2024-2025学年沪科版初中数学九年级下册课件 24.4 第2课时 切线的性质和判定

第2课时切线的性质和判定24.4直线与圆的位置关系第24章圆情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.

生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.

如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？如何证明？AlO切线的性质定理观察与思考证明：当直线

l与⊙O

相切时，设切点为

A，连接

OA.在直线

l

上任取一个不同于点

A

的点

B，连接

OB.因为点

B

在

⊙O

外，所以

OB＞OA.这就是说，OA

是点

O

到直线

l

上任一点的连线中最短的，所以

OA

是点O到直线

l的垂线段，即

OA⊥l.于是我们可以得到：切线性质

圆的切线垂直于经过切点的半径.BAOlAlO∵

直线

l是

⊙O

的切线，A是切点，∴

l⊥OA.切线性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径．

应用格式：知识要点

如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线

MN与⊙O相切于点

B，若∠ABN=30°，则∠AOB=

°.60练一练ABNOM典例精析例1

如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为

(

)A．20°B．35°C．55°D．70°解析：连接OD，如图.∵⊙O与边

AB相切于点

D，∴OD⊥AD.∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°.∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.A例2如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线

PO与

⊙O交于

B、C两点，∠P＝30°，连接

AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；OABPC∴△ACB≌△APO（ASA）.证明：∵PA为

⊙O的切线，A为切点，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵

OA＝OB，∴△AOB为等边三角形.∴AB＝AO，∠ABO＝∠AOB.又∵BC为

⊙O的直径，∴∠BAC＝90°＝∠OAP.∴∠OAP＝90°.(2)若

AP＝，求

⊙O的半径．∴AO＝AP·tan30°＝1，即

⊙O的半径为1.解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，OABPC

已知

点P为⊙O上任一点

，过点

P

作

直线l与⊙O相切。作法：1.连接OP；2.过点P作直线l⊥OP.则直线l

即为所作.观察与思考

l.PO切线的判定定理为什么直线

l即为所作呢？

l.PO由作图可知，直线l与⊙O有一个公共点P，若取直线l上除点P之外任一点Q，连接OQ，则OQ＞OP（斜线大于垂线）,所以点Q在圆外。因此，直线l与⊙O只有一个公共点，故直线l为⊙O的切线。Q

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O的半径，BC⊥OA于

A，∴BC为⊙O的切线.ABC切线判定定理应用格式O知识要点

利用切线的判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线，如果不是，请说明理由.O.OO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.练一练“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切.3.判定定理：经过半径外端点且垂直

于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd知识要点例3

如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.求证：AC是

☉O的切线.提示：直线

AC经过半径的一端，因此只要证出

AB垂直于

AC即可.证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.

∴AC⊥OA.∴AC是

☉O的切线.AOCB∵OA是

☉O的半径，例4

已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA

=

OB，CA=CB.求证：直线

AB

是☉O

的切线.OBAC提示：由于

AB

过☉O

上的点

C，所以连接

OC，只要证明

OC⊥AB

即可.

证明：连接

OC，如图.∵

OA＝OB，CA＝CB，

∴

在等腰△OAB

中，OC⊥AB.

∵

OC

是⊙O

的半径，∴

AB

是⊙O

的切线.例5

如图，△ABC

中，AB＝AC

，O是

BC的中点，⊙O

与

AB

相切于

E.求证：AC是⊙O的切线．BOCEA提示：根据切线的判定定理，要证明

AC是

⊙O的切线，只要证明由点

O向

AC所作的垂线段

OF是

⊙O的半径就可以了，而

OE是

⊙O的半径，因此只需要证明

OF=OE.F证明：连接

OE，OA，过

O作

OF⊥AC，如图.∵⊙O与

AB相切于

E，∴OE⊥AB.在△ABC中，∵

AB＝AC，O是

BC的中点．∴AO平分∠BAC.∴OE＝OF.∴AC是

⊙O的切线．又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∵OE为

⊙O的半径，∴OF为

⊙O

的半径.BOCEAF如图，已知直线

AB经过⊙O上的点

C，并且

OA＝OB，CA＝CB.求证：直线

AB是

⊙O的切线.CBAO如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的直径为6.求证：直线

AB是

⊙O的切线.CBAO通过对比，你能得出什么结论？作垂直连接方法归纳(1)有公共点，连圆心，证垂直

(如：例4)；(2)无公共点，作垂直，证半径

(如：例5).◑证切线时辅助线的添加方法：◑已知切线时常见辅助线的添加方法：见切线，连切点，得垂直

(如：例

1).要点归纳1.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端点的直线是圆的切线.（）(2)垂直于半径的直线是圆的切线.（）(3)过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.

（）

××√√√练习2.在△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,以点C为圆心,下列r为半径的圆与AB有怎样的位置关系,为什么?

（1）r=2；（2）r=2.4；（3）r=2.8作三角形斜边上的高,记为cd,ab=4,cb=3,所以ab=5,S三角形=6,所以cd=2.4

（1）当r=2时,r＜2.4,ab与圆相离

（2）当r=2.4时,r等于2.4,ab与圆相切

（3）当r=2.8,r＞2.4,ab与圆相交3.已知：如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，求证：以P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切。解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．理由如下：

作PE⊥AB于E，如图，

∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB于E，

∴PE=PD，

∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．D4.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．解：证明：连接OC，如图∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB，

∴直线AB是⊙O的切线5.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°．

求证：DC是⊙O的切线．

证明：连接OC、BC，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠OCA=60°，∵OC=OB，

∴△OBC

是等边三角形，

∴∠OCB=∠OBC=60°，

又∵BD=OB，

∴∠BDC=∠BCD，

而∠OBC=∠BDC+∠BCD，

∴∠BCD=30°，

∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线；

6.如图，A是

☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与

☉O的位置关系是

.APO相切7.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，

∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线

AB交于

点

P，则∠ADP的度数为

（

）A．40°B．35°C．30°D．45°CPODABC8.如图，PB

切

☉O

于点

B，PB=4，PA=2，则

☉O

的半径是多少？OPBA解：连接

OB，如图.则∠OBP=90°.设⊙O的半径为

r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=r+2.在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即

r2+42=(2+r)2.解得r=3，即

⊙O的半径为3.OABCEP9.如图，△ABC

中，AB

=

AC，以

AB

为直径的

⊙O

交边

BC

于

P，PE⊥AC

于

E.求证：PE

是⊙O

的切线.证明：连接

OP，如图.∵AB

=

AC，∴∠B

=∠C.

∵OB

=

OP，∴∠B

=∠OPB.

∴∠OPB

=∠C.

∴

OP∥AC.

∵

PE⊥AC，∴

PE⊥OP.

∴

PE为⊙O的切线.10.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.

求证：CD与⊙O相切.证明：连接

OM，过点

O作

ON⊥CD于点

N，如图.∵⊙O与

BC相切于点

M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形

ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON.∴CD与

⊙O相切．MN11.已知：△ABC内接于

☉O，过点

A