专题强化三　动态平衡　平衡中的临界与极值问题

专题强化三动态平衡平衡中的临界与极值问题学习目标1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关计算。考点一动态平衡问题1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。2.做题流程方法解析法1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。3.根据自变量的变化确定因变量的变化。例1如图1，OABC为常见的“汽车千斤顶”。当汽车需要换轮胎时，司机将它放在车身底盘和地面之间，只需摇动手柄使螺旋杆OA转动，O、A之间的距离就会逐渐减小，O、C之间的距离增大，就能将汽车车身缓缓地顶起来。在千斤顶将汽车顶起来的过程中，下列关于OA、OB的弹力的说法正确的是()图1A.OA、OB的弹力不断变大B.OA、OB的弹力不断变小C.OA的弹力变大、OB的弹力变小D.OA的弹力变小、OB的弹力变大答案B解析对O点进行受力分析，它受到汽车对它竖直向下的压力，大小等于汽车的重力G，OA方向杆的弹力FOA，BO方向的弹力FBO，设OB与水平方向夹角为θ，可知FBO＝eq\f(G,sinθ)，FOA＝eq\f(G,tanθ)，当千斤顶将汽车顶起来的过程中，θ变大，则FBO和FOA均变小，故B正确。1.(2024·河南三门峡模拟)如图2所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，悬吊一个质量为M的小球B，今用一水平力F缓慢地拉起B，A仍保持静止不动，设圆环A受到的支持力为FN，静摩擦力为f，此过程中()图2A.FN增大，f减小 B.FN不变，f减小C.FN不变，f增大 D.FN增大，f增大答案C解析将A、B整体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得FN＝(M＋m)g，可知FN不变，f＝F；隔离B，受力分析如图乙所示，由平衡条件知F＝Mgtanθ，水平力F缓慢地拉起B的过程中，θ增大，外力F逐渐增大，所以f增大，故C正确。甲乙方法图解法用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。例2(2024·湖南岳阳联考)如图3所示，倾角为θ＝30°、AB面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重为G的小球在弹簧测力计的水平拉力F作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，直到弹簧测力计的示数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是()图3A.力F先变大后变小B.地面对斜面体的支持力一直变大C.地面对斜面体的摩擦力一直变小D.斜面体对小球的支持力一直变大答案C解析根据题意，作出小球受力的矢量三角形，如图所示，从图中可看出力F先减小再增大，斜面体对球的支持力一直减小，故A、D错误；设斜面体的质量为m，对整体分析，竖直方向上有FN＝(mg＋G)－Fy，水平方向上有f＝Fx，现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，则Fy一直增大，Fx一直减小，则FN一直减小，f一直减小，故B错误，C正确。2.(2024·河北衡水模拟)如图4所示，装卸工人利用斜面将一质量为m、表面光滑的油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是()图4A.不变 B.逐渐变小C.逐渐变大 D.最小值为eq\f(mg,2)答案D解析分析油桶的受力情况，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因工人缓慢地将油桶推到汽车上，油桶处于动态平衡状态，由三角形定则作出力的动态变化过程，如图所示，推力F由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右的过程中，推力先变小后变大，最小时推力F和支持力FN垂直，即沿斜面方向，此时最小值为eq\f(mg,2)，D正确。方法相似三角形法物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。例3如图5所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是()图5A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小答案C解析小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由三角形相似，得eq\f(G,R)＝eq\f(F,AB)＝eq\f(FN,R)，当A点上移时，半径R不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确。方法矢量圆法(正弦定理法)1.矢量圆：如图6所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。图62.正弦定理：如图7所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即eq\f(F1,sinα)＝eq\f(F2,sinβ)＝eq\f(F3,sinγ)。图7例4(2024·重庆南开中学期中)某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图8所示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是()图8A.右手对铅球的弹力增大B.右手对铅球的弹力先增大后减小C.左手对铅球的弹力增大D.左手对铅球的弹力先增大后减小答案B解析法一矢量圆法以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力为F1和左手对铅球的弹力为F2，受力分析如图所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，则两力之间的夹角保持120°不变，则在三角形中，F1与F2夹角保持60°不变，重力G的大小方向不变，作出力三角形的外接圆，根据弦所对的圆周角都相等，则右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中力的三角形变化如图所示，分析可得F1开始小于直径，当转过30°时F1等于直径，再转时又小于直径，所以F1先增大后减小，F2开始就小于直径，转动过程中一直减小，选项B正确。法二正弦定理法以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力为F1及左手对铅球的弹力为F2，受力分析如图所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ，转动过程始终处于平衡状态，根据正弦定理有eq\f(G,sin60°)＝eq\f(F1,sin（60°＋θ）)＝eq\f(F2,sin（60°－θ）)，右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中θ由0°变为60°，sin(60°＋θ)先变大再变小，所以F1先增大后减小，sin(60°－θ)一直变小，所以F2一直减小，选项B正确。方法总结模型情境受力图方法一力恒力，另一力方向不变OA绳方向不变，OB绳缓慢向上转动至竖直位置，结点O的位置不动图解法：两个力的合力和第三个力等大、反向，即FA逐渐减小，FB先变小后变大一力恒定，另外两力方向都变，但夹角不变用手拉住绳的另一端N，将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变矢量圆法：画出力的矢量三角形的外接圆，以不变的力为弦，用“同弦所对的圆周角相等”的规律判断移动过程中各力的变化情况，即绳OM的张力先增大后减小，绳MN的张力逐渐增大一力恒定，另两力方向都变，夹角也变细绳绕过半球面正上方的定滑轮，拉小球A沿半球面缓慢上升相似三角形法：力三角形和几何三角形相似，即eq\f(mg,lCO)＝eq\f(FN,R)＝eq\f(FT,lAC)考点二平衡中的临界与极值问题1.临界、极值问题特征(1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。③刚好离开接触面，支持力FN＝0。(2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。2.解决极值和临界问题的三种方法极限法正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小数学分析法通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)物理分析法根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值例5(2024·广东阳江高三月考)如图9所示，两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根轻质细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两球。在水平外力F的作用下，小球A、B均处于静止，三根细线均处于拉直状态，其中OA细线位于竖直方向。现保持小球B的位置不变，将外力F逆时针缓慢旋转90°角，已知重力加速度为g，则下列关于此过程的分析正确的是()图9A.细线OA的弹力大小可能大于mgB.细线OB的弹力大小可能为2.5mgC.外力F的最小值为eq\f(\r(3),2)mgD.外力F的最小值为eq\f(1,2)mg答案C解析对球A受力分析，受重力和细线OA的拉力，根据受力平衡，细线AB的拉力为零，细线OA的拉力等于TOA＝mg，故A错误；对B球受力分析，受重力，细线OB的拉力和所求力F，根据三力平衡条件知，任意两个力的合力必定与第三个力等大、反向、共线，所以当F与OB垂直时，有最小值，如图所示，结合几何关系可得Fmin＝mgsin60°＝eq\f(\r(3),2)mg，故C正确，D错误；对B球受力分析，受重力，细线OB的拉力和所求力F，根据动态三角形可知当F水平时，OB的拉力最大，即TOB＝eq\f(mg,cos60°)＝2mg，故B错误。3.小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图10所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为()图10A.eq\f(\r(2)R,2) B.R C.eq\r(2)R D.eq\r(3)R答案C解析以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为m，则球形积木的质量为2m，地面对方形积木的支持力为FN，根据平衡条件可得2FN＝4mg，则FN＝2mg；当两方形积木的距离最远时，设OA和OB之间的夹角为2θ，此时方形积木与地面间的摩擦力达到最大，对球形积木受力分析，如图甲所示，根据平衡条件可得2Fcosθ＝2mg；对其中一个方形积木(如A)受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得Fsinθ＝f＝μFN，联立解得tanθ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得AB之间的距离为s＝eq\r(2)R，故C正确，A、B、D错误。A级基础对点练对点练1动态平衡问题1.(2024·天津和平模拟)如图1，一救援人员沿竖直陡峭光滑岩壁缓慢向下运动的过程中，设人对绳的拉力为FT，人对岩壁的压力为FN，若手和岩壁距离不变，绳与岩壁的夹角变小，下列说法正确的是()图1A.FT、FN均减小B.FT、FN均增大C.FT增大，FN减小D.FT减小，FN增大答案A解析由牛顿第三定律知绳对人的拉力大小等于FT，岩壁对人的支持力大小等于FN，设绳与岩壁的夹角为θ，对人进行受力分析，如图所示，根据受力平衡可得FTsinθ＝FN，FTcosθ＝mg，则FT＝eq\f(mg,cosθ)，FN＝mgtanθ，在人缓慢向下运动的过程中，θ逐渐减小，mg不变，则FT逐渐减小，FN逐渐减小，故A正确。2.(2024·广东佛山模拟)如图2所示，某同学将一橡皮擦轻放在塑料尺的一端，并将该端伸出桌面边缘，塑料尺缓慢向外移动，弯曲程度变大，橡皮擦相对塑料尺始终保持静止，则在此过程中橡皮擦对尺子的()图2A.压力增大 B.压力减小C.摩擦力不变 D.摩擦力减小答案B解析将橡皮擦所在位置等效为沿塑料尺切线方向的一个斜面，斜面倾角为θ，对橡皮擦进行分析，如图所示，则有f＝mgsinθ，FN＝mgcosθ，根据牛顿第三定律有f′＝f，FN′＝FN，在橡皮擦离桌边越来越远，塑料尺也越来越弯曲的过程中，等效斜面倾角θ逐渐增大，可知f′增大，FN′减小，即橡皮擦对尺子的压力减小，橡皮擦对尺子的摩擦力增大，故B正确。3.(2023·北京海淀模拟)如图3所示，足够长的斜面固定在水平地面上，斜面上有一光滑小球，跨过滑轮的细线一端系住小球，另一端系在竖直弹簧的上端，弹簧的下端固定在地面上，手持滑轮，系统处于平衡状态。若滑轮在手的控制下缓慢向下移动，直到拉着小球的细线与斜面平行，则这一过程中()图3A.弹簧弹力先减小后增大B.弹簧弹力不变C.斜面对小球支持力逐渐减小D.斜面对小球支持力逐渐增大答案D解析小球在重力G、斜面对其的支持力FN和细线上的张力FT三力的作用下保持动态平衡，故三个力可以构成一个封闭的矢量三角形如图所示。在缓慢移动过程中，FN逐渐增大，FT只能变化到与FN垂直，故FT是逐渐变小的，因弹簧弹力大小等于FT，则弹簧弹力逐渐减小，故D正确，A、B、C错误。4.轻杆BO的O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图4所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是()图4A.FN先减小后增大 B.FN一直减小C.F先减小后增大 D.F一直减小答案D解析设重物的重力为G，以B点为研究对象，受力分析如图所示，作出力FN与F的合力F2，根据平衡条件得F2＝F1＝G，由力三角形和几何三角形相似得eq\f(FN,BO)＝eq\f(F,AB)＝eq\f(F2,AO)＝eq\f(G,AO)，由于BO、AO、G不变，则FN保持不变，AB逐渐减小，所以F逐渐减小，故D正确。5.(多选)如图5所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是()图5A.F1在逐渐增大B.F2先增大再减小C.F1与F2的水平分量大小相等D.F1与F2的竖直分量大小相等答案AC解析小球始终保持静止，所受合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A正确，B错误；F1与F2的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。对点练2平衡中的临界与极值问题6.(多选)(2024·广东潮州市模拟)如图6所示，某运动员拖动汽车轮胎进行体能训练，受训者通过绳子对静止在水平地面上的轮胎施加作用力F，F斜向上并与水平方向成37°，大小由零逐渐增大。已知轮胎质量为26kg，与地面间的动摩擦因数为0.4，且轮胎受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为10m/s2，sin37°＝0.6。则()图6A.轮胎与地面间的摩擦力逐渐减小B.轮胎与地面间的摩擦力先逐渐增大后逐渐减小C.轮胎与地面间的摩擦力的最大值为80ND.轮胎与地面间的摩擦力的最大值为104N答案BC解析当力F较小时，轮胎处于静止状态，此时轮胎与地面间的静摩擦力大小为f＝Fcos37°，摩擦力随F增大而增大；当力F较大时，轮胎做加速运动，此时轮胎与地面间的滑动摩擦力的大小为f′＝μ(mg－Fsin37°)，摩擦力随F增大而减小，因此，轮胎与地面间的摩擦力先逐渐增大后逐渐减小，A错误，B正确；当轮胎刚要滑动时，轮胎与地面间的静摩擦力最大，此时，对轮胎，由平衡条件得Fcos37°＝fm＝μ(mg－Fsin37°)，解得最大静摩擦力fm＝80N，C正确，D错误。7.(2024·辽宁沈阳模拟)如图7所示，绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α＝60°，且保持其平衡。保持60°不变，当拉力F有极小值时，F与水平方向的夹角β应是()图7A.0 B.90° C.60° D.45°答案C解析根据题意可知，O点受三个拉力处于平衡状态，向上的两个拉力的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，作出力的矢量三角形如图所示，当F与天花板相连的绳子垂直时，拉力F最小，根据几何关系知β＝α＝60°，故C正确。B级综合提升练8.(多选)如图8所示，重力大小为G的物体A静止在倾角θ＝37°的固定斜面上，现用水平力推A，在水平力由零逐渐增加至G再逐渐减为零的过程中，物体A始终保持静止。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。在水平力变化的过程中，下列说法正确的是()图8A.A对斜面的压力的最大值为1.4GB.A对斜面的压力的最小值为零C.A所受摩擦力的最大值为0.2GD.A所受摩擦力的最小值为零答案AD解析垂直斜面方向，由FN＝Gcos37°＋Fsin37°知，在水平力增加至G时，A对斜面的压力最大，最大值为FN1＝Gcos37°＋Gsin37°＝1.4G，A正确；在水平力为零时，A对斜面的压力最小，最小值为FN2＝Gcos37°＝0.8G，B错误；平行斜面方向，由Gsin37°＝Fcos37°±f知，在水平力为零时，A所受摩擦力方向沿斜面向上，大小为f1＝Gsin37°＝0.6G，在水平力为G时，A所受摩擦力方向沿斜面向下，大小为f2＝Gcos37°－Gsin37°＝0.2G，可知A所受摩擦力的最大值为0.6G，C错误；根据上述，当水平推力沿斜面向上的分力与重力沿斜面向下的分力大小相等时，A相对斜面没有运动趋势，此时A所受摩擦力的最小值为零，D正确。9.(2023·广西桂林模拟)如图9所示，轻质弹簧一端固定在水平墙上，另一端与一小球相连，在小球上再施加一个拉力F使小球处于静止状态，弹簧与竖直方向夹角为α，拉力F与竖直方向夹角为β，且α＋β<90°；现保持拉力F大小不变，方向缓慢转至水平，则下列说法正确的是()图9A.α先增大后减小B.α一直减小C.弹簧的弹力先减小后增大D.弹簧的弹力先增大后减小答案A解析根据题意，对小球受力分析，如图所示，保持拉力F大小不变，方向缓慢转至水平过程中，由矢量三角形可知，弹簧弹力逐渐增大，α先增大后减小，故A正确。10.如图10所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为()图10A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)答案C解析根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力和B与木板间的摩擦力均达到最大静摩擦力，隔离A分析受力，由平衡条件可得F＝fAB＋mgsin45°，FNA＝mgcos45°，fAB＝μFNA，对A、B整体，由平衡条件可得2F＝3mgsin45°－f，FN＝3mgcos45°，f＝μFN，联立解得μ＝eq\f(1,5)，选项C正确。11.(多选)如图11所示，倾角θ＝30°的斜坡上放有一质量为m＝3kg的物体，给物体一沿斜坡向下的速度，物体刚好沿斜坡匀速下滑。现用轻绳拴接物体，一位同学站在斜坡的一定高度处用力拉物体沿斜坡缓慢上滑，已知拉动过程中该同学对轻绳的作用点到斜坡的距离不变，物体沿斜坡上滑，且轻绳与斜坡间的夹角为α时，外力最小值为Fmin，此时物体所受的摩擦力大小为f，物体对斜坡的压力大小为FN，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是()图11A.α＝60° B.Fmin＝15eq\r(3)NC.f＝15N D.FN＝eq\f(15\r(3),2)N答案BD解析