四边形综合篇（原卷版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训

专题08四边形综合

知识回顾

1.平行四边形的性质：

①边的性质：两组对边分别平行且相等。

②角的性质：对角相等，邻角互补。

③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。

④对称性：平行四边形是•个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。

⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。

2.平行四边形的判定：

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

VAB/7DC,AB=DC,二四边行ABCD是平行四边形

②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。

符号语言：：AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,二四边行ABCD是平行四边形.

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

VZABC=ZADC,ZDAB=ZDCB,二四边行ABCD是平行四边形

④对角线相互平行的四边形是平行四边形。

EIOA=OC,OB=OD,回四边行ABCD是平行四边形

3.矩形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直

线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4.矩形的判定：

（1）直接判定：

有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

（2）利用平行四边形判定：

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

5.菱形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线

所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面

积。

6.菱形的判定：

（1）直接判定：

四条边都相等的四边形是菱形。

几何语言：VAB=BC=CD=DA,，四边形ABCD是菱形

（2）利用平行四边形判定：

①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。

②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

7.正方形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组

对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，

过每一组对边中点的直线也是对称轴。

8.正方形的判定：

（1）利用平行四边形判定：

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）

（2）利用菱形与矩形判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

9.中点四边形的判定：

①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）

③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）

④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）

专题练习

1.如图，在平行四边形ABC。中，点。是的中点，连接80并延

BJC

长交CD的延长线于点E,连接8。，AE.

(1)求证：四边形ABOE是平行四边形；

(2)若BD=CD,判断四边形ABOE的形状，并说明理由.

2.如图，在EL48CQ中，点、E、P在对角线8D上，MBE=DF.

求证：(1)AABE^ACDF；

(2)四边形AECF是平行四边形.

3.如图，在四边形ABOF中，点E,C为对角线3尸上的两点，AB=DF,AC=DE,EB=CF.连接AE,

CD.

(1)求证：四边形A3。尸是平行四边形;

D

(2)若AE=AC,求证：AB=DB.

4.如图，8。是平行四边形ABCQ的对角线，BF平分/DBC,交于点?

（1）请用尺规作的角平分线。E,交于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；

（2）根据图形猜想四边形。防尸为平行四边形.

请将下面的证明过程补充完整.y-

证明：•••四边形A8CD是平行四边形，//

J.AD//BC./―

：.AADB=A.（两直线平行，内错角相等）

又•.,£）£平分乙4。3,BF平分NDBC,

111

ZEDB=-ZADB,ZDBF=-'ZDBC.

222

NEDB=ZDBF.

：.DE//.（）（填推理的依据）

又：四边形ABCD是平行四边形.

C.BE//DF.

四边形。匹F为平行四边形（）（填推理的依据）.

5.如图，在四边形A2CZ）中，AB//CD,AC平分/D4B,AB^2CD,E为A3中点，连结CE.

（1）求证：四边形AECO为菱形；D_______c

（2）若40=120°,DC=2,求△ABC的面积.//\

AEB

6.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中点，E是AO的中点，过点4作A/〃8c交CE的延长线

于点?

(1)求证：四边形AZJ8尸是菱形；

(2)若AB=8,菱形AO3F的面积为40.求AC的长.

7.如图，在平行四边形A8CD中，连接8。，E为线段的中点，延长BE与。的延长线交于点尸，连

接ARNBDF=90°.

(1)求证：四边形A3。尸是矩形;

C

B

(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.

8.如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=243cm,过点。作BC的垂线，交8c的延长线于点从点

厂从点2出发沿BD方向以2cMs向点。匀速运动，同时，点E从点X出发沿方向以Icwi/s向点。

匀速运动.设点E,尸的运动时间为r(单位：s),且0</<3,过/作PGLBC于点G,连结EE

(1)求证：四边形EFG”是矩形；

(2)连结FC,EC,点、F,E在运动过程中，ABFC与ADCE是否

能够全等？若能，求出此时/的值；若不能，请说明理由.

9.小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如图，在回ABC。中，AN为

8C边上的高，——=w，点M在AD边上，且8A点E是线段AM上任意一点，连接BE,将4

AN

ABE沿BE翻折得△F8E.

(1)问题解决：如图①，当/54。=60°,将沿BE翻折后，使点尸与点M重合，则；

AN

(2)问题探究：

如图②，当/氏4。=45°,将△A2E沿BE翻折后，使班7/BM,求NA8E的度数，并求出此时机的最

小值；

(3)拓展延伸:

当NA4D=30°,将△ABE沿BE翻折后，EF1AD,S.AE^MD,根据题意在备用图中画出图形，并

求出m的值.

10.如图，在四边形A3C。中，AB〃CD,点E,尸在对角线8。上，BE=EF=FD,ZBAF=ZDCE=90°.

(1)求证：AABF畛LCDE；

(2)连接AE,CF,已知①(从以下两个条件中选择一个作为已知，填

C

写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.

条件①：ZAB£）=30°；

条件②：AB=BC.

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

11.下面图片是八年级教科书中的一道题.

如图，四边形ABC。是正方形，点£是边2C的中点，ZA£F=90°,且所交正方形外角的平分线CP

于点尸.求证AE=EF.（提示：取AB的中点G,连接EG.）

(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件:

(2)如图1,若点E是8C边上任意一点（不与8、C重合），其他条件不变.求证：AE=EF；

(3)在（2）的条件下，连接AC,过点E作垂足为P.

设——=k,当上为何值时，四边形EC/P是平行四边形，并给予证明.

BC

图1备用图

12.已知△ABC是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接A。，CD.

（1）求证：四边形ABC。是菱形;

（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD将线段尸。绕点P逆时针旋转，使点。落在8A

QAB

延长线上的点。处.请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说

明理由.

(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.

13.在菱形ABC。和正三角形中，60°,P是。尸的中点，连接PG、PC.

(1)如图1,当点G在BC边上时，写出尸G与尸C的数量关系.(不必证明)

(2)如图2,当点尸在A3的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证

明；

(3)如图3,当点尸在的延长线上时，线段尸C、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证

明).

14.已知/ABN=90°,在/A8N内部作等腰△ABC,AB=AC,ZBAC^a(0°<aW9