数列的通项公式及求和（8题型、高分技法、限时提升练）-2025年北京高考数学复习专练（原卷版）

热点11数列的通项公式及求和

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第15题，考察an与Sn关系求通项2025年北京高考数学在数列求通项及求和的题目仍

2023年，第14题，考察分组求和法然会位于试卷的前半部分，分值可能保持在4分或5

分

热点题型解读

题型1累加、累乘法

累加法：适用于%+]—%=/（〃）,求知

II

具体过程：。2-%=/（1）＞«3-«2=/（2），…，an+l-an=/⑺两边分别相加得

ii

累乘法：适用于色红=/（〃），求％

i%

具体过程：纭=/⑴，&=/（2），两边分别相乘得皿=4

“1“2%k=l

一「，而苏花素美典三禳5而窗布形获函预茬莆茱薮承蒙荡裤南薪T毒麻潢簟族：赢茄节:一后天恭邪三

角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球

数构成一个数列｛。.｝：卬=1,%=3,%=6,«4=10,...,贝1]”=()

11C12

A.4-B.3-7-D.7-

2.（2024•北京西城•一模）在数列｛%｝中，a”=-3.数列也｝满足-%仅€川）.若也｝是公差

为1的等差数列，则也,｝的通项公式为2=,an的最小值为.

3.（2024•西藏•模拟预测）己知数列｛%｝对任意々eN*满足wq+i=2«,贝世外侬二（）

A.21012B.21013C.22024D.22025

4.（2023•陕西咸阳•模拟预测）数列｛叫满足4=2,且悬"eN*且"1）,若｛4｝的前〃项和

217

为S”,则满足Sn＞蚩的最小正整数n的值为.

5.（202425高三上•广东深圳•阶段练习）定义：在数列｛g｝中，吐一-=d（〃eN*）,其中d为常数，则

an+lan

称数列｛%｝为“等比差”数列.已知"等比差''数列｛%｝中，4=%=1,%=3,则==（）

%2

A.1763B.1935C.2125D.2303

题型2待定系数法

①形如a„=p*+eN*且冏..2），化为an+-^~=pan_｝+-^―的形式，令〃=an+-^―，即

'P-1IPTP~l

得〃=p%,｛〃｝为等比数列,从而求得数列｛4｝的通项公式.

①形如4+1=A%++。（"WN*且.2）化为a“+i+p（n+l）+q=A（an+川+q）的形式,令

2=«„+pn+q，即得bn=Ab"7,也｝为等比数列,从而求得数列｛«„｝的通项公式.

1.（2023•四川乐山•三模）已知数列满足4+i=2a“+2,a,=1,贝!]4=.

2.（2024•四川•模拟预测）已知正项数列｛风｝满足4=1,〃用=2%+1,等差数列｛2｝的前〃项和为S“，且

4=9,邑=49.

⑴求数列&｝,｛2｝的通项公式；

（2）若g=%+丁-，求数列｛%｝的前"项和4.

3.（2022・23高二下•河南周口•阶段练习）已知数列｛%｝满足:q=3,a0+]=3a,-4w+2,weN".

⑴证明:也-2〃｝是等比数列；

⑵求数列｛4｝的前〃项和S”.

4.（202425高三上•湖北•期中）已知｛%｝是公差不为0的等差数列，a4=21,且％,出，%成等比数列,

数列也｝满足：bn+1=4bn-3,且4=2%-1.

⑴求｛q｝和也｝的通项公式；

⑵若4为数列（9｝的前，项和，求

5.（2024•江西•二模）已知数列｛《｝的首项4为常数且％片：，。1+2%=4"（"€川），若数列｛4｝是递增数

()

题型3同除法与取倒数法

i‘运’

i

①形如整式a“+4+i-3,"什1=0,两边同时除以

②形如%=PJ+/（«）（"eN*且几.2）,两边同除p"得会=台+与，令bn=,得

i

b.=%+半，转化为利用累加法求切（若%为常数则低｝为等差数列）

11k11/八左

所以一是以一为首项，7为公差的等差数列，即一=一+（〃T）小（当分母出现加减时，我们很难将它

![an\«1banqb

ii

进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点）.

II

1.（2025疝亲靠苏藤礴赤己正薪歹访前〃项]西金，若弓=2,an+l-2a^nan+l=0,则木正就

的是（）

A.q=TB.数列为等比数列

231

C.an+l<anD.S10>—■一至

2.（202425高二上•福建宁德•阶段练习）已知数列｛%｝的首项卬=；,且满足eN*）,则%。的

值为（）

A.±B.Zc.±D­

79697875

3.（2024•江苏南京•模拟预测）已知数列｛4｝满足％=l,2%+「a“+aM,M=0（-eN*）,则数列｛%｝的通项公

式为.

4.（2024•湖北黄冈•模拟预测）已知数列｛4｝的首项q=：,且满足an+l=4,^-+-+-+--+—<W00,

则满足条件的最大整数〃=（）

A.8B.9C.10D.11

5.（2024•云南•二模）记数列｛%｝的前w项和为S“，若q=2,2。用-3。“=2",贝1」三丁=___________.

，十68

题型4已知an与Sn关系求通项

I0屯@4I

用4=S,,_S“T消Sn的3个步骤：①先利用%=5求出at；②用〃—1替换S,,中的〃得到一个新的关系，

利用an=S"-S"_]（“>2）便可求出当“22时an的表达式;③注意检验〃=1时的表达式是否可以与

〃N2的表达式合并.

1.（2023•北京•模拟预测）设数列｛%｝的前”项和5“=4片-1,则。“=；使得命题"V">N”wN*,

都有a„+l-an>100”为真命题的一个N。的值为.

2.（2023•北京朝阳•二模）已知数列｛%｝的前w项和是2"-1，则。5=（）

A.9B.16C.31D.33

3.（2023•北京丰台•二模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若则生=（

A.-5B.5C.7D.8

4.（2023•北京东城•一模）己知数列｛4｝各项均为正数，4=3q,乂为其前"项和.若｛乖：｝是公差为!的等

差数列，则4=,«„=.

5.（202425高三上•重庆•阶段练习）己知数列｛%｝的前”项和为S"，且=2S“+2〃-1.

⑴若4=1,求S"；

（2）若数列｛《,｝是单调递增数列，求首项4的取值范围.

题型5错位相减法

i"

i

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前〃项和可用错

位相减法求解.

错位相减法求和时，应注意：①在写出“S“”与"qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下

一步准确地写出“S,-qS“”的表达式.

1.（2024-25高三上•江苏南京•阶段练习）已知是｛an｝等差数列，其〃项和为S"，色"｝是等比数列，且q=4=2,

a4+b4=21,84+64=30.

（1）求数列｛%｝与也｝的通项公式；

（2）设1=%•〃，neN*,求数列｛%｝的前”项和1.

2.（2023•北京•模拟预测）已知数列｛%｝的前"项和为S”（〃eN*）,在数列也｝中，a=%=1,

:必-（〃T）4T=2〃-1,结2&…6也+1=3%.

⑴求数列｛4｝,色｝的通项公式；

⑵设G=（T）叫空,《为数列｛5｝的前〃项和,求T”的最值.

3.(2023•广东广州•模拟预测)已知等差数列｛%｝的前“项和为加且$4=4邑，%=2q,+l("eN*)

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若£=3"_,令c“=a,瓦,求数列｛ca｝的前w项和T,.

4.(2022高三•全国•专题练习)已知数列｛。“｝中，4=1,

Q“十J

,11,,、

⑴证明数歹网1+万｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式％;

⑵数列也｝满足优=⑶-1)•《q,设1为数列也,｝的前〃项和，求使左恒成立的最小的整数k.

5.(2024•重庆•模拟预测)已知数列｛%｝的前”项和为S“，且｛%｝,｛2｝分别满足:

%+2%+3%+.......+na„=(n-l)(S„+1)+1,bn=210g2a“+1.

(1)求通项公式4，bn.

(2)求数列｛。也｝的前〃项和.

题型6分组求和与并项求和法

00混

①适用于c“=an±b„的形式，其中数列｛a0｝,也｝是等差数列或等比数列

、为奇数

②适用于G=S+,/里新的形式；

也，〃为偶数

③一个数列的前〃项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如仆=(-类型，可采用两项

I

合并求解.

________________________________________________________________________________________________!

1.(2024•北京通州•二模)已知数列｛%｝为等比数列，4=1,%=3&，则％=;数列血+2｝的

前4项和为.

2.(2024・北京顺义・二模)已知各项均为正数的数列｛%｝的前"项和为5",卬=1,坨%+但氏+1=32",〃€”，

贝应=()

A.511B.61C.41D.9

njr

3.(2023•北京•模拟预测)已知数列｛”满足%=〃-sin卷,数列｛或｝满足2=。,+%,其中〃eN*,则数

列｛2｝的前2023项和为()

A.-2025B.-2023C.-2D.0

4.(2025•海南•模拟预测)设数列｛4｝的前“项和为S,，已知35“=4”“-4.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵求数列1的前”项和

,、(〃“+2,〃=2左一1*，、

5.(2024•广东深圳•一模)已知数列｛4｝满足4=%=1,%+2=_9,，keN',若S”为数列｛g｝的

前〃项和，则850=()

A.624B.625C.626D.650

题型7裂项相消法

-----------;二--------------------------------------------------------

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项公式：

11__1_11______

(1)n(n+l)n〃+1"2)(2n-l)(2n+l)212〃一12n+lJ'

(3)-------------------=----------------------------------;(4)—j=-----1==------;

n(n+l)(n+2)21_n(n+1)(n+l)(n+2)Jy/a+y/ba-b

i1_/[厂_______z_______________]

|（5）G+4n+l="；（6）（2,!-l）（2n+1-l）_2r^I-2"+1-lj

ii

1.（2023瓦京•赢l量测）己。公章不另摹而弓至薪歹Rj满足生+%=26,且%是。2昼%4后可比市最

设数列也｝满足2=」一（〃eN*）,则数列也｝的前〃项和工为（）

anan+\

\（1｝n1乙11〃

A—1---------二------B—1+-------=---------

•2（2n+l）2n+l*2（2n+lJ2n+l

1L1n11〃

C.—1---------=---------D.-1H----=----

212n+lJ2n-l2（2n+l）2n-\

2.（2023•北京西城•三模）已知S,是数列｛叫的前〃项和，且对任意的正整数"，都满足：--—=2n+2,

an+\an

若q=g,则/=，$2023=-

3.（2021•北京•模拟预测）在①q=3,&=邑，②的=用,为二4一4，③。1二4一2,。2=S2-3这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题中的丸存在，求4的最小值；若几不存在，说明理由.

设数列｛%｝为等差数列，S,是数列也｝的前W项和，且___________,b3=8,bn=22T（比.2,〃eN*）.记

%=Jh，（为数列｛1｝的前〃项和，是否存在实数2,使得对任意的“eN*都有北＜几？

a〃iog2”〃

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

H_1_1

4.（2025・贵州安顺•模拟预测）已知数列｛qJ满足%=—，"eN*,则数歹[J｛1g%｝的前99项和为

n

5.（2025•广东•一模）已知等差数列｛风｝满足凡，是关于x的方程/-4加+"=0的两个根.

⑴求生;

（2）求数列的前”项和S”.

题型8数列的公共项问题

公共项是两个数列中的相同项，所以我们可以选取数列中的项增加“较快”的数列作为参照，假设该数列

的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的n+1项、第n+2项、…，是否是两个数列的公

共项，进一步从中找到规律

1.（2023•广东广州•一模）将数列.2〃-“与数列（"-I｝的公共项从小到大排列得到新数列MJ，则

2.（2024•河南信阳•模拟预测）已知数列｛g｝,也,｝通项公式为。“=2〃-1也=3九-2,将数列｛。“｝也,｝的公共

项从小到大排列得到数列｛&｝,设数列｛%｝的前”项和为S"，则s”=（）

A.3n2B.3n2—nC.2n2—hiD.3w2-2n

3.（2024•上海•三模）己知两个等差数列2,6,10,202和2,8,14,200,将这两个等差数列的

公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为.

4.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测汜知数列｛4｝的前w项积为[=3理，数列也｝满足4=1，囱-历=1

（n>2,nGN*）.

⑴求数列｛%｝,抄“｝的通项公式；

⑵将数列｛%｝，｛2｝中的公共项从小到大排列构成新数列｛%｝,求数列匕｝的通项公式.

5.（2024•全国•模拟预测）已知4=2",^=3/1-1,数列｛%｝和也｝的公共项由小到大排列组成数歹式与｝,

则不正确的是（）

A.c4=32

B.｛4｝为等比数列

C.数歹u[:]的前〃项和S,e[l,5）

D.瓜、匣、施不是任一等差数列的三项

限时新练

1.（2022・23高三上•黑龙江大庆•开学考试）设S"为数列｛应｝的前〃项和.若工="-w+a,则“。=0”是

“2〃3=%+〃4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

f2,〃=1

2.（2022•北京顺义•二模）设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，公比为/若,则“3=（）

A.8B.9C.18D.54

3.（2021•北京海淀•模拟预测）3知数列4=%/矶一】2心,Nn>"若%=4%=1，则该数列的前六

项和为（）

11553-361_1

A.--------B.-----C.—D.—

40961283216

4.（2024•北京•三模）己知数列｛%｝的前"项和为且4M=S；+l,（"eN*）,给出下列四个结论：①

1

长度分别为1，。田总的三条线段可以构成一个直角三角形：②V〃eN*,S.22-；③V〃eN*,a“+az<2an+l；

jr

④V“eN*,an+l=2ancos—.其中所有正确结论的序号是.

zj_i_1M—2kk£

5.（2024•北京怀柔•模拟预测）设首项是1的数列｛4｝的前〃项和为％且%=广：一；\

则&=;若鼠<2024,则正整数机的最大值是.

6.（2023•北京•模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和S“="+3〃+2（〃eN*）,则数列｛q｝的通项公式

为.

7.（2023•北京西城•一模）已知数列a｝的通项公式为%=2力,｛“｝的通项公式为或=1-2”.记数列｛%+%｝

的前”项和为S"，则s’=—；s”的最小值为_.

8.（2023•北京•模拟预测）已知数列｛4｝的前"项和为S“，且对任意正整数"，都有a,+S“=2048.

（1）求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵设2=1。82。“，数列也｝的前〃项和为T”，求T,的最大值.

9.（2022•北京丰台•二模）已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，在条件①、条件②