数列不等式放缩技巧（讲义）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题12数列不等式放缩技巧

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

rn占nt口马囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破...........................................................12

题型一：先求和后放缩12

题型二：裂项放缩18

题型三：等比放缩24

题型四：£@<(>)/(")型不等式的证明29

i=\

题型五：立4<(»/(«)型不等式的证明36

4=1

题型六：fq<(>)6型不等式的证明43

Z=1

题型七：在4<(>)b型不等式的证明49

Z=1

重难点突破：利用递推关系进行放缩56

差情;奏汨•日标旦祐

数列放缩技巧是高考数学中的核心考点，尤其在数列与不等式相结合的复杂问题中更为凸显。当前，

这类问题的难度已趋于稳定，保持在中等偏难水平。解题时，关键在于对数列通项公式的灵活处理，特别

是通过巧妙的变形来接近那些具有明确求和公式的数列类型。在此过程中，向可裂项相消的数列和等比数

列靠拢，成为了放缩策略中的高级且有效的手段。

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考数学

试题趋势，多以解答题形式

出现，具体估计为：（D在

导数题目的压轴环节，第二

问极有可能涉及利用导数

理论进行数列不等式的证

明，此类型问题预计将具备

2023年n卷第18题，12分较高的思维难度与解题复

2022年I卷第17题，10分

掌握技巧，提升解杂度，对考生的逻辑推理与

数列不等式2021年乙卷第19题，12分

题能力数学分析能力提出严峻挑

2021年II卷第17题，10分

战。（）至于数列解答题部

2021年浙江卷第20题，15分2

分，其第二问预计将以中等

偏上的难度水平出现，该题

预计将融合多个知识点，构

成一道综合性较强的题目，

旨在全面考察考生对数列

知识的深入理解及灵活运

用能力。

〃用识导图•思维引航\\

知识揄理•方法技巧

常见放缩公式:

11

(1)K-----—(n>2)；

(〃—1)〃n—1n

1111

(2)

〃(〃+1)nn+1

14411

(3)——---<-------=2

22

几24n4H-12n-l2〃+1

n\111

(4)--------,—<—v--------(r2);

r!(n-r)!nrr\r(r-l)7^4-

11<1+1+-^—+^—+•••+1

(5)+<3；

n1x22x3

122

(6)=2^-y/n—l+6)(〃22)；

品\[n+y/nJn-1+G

122

(7)=2,^—y/n+{TI+1)；

Vn品+\fny/n+，n+\

1222A/2

(8)

yfnyjn+yfn1J2n—1+「2,+1

(9)(n>2)；

2〃T—12n-l

x/n+l—1

(10)

J〃+l+J〃-l

2金

(6+J〃T)

-2(-1-2

y/n-17n

----=---------<--------1------=2-----2--=-2------

2--1(1+1)--1C°+C\+C；-\〃5+1)nn+1

12"~11/一、

2n-1(2"T-1)(2〃-1)2"T-12n-1v7

2<1<2

(14)2(J〃+1—A/H)=2(6—Qn—l).

7«+i+6石石+&-1

（15）二项式定理

①由于2"-l=(l+l)"-l=C+C"..+C,；)-l>C：+G：="(丁)(”23),

于是“〈高=2

1_J_(«>3)

nn+\

@2">2n+l(n>3),

X=(1+1),!=C°+C*+...+C：T+C；；>C；+2C：=2"+1；

2">n2+n+2(〃>5),

2"=(1+1)。=C：+C：+C；+…+C}2+c；；-1+C；；>2C°+2C：+2C^=n2+n+2

(16)糖水不等式

>a>0,m>0,则旦土生〉区；^b>a>m>0,则a-m

b+mbb-m

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2023年天津高考数学真题)已知｛%｝是等差数列，。2+%=16,%-%=4.

2"-1

⑴求｛叫的通项公式和W>("eN*).

i=2n-x

⑵设｛bn｝是等比数列，且对任意的人eN*,当214〃42、1时，则4<册<bk+l,

kk

(I)当上22时，求证：2-l<bk<2+l.

(II)求也｝的通项公式及前〃项和.

(%+以=+5d=16[CL=3

【解析】(1)由题意可得一》,，解得二C，

[%-%=2d=4Id=2

则数列｛%｝的通项公式为例=«+(“-l)d=2"+l,

2"-12"—12”—1

求和得£q=£⑵+1)=2£i+(2"-1一2"T+1)

i=2"Ti=2"Ti=2"T

=2H+QI+1)+QI+2)+…+(2"-1)]+2"T

+2"T=3.41.

(2)(I)由题意可知，当时，bk<an,

取〃=2"1则=2x2i+l=2&+l,即仇<2丘+1,

当时，an<bk,

取〃=2^-1,止匕时an=4":=2(2i-1)+1=2«-1,

据此可得2、1<%,

kk

综上可得：2-l<bk<2+l.

kkk+1k+1

(II)由(I)可知：2-l<bk<2+l,2-l<bk+l<2+l

^k+\_-10r1-13

则数列也｝的公比“满足/丁=2——<4=唬<三二]=2+

2k-l

12-/K+*).2,所以g=2,

当左wN*,Zf+00时,1

所以2&-1<421<2-1,即0=2-4T<4<^1=2+｝,

1

2左一124一12左一12左一1

当上wN*,%f+8时，-2,(2+^^]-2,所以4=2,

所以数列的通项公式为“=2",

2x1-2n+1

其前〃项和为：S=()=2-2-

"1-2

2.(2022年新高考全国I卷数学真题)记5”为数列｛%｝的前w项和，已知是公差为g的等差数

列.

(1)求｛。”｝的通项公式；

111c

(2)证明：一+—+•••+-<2.

a

%〃2n

【解析】(1).•.4=%=1,・・.，=1,

又•••[2]是公差为g的等差数列，

1、

..S.n广=1.+1(/,—)=n+2yj(n+)2\a,n

%JJJ

.♦.当”22时，5.(〃+1)%T,

3

」〃+2)a“5+1)%

an=S„~S„-l

一3~

整理得：=(〃+l)a,i，

an+1

即丁K

=qx&X幺X...X-x&

aa

a\"2n-2n-l

134nn+l〃(〃+l)

=lx—X—X...X----------X----------=-------------

I2n-2n-l2

显然对于〃=1也成立,

；.｛%｝的通项公式%=k＞；

2

n(n+l)

11111=21-£

-----1------F•••H-----=2+…|<2

nn+1

3.(2021年天津高考数学试题)已知｛即｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.伯„｝是公比大于。的

等比数列，伪=4也一&=48.

(I)求｛即｝和｛4｝的通项公式;

,1*

(II)记cn=t＞2,+『ncN,

(i)证明值-4｝是等比数列；

(ii)证明£等出-<2夜

k=l7k-C2k

【解析】(D因为｛即｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

以q+a?+,•,+6/g—8qH———x2—64,以％=1,

所以4=%+2(〃—l)=2〃—l,〃£N*；

设等比数列｛%｝的公比为%(4＞。)，

所以4-么=9/一如=4(/-。=48,解得q=4(负值舍去),

所以b“=b、qe=4"/cN*；

101

(II)(i)由题意，%=公+丁=4"+*,

bn4

所以q"/产+/4，"+士〕=2・4”,

所以c；-C2"0,且？二尸发=4,

CnC2n乙•,

所以数列归-%｝是等比数例J;

22

%%+1(2n-l)(2n+l)_4H-14H

(ii)由题意知,

2・4〃-2"〃2"〃'

2

氏。〃+14n=2n=1n

所以2nn

c^-c2nV2-2~^2-2~>/22"T'

所以tIa/z：]§k

k=l心-4◎七2~

、凡Ttk123n

以4=4k=,+.+齐+…'

mi1T123n

则/=W丁…+3’

1-

1n1-9nH+2

两式相减得9=l+g+城+...------------=—-r=2--，

2"TT14TT

所以1=4一71室+2

kn+2

所以£%W+]<<2应.

k=\7k-C2k2〃T

、9

4.(2021年浙江省高考数学试题)已知数列｛r%｝的前〃项和为％%=-\，且4s用=35“-9.

(1)求数列｛见｝的通项;

(2)设数列出｝满足她+(〃-4)4=0(〃£N*),记也｝的前〃项和为小若北(劝〃对任意〃eN*恒成立,

求实数4的取值范围.

【解析】(1)当〃=1时，4(6+4)=3%-9,

9c2727

444=19=一尸出=一记,

当”22时，由4s后=3S“-9①，

得4S"=3S"7-9②，①一②得4。用=3ati

273

---w0,「.aw0,「.，=

16nn4

23f、Q3

又六北'•.也｝是首项为一“公比为/勺等比数歹u,

n-43

(2)由地+5—4)4=。，得bn=---an=(n-4)(-yf

所以7>-3x,2x图—lx图+0x图…,

33n+\

+•••+(〃-5),+(n—4)•

两式相减得;7；=-3x：+g[+[)+(£]+…g)_(〃一4)(：

=—?+2—4®—(〃—4)(』]=-n

44⑷⑷

所以(=一4”.(李向，

33

由7；V4以得—4〃.(-)w+1<A(n—4)•(/"恒成立,

即2(H一4)+3〃20恒成立,

〃=4时不等式恒成立；

几<4时，A<-----=—3------,得XW1；

〃一4n-4-

”>4时，2上一包=一3—一—,得;IN—3；

n-4n-4

所以-3V2W1.

5.(2020年浙江省高考数学试卷)已知数列｛加｝,｛加｝，｛5｝中,

%=仇=4=1&=册「a.,c”+i=白.c”(nGN*).

2+2

(I)若数列｛加｝为等比数列，且公比q〉0,且4+4=663,求q与｛即｝的通项公式;

(II)若数列｛加｝为等差数列，且公差]〉0,证明：Ci+C2+...+C/i<l+l.(„e^*)

一d

【解析】(I)依题意仿=1也=4也=/,而4+62=663,即l+q=6q2,

由于q〉0,所以解得4=工，所以6=J_.

1122'T

1

1-1

所以b=--，故c=----，

n+22〃+1〃+1]c〃=4-cn

尹

所以数列｛qj是首项为1，公比为4的等比数列，所以g=4'i.

所以%+]_a“=c"=4"T(”22,“eN*).

所以%=Q]+1+4-1---F4"—2=-------，又〃=1，q=1付合»

故”…

〃3

Ch

(II)依题意设勿=1+(H—l)d=血+l—d，由于口吐="

Cn"n+2

所以d=2且，

Cn-\人计1

+/rc%-lCC_b,ib_*bb

।乂r/_______n____________••••----3------2---G-------n--2-----•.••—2•—x•a

1

Cn-\Cn-2C2C\uhn+lbunbun-\bb%

姑2_1+d'11

g2).

她+id3bn+l)

111'd+1dd+1d

又q=l,而|1+—----x----=___x______=_1__，

lx(d+l)

d“b2>d姑2d

11(1n<]___

所以q+G+,,•+■+•••+

b2j[b2b3

Hbn+l>

〉0，所以，+工丫1—--

由于d〉0,4=l，所以2一<1+-.

Id)[%Jd

即q+%+.••+G<1~l—，nEN’,

d

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：先求和后放缩

【典例1-1】（2024・高三・辽宁大连•期中）已知｛。“｝的前w项和为"，4=2,且满足,现有以下条件:

-4〃+1_A一

①2q+2%2+2%3H-----—-—;②3二？〃“-2；③S〃+i-2S〃=2

请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题:

⑴求数列｛%｝的通项公式；

2n+l3

⑵若包="log?一,求的前〃项和小并证明：-^,<1.

〃

【解析】（1）若选择条件①：因为24+22+2%3+--+2"。“=^4—+i--4

4〃—4

当“22时，2%+22a2+23/+…+=__,

4"+1-44〃_4

两式相减得2〃%=-—--——=4〃，

〃33

所以当"22时%=2〃，当〃=1时符合，

；・an~2〃；

若选择条件②:因为S〃=2%-2,

当〃N2时SI=2/T—2,

a

两式相减得n—2。〃—1,q=2w0,

.••{4}是首项为2,公比为2的等比数列，

•••an-2n；

若选择条件③：・・・加-2szi=2,

・•・〃22时，Sn-2s“t=2,

两式相减得。用=2%,

当〃=1时，S2-2S1=2f可得〃2=4,%=2%,

・・・〃£1^*时氏+1=2。〃成立，

.••｛%｝是首项为2,公比为2的等比数歹I],

(2)由(1)可知么,=〃log22'"i=〃("+1),

2几+12n+l11

则=,(“+1)2=/一417'

所以I,=1-----H---3-----r+---1---;-----------r=1-----------,

'"222232n2("+1)2("+1)2

2n+l2〃+1

因为

n2(«+l)2

所以1汽厂）各项均为正数，

3

所以1之7]=1，

又因为

3

所以了a<1

【典例1-2]已知数列｛%｝满足：｛%+%+J是公差为6的等差数列，｛%+。用+。“+2｝是公差为9的等差数列,

且％=1.

（1）证明：｛%,｝是等差数列；

⑵设6是方程2/+3无-2=0的根，数列伊"｝的前几项和为九证明：S,<|.

【解析】⑴因为｛%+4+J是公差为6的等差数列，则（。“+1+4+2）-（4,+4+1）=。“+2-%=6,

设。2=根，可得%=7,a4=m+6,

又因为+4+i+4+2｝是公差为9的等差数列，

则(4+1+%+2+4+3)一(4+q+1+%+2)=q+3一%=9,

可得%+3—?+2=3,即%+1—%=3,〃23,

且。4一%=机+5=9,解得根=4,

即〃2=4,4=7,可得%+1=3,〃=1,2,

综上所述：an+l-an=3,所以｛%｝是等差数列.

（2）^G/W=2X3+3^-2,则6是函数〃x）的零点

因为尸（x）=6/+3>0,则〃尤）在R上单调递增，

且八0）=-2<0J⑴=3>0,可知〃x）有且仅有一个零点bG（0,1）,

/a"+1

73

又因为---=6%+「与=be（0,l）,

b°"

可知数列W"｝是以首项那=匕，公比为/的等比数歹h

n,.“1-伍3）1

贝限-LL」，。，

“一i-b3l-b3

h2

又因为2Z?+3b—2=0,可得「7=7，

l-b3

h?

所以S,<可1

先求和后放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效策略。其核心思路在于，首先通过求和将数列的

项合并，简化问题形式；接着，在求和的基础上进行适当的放缩，即利用不等式的性质对求和结果进行放

大或缩小，从而更便于进行后续的比较和推导。

【变式1-1］己知数列｛%｝满足％=2,a“+i=2%-〃+1.记2=a"-”.

⑴证明：数列他,｝为等比数列；

⑵求数歹心知的前〃项和储

bn

（3）若g=，数列｛g｝的前〃项和为北，求证：Tn<\.

【解析】（1）由。”+1=2。“-〃+1,得。"+1-（〃+1）=2（'-"）,而4=2,则q-l=l,

又b”=c1n因此％+1=26”,1=1,

所以数列｛〃｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

,ab+n,n

（2）由（1）得，2=2"、贝U*=i=l+尸，

Yl123IT—1Tl

令数列｛尹｝的前”项和为4，贝IA=声+5+9+…+歹方+行，

乙乙乙乙乙乙

112n—2n—1n

54=5+旌+…+广+尹+源

两式相减得;4=（l+；+*+L+与+<）一弓=2_^^,贝

〃+2

所以邑="+4="+4-万丁・

〃+2(n+l)-2n+l-n-2"_11

(3)由(2)知c,=

H(H+1)-2,,+1n-2".(/7+l)-2"+1-/7.-2"(«+l)-2"+1

1_____1__J______1__J________1____11

j72-2x22+2x22-3x23+-"+/i-2B-(zi+l)-2n+1-2(/i+l)-2n+1

而GT/所以］

【变式1-2】己知在数列｛%｝中，％=4。1，且当“22时，a,=3a,i+2.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）设母=丝乂，数列也｝的前"项和为加证明：S„<1.

4

［解析】（1）当〃=2时，%=3卬+2,

又出=4囚,可得%=2,

当〃22时，。〃=3%_1+2,则q+1=3%_1+3=3(q_1+1),即［；=3,

〃般-1十1

又4+1=3,

故数歹U｛%+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

则4,+1=3x3"“=3",故。"=3"-1；

(2)由(1)知4=3"-1,

二%+13"1______

b-,,+1-

贝"-«A+1(3"-1)(3-1)2J-

则数列｛2｝的前"项和s“=4+%+4+…+4

=ip---qip---qip---q...ip___

2+3+++n+1

2(3-13-lJ2132-13-lJ2133-13J1J213”-13-l

=1O______11

2^3-13n+1-l）42（3,,+1-l）,

又“eN+,贝ij2（3"+一）>0，

c111

故4=7—7-----r<-

2（3"+1-l）4-

[命题预测]

1.设数列｛%｝的前〃项和为臬.若对任意的正整数"，总存在正整数加，使得5“=%,,则称｛4｝是数

列”.

f2,n=1（x

⑴若%=2：T力>2,判断数列｛%｝是否是‘次数列”；

⑵设也｝是等差数列，其首项4=1,公差deN*,且他,｝是数列”，

①求d的值；

②设的二（T）"GT"名为数列间的前“项和，证明：耳":

f2,^=1

【解析】（1）因为%=。一】k

[2,n>2

当九=1时，H=%=2,

当〃之2时，=2+2+2?+・・・+2〃T=2+-------=2”，

1-2

又2:2,即E也满足S〃=2",

综上可得S.二2〃，

当九=1时存在根=1或m=2使得Sn=am（即H=%或S[=出），

对于任意的正整数〃（心2）,总存在正整数加=〃+1,此时5"=金=*=2",

综上可得对于任意的正整数〃，总存在正整数根=〃+1,此时5“=%=2",

故｛。,｝是数列”；

（2）①因为加“｝是等差数列，其首项仇=1,公差deN*,设色｝的前〃项和为C“，

..,1/,„n（l+l+nd-d）df,d\

故2=1+（"T1A”，cn=-------2---------L=2n2~+[l^2）n

对任意的正整数〃，总存在正整数加，使得。,=鬣,

得d2Id

n=l+（m-l）J,

即5"+>52

当〃=1时，l=l+（m-l）d,此时只需m=1,

当〃=2时，2d—d+2=1+（加一l）d,=—+2,

又deN*，故2+1>2,又优为正整数，故〃z=3,此时d=l：

a

22

当d=l时，m=^n-^n=^n-njf

下面证明22）恒为正偶数,

当〃=2时，=4—2=2,满足要求,

假设当〃=%时，/一人为正偶数,

贝I］当〃=%+1时，（左+1）2-（左+1）=/+2左+1-左一1=（左2-4）+2%，

由于/-左和筋均为正偶数，故心2-左）+2人为正偶数，满足要求,

所以恒为正偶数，证毕,

所以d=l.

②由①可得。L",所以g=（f"=（」）“—=%-1）

nn+1

所以耳=-:11111111111

i+1+-—I——I—+-—I—+...—+—J_+」

423434445412n-l2n4k2n2n+l

£11111111111

—1------1-------1-------------------1------1F•••------------------------1--------1------------

422334452n-l2nIn2H+1

11

-1+^—-------1------------------

-42n+l44（2〃+l[

112

因为4（2〃+l）-4（2w+3）-4（2〃+l）（2〃+3）

1111

所以通司单调递减且皿旬>°,所以°<----------<一

4（2n+l）12'

T11,111

所以许广W+lFN

题型二：裂项放缩

【典例2-1］已知数列｛。,｝的首项为1,其前“项和为S“，等比数列｛2｝是首项为1的递增数列，若

3y+i-6szz=〃(〃+1)(〃+2),842+2d=d.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

1111c

(2)证明：一+—+—+…+—<2；

%a3an

(3)求使得422成立的最大整数”.

【解析】(1)因为3加〃+1-6S“=”("+1)("+2),

所以当"22时，3(n-l)an-6Sn_1=(n-l)n(H+l),

作差得㈣,

两边同时除以砍〃+1)得――&=1(〃22),

又q=1,所以3%-6S]=6,得%=4,

所以W-幺=1,故对-—&=1,

21n+1n

所以数列]是首项为1,公差为1的等差数列，

所以组=1+(“一1)x1=刃,则%=".

n

设等比数列也｝的公比为q(qH。)，

因为仇=1,所以由8b2+2&=%=的+2d=q，=>q=0,或q=±2

又因以数列也｝是递增数列，所以g=2=2=2-1.

1=1,14r1______

(2)因为%n2/J4H2-1(2〃-I2n+lJ>

(3)由(1)知，2即"2N2，T,令贝IJd“=Cx-c“=2"+l-2"T,

d”-—\

所以当〃=1时，4>4，当〃=2时，d2=d3,当“23时，<+1<dn,

即有4<4=43,d3>d4>d5>■■■,

又4=2>0,4=4=3>°,4=1>0,4=—5<0,

故当〃25时，</„<0,所以q<02<。3<。4<。5，C5>C6>C7>•••,

又G=0,c6>0,c7<0,

所以%>也，当〃27时，an<bn,故使得a“成立的最大整数为6.

2

【典例2-2］数列｛%｝中，4=1,an+1=?.an-n+3n,(«eN*).

⑴试求力、〃的值，使得数列｛%+而2+〃〃｝为等比数列；

⑵设数列｛2｝满足：%=°+3-，S“为数列也｝的前〃项和，证明：心2时，-+1^w+1)<^<|.

【解析】(1)若｛%+几/+〃小为等比数歹U,

2

则存在4W0,使。〃+1++1)+〃(〃+1)=q(a〃+对VnGN*成立.

由已知4+1=2。“一九2+3几，代入上式，

彳导(q—2)%+(Xq-A++(/dq—2A—ju—3)n—A,—ju—0

q_2=0

q=2

大q—4+1=0

・①式对V〃wN*成立，:”。八，解得A=-1

/J,Q—2A_〃_3=0

〃=1

—A—jLl—0

.•.当九=一1,〃=1时，数歹*“+而+〃”｝是公比为2的等比数歹U；

22n-1

(2)由(1)得：an-n+n=(al—]+I)-2,a1=1,所以=2"-1—〃,

1_11

]1h=—

因为“一1=

所以2=2i~rr,

%+〃-2〃Tn2n----n—n+—

422

1_11.111

所以〃之2,S=b、+b2T-----\-b<1+2+2+…+

nn3257rf

n——n+—

I22)

।215

3J3,⑴

n+—

2

c6〃

现证：S，，＞-i）（在2）,

2222

当〃之2时，1n(n+l)(2n+l)Sn=(l+2+3+...+H)(^+^+^+...+-^)

00c6n

“+1+1+…+ii,/>("+]—+]),⑵

根据⑴（2）可知4凡＞一］：窿］）对于心2,”N.都成立.

放缩方法是一种处理数列求和及不等式证明的技巧。其核心在于将数列的通项进行裂项，即将其拆分

为两部分或多部分，以便更容易地观察其规律或进行放缩。

在裂项后，我们可以根据不等式的需要，对拆分后的项进行适当的放大或缩小。这种放缩通常基于数

列的单调性、有界性或其他已知性质。

裂项放缩方法的关键在于准确裂项和合理放缩，它能够帮助我们简化问题，揭示数列的内在规律，从

而更轻松地证明数列不等式。

【变式2-1］已知正项数列｛4｝满足q=1,2=2,且对于任意〃eN*,满足44+2-4+i=T.

⑴求出数列｛%｝的通项公式；

⑵设么=斗，证明：数列也｝的前“项和（＜1；

an3

n（11A11

⑶设s“=£----------，证明：s„＜-.

a

i=0I3k+la3k+2J13

【解析】（1）因为q=1,%=2,〃+2-娘1=一1，

当〃=1时，a。一。；二一1，计算得“3=3,•

由44+2-*1=T，可得%*一%+2=T，

aaa

两相减可知a〃a〃+2+4+2=n+in+3+n+l，

,+a247+Q…

整理可得—~~—

an+\an+2

1+2_4+1+〃〃+3+〃3

an+a,ax定值为审

所以‘一'为定值,=2,

%+ian+2%

所以n+2=2%

所以｛q｝为等差数列，故4=".

(2)证明:由(1