实战演练 三次函数的图像与性质（4大常考点归纳）-2025年高考数学专项复习（新高考卷）解析版

实战演练02三次函数的图像与性质

考点归纳

①三次函数的零点

②三次函数的极值、极值点

③三次函数的切线

④三次函数的对称性

必备知识速记

一、三次函数概念

定义:形如/（%）=ax3+bx2+ex+d（a。0）叫做三次函敞

-=3ax2+2bx+c,把/=4b2-12ac叫做三次函数导函数的判别式

当/＞。时，令r（x）=o,记两根为孙=土等近，冷=土等画

二、三次函数的图像及单调性

\增区间(-8,%1),(%2，+8)

减区间(%1，冷)

[a>0(a>0[/

A>0=1炉>3。。

/(%)有两个极值点

0xX/XiX

N极大值极小值/(%2)

V

增区间(久I，x2)

减区间(-8,xj,(x,+oo)

fa<0Ca<02

A>0今〔房>3这

0f(x)有两个极值点

V\极大值/(冷)，极小值/O1)

三、三次函数的零点个数

设/'(X)=a%3+b/+cx+d(a40)的三个零点分别为Xi，x2,x3,则

⑴久1+x2+x3--

(2)*62+久2X3+久3久1=2

/-、d

(3)%62%3=~~

Illc

(4)五+元+云

五、三次函数的对称性

结论1三次函数/(x)=a/+/+©久+d(a40)的图象关于点(―g-9)中心对称

32

结论2已知三次函数/(久)=ax+bx+cx+d(a丰0)中心对称点的横坐标为两个极值点分别为打，%2>

则怨詈=|广(无。)=々/FA

结论3若丫=/(x)图像关于点(m,几)对称，则y=尸(尤)图像关于轴光=M对称

点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

名校模拟探源

①三次函数的零点

一、单选题

1.(2024•陕西西安•模拟预测)若函数/(x)=x3-3x+a在区间(0,2)内有两个零点，则实数。的取值范围是

()

A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,1)D.(1,+⑹

【答案】A

/(0)>0

【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得了⑴<。，解得即可.

/⑵>0

【详解】因为，'(X)=3X2_3=3(X+1)(X-1),所以当X>1或X<-1时/(x)>o,

即〃x)在(1,+8),上单调递增,

当-1<X<1时/'(x)<0,即/(x)在上单调递减,

7(0)>0Q〉0

根据题意可得,即<1-3+Q<0解得0<a<2.

〃2)>08—6+。>0

故选：A

2.(2024・湖南长沙•一模)函数/(x)=ax，-ad+6x(°,6eR)有3个零点的充分不必要条件是()

A.且a>4bB.。>0,且。<46

C.a<0,且。>4瓦b/0D.a<0,且a<4瓦6/0

【答案】D

【分析】由题意可得函数〃x)=ax3-ax2+bx(a,beR)有3个零点的充要条件为a2-4ab>0且"0/w0,

逐个选项分析其是否为/一4仍>0且。N。力力0的充分不必要条件即可得.

［详解］〃尤)=/2+bx=x^ax1-ax+b^,有/⑼=0,

若，(x)有三个零点，则有/一4仍>0且awO/wO,

故函数〃x)=ax3-ax2+6x(a,6eR)有3个零点的充要条件为：

a2一4ab>0且”0,6*0,

对A：a/0,且a>4b,则当a<0时，有/<4",不符，故A错误；

对B：可能6=0,不符，故B错误；

对C：a<0且。>46力片0,则/<4",不符，故C错误；

对D：a<0,且。<46,620,则/>4"，

即由a<0,且a<片0能得到a2-4ab>0Ra^0,b^0,

但/-4">0且aR0,6Ho并不意味着a<0,且a<4瓦6W0,

故a<0,且a<46,6WO是/一4仍>0且中01片0的充分不必要条件，

即是函数〃力="3_办2+尔.,6€2有3个零点的充分不必要条件，故D正确.

故选：D.

3.(2024•宁夏银川三模)己知函数/3=/-7尤2+14%-4有3个零点X1,鼻(工<为<丁)，有以下

四种说法：

①%>0

②W<4

③存在实数4,使得大，出，七成等差数列

④存在实数4,使得为，4，W成等比数列

则其中正确的说法有()种.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题意设g(x)=x3-7/+14x,根据g(x)=a,求导分析g(x)的单调性，进而数形结合分析，根

据g(x)=x［-曰+:可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举

例可判断④.

【详解】由〃x)=0,得/一7/+14工=0,

设g(x)=x3-7/+14x,贝(jg<x)=3x2-14x+14=3

则g(x)的极小值为g,极大值为g

y

Jay=g^

对①，因为g(x)=x(x?-7x+14)=x[x-g[+：,

所以g>0,当且仅当x<0时，g(x)<0,所以占>0,①正确.

IJJ

(7—674-B、

对②，因为g(x)在^上单调递减，且8⑵二8⑸，

I33J

<7_尺、

所以g>g(4),所以七<4未必成立，②错误.

IJJ

对③，设°(x)=g<x)=3x2-14x+14,令"(x)=6x-14=0有x=g,则有gg+xj+gQ•-x)=2gg

故g(x)图象存在对称中心[,

所以存在实数a=g]：j,使得多，x?,X3成等差数列，③正确.

对④，因为g(l)=g(2)=g(4)=8,所以存在实数a=8,使得不，x2,马成等比数列，④正确.

故选：C.

4.(23-24高三上・云南・阶段练习)关于函数/(》)=4丁_3》-。，则下列说法正确的是()

A.函数在(-U)上单调递减

B.当a>0时，函数/(x)<0在(0,1)上恒成立

C.当。>1或”-1时，函数/(x)有2个零点

D.当■时，函数/(x)有3个零点，记为西,%,马,则%+々+退=0

【答案】D

【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数y=4d_3x的图象可求得BC错误，根据零点个

数可求得-1<a<1,令4x；-3x,=1(/=1,2,3)再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确.

【详解】对于A,因为函数"X)=12/-3,令/'(X)=0,贝！)x=±g;

当或时，f'(x)>0,此时函数/(X)单调递增,

当时，f\x)<0.此时函数/(x)单调递减，

作出函数/(x)的大致图象如图，故A错；

对于B,由A选项可知，易知/(0)=_a<0,/⑴=—,

又易知0<x<；时，函数/(x)单调递减，g<x<l时，函数/(x)单调递增；

当0<x<l时，若。<a<l,/(x)<0不一定成立，例如当时，>0,

所以当0<a<l,〃x)<0不一定成立，故B错；

对于C,方程/(x)=0的根即为V=。与函数y=4无3_3x的交点横坐标，

由A可知，函数了=4尤3-3%在x=-1■时取得极大值1,在x=g时取得极小值7；

作出函数>=4炉-3x的图象如图，

当。>1或。<-1时，函数/⑴有1个零点，故C错；

对于D,函数/(x)有3个零点，贝!|可得-且再,马,退

记4x”3x,=；C=l,2,3),

1冗5冗7冗

令工=8$9(0<夕<兀)，贝[]4(cosO)3-3cose=cos38=5,所以3夕=§，不，彳，

-r-E3/I兀7157r八77t

于是演=cosq=cos—,x2=cos02=cos——，演=cos^=cos—,

兀5兀7兀（4兀3兀）5兀/4兀3711c4兀3兀5兀

M+X,+XR=cos—Fcos----Fcos——cos-----------+cos-------Fcos-----1------2cos—cos-------Fcos—

99999J999）999

,14兀5兀八

=2x—cos---bcos——=0,

299

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数〃x）有3个零点国,Z,三的范围限定在（-1,1）上，再

x=cos3{0<0<兀）利用倍角公式即可得出结论.

二、多选题

5.(23-24高三上•安徽•阶段练习)已知三次函数/(x)="3+6x2+c(a>0,b,ceR),下列结论正确的是

()

A.当。=6=2时，/⑴单调递减区间为，j。］

B.当。=6=2时，/⑴单调递增区间为，

C.当。=-4。时，若函数“X)恰有两个不同的零点，则”3

a

D.当6=c=0时，〃x)>lnx恒成立，则a的取值范围为

【答案】ACD

【分析】利用导数研究"X)区间单调性判断A、B,由函数/(X)恰有两个不同的零点，则有一个极值为0,

易得=0或/(。)=。判断C；将不等式恒成立化为。>营恒成立，对右侧构造函数，应用导数求其

最大值即可判断D.

【详解】f(%)=a/+bx2+c(a>0,b,cGR),则=x(3ax+2b),

当a=b=2时/(x)=2x(3x+2),在区间上广⑺<0,

所以/(x)在［j。］上单调递减区间，A正确，B错误；

要使函数/(x)恰有两个不同的零点，则/(x)有一个极值为0,

由上分析知：。或〃0)=0,而/(。)=。时a=0,不满足题意；

所以c=_4a,有一空+竺一4。=0,化简可得2=3,C正确；

I27a29a2a

当6=c=0时/(x)>lnx恒成立，即a>与恒成立，

令/z(x)=学，贝(］"。)=匕等，故〃(&)=0,

XX

在(0,泥)上〃'(x)>o,以幻单调递增，在(我,+8)上1(%)<0,7z(x)单调递减，

；j7(X)max=〃(/)=］，故。>［，D正确.

\，3e3e

故选：ACD

6.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)已知三次函数/(力=/+/+4+，有三个不同的零点

x1,x2,x3(x1<x2<x3),函数g(x)=/(x)T.则()

A.3ac<1

B.若%,%,%成等差数列，贝Uae(-l,0)u(0,l)

C.若g(x)恰有两个不同的零点"7,"(/<〃)，则2〃?+"=-：

D.若g(x)有三个不同的零点4则才+考+后=片+片

【答案】ABD

【分析】对于A,由题意可得/''(工人。有两个不同实根，则由A>0即可判断；对于B,若占62户3成等差数

列，则/刑)=4-；1=2+£:9℃=0,从而结合即可判断；对于C,若g(x)恰有两个零点，则加

或〃必为极值点，分类讨论即可判断；对于D,由韦达定理即可判断.

【详解】f(x)=ax3+x2+cx+^,f'(x)=3ax2+2x+c,a*0,对称中心为1■”对A：因为了⑺

有三个零点，所以/(x)必有两个极值点，所以A=4-12ac>0,3ac<l,A正确；

对B,由玉,当成等差数列，及三次函数的中心对称性可知超=-4，

3a

所以〃6小;1可等二°，

\3a)27a

又ac<；,故2+/=9ac<3,所以孑<1,所以ae(-1,0)5。」)，故B正确；

26

C：g(x)—0,即cix^+x2+ex—=0,

若g(x)恰有两个零点，则加或“必为极值点；

若加为极值点，则该方程的三个根为加，m,n,由一元三次方程的韦达定理可知：2m+«=--

a;

若〃为极值点，同理可得机+2"=-1，故C错；

a

1

玉+毛

%2+=4+/2+'3=----a--

对D：由韦达定理<

c

%］々+工2*3+工3、1=t，?+/2/3+‘3‘1=-

a

得(X]+x2+x3-2+x2x3+退再)=(%+芍+L-2(帮2+”3+V]),

即无;+x；+x；=『+/；+",故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出加或〃必为极值点，由此即可顺利得解.

三、填空题

7.(23-24高三上•黑龙江牡丹江•期末)函数有且只有3个零点，则实数。的取

值范围是.

【答案】0,2]

【分析】根据分段函数中各段函数的单调性，分成。>0,两种情况并结合导数进行讨论即可.

32

【详解】当〃〉0时，x>0时，f[x^=x-3ax+2f/,(x)=3x-3a,

当0<x<G时，/'(x)<0;当%时，

所以/(x)=d-3办+2在(0,单调递减，在(G,+8)单调递增，

所以当x=〃'时，/(x)=x3-3ax+2取最小值.

函数/(x)有且只有3个零点，又/(x)=2川-。在(-叫0]上单调递增，

所以/(x)=丁_3办+2,在(0,+功有两个零点且此时/(0)=2>0,

而〃x)=2印-。在(-8,0]上有一个零点，

如图，

所以/(夜)=-2°6+2<0,解得a>l,且/(O)=2-aNO,所以aV2.

所以W2.

32

当时，％>0时，/(x)=x-3ax+2f/,(%)=3x-3^>0,

故/(x)在(0,+。)上单调递增，且此时/⑼=2〉0,

又/(x)=2*-a>0在(-％0]上恒成立，所以此时不合题意.

综上，l<aV2,即ae(l,2].

故答案为：(1,2].

【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围常用的方法：

(1)分离参数法：通常解法为从中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根

据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分类讨论法：通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否

符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

8.(2024高三下•全国•专题练习)已知a,6eR,函数/(x)=加+,+x+l(a<0)恰有两个零点，则0+6

的取值范围为.

【答案】,哈£|

【分析】根据导数判断单调性，结合零点和极值点求出6,构造函数，求导可得“+6的取值范围.

【详解】；/(力=/+凉+尤+1且”0,

.-.f'(x)^3ax2+2bx+l,A=4Z?2-12O!>0.

则方程/'(x)=0必有两个不等的实根不，Z.

2b]

设%1<x,贝!Jx+x=——,xx=—<0.

2一3xa23ai2

贝!I必有再<0</，且/'(再)=3办;+2bx1+1=0①.

当％<否或时,/'(工)<0；当％]〈TV/时，/'(工)〉0.

因此函数了=/(x)的单调递增区间为(占,乙)，单调递减区间为(-8,占)和后,+8).

由于/⑼=1>0,若函数y=/(x)有两个零点，贝!!/&)="：+如2+石+1=0②.

3ax；+2bxi+1=0

联立①②得

ax[+bx；+$+1=0

32

令才=一<0,^g(t)=2t-2t-2t9贝！|Q+6=g«).

从而〃=2/+/="(2/+1)<0,解得，<—,•

因此g'(0=6/2_4f_2=2(3/_2%_l)=2(3，+l)«_l).

故当,<-g时，g'⑺>0,函数g⑺单调递增.

因此Q+b=g«)<g

故答案为：(――]

②三次函数的极值点

一、单选题

1.(2024•福建泉州•一模)已知再,%2，是函数/(x)=(xT)3-x两个极值点，则()

A.项+々=一2B.再+工2=1C./(再)+/(%2)=-2D./(再)+/(工2)=2

【答案】C

【分析】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项.

【详解】r(x)=3(x-l)2-l,令f(x)=0,解得打2=1±[，

所以国+%=2,故AB不正确；

/(网)+/52)=|9J-1-Y+^Y]T+等=一2,故C正确D错误.

故选：C

2.(2024高三下•全国•专题练习)若函数/(x)=x(x+“y在x=l处有极大值，则实数”的值为()

A.1B.-1或-3

C.-1D.-3

【答案】D

【分析】借助极值点定义可得/⑴=。，即可得。=-1或。=-3,再分类进行讨论排除极小值情况即可得.

【详解】/〈X)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),

贝!1有/''(1)=(1+。)(3+。)=0,解得。=-1或。=一3,

当a=-l时，/,(x)=(x-l)(3x-l),

则当xeg,11时，/[x)<0,当xe(l,+8)时，/(x)>0,

所以在gj上单调递减，在(1,+动上单调递增，

/'(x)在x=l处有极小值，不符合题意；

当a=_3时，/,(x)=(x-3)(3x-3)=3(x-l)(x-3),

当xe(-8,1)时，/,(x)>0,当xe(1,3)时，/'(x)<0,

所以在上单调递增，在(1,3)上单调递减，

/'(x)在x=l处有极大值，符合题意.

综上可得，a=-3.

故选：D.

3.(2024•新疆乌鲁木齐•二模)设演,是函数/(工)=X3+0?+工+1的两个极值点，若演+3尤?=-2,贝！|。=

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.

【详解】由题意得了'(x)=3Y+2ax+l,又4%是函数的两个极值点，

则x„x2是方程3/+2ax+1=0的两个根，

,,2a1

故王+/=-y,X)X2--)

又再+3工2=-2,则再=-3%2-2,即中2=(-3苫2-2)无2=g，则々=-；,

则项=-1,所以%+%=-g-l=-等，解得。=2,

此时A=42-4x3xl=4>0.

故选：C.

4.(2024•全国,模拟预测)己知函数〃x)的导函数/'卜)=。+2乂/+》+机)，若函数“X)有一极大值点

为-2,则实数小的取值范围为()

A.(-2,+8)B.(-4,-2]

C.D.(-<»,-2)

【答案】D

【分析】令g(x)=f+x+加且g(x”0恒成立，根据/(x)的极值点得到矛盾，g(x)有两个不同的零点，

利用三次函数性质判断了(x)单调性，进而求参数范围.

【详解】由题意/'(xha+zXY+x+M),令g(x)=x2+x+m,

若g(x)20恒成立，易知：当xe(—e,—2)时乙(x)40,当xe(-2,+a5)时/⑺皿

所以-2是的极小值点，不合题意，故g(x)有两个不同零点.

设g(x)的两个零点分别为再广2(玉<%),则。(x)=(xf)(x+2)(x-X2),

结合三次函数的图象与性质知：玉<-2<z,

在(一8,3)、(-2,尤2)上/'(0<0,4X)单调递减，在(再,-2)、(尤2，+8)上/'(》)>0,/(X)单调递增,-2

是〃尤)的极大值点，符合题意，

此时需g(-2)=2+7“<0,得加<-2,所以实数加的取值范围为

故选：D.

5.(2024•河北秦皇岛•三模)已知0是函数/(》)=X3+0?+1的极大值点，贝壮的取值范围为()

A.(-«,0)B.(0,+e)C.D.

【答案】A

【分析】分类讨论。<0、。=0与。>0三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.

【详解】因为/(X)=/+办2+],所以/(%)=312+2办=x(3x+2a),

令/(x)=0,可得『=0或.=号，

S-y>0,即a<0时，

令尸(x)>0,得x<0或x>-与；令/'(x)<0,得0<x<T；

所以“X)在(-8,0),上单调递增，在上单调递减,

所以x=0是函数/(x)的极大值点，满足题意；

当一三=0,即4=0时，/'(x)=x(3x+0)20恒成立，

则/(x)在R上单调递增，没有极值点，不满足题意；

3-y<0,即a>0时，

令尸(x)>0,得x<_g或》>0；令/(x)<0,得T<x<0；

所以〃x)在「哈-7:(0,+功上单调递增，在上单调递减,

所以x=0是函数/(x)的极小值点，不满足题意;

综上，a<0,即。的取值范围为(-叫0).

故选：A.

6.(2024•云南大理•模拟预测)若加为函数〃X)=7"(X-7")2(W-X)(其中加*0)的极小值点，贝I](

A.m>n>0B.m<n<0

Cc.mn>m2D.mn<m2

【答案】C

【分析】加=〃时/(x)为单调函数，无极值点不符合题意；令/'(x)=0有两根为x或"二产，分

加>0、m<。讨论，根据加为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.

【详解】若加=〃，则〃%)=-巩工-加)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故加

由于/'(工)=加(工一冽)(一3%+加+2〃)，且加故/'(x)=0有两根为x=加或％=个」

①当用>0时，若加为极小值点，则需满足：加〈竺詈，故有0〈加〈力，

可得加〃>m2;

②当机<0时，若机为极小值点，则需满足：拉〉T^，故有：0>加>〃，

可得mn>m2.

故A,B选项错误，综合①②有：mn>m2.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据加为极小值点得到九〃的关系再结合不等式的性质解题.

7.(23-24高三下•四川绵阳•开学考试)若函数一加h-1的两个极值点都大于2,

则实数冽的取值范围是()

A.(-co,-5)U(-5,-4]B.(-oo,-4]C.(-co,-2]D.(-5,-4)

【答案】D

【分析】由题，f(x)=x2+(zn-2)x+(5-,则方程/'(x)=0的两根都大于2,由根的分布知识可

得答案.

【详解】f(x)=x2+(m-2)x+(5-m),对于方程/'(x)=0,

△=(〃7-2)~-4(5-加)>0n加e(-co,-4)U(4,+oo)

设方程两根为三,9,由韦达定理，

%%=2—m,x1x2=5-m.

因〃X)的两个极值点都大于2,则方程/'(X)=0的两根都大于2,

[xi+x2>4

则|(xj-2)(X2-2)=再％2—2(再+x2)+4>0

(2-m>4__

=>X/、=>—5<m<—2.

[5—加一2(2—加)+4>0

结合加G(-8,-4)U(4,+00),可得加£(-5,-4),

故选：D

8.(2024•全国•模拟预测)设项用为函数/(x)=x(x-2)(—〃)(其中〃>0)的两个不同的极值点，若不

等式/(再)+/(马”0成立，则实数。的取值范围为()

A.[1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(4,+oo)

【答案】A

【分析】导函数为二次函数，为户2为对应的一元二次方程的两根，由/（再）+/（工2）20,代入函数解析式,

结合韦达定理化简，可解出实数。的取值范围.

【详解】因为/（x）=x（x-2）（x-a）,所以广（x）=3x2-2（2+a）x+2a.

A=4(a?—2a+4)〉0,

2(2+67)

又函数/（X）有两个不同的极值点玉，三，所以•X]+%=3,

2a

X1X2•

解法一：由/(须)+/(%2)2。,得x；+W-(a+2乂x：+x；)+2a(X]+x2)N0,

2

即(X]+X2)](x1+x2)-3x1x2]-(a+2)(再+%)?-2xtx2+2a(x]+x2)>0(*).

将西+乙广论的值代入（*）式，得/一5a+4V0,解得14.W4,

故选:A.

解法二：函数＞="3+履（〃工0）为奇函数，图象的对称中心为（0,0）,

贝!I函数y=Q（x-次丫+左（x-加）+〃图象的对称中心为（加，几）

设g（x）-+bx2+cx+d=—加丫+左（x-m）+〃,

a（x—加丫+左（1—加）+〃=-3amx2+（3am2+k^x+^n-am3-kmj,

-3am=b

比较系数，有＜3a/+左二。,

n-am3-km=d

bb22b3be(b\

解得加=—,k=c---,n=--------+a=g\----

3a3a27a173a{3aJ

所以函数g（x）=/+bx2+cx+d（aw0）图象的对称中心为

即若〃X）存在两个相异的极值点%三,则其对称中心为点（再,〃再））和点（尤2，/5））的中点，即

〃西）+/5）=于[再+%]

由题设得即（已受）0,即/（丁10,

a＞0,

所以＜。+2（。+22）[。+2°]＞0解得I""""。

故选:A.

二、多选题

9.（23-24高三上•全国•开学考试）已知函数〃幻=；尤3+办2+工的两个极值点分别为不代，若过点

伞,〃西））和8伍,小））的直线/与坐标轴围成三角形面积为点，则直线/方程为（）

16c16,

A.y----x+2B.y=---X—L

33

161ci

C.y=--—x+lD.y=-3x+1

【答案】BC

【分析】由题意/（X）有两个不同的零点，则A>o求参数a范围，再根据卜：=：咐二代入〃国）、“再）

x2=-2ax2-1

确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求a值.

【详解】由题意/'⑴=/+2〃％+1有两个不同零点，

贝!M=4〃2—4〉0,所以/>1,即或”―1,

由x；+2axi+1=0即x；=-2ax1-1

x；+2ax2+1=0=—2〃工2—1

/(项)=g1；++$=g$(_2q』-1)+aXy+x1

aa,、八22/1\a

=yxi2+］玉=§(_2办］-1)+-^=-(1-a2,

同理有=-力卜,一］,

所以（再卜2J"?））均在了=:（1-">-三上,

4-y=|（l-a2）x--^=0,则x二°;八,

j31口一a）

令x=0,贝!lv=—|,

则直线/与坐标轴围成三角形面积S=(x即三/

22(1-a)I3J323(1-(

即9(1-4)=±8。2,

33

综上，q=3,a2=-3,a3=~r=^&=一­隹，

A/17717

因为即a>l或〃<一1,故q=3,a2=-3,得y=—gx±l,

故选：BC

10.(23-24高二下•山西晋城•阶段练习)函数/■(x)=1x4-6x2+cx有三个不同极值点国,X2，X3,且

4

ce[-l,0).则()

A.6＞次B.%]2+xf+＞3-^2

C.x；+*+石的最大值为3D.工也当的最大值为1

【答案】BCD

【分析】选项A可根据求导后分析单调性，得到g(x)的最小值大于1恒成立可得；选项B可由

(X]+3+工3'=0分析求出；选项C可由x；+x；+x；=-2bxx-c-1bx1-c-2bx3-c=一3c及ce[-1,0)求出;

选项D可由丁-2bx+c=(x-x1)(x-x2)(x-x3)^[Ix1x2x3=-c求出；

【详解】对于A：/(工)=9,-#+cx有三个不同极值点占,％,£,

贝！|f'(x)=x3-2bx+c=0有三个不等实根为国,马,%,贝！Ix3-2bx=-c定有三个解.

设g(x)=x3-2bx=g'(x)=3x2-2b,

当640,g，(x)=3x2-26N0恒成立，

得g(x)单调递增，x3-2to=一c不会有三个解，

所以，＞0,g＜x)=3/-26=0=x=±J竺，

得g(x)在单调递增.

+2b总＞1,得6＞述，故A错误;

即g

V34

对于D：设-2bx+°=(%一玉)(1_%2)(%一%3)

32XXXXXXXX

=X-(玉+x2+X3)X+(西12+13+23)~\23

故项+工2+工3=0，再%2+%入3+%2%3=一2人，%入2%3=一。，故再工2%3^(°，"，故D正确;

2

对于B：又(再+x2+x3)=x；+xl+xf+2X1X2+2x^3+2x2x3=0

x1+xI+xj=-(2x^2+2X/3+2X2X3)=4b>3y/2,故B正确;

对于C：又x：+2尻1+c=0,只+26工2+0=0,X?+26x3+0=0,

贝||x：+%2+%；=—2bxi—c—2bx2—c—2bX3—c——3c,

又ce[T,O),放-3ce(0,3],

X：+只+X：的最大值为3,故C正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于由导数分析单调性，得到g(x)的最小值大于1恒成立从而得到

6的范围；选项BCD根据方程根的特征求解.

11.(2024・河南信阳•模拟预测)已知函数/(X)=2X3-3X2-12X,项,%e(%")且满足"xj=/("),

f(x2)=f(m)>对任意的xe[加,向恒有/(")4/耳)4有("),且与为y=/'(%)的极值点，则下列等式成立

的是()

A.X[+x2=2x0B.2(x2-xj=n-m

C.3再=2X2+mD.3X2-xx=2n

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，可得%,三分别为函数/(无)的极大值点和极小值点，由此求出占户2，机,”，再逐项

判断即可得解..

【详解】由/(x)=2x3-3x2-12x,求导得/'(x)=6x?-6x-12=6(x+l)(x—2),

当x<-l或x>2时，r(x)>0,当-l<x<2时，f\x)<0,

函数/(x)在(-叫-1),(2,+8)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，

因此当x=-1时,“乃取得极大值〃T)=7,在x=2时，/⑴取得极小值〃2)=-20,

对任意的xe[加，司恒有/⑹/(x)1nhi=/(w),/(xL=/(〃)，

又当占，电€("〃)且满足〃再)=/("),又无2)=/⑻,

则占凡分别为函数/(X)的极大值点和极小值点，

7

则玉=一1/2=2,由/（$）=/（〃），得2"—3/—12〃=7,即（〃+1）2（2〃—7）=0,解得〃=,,

由/（工2）=/（加），#2m3-3m2-12m=-20,即（加一2『（2加+5）=0,解得加二一"|,

对于A,由>=6——61-12,求导得了=12%-6,显然x是歹'=12%-6的变号零点，

即/=5，占+々=1=2%,A正确；

对于B,2（X2-x1）=6,n-m=^-（-^）=6,B正确；

53

对于C,3^=—3,2X2+//i=4――=—,C错误；

对于D,3x2-xl=6-（-1）=7=2H,D正确.

故选：ABD

12.（2024・山西太原•三模）己知%,是函数/■（》）=苫3+鹏+〃（加<0）的极值点，若/（%）=/（王）（玉，

则下列结论正确的是（）

A./（x）的对称中心为（0,"）B./（-占）>/（再）

C.2x1+x2=0D.x{+x2>0

【答案】AC

【分析】利用〃0+x）+〃0-x）=2",可判断A；令分（力=0,解得x,代入/（f）-/（再）可判断B；利

用导数判断出了=〃x）的单调性并求出极值点，结合图像分情况由〃马）=〃网）（工尸乙）解出入2,可得

2再+%=0可判断C；利用C选项，若再=样，9=-2?,得出国+工2<0可判断D.

【详解】对于A,因为f^0+x^+f^0-x^=x3+mx+n-x3-mx+n=2n,

所以/（x）的对称中心为（0，〃），故A正确；

对于B,f'（x）=3x2+m,令/（x）=0,解得工=±巨，

/（一百）一/（%）=.X：-mxx+〃_%：_mxi-n

/（一七）一/（再）=-xf-mxx+〃_%：_mx{-n

因为加＜0,所以＜0,可得/'（一项）＜/（再），

故B错误;

对于C,令/'(x)=0,解得x=±.-m

当x>9或x<-।子时，r（x）＞0,y=/（x）是单调递增函数,

当一—-—<x<।子时，r（x）＜o,v=/a）是单调递减函数,

所以歹=/（"在"=—旧时有极大值，在x）三时有极小值，

如下图，当国=-［时，若〃X2）=/（xJ（x尸X2）,贝!!

/（石）―/（%2）=%：+mXl+〃一£一加9一几=（%—%2乂%；+X1X2+%；+初）=°,

可得工：+国马+考+加=0,即（一营七+工；+m=0,解得马=斐区，

当石=j子时'如下图,若〃x2）=/a）aN/）,则

mx

/（%）一/（%）=X：+\+拉一只-mx2一〃=（再一12乂X；+玉入2+X；+机）=0,

可得工；+玉工2+工；+加=°，即于+^^^X2+X；+加=0，解得々二_2'；加，

所以2芭+々=°;

m

综上所述，2玉+%=0,故C正确;

对于D,由C选项可知，若无］=

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.

13.(23-24高三上•山西临汾•阶段练习)已知曲线+l在点(1J⑴)处的切线斜率为3,

且X是>=/(x)的极值点，则函数的另一个极值点为.

【答案】-2

【分析】对函数求导，结合已知有了'(l)=3+2a+b=3,且d3=g+++6=°，求得”=21=-4,再根

据导数的符号判断单调区间，进而确定另一个极值点即可.

【详解】由题设仆)=3/+2姓+6,贝1)/3=3+2“+b=3,且/''0=。+++6=0,

所以a=2,6=—4,即/'(x)=3/+4x-4=(3x_2)(x+2),

当》€(-8,-2)11(才+8),/'(x)>0,则(-oo,-2)q,+8)上y=/(x)递增；

当xe(-2,令,r(x)<0,则(-2,令上y=〃x)递减；

所以x=-2、x=(都是j=/(x)的极值点，故另一个极值点为x=-2.

故答案为：-2

14.(2024•云南•一模)已知/(x)=：x3-3办?+8办-100在(2,6)上只有一个极值点，则实数。的取值范围

8

327

【答案】

8?56

【分析】求导，分离参数，转化为函数交点个数求解即可.

【详解】因为〃力=：尤3一3加+8办-100在（2,6）上只有一个极值点,

O

则r⑺=_6"+8。=0在（2,6）上有唯一解，且左右函数值异号.

O

日口2

即8一--X---,

36x-8

令6X-8=/£（4,28）,

易知8（。="亍在（4,8）单调递减，在（8,28）单调递增，

且g（4）=4++20,g（28）=28+*竽

（20+16）+16^,解得

36V7336（7）856

327、

故答案为：.

56；

15.2024•江苏南京・二模）已知函数/（x）=j?-G+l（qeR）的两个极值点为多，々（占<x?）,记J（xj）,

C（%,7（