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文档简介
江苏省南京师范大附中江宁分校2024年中考数学模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.整数a、b在数轴上对应点的位置如图,实数c在数轴上且满足,如果数轴上有一实数d,始终满足,则实数d应满足().A. B. C. D.2.2017上半年,四川货物贸易进出口总值为2098.7亿元,较去年同期增长59.5%,远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅.在“一带一路”倡议下,四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长.将2098.7亿元用科学记数法表示是()A.2.0987×103 B.2.0987×1010 C.2.0987×1011 D.2.0987×10123.已知反比例函数y=﹣,当﹣3<x<﹣2时,y的取值范围是()A.0<y<1 B.1<y<2 C.2<y<3 D.﹣3<y<﹣24.计算(﹣3)﹣(﹣6)的结果等于()A.3B.﹣3C.9D.185.当x=1时,代数式x3+x+m的值是7,则当x=﹣1时,这个代数式的值是()A.7 B.3 C.1 D.﹣76.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,若∠CAE=65°,∠E=70°,且AD⊥BC,∠BAC的度数为().A.60° B.75° C.85° D.90°7.已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是()A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n8.下列方程有实数根的是()A. B.C.x+2x−1=0 D.9.已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是()A. B.C. D.10.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是()A.y=(x﹣2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x﹣2)2﹣3D.y=(x+2)2﹣311.图1~图4是四个基本作图的痕迹,关于四条弧①、②、③、④有四种说法:弧①是以O为圆心,任意长为半径所画的弧;弧②是以P为圆心,任意长为半径所画的弧;弧③是以A为圆心,任意长为半径所画的弧;弧④是以P为圆心,任意长为半径所画的弧;其中正确说法的个数为()A.4 B.3 C.2 D.112.若直线y=kx+b图象如图所示,则直线y=−bx+k的图象大致是()A. B. C. D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.因式分解:3a2-6a+3=________.14.如果x3nym+4与﹣3x6y2n是同类项,那么mn的值为_____.15.如图,点A,B是反比例函数y=(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC,已知点C(2,0),BD=2,S△BCD=3,则S△AOC=__.16.如图所示,摆第一个“小屋子”要5枚棋子,摆第二个要11枚棋子,摆第三个要17枚棋子,则摆第30个“小屋子”要___枚棋子.17.如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积之比为______.18.△ABC中,∠A、∠B都是锐角,若sinA=,cosB=,则∠C=_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)(1)计算:|﹣3|+(+π)0﹣(﹣)﹣2﹣2cos60°;(2)先化简,再求值:()+,其中a=﹣2+.20.(6分)解方程式:-3=21.(6分)某水果批发市场香蕉的价格如下表购买香蕉数(千克)不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克的价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克,已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出264元,请问张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克?22.(8分)如图,在中,,点在上运动,点在上,始终保持与相等,的垂直平分线交于点,交于,判断与的位置关系,并说明理由;若,,,求线段的长.23.(8分)(1)计算:(﹣2)﹣2+cos60°﹣(﹣2)0;(2)化简:(a﹣)÷.24.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,点D是射线CB上的一个动点,△ADE是等边三角形,点F是AB的中点,连接EF.(1)如图,点D在线段CB上时,①求证:△AEF≌△ADC;②连接BE,设线段CD=x,BE=y,求y2﹣x2的值;(2)当∠DAB=15°时,求△ADE的面积.25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=6,OC=4,以OA,OC为邻边作矩形OABC,动点M,N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.(1)直接写出点B的坐标为,直线OB的函数表达式为;(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式;并求t为何值时,S有最大值,并求出最大值.26.(12分)某校为了开阔学生的视野,积极组织学生参加课外读书活动.“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生,调查他们最喜爱的图书类别(图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请你结合图中的信息解答下列问题:求被调查的学生人数;补全条形统计图;已知该校有1200名学生,估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人?27.(12分)如图,经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过点P(1,m)作直线PA⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(点B、C不重合),连接CB、CP.(I)当m=3时,求点A的坐标及BC的长;(II)当m>1时,连接CA,若CA⊥CP,求m的值;(III)过点P作PE⊥PC,且PE=PC,当点E落在坐标轴上时,求m的值,并确定相对应的点E的坐标.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解析】
根据a≤c≤b,可得c的最小值是﹣1,根据有理数的加法,可得答案.【详解】由a≤c≤b,得:c最小值是﹣1,当c=﹣1时,c+d=﹣1+d,﹣1+d≥0,解得:d≥1,∴d≥b.故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴,利用a≤c≤b得出c的最小值是﹣1是解题的关键.2、C【解析】将2098.7亿元用科学记数法表示是2.0987×1011,故选:C.点睛:本题考查了正整数指数科学计数法,对于一个绝对值较大的数,用科学记数法写成的形式,其中,n是比原整数位数少1的数.3、C【解析】分析:由题意易得当﹣3<x<﹣2时,函数的图象位于第二象限,且y随x的增大而增大,再计算出当x=-3和x=-2时对应的函数值,即可作出判断了.详解:∵在中,﹣6<0,∴当﹣3<x<﹣2时函数的图象位于第二象限内,且y随x的增大而增大,∵当x=﹣3时,y=2,当x=﹣2时,y=3,∴当﹣3<x<﹣2时,2<y<3,故选C.点睛:熟悉“反比例函数的图象和性质”是正确解答本题的关键.4、A【解析】原式=−3+6=3,故选A5、B【解析】
因为当x=1时,代数式的值是7,所以1+1+m=7,所以m=5,当x=-1时,=-1-1+5=3,故选B.6、C【解析】试题分析:根据旋转的性质知,∠EAC=∠BAD=65°,∠C=∠E=70°.如图,设AD⊥BC于点F.则∠AFB=90°,∴在Rt△ABF中,∠B=90°-∠BAD=25°,∴在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°,即∠BAC的度数为85°.故选C.考点:旋转的性质.7、D【解析】
根据反比例函数的性质,可得答案.【详解】∵y=−的k=-2<1,图象位于二四象限,a<1,∴P(a,m)在第二象限,∴m>1;∵b>1,∴Q(b,n)在第四象限,∴n<1.∴n<1<m,即m>n,故D正确;故选D.【点睛】本题考查了反比例函数的性质,利用反比例函数的性质:k<1时,图象位于二四象限是解题关键.8、C【解析】分析:根据方程解的定义,一一判断即可解决问题;详解:A.∵x4>0,∴x4+2=0无解;故本选项不符合题意;B.∵≥0,∴=﹣1无解,故本选项不符合题意;C.∵x2+2x﹣1=0,△=8=4=12>0,方程有实数根,故本选项符合题意;D.解分式方程=,可得x=1,经检验x=1是分式方程的增根,故本选项不符合题意.故选C.点睛:本题考查了无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.9、D【解析】
此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理.【详解】解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项A和B错误,又因为蜗牛从p点出发,绕圆锥侧面爬行后,又回到起始点P处,那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点(P′)重合,而选项C还原后两个点不能够重合.故选D.点评:本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力.10、C【解析】试题分析:根据顶点式,即A、C两个选项的对称轴都为x=2,再将(0,1)代入,符合的式子为C选项考点:二次函数的顶点式、对称轴点评:本题考查学生对二次函数顶点式的掌握,难度较小,二次函数的顶点式解析式为y=(x-a)2+h,顶点坐标为11、C【解析】
根据基本作图的方法即可得到结论.【详解】解:(1)弧①是以O为圆心,任意长为半径所画的弧,正确;(2)弧②是以P为圆心,大于点P到直线的距离为半径所画的弧,错误;(3)弧③是以A为圆心,大于AB的长为半径所画的弧,错误;(4)弧④是以P为圆心,任意长为半径所画的弧,正确.故选C.【点睛】此题主要考查了基本作图,解决问题的关键是掌握基本作图的方法.12、A【解析】
根据一次函数y=kx+b的图象可知k>1,b<1,再根据k,b的取值范围确定一次函数y=−bx+k图象在坐标平面内的位置关系,即可判断.【详解】解:∵一次函数y=kx+b的图象可知k>1,b<1,
∴-b>1,∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限,与y轴的正半轴相交,故选:A.【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系.函数值y随x的增大而减小⇔k<1;函数值y随x的增大而增大⇔k>1;一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b>1,一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b<1,一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、3(a-1)2【解析】
先提公因式,再套用完全平方公式.【详解】解:3a2-6a+3=3(a2-2a+1)=3(a-1)2.【点睛】考点:提公因式法与公式法的综合运用.14、0【解析】根据同类项的特点,可知3n=6,解得n=2,m+4=2n,解得m=0,所以mn=0.故答案为0点睛:此题主要考查了同类项,解题关键是会判断同类项,注意:同类项中含有相同的字母,相同字母的指数相同.15、1.【解析】
由三角形BCD为直角三角形,根据已知面积与BD的长求出CD的长,由OC+CD求出OD的长,确定出B的坐标,代入反比例解析式求出k的值,利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可.【详解】∵BD⊥CD,BD=2,∴S△BCD=BD•CD=2,即CD=2.∵C(2,0),即OC=2,∴OD=OC+CD=2+2=1,∴B(1,2),代入反比例解析式得:k=10,即y=,则S△AOC=1.故答案为1.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键.16、1.【解析】
根据题意分析可得:第1个图案中棋子的个数5个,第2个图案中棋子的个数5+6=11个,…,每个图形都比前一个图形多用6个,继而可求出第30个“小屋子”需要的棋子数.【详解】根据题意分析可得:第1个图案中棋子的个数5个.第2个图案中棋子的个数5+6=11个.….每个图形都比前一个图形多用6个.∴第30个图案中棋子的个数为5+29×6=1个.故答案为1.【点睛】考核知识点:图形的规律.分析出一般数量关系是关键.17、1:1.【解析】试题分析:由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2=1:1.考点:相似三角形的性质.18、60°.【解析】
先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断.【详解】∵△ABC中,∠A、∠B都是锐角sinA=,cosB=,∴∠A=∠B=60°.∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°.故答案为60°.【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理,比较简单.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)-1;(2).【解析】
(1)根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案;(2)先化简原式,然后将a的值代入即可求出答案.【详解】(1)原式=3+1﹣(﹣2)2﹣2×=4﹣4﹣1=﹣1;(2)原式=+=当a=﹣2+时,原式==.【点睛】本题考查了学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.20、x=3【解析】
先去分母,再解方程,然后验根.【详解】解:去分母,得1-3(x-2)=1-x,1-3x+6=1-x,x=3,经检验,x=3是原方程的根.【点睛】此题重点考察学生对分式方程解的应用,掌握分式方程的解法是解题的关键.21、第一次买14千克香蕉,第二次买36千克香蕉【解析】
本题两个等量关系为:第一次买的千克数+第二次买的千克数=50;第一次出的钱数+第二次出的钱数=1.对张强买的香蕉的千克数,应分情况讨论:①当0<x≤20,y≤40;②当0<x≤20,y>40③当20<x<3时,则3<y<2.【详解】设张强第一次购买香蕉xkg,第二次购买香蕉ykg,由题意可得0<x<3.则①当0<x≤20,y≤40,则题意可得.解得.②当0<x≤20,y>40时,由题意可得.解得.(不合题意,舍去)③当20<x<3时,则3<y<2,此时张强用去的款项为5x+5y=5(x+y)=5×50=30<1(不合题意,舍去);④当20<x≤40y>40时,总质量将大于60kg,不符合题意,答:张强第一次购买香蕉14kg,第二次购买香蕉36kg.【点睛】本题主要考查学生分类讨论的思想.找到两个基本的等量关系后,应根据讨论的千克数找到相应的价格进行作答.22、(1).理由见解析;(2).【解析】
(1)根据得到∠A=∠PDA,根据线段垂直平分线的性质得到,利用,得到,于是得到结论;
(2)连接PE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8-x,根据勾股定理即可得到结论.【详解】(1).理由如下,∵,∴,∵,∴,∵垂直平分,∴,∴,∴,∴,即.(2)连接,设,由(1)得,,又,,∵,∴,∴,解得,即.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线解题的关键.23、(1);(2);【解析】
(1)根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题;(2)根据分式的减法和除法可以解答本题.【详解】解:(1)原式(2)原式【点睛】本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.24、(1)①证明见解析;②25;(2)为或50+1.【解析】
(1)①在直角三角形ABC中,由30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长,再由F为AB中点,得到AC=AF=5,确定出三角形ADE为等边三角形,利用等式的性质得到一对角相等,再由AD=AE,利用SAS即可得证;②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角,EF=CD=x,在三角形AEF中,利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式;(2)分两种情况考虑:①当点在线段CB上时;②当点在线段CB的延长线上时,分别求出三角形ADE面积即可.【详解】(1)、①证明:在Rt△ABC中,∵∠B=30°,AB=10,∴∠CAB=60°,AC=AB=5,∵点F是AB的中点,∴AF=AB=5,∴AC=AF,∵△ADE是等边三角形,∴AD=AE,∠EAD=60°,∵∠CAB=∠EAD,即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB,∴∠CAD=∠FAE,∴△AEF≌△ADC(SAS);②∵△AEF≌△ADC,∴∠AEF=∠C=90°,EF=CD=x,又∵点F是AB的中点,∴AE=BE=y,在Rt△AEF中,勾股定理可得:y2=25+x2,∴y2﹣x2=25.(2)①当点在线段CB上时,由∠DAB=15°,可得∠CAD=45°,△ADC是等腰直角三角形,∴AD2=50,△ADE的面积为;②当点在线段CB的延长线上时,由∠DAB=15°,可得∠ADB=15°,BD=BA=10,∴在Rt△ACD中,勾股定理可得AD2=200+100,综上所述,△ADE的面积为或.【点睛】此题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,以及等边三角形的性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.25、(1),;(2),1,1.【解析】
(1)根据四边形OABC为矩形即可求出点B坐标,设直线OB解析式为,将B代入即可求直线OB的解析式;(2)由题意可得,由(1)可得点的坐标为,表达出△OMP的面积即可,利用二次函数的性质求出最大值.【详解】解:(1)∵OA=6,OC=4,四边形OABC为矩形,∴AB=OC=4,∴点B,设直线OB解析式为,将B代入得,解得,∴,故答案为:;(2)由题可知,,由(1)可知,点的坐标为,∴当时,有最大值1.【点睛】本题考查了二次函数与几何动态问题,解题的关键是根据题意表达出点的坐标,利用几何知识列出函数关系式.26、(4)60;(4)作图见试题解析;(4)4.【解析】试题分析:(4)利用科普类的人数以及所占百分比,即可求出被调查的学生人数;(4)利用(4)中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可;(4)首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比,进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数.试题解析:(4)被调查的学生人数为:44÷40%=60(人);(4)喜欢艺体类的学生数为:60-44-44-46=8(人),如图所示:全校最喜爱文学类图书的学生约有:4400×=4(人).考点:4.条形统计图;4.用样本估计总体;4.扇形统计图.27、(I)4;(II)(III)(2,0)或(0,4)【解析】
(I)当m=3时,抛物线解析式为y=-x2+6x,解方程-x2+6x
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