天体运动-2025高考物理热点题型讲义

专题10天体运动

目录

题型一开普勒定律的应用........................................................................1

题型二万有引力定律的理解.....................................................................3

类型1万有引力定律的理解和简单计算.......................................................8

类型2不同天体表面引力的比较与计算......................................................10

类型3重力和万有引力的关系...............................................................10

类型4地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算........................................12

题型三天体质量和密度的计算..................................................................16

类型1利用“重力加速度法”计算天体质量和密度..............................................20

类型2利用“环绕法”计算天体质量和密度....................................................27

类型3利用椭圆轨道求质量与密度..........................................................33

题型四卫星运行参量的分析....................................................................36

类型1卫星运行参量与轨道半径的关系.....................................................36

类型2同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较.............................................38

类型3宇宙速度...........................................................................47

题型五卫星的变轨和对接问题..................................................................52

类型1卫星变轨问题中各物理量的比较......................................................53

类型2卫星的对接问题.....................................................................56

题型六天体的“追及”问题.......................................................................61

题型七星球稳定自转的临界问题................................................................69

题型八双星或多星模型.........................................................................73

类型1双星问题..........................................................................74

类型2三星问题...........................................................................80

类型4四星问题...........................................................................86

题型一开普勒定律的应用

【解题指导】1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理.

2.由开普勒第二定律可得1八/1n=1八/2尸2,-vrAt-n=-V2'AtT2f解得即行星在两个位

2222V2n

置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小.

3.开普勒第三定律"=人中'后值只与中心天体的质量有关’不同的中心天体人值不同'且

该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.

【例1】（2024•浙江•高考真题）与地球公转轨道"外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公

转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R,

小行星甲的远日点到太阳的距离为川，小行星乙的近日点到太阳的距离为此，则（）

A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度

B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度

小行星甲与乙的运行周期之比§=J冬

C.

l

2VA2

D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比7

,2

【答案】D

【详解】A.根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误;

B.根据

GMm

=ma

R2

小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误;

C.根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比

故C错误；

D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比

故D正确。

故选Do

【变式演练1】（2024•山东•高考真题）"鹊桥二号"中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨

道的半长轴为。。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为（

【答案】D

【详解】"鹊桥二号"中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律

a3

--=K

T-

同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律

又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以

乂同=k

%k'

联立可得

也=4

M地,

故选Do

【变式演练2】.（2024•安徽•高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中

继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进

入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨

道运行，轨道的半长轴约为9900km,周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（）

近月点

A.周期约为144h

B.近月点的速度大于远月点的速度

C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度

D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度

【答案】B

【详解】A.冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得

质=充

整理得

A错误；

B.根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；

C.近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻

结轨道运行时近月点的速度，c错误；

D.两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在

冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。

故选B„

【变式演练3】.北京时间2024年1月5日19时20分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一

号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座15-18星（以下简称天目星）发射升空，天目星顺

利进入预定轨道，至此天目一号气象星座阶段组网完毕。天目星的发射变轨过程可简化为如

图所示，先将天目星发射到距地面高度为小的圆形轨道I上，在天目星经过/点时点火实

施变轨进入椭圆轨道IL最后在椭圆轨道的远地点3点再次点火将天目星送入距地面高度为

心的圆形轨道川上，设地球半径为凡地球表面重力加速度为g,则天目星沿椭圆轨道从工

点运动到3点的时间为（）

【答案】B

【详解】根据万有引力与重力的关系

GR=mg

在圆形轨道I上，根据万有引力提供向心力

cMm4乃2,、

G-----------7=777—5-(7?+/?,)

(火+4)2邛"

椭圆轨道II的半长轴为

2R+%+质

"一2

根据开普勒第三定律

（及+砧3

解得天目星沿椭圆轨道II的周期为

£1九+为+2©3

前2g

天目星沿椭圆轨道从/点运动到B点的时间为

i_Tn+4+2娱

22~2R\2g

故选Bo

【变式演练4】地球同步卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道I上运动，

在点A时点火变轨进入椭圆轨道ii,到达轨道的远地点B时，再次点火进入同步轨道m绕

地球做匀速圆周运动。已知地球半径为凡同步卫星轨道半径为r,设卫星质量保持不变，

下列说法中不正确的是（）

III''----.

p3

A.卫星在轨道I上和轨道III上的运动周期之比为「

r

B.卫星在轨道i上和轨道n上的运动周期之比为Z—7

C.卫星在轨道I上和轨道III上运动的动能之比2

D.卫星在轨道II上运动经过/点和3点的速度之比为£

R

【答案】A

【详解】AB.由开普勒第三定律.=左可得，卫星在轨道I上和轨道III上的运动周期之比

为

丸=眩

3

TmV

卫星在轨道I上和轨道n上的运动周期之比为

3

1

Tx_R

A错误，符合题意，B正确，不符合题意；

c.由万有引力提供向心力，卫星在轨道I上可得

^Mmv；

(J—z-=m——

R2R

在轨道ill上可得

Mmv

G-—=m-in^

rr

则有卫星在轨道I上和轨道皿上运动的动能之比为

%二一

“kinR

C正确，不符合题意；

D.设卫星在轨道II上运动经过/点的速度为W，在2点的速度为%,由开普勒第二定律可

得

=-rvB

解得经过4点和B点的速度之比为

Y±=L

VBR

D正确，不符合题意。

故选A。

题型二万有引力定律的理解

【解题指导】L万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力尸表现为两个效果：一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心

力尸向。

（1）在赤道上：+mco-R0

（2）在两极上：嘘生=心80。

（3）在一般位置：万有引力G*3等于重力加g与向心力歹向的矢量和。

越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近

似等于重力，即咋詈=Mg。

2.星球上空的重力加速度g，

星球上空距离星体中心+〃处的重力加速度，，加戈=黑2,得g=2,

所以g=（R+?,

g'R2

类型1万有引力定律的理解和简单计算

【例1（2023•全国•高三专题练习）有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有

类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强。由此可得，质量

为小的质点在质量为M的物体处（二者间距为厂）的引力场场强的表达式为（引力常量用G

表示）（）

「M_m^m

A.G-YB.G-C.G—D.G—

rrrr

【答案】B

【详解】万有引力公式与库仑力公式是相似的，分别为

…粤,3冬

rr

真空中，带电荷量为。的点电荷在距它r处所产生的电场强度被定义为试探电荷q在该处

所受的库仑力与其电荷量的比值，即

E2=由

qr

与此类比，质量为加的质点在距它厂处所产生的引力场场强就可定义为质量为M的物体在

该处所受的万有引力与其质量的比值，即

EG=£G=

GMr1

故B正确，ACD错误。

故选B。

【变式演练】（多选）在万有引力定律建立的过程中，“月一地检验”证明了维持月球绕地球运

动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月一地检验”需要知道的物理量有（）

A.月球和地球的质量

B.引力常量G和月球公转周期

C.地球半径和“月一地”中心距离

D.月球公转周期和地球表面重力加速度g

【答案】CD

【解析】地球表面物体的重力等于万有引力，有

mg=Gm7，即gR2=Gm地

根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有

可算出月球在轨道处的引力加速度为

根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得

4兀2/

a=^-

代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。

类型2不同天体表面引力的比较与计算

【例2】从“玉兔”登月至U“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。

已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球

车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，

“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（）

A.9：1B.9：2

C.36：1D.72：1

【答案】B

【解析】悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力,

Gm，火fn祝融

则乙邈=_&_=吗.四遍.遥=9X2X[J=9,故B正确

F玉兔Gm月m玉兔月冽玉兔R工2

除

【变式演练】火星的质量约为地球质量的工，半径约为地球半径的』，则同一物体在火星表

102

面与在地球表面受到的引力的比值约为（）

A.0.2B.0.4

C.2.0D.2.5

【答案】B

【解析】由万有引力定律可得，质量为，〃的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小

为厂地=小产，在火星表面上时，受到的万有引力大小为产火二，二者的比值小=

R备R%产地

i^=0.4,B正确，A、C、D错误。

m地政

类型3重力和万有引力的关系

【例D由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.已知地

球表面两极处的重力加速度大小为g。，在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为

T,引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（）

A.质量为加的物体在地球北极受到的重力大小为加g

B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg

C.地球的半径为人。W广

4万2

D.地球的密度为方鲁刀

【答案】CD

【详解】A.质量为加的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg。,A错误;

B.质量为加的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，

大小为mgo,B错误；

C.设地球半径为尺，在地球赤道上随地球自转物体的质量为如由牛顿第二定律可得

2%

mg0-mg=miR

2

（g「g）?

R=

4乃2

C正确;

D.设地球质量为M,地球半径为R,质量为加的物体在地球表面两极处受到的地球引力等

于其重力，可得

「Mm

G-^=mg0

又

4o

V=-TTR3

3

则有

M二：3go3go万

/~^GR~GT\g0-g)

D正确。

故选CDo

【变式演练1】在地球表面，被轻质细线悬挂而处于静止状态的质量为加的小球，所受地球

的万有引力作用效果分解示意图如图所示，已知小球所处的纬度为。（30。<6<60。），重力

为Fi,万有引力为R地球的半径为尺，自转周期为7,下列说法正确的是（）

B.地球的第一宇宙速度为、延

A.细线的拉力片与尸是一对平衡力

Vm

C.小球所需的向心力为丁fD.地球赤道处的重力加速度为区

m

【答案】C

【详解】A.细线的拉力尸r与厂合力提供了小球做圆周运动的向心力，故细线的拉力尸7与

尸不是一对平衡力，故A错误;

B.根据万有引力提供向心力

R2R

可得地球的第一宇宙速度为

FR

故B错误;

C.小球做圆周运动的半径为

r-Rcos0

小球所需的向心力为

故C正确；

D.小球所处的纬度重力£大于赤道处的重力，根据牛顿第二定律，地球赤道处的重力加速

度小于无，故D错误。

m

故选C。

【变式演练2】2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球

民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫

星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道

半径之比为上下列说法正确的是()

A.倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方

B.地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等所以看起来是静止的

C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为(1-r)

D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为。-左B

【答案】D

【详解】A.倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，如果

某时刻在长沙正上方，则24小时后就又在长沙正上方，但不能保持在长沙正上方，故A错

误；

B.地球静止轨道卫星与地面上的点角速度相等，由v可知，地球静止轨道卫星的轨道

半径大于地面上的点的轨道半径，因此静止轨道卫星的线速度大小大于地面上的点线速度大

小，B错误；

CD.根据题意，对同步卫星，由万有引力提供向心力有

在地球北极有

GMm

下厂=mg极

在赤道上有

GMm4/

二^="陪赤+加产R

联立可得

g赤=0-町g极

则地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为（1-左3）,C错误，D正确。

故选Do

类型4地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算

【例41】已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的

星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置

到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g

与x的关系图像可能正确的是（）

【答案】A

【详解】当xWA，设地球的密度为。，距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重

力的关系为

43

—7ipxm

G-~~2=mg

X

可得

ATIGpx

g二^

当x>R,设地球的密度为P，地球半径为R,距地球球心x处的物体受到的万有引力与该

处的重力的关系为

43

—npRm

G———----=mg

x

可得

_4兀GpR3

g=3x2

故选A。

【变式演练1】若地球是质量均匀分布的球体，其质量为该，半径为R。忽略地球自转，重

力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下0-R部分的面积等于R-2R部

分的面积。

(1)用题目中的已知量表示图中的go;

(2)已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球

内部，重力加速度与r成正比;

(3)若将物体从2尺处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题

图像，求这个物体到达地表时的速率。

MGM。

【答案】(1)g=G-^(2)见解析所示；(3)v=

0R;

【详解】(1)在地球表面，忽略地球自转，则有

(2)地球是质量均匀分布的球体，设地球密度为夕。在地球内部，设物体到地心的距离r,

根据题意，在以半径r为界，外部球壳对物体吸引力为0,则有吸引力部分的质量M7/,

根据万有引力定律

mg=G—

rr

471Gp

g=一-一?

可得出，在地球内部，重力加速度与r成正比。

(3)微元法：将物体从离地心27?释放到落地表过程中分割为无数微小段，每一段的重力

加速度可近似认为是不变的,再对这些过程进行累加求重力做功，其中的数值与图像中R2R

部分的面积相对应，根据题意，又与Od部分的面积对应，可得总功为

根据动能定理

W=—mV

2

带入计算可得

【变式演练2】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最

大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为“时，井底一个质量为加的小球与地

球之间的万有引力为R已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的

地球的半径为凡质量为万有引力常量为G,则尸大小等于()

【答案】B

【详解】将地球分为半径为（R—d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零

则F等于半径为QR—d）的球对小球的引力，有

F_Gmxm

~（R-d）2

设半径为（R—d）球的质量为网，由密度公式得

43

m=pV=

所以

3

ml_（7?­t/）

解得，尸的大小为

GMm（R-d）

~R3

B正确，ACD错误。

故选Bo

【变式演练3】2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面"挖土"成功，"挖土"采用了钻取

和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为半径为丑。已知质量

分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为加的

钻尖进入月球表面以下〃深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（）

「MmMm（R-h）Mm

A.0B.G充U（R-h）R2D.G---------；-------

R3

【答案】D

【详解】月球质量与剩余质量关系为

43

M,p-^R-hy

寸3

设月球密度为。，月球对钻尖的万有引力为

F_GMm，_G（Rh）Mm

故选D。

【变式演练4】地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔

区域，进一步探测发现在地面尸点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，

假设该地区岩石均匀分布且密度为人天然气的密度远小于Q可忽略不计，如果没有该空腔,

地球表面正常的重力加速度大小为g;由于空腔的存在，现测得尸点处的重力加速度大小为

kg已知引力常量为G,球形空腔的球心深度为力则此球形空腔的体积是（）

kgdkgd2（1-左）gdQ-k）gd-

A.~—B.--------C.--------D.---------------

GpGpGpGp

【答案】D

【分析】万有引力定律的适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距

离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r

是两球心间的距离，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为加g,没有填满时是kmg,

故空腔填满后引起的引力为（1-左）切g,根据万有引力定律求解。

【详解】如果将近地表的球形空腔填满密度为〃的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值,

因此，如果将空腔填满，地面质量为加的物体的重力为加g,没有填满时是方喈，故空腔填

满后引起的引力为（1-口加g，由万有引力定律有

(1-k)mg=

解得球形空腔的体积

Gp

故选Do

题型三天体质量和密度的计算

类型方法已知量利用公式表达式备注

中m4据_4712r3

八T一=m--r冽中…

产rGF

质只能得到

2

中加2_FV

1v

利用运八VG-—--=m—m*=­

2G中心天体

量rr

的质量

行天体2

厂m中加v中m

的G——^—=m,G--2--

r2rr2v3T

V.Tm中=-------

计4兀22兀G

=m——r

P

算

利用天体表面重

Gm中加gR2

m*=£2—

g、R”R2——

力加速度G

_3兀/3

P利用近地

「加中机4兀2GQR3

密G—22—=m~~r

利用运产空卫星只需

八T、R当r=R时,p

度测出其运

行天体m中="•；兀R3

_371

行周期

的GF

计

Gm中机

利用天体表面重mg—R2，机中一

算p=M

g、R一

力加速度4兀GR

"一兀氏3

3

类型1利用“重力加速度法”计算天体质量和密度

【例1】中国计划在2030年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面附近做角速

度为。的匀速圆周运动。宇航员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验，如图所示，在月

面上，小球从N点斜向上抛出，经过最高点3运动到C点，已知小球在。两点的速度

与水平方向的夹角分别为37。、53。，小球在3点的速度大小为v,小球从/点到C点的运动

时间为K引力常量为G,5仍37。=0.6,337。=0.8,月球可视为均匀球体，忽略月球的自转,

下列说法正确的是（）

B»v

CX53。

月

ZZZZZZZZZZ/ZZZZZZZZZ

A.月球的密度为国二

B.月球表面的重力加速度大小为二

3兀G12?

C.月球的第一宇宙速度大小为KD.月球的半径为鲁

t

【答案】C

【详解】A.飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为。的匀速圆周运动，则有

GR=mco1R

又

4

M=P,一RR3

3

联立解得月球的密度为

3疗

p=------

4»G

故A错误；

B.在4点时的竖直分速度大小为

3

v.=vtan37°=—v

AyA

在。点时的竖直分速度大小为

4

vr=vtan53°=—v

的3

向上为正，从/到。由运动学公式得

-VCy=VAy-gt

解得

25v

g=E

故B错误；

CD.根据

G=mg=m（O2R

R2

可得月球的半径为

a）212a）2t

月球的第一宇宙速度大小等于卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动的线速度，则有

n25V

v,=coR=------

not

故C正确，D错误。

故选C。

【变式演练1］宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小

球以初速度%竖直上抛，上升的最大高度为几万有引力常量为G。则（）

A.该星球表面重力加速度为生

2/z

B.该星球质量为还

Gh

C.该星球的近地面环绕卫星运行周期为主遮

V。

_Il

D.小球到达最大局度所需时间一

%

【答案】A

【详解】A.根据

v；=2gh

可知该未知天体表面的重力加速度大小

故A正确；

B.根据

可得星球质量为

故B错误；

C.近地环绕卫星万有引力提供向心力

G-

解得星球的近地面环绕卫星运行周期为

2兀^2hR

%

故C错误；

D.由运动学公式可知，小球上升到最大高度所需时间

v0_2/z

g%

故D错误。

故选Ao

【变式演练2】一宇航员到达半径为尺、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长

的轻绳拴一质量为加的小球，上端固定在。点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度,

使其绕。点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力厂大小随时间t的变化规律如

图乙所示.设尺、m、r、引力常量G以及E和尸2为已知量，忽略各种阻力.以下说法正确

的是（）

I

t

甲乙

A.该星球表面的重力加速度为刍r

4m

B.小球在最高点的最小速度为产、亘r

7

C.该星球的密度为二产

6兀GmR

D.卫星绕该星球的第一宇宙速度为、

6m

【答案】B

【详解】A.在最低点有

PV；

卜i-mg=m-L-

r

在最高点有

F+mg=m-

2r

由机械能守恒定律得

c1212

mg•2r+~mv2=_

联立可得

g=X

6m

故A错误；

B.设星球表面的重力加速度为g,小球能在竖直面上做圆周运动，即能过最高点，过最高点

的条件是只有重力提供向心力，有

则最高点最小速度为

故B正确;

「Mm

G-^=mg

gjcGmR

故C错误;

mv

mg=-----

故D错误。

故选B。

【变式演练3】2023年4月24日，中国首次火星探测火星全球影像图在第八个中国航天日

发布。其中，国际天文学联合会还将天问一号着陆点附近的22个地理实体以中国历史文化

名村名镇命名，将中国标识永久刻印在火星上。火星半径为4),火星表面处重力加速度为g。。

火星和地球的半径之比约为1:2,表面重力加速度之比约为2:5,忽略火星、地球自转，则

地球和火星的密度之比约为（）

A.4:5B.5:4C.5:1D.1:5

【答案】B

【详解】根据万有引力与重力的关系

Mm

G-^r=ms

可得

M=^~

G

体积为

4,

V=-T