双角平分线模型与角n等分线模型解读与提分训练（原卷版）-2024-2025学年七年级数学上册

双角平分线模型与角n等分线

模型解读与提分精练

对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有

一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然

后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增

加了思考的难度。

如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可

以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。

例题讲模型］

模型1.双角平分线模型与角n等分线模型

模型解读

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。

下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着

推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

图4

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、0E分别平分//。2、NBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC-

2

证明：，：OD、。£分另lj平分ZBOC,：.ZDOB=-ZAOB>NBOE’NBOC，

22

.1111

••ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC，•,NDOE=-ZAOC。

2222

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：OD、0E分别平分//。2、NBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC°

2

证明：：0D、分另I」平分ZBOC,ZDOB=-ZAOB>ZBOE=-ZBOC>

22

.1111

••ZBOE-ZDOB=-ZBOC——ZAOB=-ZAOC>­-ZDOE=一N/OC。

2222

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,已知NNO8+N3OC+/NOC=360。，O/平分//OC、OP］平分乙BOC；

结论：ZI^OP,=180°-^ZAOB°

证明：•.•。/平分N/OC、O尸2平分/30C，；•NqOC=；NNOC，NP10c=；NBOC，

,/ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,/.ZBOC+ZAOC=360°-ZAOB,

ZP,OP2=APflC-AP2OC=^ZAOC+^ZBOC=^(ZAOC+ZBOC)=180°-^ZAOB■>

4）角〃等分线模型

条件：如图，NAOBuaQA、。4分别是和NMO3的平分线，O&06分别是和NMO4

9

的平分线，OA3.。骂分别是乙你"和的平分线，…，。4，。4分别是』4-。河和的平

分线；结论：.

证明：•.•N/O8=(z,。4、。耳分别是和/"。2的平分线，

:.NAQM==NAOM,/BQM==NBOM,//。瓦=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

22222

•••0A2、0B2分另I］是ZAfiM和ZMOBt的平分线,NA20M=；ZAtOM,4B20M=14BQM,

ZA2OB2=：(N4(W+/B1OM)=g/40Bi=^-x^-ZAOB=养，

。层分别是和的平分线，Z

/4(W/MC%ZA3OM=^ZA2OM,ZB3OM=152OM,

ZA3OB3=-(ZA2OM+ZB2OM)^-AA2OB2=乌，...,

22222222

ty

由此规律得：AAnOB=—o

模型运用

例1.（2023秋•重庆•七年级校联考期末）如图，ZAOB=90°,ZEOF=60°,OE平分/AOB,。尸平分

ZBOC.则//OC的度数为.

例2.（2023秋•河北唐山•七年级统考期末）如图，。。是的平分线，。。是//OC的平分线，且

ZCOD=25°.（1）求的度数；（2）若直接写出的度数.

OB

例3.（2023春•黑龙江大庆•七年级校考期末）如图，O”是/Z08的平分线，射线OC在内部，ON

是/80C的平分线，已知乙4。。=80。，那么NMON的大小等于一°.

例4.（2023秋・湖北武汉•七年级统考期末）如图，08是/4OC内部一条射线，是的平分线,

ON是//OC的平分线，O尸是NNCM的平分线，。。是的平分线，则NPOQ:N8OC=.

例5.（2023・河南•七年级校联考期末）如图，ZAOB=aQ4、客分别是和4/。8的平分线,

。4、%分别是和NMO4的平分线，侬分别是/40河和/九/°旦的平分线，…，OAn,OBn

例6.（2024•山西太原•七年级统考期末）图，ZAOC=ZBOD=90°,在NNOC的内部，OC在/8。。的

内部，OE是N/02的一条三等分线.请从/,2两题中任选一题作答.

A.当/2OC=30。时，/EOD的度数为.

B.当N8OC=a。时，的度数为（用含a的代数式表示）.

flC

O

例7.（2023秋•重庆万州•七年级统考期末）平面内，403=140。，C为内部一点，射线0M平分

ZAOC,射找ON平分/30C,射线0D平分NMON,当|//OC-2/COD=30。时，求//OC的度数？

例8.（2024•河南商丘•七年级统考期末）综合与探究:如图1，在的内部画射线OC,射线。C把4405

分成两个角，分别为N/OC和ZBOC,若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍,则称射线OC为/AOB

的“3等分线”.（1）若44。8=90。，射线。C为4492的“3等分线”，则//OC的度数为.

（2）如图2,已知乙408=60。，过点。在外部作射线。尸.若。4。尸,。8三条射线中，一条射线恰好

是以另外两条射线为角的“3等分线”，求N/O尸的度数（乙4OPW180。）.

习题练模型

1.（2023春•山东荷泽•七年级统考期末）如图，OE平分/ZOC,OD平分/BOC,ZAOB=80°,

Zl=15°,Z2=()

A.25°B.30°C.40°D.50°

2.(2023秋・广东七年级月考)如图，射线。。平分NPOR,平分/0OS,有以下结论：①

ZPOQ=ZQOR=ZROS-②NPOR=NQOS；®ZPOR=2ZROS；④NROS=2NPOQ.其中正确的有

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

3.（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、0。把平角三等分，OE平分/AOC,

OF平分NBOD,下列说法正确的是（）

A.图中只有两个120。的角B.图中只有是直角

C.图中N/OC的补角有3个D.图中N/OE的余角有2个

4.（2023秋•广东梅州•七年级校考阶段练习）已知N/O2=50。，由定点。引一条射线，使得4OC=30。,

OM、ON分别是和48OC的平分线，贝度.

5.（2023秋•安徽六安•七年级校考期末）如图，已知03、OC是440。内部的两条射线，平分4/05,

ON平分乙COD,①若/8OC=40。，NMON=80°,则N/OD的度数为度；②若//OD=x。,

ZMON=80°,则/BOC的度数为度（用含x的代数式表示）.

6.（2023•北京西城•七年级校考开学考试）如图，OB,0c分别是NZOC,的三等分线，若

ZAOB=17°15',则NCOD的度数为

7.（2023春・天津滨海新•七年级校考期中）如图，。为直线上一点，ZCOD=90°,OE平分/4OC,

0G平分/80C,OF平济/BOD,下列结论：①/EOG=90。；②/。。石与/BO尸互补；

③/NOC-480。=90。；④/DOG=；N/OC.请你把所有正确结论的序号填写在横线上____.

8.（2023・天津•七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上的点，OC在/BOD内，ZDOC：ZCOB=2：

3,OE平分/AOD,ZEOC=78°,求/BOD的度数.

DC

E.

B

9.（2023秋・陕西咸阳•七年级统考期末）已知：如图，0。平分//OC,OE平分/COB.若

ZDOB=80°,ZDOE=60°,求/。。”的度数.

10.（2023秋・山东临沂•七年级统考期末）（1）如图1,为直角，ZAOC=60°,且平分/80C,

ON平分//OC,求NMON的度数.（2）如图2,ZAOB=40°,ZAOC=56°,且平分N80C,ON

因为44OC=60。，平分/50C,所以/=-ZBOC=

2

因为N/OC=60。，ON平分N/OC,所以/=-ZAOC=

2

所以NMON=<

(2)AMON=<

12.（2023・广东江门•七年级期末）如图，08是44OD的角平分线，0。是48OE的角平分线，OC是/BOD

的角平分线，N/OE=60。，求/30C.

------------C

D

E

13.（2023秋•河南平顶山•七年级统考期末）如图，是//OC的平分线，ON是430C的平分线.

（1）如图1,当是直角.N2OC=60。时，NMON的度数是多少？（2）如图2,当N4OB=a,ZBOC=60°

时，猜想NMON与a的数量关系，并说明理由；（3）如图3,当/AOB=a,N8OC=£时，猜想：AMON

与£、夕有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由.

14.（2023・河北保定•七年级统考期末）问题情境：OC是一条射线，OM、ON分别是/40C和/5。。的

角平分线.①当是直角，/8。。=40。，射线。。在的内部时，我们可以发现NMCW的度数

是—；②当是直角，/2。。=〃（0°<[<90。），射线0c在的内部时，NMON的度数是

探索发现：OM、ON分别是N/OC和Z8OC的角平分线，当射线。C在/的外面时.

①若是直角，ABOC=20°,求出乙WON的大小；

②若是直角，/5OC=a°（（T<a<90。），写出NMON的度数;

数学思考：OM、ON分别是/4OC和ZBOC的角平分线，若/Z08的度数是夕,/BOC=a（00<a<90。

直接写出NMON的度数.(用含外力的代数式表示)

15.(23-24七年级上•河南郑州•期末)我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常

重要的作用，请根据所学知识进行下列探究：

已知,ZAOC=120°,ZBOD=60°,OM,ON分别平分ZAOD和NBOC.

(1)如图①，OC,在同一直线上，则；

(2)如图②，在//OC内部，且/。。。=10。，则NMCW=；

⑶若将(2)中/COD=10。改为/COD=a,其他条件不变，请求出/MON的度数.

16.(23-24七年级上•山东枣庄•期末)数学课上，老师给出了如下问题:

如图1,乙4。3=120。。。平分/4。8,若/COD=20。，请你补全图形，并求出乙BOD的度数.

(1)以下是小刚的解答过程，请你将解答过程补充完整：

解:如图2,因为//。8=120。,。。平分//。8,

所以NBOC=AAOB=(角平分线的定义).

因为/COD=20。，

所以NBOD=.

(2)小戴说：“我觉得小刚的解法不完整，这道题应该有两种情况.”根据小戴的想法，请你在图1中画出另

一种情况对应的图形，并求出这种情况下480。的度数.

17.（23-24七年级上•四川成都・期末）若同一平面内三条射线04OB、0c有公共端点，且满足

乙=时，我们称。。是（。4OB）的“新风尚线”，但。。不是QOB,0A）的“新风尚线”.如

果ZAOC=1Z5OC或者ZBOC=^ZAOC,我们称OC是04和OB的“新风尚线”.

图⑴图(2)

⑴如图（1）,已知NGCW=120。，AMON=60°,0E、。尸是NMON的三等分线，则射线—是〈OM,ON）

的“新风尚线”；⑵如图（2）,若4OB=30。,OC是（。4OB）的“新风尚线”，求