苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第六章图形的相似（知识归纳+题型突破）

课标要求

1、掌握相似图形的概念、会判断相似图形，熟练掌握相似的判定与性质。

2、能应用相似的判定方法解决简单问题。

基础知识归纳

一、相似三角形的判定方法

（1）基本事实法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三

角形相似；

（2）两角对应相等，两三角形相似；

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（4）三边对应成比例，两三角形相似.

二、相似三角形的性质

相似三角形的周长比等于相似比

相似三角形的面积比等于相似比的平方

相似三角形对应高（中线、角平分线）的比等于相似比

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位

似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注意：

①位似是一■种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一■定是位

似图形；

②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

④位似比就是相似比.

（2）位似图形的主要特征是：①每对位似对应点与位似中心共线②不经过位似中心的对应线段平行.

题型一比例的性质

【例1】如果6加=7n（n中0）,那么下列比例式成立的是（）

m7mn「m6mn

A.一二一B.—=C.一二一D.—=—

6n76n767

,,,ace1的/古班/\

【例2】若7=-=r,则

baf3

A.-B.1C.1.5D.3

3

【例3】已知四条线段a、b、c、d满足？=4-则下列各式一定成立的是（）

ba

ad「ba—Qca+ba

A.-=-B.-=C.—D.------二一

cbcda+dc+bc+dc

巩固训练

1.若a:b=3:2,且/=QC，则6:c等于（)

A.4:3B.3:2C.2:3D.3:4

Y

2.若4尤=3y,贝IJ—=.

y

题型二比例尺

【例4】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm.那么上海到杭州的实际

距离是（）

A.17kmB.34kmC.170kmD.340km

【例5】A、8两地的实际距离至=250米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比

是.

巩固训练

3.某地图上lcm2面积表示实际面积900m2,则该地图的比例尺是（）

A.1:30B.1:3000C.1:900D.1:90000000

4.若在比例尺为1:1000000的地图上，测得两地的距离为1.5厘米，则这两地的实际距离是千

米

5.在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16c机，则实际

距离为—km.

题型三比例线段

【例6】下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是（）

A.苞=4,/?=3,c=5,d=*B.a=l,b=2,c=3,d=4

C.a=V2,b=3,c=2,d=\/3D.a=2,b=A/5,c=2^/3,d=^/15

【例7】已知线段。是线段A,。的比例中项，b=4cm,c=9cm,则。为（）cm.

A.36B.-36C.6D.-6

巩固训练

6.下列各组线段中，不成比例的是（)

A.30cm,20cm,90cm,60cmB.4cm,6cm,8cm,10cm

C.11cm,22cm,33cm,66cmD.2cm,4cm,4cm,8cm

7.线段c是线段a,b的比例中项，其中a=4,b=5,则c=

x2,x-y

8.(1)若一=£,则一=___________

V3y

(2)若.=2,则誓=___________；

45a—b

(3)若2%-5y=0,贝lj(3x+y):(4x-3y)=

题型四由平行判断成比例的线段

【例8】如图，在口48。中，AE^-AD,连接BE,交AC于点RAC=12,则AF为（）

A.3B.4C.4.2D.4.8

【例9】如图，在YABCD中，E,F,G依次是对角线8。上的四等分点，连结CG并延长交AD于点连

结并延长交8c于点"若MF=MC,MG=1,MH的长为（）

A.4B.6C.7D.8

巩固训练

9.已知M,N分别为上的两点，且MN//3c,4N:AC=4:5,若AB=10,则AM的长为（）

A.6B.7C.8D.9

10.如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4,DE=3,DE//BC,ZC=90°,将AAOE沿着AB

边向右平移，当点。落在2c上时，平移的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

11.如图，已知一组平行线a〃6〃c,被直线机、w所截，交点分别为A、B、C和。、E、F,且A8=3,BC

=4,EF=4.8,则的长为

题型五黄金分割

【例11】某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离

为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（）

A.4.14米B.2.56米C.6.70米D.3.82米

【例12】鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，点尸

是A3的黄金分割点（AP>3P）,若线段A3的长为6cm,则AP的长为（）

A

B

A.94-3)cmB.^3-A/5jcmC.(9-36^cmD.(^^5-ijcm

巩固训练

12.主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现在班级元旦晚会开始了，主持人

从讲台黄金分割点C走到另一个黄金分割点。，若讲台A3的长为（君+1）米，则8的长为（）米

A.（3-B.2C.1）D.-2）

13.若线段A3长为2cm,尸是A3的黄金分割点且上4>P3,则线段3P=cm.

14.已知点C是线段A3的黄金分割点，AC>BC,若AB=1,则AC的长为.

15.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即

车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618）,若车头与倒车镜的水平距离为L91m,则该车车身总长为m.

16.（1）点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP,AB=6厘米，求3P的长；

（2）已知点P是线段A3的黄金分割点，AB=y/5+l,求AP的值.

题型六相似图形性质

【例13］如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开后得到.矩形ABCD沿斯对开后，再把矩形EFCD

沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么F等于（）

AD

4开

对开M

8开

c.723-A/5

【例14】下列各组四边形中是相似多边形的是（）

A.一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形

B.有一个内角为30。的两个菱形

C.边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形

D.两个高相等的等腰梯形

【例15】两个相似多边形的面积之比为1:2,则它们的对应高之比为（）

A.1：72B.1:2C.1:4D.1:8

巩固训练

17.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个

多边形的最短边长为（）

A.6B.8C.10D.12

18.如图，将一张两边长分别为24cm和xcm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩

形和原矩形相似，则无的值为（）

19.下列各命题中，是真命题的是（

A.在RtZSABC与RtAD£F中，一—,RtZXABC^RtADEF

EF

B.底角都为45。的两个等腰梯形相似

C.一组邻边之比为g的两个平行四边形相似

D.有一个内角为100。的两个等腰三角形相似

题型七证明三角形相似（小题）

【例16］如图，在Rt~4BC中，ABAC=90°,AD1BC,垂足为，则图中相似三角形共有（）对.

A.（1）和（2）B.（2）和（3）C.（1）和（3）D.（1）和（2）和（3）

【例18］如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与△AB©相似的是（）

巩固训练

20.下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（）

A.都含有60。角B.都含有45。的角

C.都含有90。的角D.都含有120。的角

21.如图，四边形ABCD/四边形AB'C。'，则NA的度数是

22.在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成4cm,则

这次复印出来的图案的面积是cm2

23.一个多边形的边长分别为2,4,5,6,另一个与它相似的多边形的最长边长为24,则该多边形的最短

边长为.

24.若AABCSADEF,它们的面积比为9:4,则AABC与ADEF的周长之比为

题型八证明三角形相似（解答题）

【例19］如图，四边形ABCDs四边形GFEH,且NA=NG=70。，N3=60。，NE=120。，DC=24,HE=18,

HG=21.求ND,/F的大小和AD的长.

【例20】如图，点、C、。在线段A3上，APCD是等腰三角形，PC=PD,且“。户英心反求证:

VACP^VPDB

ABBCAC

【例21］已知：在A4BC和AAB'C'中,求证:AABC^AB'C.

ZB7-BV

【例22］如图，AD和跖都是AABC的高，相交于F点，连接DE.

B

(1)求证：ACAB~&CDE；

⑵若点。是BC的中点，CE=6cm,BE=8cm,则AB的长为.

巩固训练

25.如图，。是AC上一点，DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：7ABe"NDAE.

26.如图，在AABC和△DCB中，BA_LC4于A,CD_L8D于。，相交于点O,OB=OC,求证:

△ABCS&DCB.

BC

27.如图，D、E分别是AABC的边AB、AC上的点，AB=8,BD=5,AC=6,CE=2,求证：AAOESAACB.

28.如图，D,E分别为"，AC边上两点，且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6.求证：AADESAACB.

A

29.如图，在YA3CD中，E为A3边上一点，连接CE,尸为CE上一点，连接£）尸，S.ZDFE=ZA.求证:

△DCFsMEB.

题型九相似三角形的判定与性质综合

【例23］如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为I,则阴影部分AOCD的面积为（）

【例24］如图，及△48。的直角边4。=5,斜边AB=13,则BC=；它的内接正方形COE尸的边长

【例25］如图，在AABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为点，石是AC的中点，OE的延长线与BC的

延长线交于点F.

(1)求证：FD2=FCFB；

PF'AD

⑵求证:

BF--BD

巩固训练

30.有一块锐角三角形余料"RC,边8C为15cm,边上的高为12cm,现要把它分割成若干个邻边长

分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm

的边在3c上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

31.如图，梯形A3CD中，AD〃3C,AB=OC,点E是AZ）边上一点，点G在边。C上，射线EG交8C的

延长线于点尸，且=

9

(2)^AB=AD=3,AE=—,求的长.

AF)AF9

32.如图，AD//BC,AB,CD交于点E,点尸在AC边上，黑=普=：.

BCFC3

DA

⑴求证：EF//BC；

(2)若四边形AFED的面积为16,求AACD的面积.

题型十重心

【例26］如图，点G为AABC的重心，过点G作DE〃3C,分别交A3、AC于点。、E,则AABC与VADE

的周长之比为()

B

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

【例27］如图，点G为AABC的重心，连接CG,则以CDG：S&ABD=.

【例28］如图，在AABC中，AD是8c边上的中线，G是重心，GE//AC,交8C于点E,则3E:EC=

巩固训练

33.如图，在44BC中，。是BC的中点，点G是AABC的重心.AD=6,则AG=

34.如图，在AABC中，点G是“的重心，如果EG〃BC,那么△AEG与AABC的面积之比是

35.如图，在平面直角坐标系中，点3(-2,3),点C在x轴负半轴，O3=BC,点M为△O3C的重心，若

将△O3C绕着点。逆时针旋转90。，则旋转后三角形的重心的坐标为.

题型十一位似图形

【例29］如图.AMO三个顶点的坐标分别为4(4,-6)、3(6,0)、0(0,0),以原点为位似中心画一个三角形

^AB'O,使它与AABC位似，且位似比是2:1,则点A的对应点A的坐标是()

y

o

A.(2,-3)B.(&-12)或(—8,12)C.(2,-3)或(—2,3)D.(8,-12)

【例30］如图，与是位似图形，。是位似中心，点A、B、C的对应点分别为A、B'、C,

若AABC与AAB'C的面积之比为1:4,则CO:CO的值为(

C.1:4D.1:3

巩固训练

36.在平面直角坐标系中，有三个点0(0,0),A(3,4),8(4,0).以点。为位似中心，在第三象限内作与人。钻

的位似图形AOCD,位似比为:，则点C的坐标为____.

4

37.如图，AABC和QEF是以点。为位似中心的位似图形，相似比为2:3,则AABC和&DEF的面积比是—.

38.如图，在平面直角坐标系中，已知4(2,0),0(6,0),AABC与位似,原点。是位似中心.若DE=9,

则AB=

题型十二解决问题

【例31］如图,刻度尺的分度值为1mm.玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，AB正对“50”刻度线，/汨〃AB,

量得AB=10mm,则内径DE长为mm.