苏科版九年级数学下册题型专练：二次函数与一元二次方程（含详解）

2025年九年级数学下册题型专练

专题07二次函数与一元二次方程

题型归购

【题型1：二次函数与X轴交点问题】

【题型2:图像法确定一元二次方程的根】

【题型3：已知函数值y求X的取值范围】

【题型4：二次函数与不等式的关系】

【题型5:二次函数综合】

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【题型1:二次函数与x轴交点问题】

1.若二次函数y=fe?+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（）

A.1B.±1C.-1D._A

2

2.若函数-2x-机与x轴没有交点，则一次函数y=x+机-1的图象不经过第（）

象限.

A.-B.—C.三D.四

3.已知，二次函数yud+bx-2017的图象与无轴交于点A（尤i，0）、B（也，0）两点，则当x=xi+%2

时，则y的值为（）

A.2019B.2017C.2018D.-2017

4.经过A（2-36,m）,B（4Z;+c-1,M两点的抛物线y=-」=P+w2+2c（%为自变量）与了轴

2

有交点，则线段AB的长为（）

A.10B.12C.13D.15

5.若二次函数y=/-2x-4与x轴没有交点，则二次函数＞=炉+（Z+1）x+左的图象的顶点在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

6.若函数y=（m-3）V-M+Z的图象与x轴只有一个交点，则机的值是（）

A.3或5B.3C.4D.5

7.二次函数y=a/-2ax+c（存0）的图象过点（3,0）,方程办2-2仪+c=0的解为（）

A.x\=-3,X2=-1B.xi=-L%2=3

C.%1=1,X2=3D.Xl=-3,X2=l

8.若抛物线y=-f+4x-2向上平移机（机>0）个单位后，在-l<x<4范围内与无轴只有一个交点,

则7”的取值范围是（）

A.m>2B.0<m<2C.0<m<7D.2<m<7

【题型2:图像法确定一元二次方程的根】

10.小亮在利用二次函数的图象求方程加+6无+c=0（°9，a,b,c为常数）的一个解的范围时，为

精确到0.01,进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（）

X3.233.243.253.26

aj^+bx+c-0.06-0.020.030.09

A.3.25〈尤<3.26B.3.24<x<3.25

C.3.23<x<3.24D.3cx<3.23

11.抛物线y=$-2x+0.5如图所示，利用图象可得方程V-2x+0.5=0的近似解为—（精确到0.1）.

12.下表是一组二次函数y=f+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:

Xii.i1.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程/+3x-5=0的一个近似根是

【题型3：已知函数值y求X的取值范围】

13.如图为抛物线y=a/+6x+c的一部分，其对称轴为直线x=2,若其与x轴的一交点为8（6,0）,

则由图象可知，不等式以2+bx+c>0的解集是（

C.x<-2或x>6D.-2<x<6

14.如图，抛物线yuo^+fct+c（a,b,c为常数,且存0)交无轴于4(-2,0),B(4,0)两点,

A.-2cx<4B.2>x>-4C.x<-4或x>2D.尤<-2或x>4

15.二次函数＞=0^+法+。的部分图象如图所示，则关于x的不等式加+6x+cN2的解集是（)

A.x<2B.x<0C.-3W烂0D.烂-3或xNO

16.已知抛物线y^r+bx的对称轴为直线x=3,则关于x的不等式x2+bx<-8的取值范围是()

A.1vx<5B.2Vx<4C.0<x<6D.-l<x<7

17.二次函数＞=/+公+。（存0）的图象如图所示，则不等式加+灰+。＜0的解集是（）

C.-3<x<lD.尤<-3或x>l

18.二次函数y=/-2x-3.若y＞-3,则自变量x的取值范围是（）

A.xVO或%>2B.或%>3C.0<x<2D.l<x<3

【题型4：二次函数与不等式的关系】

19.在同一平面直角坐标系中，抛物线了［二・，+4>和直线以=2%的图象如图所示，则不等式%>及

20.如图，抛物线丁=加+。与直线y=mx+〃交于A(-1,p),B(3,q)两点，则不等式加-znx+c

>〃的解为()

A.x>-lB.x<3C.x<-1或x>3D.-l<x<3

21.如图，已知抛物线>=加+云+。与直线y=Ax+加交于A(-3,-1),B(0,3)两点.则关，于工

的不等式ax^+bx+c<kx-^m的解集是.

22.如图，直线尸％-1与抛物线尸炉-3x+2都经过点A(1,0)和5(3,2),则不等式

-3x+2的角星集是.

23.如图，已知二次函数V=办2+灰+。（存0）与一次函数丫2=履+优（原0）的图象交于点A（-1,3）,

2（4,2）.如图所示，则能使力C/成立的x的取值范围是,

【题型5:二次函数综合】

24.已知二次函数的表达式为yuLp+Zx+g.

22

①利用配方，将其化成y=a（x-/z）2+/的形式；

②求图象与两坐标轴交点的坐标；

③利用五点作图法，在图中画出图象；

尤

y

④观察图象，当X—时，y随尤的增大而减小；

⑤观察图象，当-3〈尤<0时，直接写出y的取值范围:

25.如图，抛物线>="2-2ox-3（cz>0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出抛物线的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）求位于x轴下方抛物线上，且到x轴距离为3的点的坐标.

26.已知二次函数>=加-3尤+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(-3,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)若在抛物线上存在点P,满足S“OP=3,求点P的坐标.

27.在平面直角坐标系中，二次函数y=o?+b尤+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与

y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的关系解析式；

(2)点尸是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使AACP面积最大？若存在，求出点

尸的坐标；若不存在，说明理由.

28.如图，抛物线>=加+6尤+c的对称轴为x=-1,抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C,

其中点A的坐标为(-3,0).

(1)求点B的坐标；

(2)若点P在抛物线上，。=1,且SAPOC=4SABOC，求点P的坐标.

y

29.如图，抛物线>=渥-4取+3（存0）的图象交直线/：y=L+l于A,B两点，与X轴的另一个交

2

点为C,与y轴交于点D

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接A。，BD,求AADB的面积；

（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E,使EA+E。的值最小，求点E的坐标.

71v

30.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=_/x2+3x与x轴交于。，A两点，过点A的直线y=—|>x+3

与y轴交于点C,交抛物线于点D

（1）直接写出点A,C,。的坐标；

（2）如图1,点8是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和5。，求△A8O面积的最

大值；

（3）如图2,若点〃在抛物线上，点N在x轴上，当以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边

形时，求点N的坐标.

Tv-

图1图2备用图

参考答案

【题型1：二次函数与X轴交点问题】

1.C

【解答】解：・・•二次函数尸区Mx-1的图象与X轴仅有一个公共点，

・••当y=0时，0=小+2；1-1,贝！J2i=22-4x左x(-1)=0,

解得，k=-1,

故选：C.

2.A

【解答】解：・・,二次函数产f-2x-根与X轴没有交点，

AA<0,BP4+4m<0,

.*.m<-L

/.m+KO,m-l<0,

一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限.

故选：A.

3.D

【解答】解：•・•二次函数>=<+云-2017的图象与l轴交于点A(xi，0)、B(x2,0)两点，

.*.X1+X2~-by

当x=xi+x2=-b时，y=(-。)2+/?e(-Z?)-2017=-2017,

故选：D.

4.B

【解答】解：二•经过A(2-3/7,m),B(4/?+c-1,相)两点的抛物线y=-/^+云_庐口。(尤为自

2

变量)与X轴有交点，

A2-3b+4b+c-l=-----A=Z?2-4x(-1)x(-Me)>0,

22X(-1)2

Z?2<4C,

(c+1)2<4C,

・•・(c-1)2<0,

Ac-1=0,

解得c=l,

.•.b=c+l=2,

：.AB=\(4b+c-1)-(2-3/7)|

=|4A+c-1-2+3。|

=|7H/-3|

=|7x2+l-3|

|14+1-3|

=12,

故选：B,

5.A

【解答】解：・・•二次函数y=f-2x-Z与X轴没有交点，

・•・△=(-2)2-4xlx(-k)<0,

解得：k<-1,

•••二次函数y=1+(Hl)x+上的对称轴为直线*=玛1〉0，

而△=(H1)2-4k=移-2左+1=(上一1)2,

当上V-1时，A>0,

函数y=f+(Hl)x+Z与冗轴有两个交点，且函数图象的开口向上，

・・・结合函数图象可得二次函数y=f+(>1)%+女的图象的顶点在第四象限.

故选：A.

6.A

【解答】解：①当根-3=0,即根=3时，y=-4x+2,

令y=0,贝!J-4x+2=0,

解得x=工，

2

...此时函数y=(m-3)/-4x+2的图象与x轴只有一个交点，

②当m-3邦时,

:二次函数y=(m-3)W-4x+2的图象与x轴只有一个交点，

:(-4)2-8(m-3)=0,

解得m=5.

综上所述，当图象与％轴有且只有一个交点时，加的值为3或5.

故选：A.

7.B

【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-3=1,

2a

而抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）,

所以方程ox2-2ox+c=0的解为：xi=-1,忿=3.

故选：B.

8.D

【解答】解:将抛物线y=-f+4尤-2向上平移m（机>0）个单位后得到y=-^+4x-2+m,

Vy=-炉+4『2+7"在-1<尤<4范围内与》轴只有一个交点，

...当（-1,0）在抛物线上时，

0=-1-4-2+m,

解得m=7；

当（4,0）在抛物线上时，

0=-16+16-2+加，

解得m=2；

A2<m<7.

故选：D.

【题型2:图像法确定一元二次方程的根】

9.D

【解答】解：因为％=1.8时，x2-x=1.44与1.4最接近，

所以一元二次方程/-％=1.4的一个近似解是1.8.

故选：D.

10.B

【解答】解：由表格可发现a^bx+c的值在-0.02与0.03之间最接近0,

即抛物线丁=加+云+。与x轴的交点在函数值在-0.02与0.03之间，

时,对应的x就是方程ax1+bx+c=0的解，

A3.24<x<3.25.

故选：B.

11.见试题解答内容

【解答】解：•・•抛物线y=d-2x+0.5与x轴的两个交点分别是（0.3,0）、（1.7,0）,

又「抛物线y=--2x+0.5与％轴的两个交点，就是方程--2%+0.5=0的两个根，

・•・方程X2-2x+0.5=0的两个近似根是1.7或0.3.

12.1.2.

【解答】解：观察表格得：方程，+3%-5=0的一个近似根为1.2.

故答案为：1.2.

【题型3：已知函数值y求X的取值范围】

13.D

【解答】解：・.•对称轴为直线％=2,

・・・抛物线与工轴的另一个交点A与8(6,0)关于直线x=2对轴,

AA(-2,0),

;不等式a^+bx+cX),

即y=ax1+bx+c>0,

工抛物线y=ax1^bx+c的图形在x轴上方，

-2<x<6.

故选：D.

14.D

【解答】解：由题意得：加+公+。=0的解为：冗=-2或冗=4,

.•./+旦什£=0的解为：％=-2或冗=4,

aa

.•・函数y=/+且什£与天轴的交点为：A(-2,0),B(4,0),

aa

不等式x2Bx/>0的解为：尤<一2或无>4,

aa

故选：D.

15.C

【解答】解：由图象可知函数的对称轴为直线尤=-3,

2

当％=0时，y=2,

・••当y=2时，冗=0或％=-3,

ax2+bx+c>2的解集是-3<x<0,

故选：C.

16.B

【解答】解：・・•抛物线>=/+以的对称轴为直线1=3,

-A=3,

2

:・b=-6,

.,.y=x2-6x,

令y=-8,则x2-6x=-8,

解得x=2或冗=4,

・•・抛物线与直线y=-8的交点为（2,-8）,（4,-8）,

Vy=x2-6x=（x-3）2-9,

・•・抛物线开口向上，函数有最小值为-9,

由图象可知，不等式x2-6x<-8的取值范围是2<xV4,

故选：B.

【解答】解：根据图象得二次函数丁=加+法+。（存0）的图象与x轴交点坐标为（-3,(1,0),

由图象可知当-3<%<1时，y<0,

故不等式af+bx+cVO的解集是-3<x<l.

故选：C.

18.A

【解答】解：・・•二次函数y=/-2x-3=（X-1）2-4,

・••该抛物线的开口向上，对称轴为直线X=1,

令x=0,则y=-3,

.♦.抛物线与y轴的交点是(0,-3),

...点(0,-3)关于对称轴的对称点为(2,-3),

...当y>-3时，自变量x的取值范围是尤<0或无>2.

故选：A.

【题型4：二次函数与不等式的关系】

19.B

【解答】解：；抛物线y「_x2+4x和直线、2=2x交点的横坐标为0和2,

；•不等式-f+4x>2x的解集为：0<x<2,

即不等式力>”的解集为：0<x<2,

故选：B.

20.C

【解答】解：:,抛物线与直线交于A(-1,p),B(3,q)两点，

二抛物线与直线y=-M+W交于(1,p),(-3,q)两点，

观察函数图象可知：当x<-3或无>1时，抛物线y=a/+c在直线y=-的上方,

；.加-mx+c>n

.,.ar2+c>/nx+〃的解集为尤<-1或x>3,

故选：C.

21.烂-3或x>0.

【解答】解：.抛物线yuaf+bx+c与直线y=fcv+/w交于A(-3,-1),B(0,3)两点,

不等式aj^+bx+c^kx+m的解集是烂-3或x>Q.

故答案为：烂-3或定0.

22.l<x<3.

【解答】解：直线y=x-1与抛物线3尤+2都经过点A(1,0)和B(3,2),

由图象得：不等式x-l>/-3x+2的解集是1〈尤<3.

故答案为：1<尤<3.

23.-l<x<4.

【解答】解：二•两函数图象的交点坐标为A(-1,3),B(4,2),

二能使为〈以成立的x的取值范围是-1〈尤<4.

故答案为：-l<x<4.

【题型5:二次函数综合】

2

24.®y=-y(x+2)—

②函数与x轴的交点是(-1,0),(-3,0),与y轴的交点是(0,旦)；

2

③见解析；

@<-2；

⑤总o-

2222

【解答］解：@y=Xr+2x+-1.=-l-(X+4X)(X+4X+4-4)(x+2)-^-

乙乙乙乙乙乙乙乙

函数的顶点式为尸/(x+2)2—

②把y=0代入y=^-x1+2x+—,

22

.*._kr2+2x+—=0,

22

解得：的=~L%2=-3,

・•・函数与x轴的交点是(-1,0),(-3,0),

把％=0代入y=-kx2+2x+A,

22

尸寺

...函数与y轴的交点是(0,3)，

2

答：函数与x轴的交点是(-1,0),(-3,0),与y轴的交点是(0,3),

③列表，得:

X-3-2-101

13

y004

描点，二次函数的图如下,

④由图象可知，当xV-2时，y随x的增大而减小.

⑤由图象可知，当-3<x<0时，y的取值范围是蒋<y<°.

25.(1)图象见解答;

(2)位于x轴下方抛物线上，且到x轴距离为3的点的坐标为(0,3)和(2,-3).

【解答】解：(1)如图，直线/为所作；

(2)令冗=0,贝!Jy=-3,

：.C(0,-3),

・••点。到x轴的距离为3,

•••对称轴为尤=-盘=1,

2a

；.C点关于对称轴x=l对称的点的坐标为(2,-3),

位于无轴下方抛物线上，且到x轴距离为3的点的坐标为(0,3)和(2,-3).

2

26.(1)y=-x-3x；(2)(-1,2),(-2,2),(..Z3+V17；_2),(士石1,-2).

22

【解答】解：(1)把(0,0)与(-3,0)代入得:fC=0,

l9a+9=0

解得：a=-1,c=0,

则抛物线解析式为y=-X2-3X.

(2),・工0=3,S”OP=3,

・二1》尸纵坐标I=2,即yp纵坐标=2或>尸纵坐标=-2,

把y=2代入抛物线解析式得：x=-1或-2,此时尸坐标为(-1,2),(-2,2)；

把y=-2代入抛物线解析式得：x=①或土叵，此时P坐标为(&叵，-2),

_222

「3尸一2).

2

27.⑴尸-2/-刍+2；⑵存在点P(-3,A),使△方C的面积最大.

3322

【解答】解：(1)•.,抛物线、=混+云+2过点A(-3,0),B(1,0),

.(0=9a~3b+2

I0=a+b+2

f2

-万

解得，，，

b=E

二次函数的关系解析式为y=-Nr2-当+2；

33

(2)存在.

..,如图1所示，设点尸坐标为(m,n),则〃=--4打卷.

33

连接产。，作PM_Lx轴于M,PN_Ly轴于N.

则PM=-Z/-A/n+2,PN=-m,AO=3.

33

当x=0时，y—--x0-邑x0+2=2,

33

OC=2,

S^PAC=SAMO+SAPCO-S^ACO

=1AO-PM+1.CO-PN-^AO-CO

222

=AX3X(--nr--m+2)+Ax2x(-m)-Ax3x2

23322

=-m2-3m,

,:a=-l<0,

**•函数S^PAC2-3m有最大值,

当m=-也=-3时，SAMC有最大值.

2a2

.".n=--—m+2=--x(-3)2-Ax(-W)+2=互

3332322

存在点P(-旦，$),使ABIC的面积最大.

【解答】解：(1)：对称轴为了=-1,A点坐标为(-3,0),

.•.8点坐标为(1,0)；

(2)由条件其对称轴为x=-1,即-旦=-1,

2a

当a=l时，代入可求得6=2,

/.抛物线为y—^+2x+c,

又：过8(1,0),代入可求得c=-3,

抛物线解析式为＞=r+2%-3,

；.C点坐标为(0,-3),

，OC=3,且02=1,

♦,.SABOC=」O2・OC=」X3X1=2，

222

SAPOC=4S&BOC=6，

设尸到y轴的距离为h,则以户0。=*"哨=垓Jz=6,解得h—4,

.,•尸点的横坐标为4或-4,

当x=4时，代入抛物线解析式可求得y=21,

当x=-4时，代入抛物线解析式可求得y=5,

二一点坐标为(4,21)或(-4,5).

29.⑴尸-X?+x+3；

(2)6；

(3)点E(2,2).

【解答】解：(1)对于y=L+l,令丫=_1%+1=0①，解得：x=-2,

22

即点A(-2,0),

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a+8a+3,解得：a=-1,

4

故抛物线的表达式为：y=-工f+x+3②；

4

(2)联立①②并解得：卜=-2或1x=4,

y=01y=3

则点B(4,3)；

设直线/交y轴于点则点8(0,1),由抛物线的表达式知，点。(0,3),

则DH=3-1=2,

则ZkAOB的面积MSADHA+SADHBM」XOHX(助-XA