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文档简介
双角平分线模型与角n等分线
模型解读与提分精练
对于刚接触几何的七年级学生来说,关于角的计算是有很大难度的,这就要求学生面对这类题时具有
一定的思路,知道大概的思考方向。一般来讲,这类题通常由问题出发,先由角的和差确定解题方向,然
后辅以角平分线来解决。但是,对于有公共部分的双角平分线模型,可以写出角的和差种类较多,这就增
加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论,那就可以快速选取正确的角的和差,迅速解题,如果是填空选择,则可
以直接口算出答案。总之,基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案,又可以为大题的解决确立方向。
例题讲模型]
模型1.双角平分线模型与角n等分线模型
模型解读
双角平分线模型:共顶点的三条射线组成的三个角中(两角共一边),已知任意两个角的平分线,求角平分
线夹角。
下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程,推导过程是需要掌握的,也并不难推,同学们自己尝试着
推导一遍,再去记结论,印象会更加深刻。
模型证明
图4
1)双角平分线模型(两个角无公共部分)
条件:如图1,已知:OD、0E分别平分//。2、NBOC;
结论:ZDOE=-ZAOC-
2
证明:,:OD、。£分另lj平分ZBOC,:.ZDOB=-ZAOB>NBOE’NBOC,
22
.1111
••ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC,•,NDOE=-ZAOC。
2222
2)双角平分线模型(两个角有公共部分)
条件:如图1,已知:OD、0E分别平分//。2、NBOC;
结论:ZDOE=-ZAOC°
2
证明::0D、分另I」平分ZBOC,ZDOB=-ZAOB>ZBOE=-ZBOC>
22
.1111
••ZBOE-ZDOB=-ZBOC——ZAOB=-ZAOC>-ZDOE=一N/OC。
2222
3)拓展模型:双角平分线模型(三个角围成一个周角)
条件:如图3,已知NNO8+N3OC+/NOC=360。,O/平分//OC、OP]平分乙BOC;
结论:ZI^OP,=180°-^ZAOB°
证明:•.•。/平分N/OC、O尸2平分/30C,;•NqOC=;NNOC,NP10c=;NBOC,
,/ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,/.ZBOC+ZAOC=360°-ZAOB,
ZP,OP2=APflC-AP2OC=^ZAOC+^ZBOC=^(ZAOC+ZBOC)=180°-^ZAOB■>
4)角〃等分线模型
条件:如图,NAOBuaQA、。4分别是和NMO3的平分线,O&06分别是和NMO4
9
的平分线,OA3.。骂分别是乙你"和的平分线,…,。4,。4分别是』4-。河和的平
分线;结论:.
证明:•.•N/O8=(z,。4、。耳分别是和/"。2的平分线,
:.NAQM==NAOM,/BQM==NBOM,//。瓦=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,
22222
•••0A2、0B2分另I]是ZAfiM和ZMOBt的平分线,NA20M=;ZAtOM,4B20M=14BQM,
ZA2OB2=:(N4(W+/B1OM)=g/40Bi=^-x^-ZAOB=养,
。层分别是和的平分线,Z
/4(W/MC%ZA3OM=^ZA2OM,ZB3OM=152OM,
ZA3OB3=-(ZA2OM+ZB2OM)^-AA2OB2=乌,...,
22222222
ty
由此规律得:AAnOB=—o
模型运用
例1.(2023秋•重庆•七年级校联考期末)如图,ZAOB=90°,ZEOF=60°,OE平分/AOB,。尸平分
ZBOC.则//OC的度数为.
例2.(2023秋•河北唐山•七年级统考期末)如图,。。是的平分线,。。是//OC的平分线,且
ZCOD=25°.(1)求的度数;(2)若直接写出的度数.
OB
例3.(2023春•黑龙江大庆•七年级校考期末)如图,O”是/Z08的平分线,射线OC在内部,ON
是/80C的平分线,已知乙4。。=80。,那么NMON的大小等于一°.
例4.(2023秋・湖北武汉•七年级统考期末)如图,08是/4OC内部一条射线,是的平分线,
ON是//OC的平分线,O尸是NNCM的平分线,。。是的平分线,则NPOQ:N8OC=.
例5.(2023・河南•七年级校联考期末)如图,ZAOB=aQ4、客分别是和4/。8的平分线,
。4、%分别是和NMO4的平分线,侬分别是/40河和/九/°旦的平分线,…,OAn,OBn
例6.(2024•山西太原•七年级统考期末)图,ZAOC=ZBOD=90°,在NNOC的内部,OC在/8。。的
内部,OE是N/02的一条三等分线.请从/,2两题中任选一题作答.
A.当/2OC=30。时,/EOD的度数为.
B.当N8OC=a。时,的度数为(用含a的代数式表示).
flC
O
例7.(2023秋•重庆万州•七年级统考期末)平面内,403=140。,C为内部一点,射线0M平分
ZAOC,射找ON平分/30C,射线0D平分NMON,当|//OC-2/COD=30。时,求//OC的度数?
例8.(2024•河南商丘•七年级统考期末)综合与探究:如图1,在的内部画射线OC,射线。C把4405
分成两个角,分别为N/OC和ZBOC,若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍,则称射线OC为/AOB
的“3等分线”.(1)若44。8=90。,射线。C为4492的“3等分线”,则//OC的度数为.
(2)如图2,已知乙408=60。,过点。在外部作射线。尸.若。4。尸,。8三条射线中,一条射线恰好
是以另外两条射线为角的“3等分线”,求N/O尸的度数(乙4OPW180。).
习题练模型
1.(2023春•山东荷泽•七年级统考期末)如图,OE平分/ZOC,OD平分/BOC,ZAOB=80°,
Zl=15°,Z2=()
A.25°B.30°C.40°D.50°
2.(2023秋・广东七年级月考)如图,射线。。平分NPOR,平分/0OS,有以下结论:①
ZPOQ=ZQOR=ZROS-②NPOR=NQOS;®ZPOR=2ZROS;④NROS=2NPOQ.其中正确的有
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
3.(2023吉林七年级上学期期末数学试题)如图,射线OC、0。把平角三等分,OE平分/AOC,
OF平分NBOD,下列说法正确的是()
A.图中只有两个120。的角B.图中只有是直角
C.图中N/OC的补角有3个D.图中N/OE的余角有2个
4.(2023秋•广东梅州•七年级校考阶段练习)已知N/O2=50。,由定点。引一条射线,使得4OC=30。,
OM、ON分别是和48OC的平分线,贝度.
5.(2023秋•安徽六安•七年级校考期末)如图,已知03、OC是440。内部的两条射线,平分4/05,
ON平分乙COD,①若/8OC=40。,NMON=80°,则N/OD的度数为度;②若//OD=x。,
ZMON=80°,则/BOC的度数为度(用含x的代数式表示).
6.(2023•北京西城•七年级校考开学考试)如图,OB,0c分别是NZOC,的三等分线,若
ZAOB=17°15',则NCOD的度数为
7.(2023春・天津滨海新•七年级校考期中)如图,。为直线上一点,ZCOD=90°,OE平分/4OC,
0G平分/80C,OF平济/BOD,下列结论:①/EOG=90。;②/。。石与/BO尸互补;
③/NOC-480。=90。;④/DOG=;N/OC.请你把所有正确结论的序号填写在横线上____.
8.(2023・天津•七年级统考期末)如图,已知O为直线AB上的点,OC在/BOD内,ZDOC:ZCOB=2:
3,OE平分/AOD,ZEOC=78°,求/BOD的度数.
DC
E.
B
9.(2023秋・陕西咸阳•七年级统考期末)已知:如图,0。平分//OC,OE平分/COB.若
ZDOB=80°,ZDOE=60°,求/。。”的度数.
10.(2023秋・山东临沂•七年级统考期末)(1)如图1,为直角,ZAOC=60°,且平分/80C,
ON平分//OC,求NMON的度数.(2)如图2,ZAOB=40°,ZAOC=56°,且平分N80C,ON
因为44OC=60。,平分/50C,所以/=-ZBOC=
2
因为N/OC=60。,ON平分N/OC,所以/=-ZAOC=
2
所以NMON=<
(2)AMON=<
12.(2023・广东江门•七年级期末)如图,08是44OD的角平分线,0。是48OE的角平分线,OC是/BOD
的角平分线,N/OE=60。,求/30C.
------------C
D
E
13.(2023秋•河南平顶山•七年级统考期末)如图,是//OC的平分线,ON是430C的平分线.
(1)如图1,当是直角.N2OC=60。时,NMON的度数是多少?(2)如图2,当N4OB=a,ZBOC=60°
时,猜想NMON与a的数量关系,并说明理由;(3)如图3,当/AOB=a,N8OC=£时,猜想:AMON
与£、夕有数量关系吗?如果有,写出结论并说明理由.
14.(2023・河北保定•七年级统考期末)问题情境:OC是一条射线,OM、ON分别是/40C和/5。。的
角平分线.①当是直角,/8。。=40。,射线。。在的内部时,我们可以发现NMCW的度数
是—;②当是直角,/2。。=〃(0°<[<90。),射线0c在的内部时,NMON的度数是
探索发现:OM、ON分别是N/OC和Z8OC的角平分线,当射线。C在/的外面时.
①若是直角,ABOC=20°,求出乙WON的大小;
②若是直角,/5OC=a°((T<a<90。),写出NMON的度数;
数学思考:OM、ON分别是/4OC和ZBOC的角平分线,若/Z08的度数是夕,/BOC=a(00<a<90。
直接写出NMON的度数.(用含外力的代数式表示)
15.(23-24七年级上•河南郑州•期末)我们学习了“角平分线”的定义,知道角平分线在角的计算中有着非常
重要的作用,请根据所学知识进行下列探究:
已知,ZAOC=120°,ZBOD=60°,OM,ON分别平分ZAOD和NBOC.
(1)如图①,OC,在同一直线上,则;
(2)如图②,在//OC内部,且/。。。=10。,则NMCW=;
⑶若将(2)中/COD=10。改为/COD=a,其他条件不变,请求出/MON的度数.
16.(23-24七年级上•山东枣庄•期末)数学课上,老师给出了如下问题:
如图1,乙4。3=120。。。平分/4。8,若/COD=20。,请你补全图形,并求出乙BOD的度数.
(1)以下是小刚的解答过程,请你将解答过程补充完整:
解:如图2,因为//。8=120。,。。平分//。8,
所以NBOC=AAOB=(角平分线的定义).
因为/COD=20。,
所以NBOD=.
(2)小戴说:“我觉得小刚的解法不完整,这道题应该有两种情况.”根据小戴的想法,请你在图1中画出另
一种情况对应的图形,并求出这种情况下480。的度数.
17.(23-24七年级上•四川成都・期末)若同一平面内三条射线04OB、0c有公共端点,且满足
乙=时,我们称。。是(。4OB)的“新风尚线”,但。。不是QOB,0A)的“新风尚线”.如
果ZAOC=1Z5OC或者ZBOC=^ZAOC,我们称OC是04和OB的“新风尚线”.
图⑴图(2)
⑴如图(1),已知NGCW=120。,AMON=60°,0E、。尸是NMON的三等分线,则射线—是〈OM,ON)
的“新风尚线”;⑵如图(2),若4OB=30。,OC是(。4OB)的“新风尚线”,求
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