四川省眉山某中学2025届高三一诊模拟考试数学试题（含答案解析）

四川省眉山第一中学2025届高三一诊模拟考试数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合/=卜卜2<》42},5={-1,0,1,2,3,4,5},则4口8=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}

C.{-1,0,1}D.{2,3,4,5}

2.已知复数z满足(l-i)z=4i,则复数z的虚部是()

A.-2B.-2iC.2D.2i

3.已知{为}是正项等比数列，若64，%，生成等差数列，则{为}的公比为()

A.1B.|C.2D.3

4.函数/(X)是尺上的偶函数，且〃x+l)=-/(x),若/(x)在［TO］上单调递减，则函数

/(x)在［3,5］上是

A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数

5.已知函数/(尤)=侬5(0>0),若/1为偶函数；且/'(x)在区间(0,兀)内仅有两个

零点，则。的值是()

A.2B.3C.5D.8

t

6.放射性物质的衰变规律为：其中指初始质量，/为衰变时间，T为

半衰期，“为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为工，T2(单位:

天)，若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则

()

31「13

A.------B.-----C.D.

10245121024512

丁工一在X

7.若函数〃x)==2时取得极小值，则/(x)的极大值为()

x+bx+1

13

A.-B.1C.—eD.e

e8

试卷第1页，共4页

8.在等边三角形4BC的三边上各取一点D,E,F,满足DE=3,DF=26,/DEF=90°,

则三角形/8C的面积的最大值是（）

7]3

A.7A/3B.13A/3C.yV3D.—A/3

二、多选题

9.已知函数/（x）的图象是由函数＞=2sinxcosx的图象向右平移刍个单位得到，则（）

6

7T7T

A./（X）的最小正周期为nB./（X）在区间-2请上单调递增

63

C.“X）的图象关于直线x=5对称D.“X）的图象关于点对称

一I—

10.如图，V/8C是边长为1的等边三角形，=点尸在以CZ＞为直径的半圆上（含

端点），设万=+y就，贝!I（）

—1—2—

A.》的值不可能大于1B.AD=—4cT—AB

33

C.万.商的最小值为g

D.AP.AB的最大值为1

11.已知数列｛氏｝满足%=：兀

0<an<~,且(2〃+l)sin(a”+i-a,)=sin(%+]+a“)，贝!]()

B.tana=2"-1

A.sina2=2fn

n71V»2+l

C.当〃22时，an>\a„<--------

2n2+]

三、填空题

12.求值sin430°cos320°+cosll00sin40°=.

13.已知函数〃x）=/+x+l,若关于x的不等式“办-1）+〃-日11乃＞2的解集中有且仅有

2个整数，则实数。的最大值为.

试卷第2页，共4页

/(玉)一/(z)

14.已知函数/'(x)=(x-l)e，-xlnx,若V±,/e(0,+oo)且占二々，有>a恒

成立，则实数。的取值范围是.

四、解答题

15.已知向量及=(1,2),b=(x,4),3=(4,-x),且向量&与3共线.

(1)证明：ale；

⑵求)与己_日夹角的余弦值；

(3)若।a+症|=Md,求t的值.

16.在V48C中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知且

116a

----1----=---;---;---.

tanBtanC2bsinBsinC

(1)求3;

(2)若VNBC的外接圆半径为R,周长为(6+佝夫，且a>b,求A.

17.已知数列｛。m-2%｝是以3为首项，2为公比的等比数列，且q=L

(1)证明：1金是等差数列；

⑵求数列｛与｝的前〃项和S..

18.已知函数/(x)=lnx.

⑴求过点尸(0,-1)的/(无)图象的切线方程;

⑵若函数g(尤)=/(X)-7〃X+—存在两个极值点看,%，求加的取值范围；

(3)当xe时，均有/(x)<尤-&-2)/+a恒成立，求整数。的最小值.

19.已知函数/(x)=e'一ax-2(aeR).

(1)当。=2时，求，(x)的零点个数；

(2)设函数g(x)=/(尤)-^-+ae*-1.

⑴判断g(x)的单调性;

试卷第3页，共4页

（ii）若g'（加）=g'⑺（机＜〃），求g（冽）+g⑺的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCCDAADAADBD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】根据集合交集的基本运算即可得出结果.

【详解】由集合N={+2<x42},8={-1,0,1,2,3,4,5}即可得/cB={-1,0,1,2}.

故选：B

2.C

【分析】根据复数的除法运算化简可得z,进而可得复数z的虚部.

【详解】由已知(>i)z=4i,

即复数z的虚部为2,

故选：C.

3.C

【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.

【详解】设等比数列{%}的公比为0,由数列{%}为正项数列，则4>0,

由6g，%，%为等差数列，贝【J2a4=6%+/，即2%/=6—+%/,

所以2d=6+小整理得(2q+3)(q-2)=0,解得夕=2或(舍去).

故选：C.

4.D

【分析】根据题意，先由/(x+1)=-/(x)确定函数的周期为2,结合函数的奇偶性与在［-

1,0］上单调递减，分析可得答案.

【详解】根据题意，,.•/(x+1)=-/(x),

：.f(x+2)=-f(x+1)=/G),...函数的周期是2；

又f3在定义域R上是偶函数，在［-1,0］上是减函数，

函数/(x)在［0,1］上是增函数，

答案第1页，共14页

，函数/(x)在［1,2］上是减函数，在［2,3］上是增函数，在［3,4］上是减函数，在［4,5］上

是增函数，

/./(x)在［3,5］上是先减后增的函数；

故选D.

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的

周期.

5.A

【分析】根据偶函数的性质，以及根据余弦函数的零点，列式求。的值.

【详解】+=+,为偶函数，

兀

所以&一二后1,keZ,co=2k,keZ,

2

当xe(O,TT),0XC(O,5),因为/(x)在区间(o,TT)内仅有两个零点，

所以3把兀<。兀V53,得32〈/£5土，则o=2.

2222

故选：A

6.A

1024

【详解】由题意可得必8A〃x3计算即可得解.

【分析】

10241024

BP^—

T1024

12TX

故选：A.

7.D

【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域,

求导列表，可得答案.

xex\x2+(/>-2)x+1-b~\

【详解】由函数/(x)=一一，求导可得/(X)=-^―-------,

\'x-+bx+l(f+6x+l)

由题意可得了'(2)=0,则4+2(6-2)+1-6=0,解得6=-1,

贝！lx2-x+l=[x-口+—>0,

所以/(')=

x~-X+1I2；4

答案第2页，共14页

e'卜2—3x+2)e"(x-l)(x-2)

{x1-x+1)12-%+1)

令/'(x)=0,解得x=l或2,

可得下表:

X(-00,1)10,2)2(2,+®)

■T(x)正0负0正

/(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

则函数的极大值为/(1)=苦口=6.

故选：D.

8.A

【分析】首先求出所，设/BEDS,在VADE、△(?£■尸分别利用正弦定理

表示出8月、CE,由BC=BE+CE,利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值,

即可求出三角形面积最大值.

【详解】因为DE=3,DF=25^DEF=90°,所以EF=dDF?—DE?=拒，

27r

啜/BED=e,<?e0,—

所以B£=2GsinT-4

CE正-2

CEEF

在ACE尸中由正弦定理,即sm71F如

sinZCFEsinC

62

答案第3页，共14页

所以C£=2sin

2A/3sin(g一°)+2sin]£+“

所以5C=帅+。£*=

+2c(si,n乃—eos，rj+cos〃-s.m"n

mTcos"-cosrm"I66

=2jJsin(9+4cose=2j7sin(61+(p)(其中tane=R3),

所以3cM=2将，

则凡皿=；3C2sin|：=乎Bc2w,x(26)2=7g，

即三角形48c的面积的最大值是76.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含。的式子表示出5E、CE,再利用三角恒等变换公式

及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值.

9.AD

【分析】用二倍角公式化简了=2sinxcosx,向右平移后得〃x)=sin(2x-：j,代入正弦函

数的单调区间、对称轴、对称中心分别对四个选项判断即可.

【详解】对于A,因为>=2sinxcosx=sin2x,

向右平移左个单位得/(x)=sin2D=sin,-,

2兀

则最小正周期为丁=二=兀，故A选项正确；

2

ri十W兀兀r_L271c兀兀

对于B,当时，---<2x--<—,

L63J333

由于片sinx在不单调，故〃x)=si12x-手在上不单调，

故B选项错误；

对于C,工三时，/W=sin|=^,即〃x)的图象不关于直线xj对称，C选项错误;

TTJT

对于D,令2%——=ht,尚毕得x=—+左兀，keZ

36

所以函数/(x)的对称中心为巳+左兀,0左£Z,

左=0时，即为故D选项正确.

故选：AD.

答案第4页，共14页

10.BD

【分析】对于A,利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B,

根据等边三角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D,利用平面

向量的线性运算，整理所求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案.

【详解】对于A选项，过点?作PG/〃2交/C延长线于

过点P作尸4///C交于片，作图如下：

在平行四边形中，AP=AB^+Aq=xAB+yAC,由|为|>|就则y>l,故A选

项错误；

对于B选项，AD^AB+BD=AB+^BC=AB+-^C-AB)=k4C+^4B,故B正确；

3333

对于C、D选项，取线段CZ>中点E,连接/E,PE,作图如下：

AP-AB=AB-{AE+EP)=AB\A＜：+CE+EP)=+AB^CE+AB^E1,

在等边三角形4BC中，易知区=所以商•就=1X1XCOS6()O=L

32

Z8-C£=lx-xcos60°=-,贝屈.而」+■+加丽=4+加丽,

36263

-2万］一►—►1「11-

设刀与丽的夹角为凡易知0,—,则Z"£P=1XTCOS6£,

_3\3|_o3_

所以万•万e1,1,故C选项错误，D选项正确.

故选：BD.

答案第5页，共14页

11.ACD

tan〃+1一.,、

【详解】根据三角恒等变换计算得二广=7-,再利用累乘法求得数列｛。“｝的通项公式

为tana,=〃判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合

函数单调性推理D.

【分析】对于B,由(2〃+l)si于％-a,)=sin(%+]+%),

得(2〃+1)sinq〃+icosan-(2〃+1)cosan+isinan=sinan+icosan+cosan+isinan,

tan〃+1

整理得L±L=—,

BP2nsinan+xcosan=(2n+2)cosan+isinan,

tanann

tanatana_tanann-12

当〃时，--------n-•nx2•tan=--------上〃，

22tan%=一1

tanan_xtanan_2tanq...................n-In-2

tan%=1满足上式，因此tan%=〃，B错误；

对于A,tan“2=2,gpcostz2=-sin<72,又sin?4+cos2a2=1,解得sinqu—^—，A正确;

25

对于C,当〃22时，tan“〃=〃22>百，又OvaavT，因此。〃>三，即a〃〉l,C正确；

22

对于D,由tana〃=〃，得sin%=〃COSQ〃，Xsinan+cosan=\,cos^n>0,

因此sinC1—%)=cosan=:，令函数/(%)=x—sinx,0<xv],求导得/'(%)=l—cosx>0,

jr

函数〃X)在(0,9上单调递增，/(x)>/(0)=0,即x>sinx,

因此再，即一？1t。正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列｛。“｝满足

tan4=〃，再根据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论.

12.-/0.5

2

【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可.

[详解】sin430°cos320°+cosll00sin40°=sin70°cos(-40°)-cos70°sin40°

=sin70°cos400-cos70°sin40°=sin(70°-40°)=sin30°=1

故答案为：f

答案第6页，共14页

Ir1

13.In3H—

3

【分析】根据函数的对称性和单调性可得。>lnx+，的解集中有且仅有2个整数，设

X

A(x)=lnx+1,x>0,利用导数讨论其单调性后可得实数。的最大值.

【详解】i5g(x)=/(x)-l=x3+x,

因为>=//=%均为R上的增函数，故g(x)为R上的奇函数，

又g(-x)=-J-x=-g(x),

由不等式可化为/(«X-1)-1+f(-xInx)-1>0,

BPg(6zx-l)+g(-xlnx)>0,故—〉g(xlnx),

故"-l>xlnx的解集中有且仅有2个整数，

故。>lnx+，的解集中有且仅有2个整数，设〃(x)=lnx+±x>0,

XX

y—1

贝!j"(%)=——,x>0,

则当0<x<l时，/iz(x)<0;当x〉l时，

故%(%)在(0,1)上为减函数，在(L+8)上为增函数，

故g+ln2=〃⑵<〃<%⑶=g+ln3,

故。的最大值为;+In3,

故答案为：；+ln3

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用函数的单调性以及奇偶性将问题转化为不等式

a>lnx+工的解集中的整数个数问题.

X

14H_

【详解】将条件转化为g(x)=/(x)-«?在(0,包)上单调递增，再转化为e、-止-2a在

XX

(0,包)上恒成立，利用导数求函数否(X)=e'-叱-工的最小值，可得结论.

XX

【分析】不妨设再>迎>0,则不等式/4」>0可化为/(再)-小)>a(X；-x；),

%]-X?

所以/"(%)一ax；>/(x2)-(ixf,

答案第7页，共14页

设g(x)=fM-ax2,由已知可得g(x)=/(x)-#在(0,”0)上单调递增,

所以/'(X)-2ax上。在(0,-Hx>)上恒成立，

所以xex-Inx-1-2ax20在(0,+00)上恒成立，

所以e，一皿一L2a在(0,包)上恒成立，

XX

jz、xInx1%1-lnx1%Inxx2ex+\nx

设/z(x)=e--------，则mI/(x)=e"------+—=ex+—=---------,

XXX2X2X2X2

设夕(x)=x2ex+In%,则叫x)=(x2+2x)ex+—>0,

所以函数夕(x)=x2ex+In%在(0,4w)上单调递增，

又火l)=e>°，«；J==_ln2<：_ln&=0，

所以存在Xoe[；1],满足夕(%)=0,

c111In—

即需於°+111%=0,所以=乙ln±=ln上ex°,

设〃(x)=xex(x>0),贝!J"(x)=xex+ex>0,

所以〃(x)=龙-在(0,+W)上单调递增，又X。>0,InL>0,

X。

I1,

所以X。=ln-=_|nx°,

%

所以当x>Xo时，e(x)>0,h'(x)>0,函数%(x)=e，-也-工在(%,+8)上单调递增，

XX

当0<xVX。时,9(x)<0,h'(x)<0,函数/z(x)=e*--------在(0,x0)上单调递减，

xx

所以人0)2〃(%)=1。一也区一■又竟e"。+ln/=0,

X0X。

所以+Xoe*°—工=工+i—J_=1,

工010*0

所以2Q«1,所以

2

所以实数。的取值范围是1-8,g.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为g(x)=/(x)-«?在(0,包)上单调递

增，进一步转化为g'(x)NO在(0,也)上恒成立.

15.(1)证明见解析

答案第8页，共14页

⑵-？

2

1

⑶'=±5

【分析】（i）根据向量共线得a=列方程组解出x,再利用向量垂直的坐标表示证明即

可;

一（

（2）利用cos〈扇3-6）=」u'一c—上及向量数量积和模长的坐标表示求解即可;

|a||c-^I

（3）利用向量数量积的运算律求解即可

【详解】（1）因为向量&与B共线，所以@=篇（2片0）,

=工

1=Ax2

则23,解得2,

x=2

所以3=(2,4),c=(4,-2),

因为51=lx4+2x(—2)=0,

所以

(2)由(1)得)-*=(2,-6),

a'(c-b)lx2+2x(-6)

所以cos〈扇3-6〉=

同卜一同Vl2+22x-^22+(-6)22，

即，与j夹角的余弦值为-f

(3)因为片=降『=12+2?=5,c2=|c|2=42+(-2)2=20,a-c=0,

所以团+症『=/+2/G+&2=5+2O/=[0,解得(=±g.

兀

⑹⑴与

⑵乂

v712

【分析】Q）根据弦切互化以及和差角公式可得sm/二噜=景'即可结合正弦定理

求解;

（2）根据正弦定理边角互化可得sin/+sinC=逅，即可利用三角恒等变换求解.

2

11sinCeosB+sinBcosC

【详解】（1）因为------------1------------

tanBtanCsin5sinC

答案第9页，共14页

11sin（5+C）_siib4

故r/i----+——

tanBtanCsinBsinCsin5sinC2bsinBsinC

所以sm/=也=®叱l

2b2sinB

A

因为sin/wO,所以sing=——

2

又正呜,所以8=；.

（2）由正弦定理可知〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=2RsinC,

因为4+/）+。=（百+指）氏,所以sin4+sin5+sinC=V3+V6

2

所以sin/+sinC=

2

2兀A/6

sin/+sinC=sin/+si:=—sinAcosA=J~3sii

3222

所以sin〃+971=4

62

兀2兀

又a>b,所以4£

3'3

所以/+[=?,故/=会.

17.（1）证明见解析

⑵，=（3〃-4）/+2

【分析】（1）由等比数列的定义可得出。用-2%=3x2。、在等式两边同时除以2"+'结合

等差数列的定义可得结论;

（2）根据（1）中的结论求出数列｛4｝的通项公式，然后利用错位相减法可求得S”.

【详解】（1）因为是以3为首项，2为公比的等比数列，所以。“+「2%=3x2"、

所以翁-2a,3

2〃+i4

又兄，所以3

是首项为公差为a的等差数列.

2n

（2）由（1）知去=；+S—l）x!3〃一1

4

3W-1

所以为=------------X2"=（3/?-1）-2,,-2,

4

101

所以，5„=2-2-+5-2+8-2+---+（3«-1）-2^0

答案第10页，共14页

则2S“=2.2°+5-21+---+（3«-4）-2,,-2+（3M-1）-2"-1,

上述两个等式作差可得S„=-l-3-(2°+21+--+2"-2)+(3n-l)-

=一1一-12〃(3〃_]>2"一=即一4)2修+2，

故S“=(3〃-4)x2i+2.

18.(l),v=x-l

(2)0<7M<^-

(3)-3

【分析】(1)利用导数的几何意义，结合导数的运算即可得解；

(2)将问题化为方程加--丫+%=0有两个不相等的正数根，再利用二次函数根的分布即可

得解；

(3)利用参变分离法与构造函数法，将问题转化为G(x)〈。的恒成立问题，利用导数与隐

零点求得G(x)的最大值的取值范围，从而得解.

【详解】(1)由题意得，函数〃x)的定义域为(0,E),/-«=-,

X

设切点坐标为,贝(J切线方程为V=’》+山/-1,

把点尸(0,T)代入切线方程，得-l=，xO+lnXo-1,贝l|lnXo=O,.•.x°=l,

xo

过点m-1)的切线方程为>=X-1.

/八、z\/*/\m1m

(2)g(x)=j(X)-mx-\——=Inx-mx+—,

XX

122

，/、1mx—mx-mmx—x+m

...g(x)=——m--=----3-----=------------>

XXXX

令/z(x)=mx2-x+m,

要使g(X)存在两个极值点为，％2，

则方程m_%+加=o有两个不相等的正数根西,x2,

答案第11页，共14页

7z(0)=m>0

解得0<m<g,

所以加的取值范围为o</<g.

(3)由于/(x)<尤-(苫-2)/+。在xey,l上恒成立，

.,.lnx+(x-2)e*-x<a在xe上恒成立，

令G(x)=lnx+(x-2)e*-x,则G(x)〈。在xe上恒成立，

则6'0)=工+0-2)6'+/-l=(x-l)|ex--I，

xvxJ

当Lx<l时，x-l<0,

2

1

令"(x)=e「L贝iK(x)=e'+-T>0,r.w(x)在佶,1］上单调递增,

又〃('=—2<0,u(Y)=e—1>0,

「•存在/J］”使得"(%)=0，即於。=，，.•.In/=-/，

Jxo

故当xe1；,Xo/寸，w(x)<0,此时G'(x)>0,

当时xe&j),M(X)>0,此时G'(x)<0,

故函数G(x)在］g,xj上单调递增，在