1+2/3=360。，根据2?1?2180?两式相减可判断③；根据平行线的性质得到

.-.Z3+ZAEC+Z4=180°,根据垂直得至IjN3+N4—N1=90°,从而进一步推出/3+；/4=135。，可判断④.

【详解】解：AB//CD,CD//EF,:.AB//EF,故①正确；

AE平分，54C,:.ZBAC=2Z\,

AB//CD,.•.ZBAC+N2=180°,;.2N1+N2=18O°(1),

AC±CE,.-.Z2+Z4=90°(2),

(1)-(2)得，2Z1-Z4=9O°,故②正确；

QAB//EF,.­.ZR4E+Z3=180°,

AE平分/BAC,:.N1=NBAE,.-.Zl+Z3=180o,

.-.2Z1+2Z3=36O°(3),2Z1+Z2=18O°(1),

(3)-(1)得，2N3—N2=180。，故③正确；

CD//EF,.-.ZCEF+Z4=180°,.■.Z3+ZAEC+Z4=180°,

AC±CE,..Zl+ZAEC=90°,:.ZAEC=90°-Zl,Z3+Z4-Z1=9O°,

2Z1-Z4=9O°,.-.Zl=45o+1z4,.-.Z3+|z4=135o,故④正确.

故正确的结论有：①②③④.故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.平行线的判定是由角

的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.应用平行线的判定

和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

17.（2023下•江苏南京•七年级校考阶段练习）如图，在六边形A8CDEF中，AF^CD,她=140。，0C=165°.

（1）求回B的度数；（2）当回—。时，ABSDE?为什么？

【答案】(])55。；(2)140°

【分析】(1)过点B作BMEIAF,贝I]BMI3AFIBCD,EL4=140°,EIC=165O,进而即可求解；

(2)延长AB,DC交于点N,由EIABC=55。，圉BCD=165°,得回BNC=40°,结合AB0DE,即可得到答案.

【详解】(1)过点B作BMEIAF,

0AB3CD,EBM0AF0CD,03A+13ABM=180°,0C+0CBM=18O°,

00A=14O°,0C=165°,00B=0ABM+0CBM=36O°-0A-0C=36OO-14OO-165O=55°.

(2)延长AB,DC交于点N,EBABC=55°,EBNBC=125°,

00BCD=165°,[30NBC=165O-125O=4OO

ABSDE,贝幅D=180°-40°=140°.故答案是：140°

【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键.

18.（2023下•江苏南京•七年级校联考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A,B.如图1,2所

示，假如河道两岸是平行的，PQ//MN,且NA4M灯A射线从A"开始顺时针旋转至AN便

立即回转，灯B射线从阶开始顺时针旋转至8。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度

是每秒2度，灯2转动的速度是每秒1度.

⑴填空：ZBAN=°;（2）若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达BQ之前,

A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出

的射线AC与8C交于点C,过C作/ACD交P。于点，且NACD=120。，则在转动过程中，请探究—54C

与ZBCD的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）60（2）当，=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行⑶/54。=2/"笫，见解析

【分析】（1）根据NB4M+/"4N=180。，ZBAM-./BAN=2：1,即可得到/A4N的度数；

（2）设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0</<90时，根据2，=lx（30+。，

可得f=30；当90</<150时,根据lx（30+t）+（2f—180）=180,可得f=110；

（3）设灯A射线转动时间为f秒，根据ZBAC=27-120。，/BCD=120°-/BCD=r-60。，即可得出/BAC：

NBCD=2：1,据此可得/84C和/BCD关系不会变化.

【详解】（1）ZBAM+ZBAN=180°,ZBAM=2ZBAN,ZBAN=180°x-=60°,故答案为：60；

3

（2）设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行，

①当0</<90时，如图1,PQ//MN,.-.ZPBD^ZBDA,

AC\BD,Z.CAM=ABDA,ZCAM=ZPBD：.2t=\x（30+t）,解得f=30：

②当90<l<150时，如图2,PQ//MN,ZPBD+ZBDA=180°,

AC|BD,ZCAN=ABDAZPBD+ZCAN=180°

.•.lx(30+r)+(2r-180)=180,解得f=110,

综上所述，当f=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；

(3)/BAC=2NBCD.理由：设灯A射线转动时间为t秒,

ZCAN=180°-2t,.•.ZBAC=60°-(180°-2f)=2f-120°,

又•.ZABC=120°-t,ZBCA=180°-ZABC-ZBAC=180°-r,而ZAC£>=120。，

ZBCD=120°-ZBCA=120°-(180°-t)=t-6O°,：,ABAC：/BCD=2：1,即/B